귀납가설 다섯번이나 쓰는 문제 ua-cam.com/video/sIMbG0yAdx0/v-deo.html Disclaimer : 도미노도 맞는 비유 아니냐 라고 하시는 분들이 많은데 사실 맞는 비유입니다. 도미노로 비유한 것이 틀렸다기보다는 도미노가 잘못된 이해를 유도한다는 관점으로 봐주시면 좋겠습니다 :)
컴퓨터과학의 알고리즘 분야 중 Dynamic Programming, 동적 계획법이라는 알고리즘이 있습니다. 이 DP문제를 해결할 때 점화식을 정의하고 State = k 에서 State = k+1 인 경우로 확장시키려고 하다가 모든 경우를 감싸지 못해서 다시 생각을 다잡게 되는 경우가 많았습니다. 영상을 보고 느낌으로만 느끼던 것의 실체를 좀 알게 되었던 것 같습니다. 앞으로 문제를 해결할 때 도움이 될 것 같습니다. 좋은 영상 감사합니다.
그래서 교과서나 이런 데 보면, DP를 그렇게 확장해 가면서 테이블을 채우는 식으로 바로 설명하는 것이 아니라, 문제에서 sub-problem, sub-structure를 발견하고, 그걸 이용하여 점화식을 이용한 재귀를 하고, pure function이니까 같은 연산을 여러번 하는 것을 memoization으로 없애고, 함수 호출 오버로드를 줄이기 위해서 테이블 채우는 순서를 확장 순서로 바꿔서 루프만으로 할 수 있는 DP를 하게 되는 식이죠. (물론 이것도 테이블을 다 채울 필요가 없는데 채우게 되는 경우가 생기지요.) 그런 이해 없이 하면 정말 저런 오류 범하기 쉽지요. 영상에서 잘못된 방식의 증명 예제를 봤을 때, "아악! 저거 아니잖아." 하는 반응이 바로 오긴 했어요. ㅋㅋ
정말 좋은 영상 올려주셔서 감사합니다. 수학을 굉장히 좋아하고, 직업도 아이들에게 수학을 알려주는 직업을 갖고 있음에도 수학적 귀납법의 참된 의미를 알아채지 못했다는 게 부끄럽게 느껴지는 영상이었습니다. 학부 시절 수학 공부할 때 교수님께서 수학 적 귀납법은 k+1 항에 숨어 있는 k항을 찾아내는 것이 핵심이다. 라고 설명해주셨는데 그 의미가 무엇인지 이제셔야 깨닫게 되었습니다. 학부생 시절에 이산수학은 적성에 맞지 않는다고 등한시했었는데, 이번 기회를 빌어서 다시 한 번 공부하고 싶은 의욕이 드네요. 좋은 영상 정말 감사합니다!!
흥미롭네요 고딩때 수학 한가닥한 평범한 성인입니다 수학과나 수학교육과 전공은 아니지만요 논리적 비약을 찾고 수형도 문제 올바른 증명까지도 일시정지하고 스스로 했는데 이런 문제가 앞으로도 많이 나왔으면 좋겠네요 저도 제 생각에 확장논리로 하려다가 틀렸다고 인지하고 증명을 고쳤을것 같거든요 확실히 무의식적으로 확장논리로 접근하려 하는 것 같네요 앞으로 이런 문제 더 많이 주시면 감사할 것 같습니다 감사합니다
@@12math 여러 댓글들을 보고 느낀 것이 제목이 너무 센 것 같습니다 축소식으로 접근하는 것이 증명과정 중 오류가 날 가능성이 적고 증명도 더 간결해진다 가 주요 논제이지 제목이 말하는걸 보면 확장식으로 하는 증명은 틀렸다 로 들리거든요 사실 확장식으로도 증명할 수 있잖아요? 그 과정에서 논리적비약이 생길 가능성이 있을뿐 영상을 제대로 이해한 사람들도 이견을 내는 사람이 많은건 이게 원인이지 않을까 싶습니다
@@mainisnumber 맞말이긴한데 그냥 관점을 수학자 관점으로 보느냐 수학교육자 관점으로 보느냐의 차이일듯 합니다 또한 선호 비선호는 기호의 문제이지만 제목을 보면 확장 방식은 오답이다!!라는 식의 뉘앙스여서 쓴 댓글이였습니다 저도 영상에서 말한 내용은 이해하고 있습니다만 그냥 몇몇 반박댓글들을 읽어보며 든 생각을 적은 것입니다
엄상일 교수님 트윗으로 찾아 왔는데 정말 좋은 영상이었습니다. 전 대학원에서 프로그래밍 언어를 전공해서 구조적 귀납법structural induction을 엄밀하게 정의하고 밥먹듯이 사용해 왔는데, 구조적 귀납법은 확장식으로 만들면 논리 자체가 성립하지 않는 경우가 많아서 자연스럽게 축소 논리를 쓰게 되지요. 자연수에 대한 수학적 귀납법이 구조적 귀납법의 특수한 경우라는 걸 이해하면 이 영상의 내용이 당연해 보이지만 반대 방향으로 이해하기는 어려운 것 같습니다. 확장 논리는 (특히 자연수 같이 귀납 정의가 간단할 때는) 직관을 빌려 증명을 스케치하는 데는 도움이 될 지는 몰라도, 결국 진짜 증명에서는 통하지 않는다는 걸 이해하려면 자연수 말고도 다양한 귀납 정의를 접할 필요가 있다고 생각합니다.
와 진짜 맞는 말씀입니다. 동기들도 왜 이리 귀납법의 아이디어에 대해 받아들이기 어려워했는지 이제야 명확하게 정리가 되네요. 맞아요. k+1 에서 k 를 바라봐야 생각의 흐름이 깔끔해지죠. 이 사실을 친구에게 알려주려고 했는데 확장과 축소라는 직관적인 단어를 생각해내지 못해 전공책 예제를 전부 외우는 친구를 말리지 못했습니다ㅠ 어서 주변 친구들한테 이 영상을 추천해줘야겠습니다.
밥 먹으면서 반찬삼아 봤는데 너무 유익해서 놀랐습니다. 보면 볼수록 학문을 깊이있게 접근하는 것과 평균적인 학생들에게 그 내용을 가르치는 것에는 극명한 차이가 있는것 같습니다. 저도 순수화학을 전공하면서, 중고등교육에서 가르치는 개념들에 중요하지만 어려운 요소들이 빠져있는게 참 안타깝더라고요. 엄밀한 개념 대신 보편적인 교육을 선택하면서 생략된 내용들이 전공자들로 하여금 논리적 비약을 느끼게 하는게 아닐까 싶습니다. 채널소개를 이제 봤는데 동문이셨군요.. 요즘 카이에서는 수학과가 기초학문을 다루는 학과 중에선 가장 인기있습니다 ㅋㅋ 지금까지 정말 많이 배웠다고 생각했는데 이런 내용들 보면 여전히 배움에는 끝이 없네요
그래서 전 고등학생들 귀납법 가르칠 때 n=k+1을 먼저 대입해서 목적식을 세운 다음에 두 식을 비교하게 합니다. 보통 수학적귀납법 문제가 네모 칸 채우기로 출제되고 그 네모 칸 중 하나가 k에서 k+1로 확장하기 위한 항을 더하거나 곱하게 되있는데, 학생 입장에선 이게 엄청 뜬금없다고 느낄 수 있어서, 타겟을 먼저 쓴 뒤 비교하라고 하면 이해 잘 하더라구요
고등학교 수학교사입니다. 말씀하신 것처럼 학생들은 확장으로 진행하는 경우가 많습니다만 다행히도 저를 비롯해 선생님들이 그렇게 가르치는 것 같지는 않습니다. ^^ 저는 그게 축소논리라고 생각해본적은 없지만 항상 학생들에게 니들중 대부분은 수학적 귀납법이 어떤 논리인지 전혀 모르고 그저 방법만을 외운다고 지적하고 그래서 부등호 형태의 수학적 귀납법은 손도 못대는 거라고 얘기합니다. 그리고 증명 논리를 이해해야 자신이 어떻게 증명해야 할지 길이 보인다고 항상 말해줍니다. (수학적 귀납법이 어째서 증명방법이 되는가를.생각해 보았다면 절대로 확장논리로 접근할수가 없다고 생각합니다.) 물론 아이들은 변하지 읺습니다 ㅎㅎ 우리나라 고등학생들은 점수 말곤 수학에 관심을.가진 학생이 극소수입니다. 수학이 주는 재미라는 걸 모르지요. 오늘 영상 보면서도 그저 안타까움으로 한숨만 쉬게 되는군요. 학생들이 수학을 수학이라기보다 재미있는 논리이야기로 받아들였으면 하는.바램이 많습니다. 그 논리의 구조는 그럴수 밖에 없기 때문에 아주 단순한 풀이를 가져다줄텐데 말이죠.
제가 어릴 적 가우스 풀이를 보고 기가 차서 한참 망연자실 했던 게 기억나네요. 가우스는 수학의 신. 일반인은 절대 그 나이에 그렇게 할 수 없다라고 생각을 했었죠. 나이가 들어서는 "어떻게" 가우스가 그런 생각을 "할 수도 있었을까"를 더 많이 생각해 보게 되더라구요. 일반인도 그런 결론에 도달 할 수도 있지 않을까라는 생각을 하며 말이죠. 이건 그냥 저의 가설인데. 제가 가우스로 빙의해서 스토리를 써보면.. 가우스는 숫자들을 더할 때 순서나 조합을 어떻게 바꿔도 결과가 같다라는 걸 이미 알고 있었다고 생각합니다. 일반 초등생도 충분히 알 수도 있다고 생각합니다.. 여기서 가우스는 더하기를 이리저리 여러가지 방법으로 해보고 가지고 놀며 특별한 순서의 더하기 조합이 전체 계산을 단순화 할 수 있다는 걸 안 것 같습니다. 일반 초등생들은 누가 시키지도 않았는데 굳이 이리저리 다른 방법으로 조합을 해볼리가 잘 없다는 생각이 드네요^^. 아마도 적은 숫자를 가지고 놀았다면 (예를들어 1부터 6), 그 더하기의 조합 방법을 그리 어렵지 않게 생각해 내었을 수도 있다고 생각이 듭니다. 즉 1+6, 2+5, 3+4. 그런상태에서 선생님이 1부터 100까지의 더하기 문제를 냈다면. 1+100, 2+99,3+98, ..., 즉 101을 50번 더한 거라고 어렵지않게 생각해 낼 수도 있다고 스토리를 써봅니다. 즉 (1+n)을 (n/2)번 하게 되는 거죠. 이러한 저의 추측성 스토리에서 느끼는 건 가우스가 정말 수를 사랑하고 즐겼을 것이며 그것이 기본이 되어 많은 업적들을 쌓아나가지 않았을까 생각합니다. 천재는 즐기는 자를 못이긴다는 말이 있는데, 제가 생각하기에 가우스는 수학을 정말 즐겼다고 생각이 됩니다.
이게 아무래도 논리 규칙을 제대로 이해시키지 못하는 상태에서 가르쳐야 하다 보니 점점 열화판으로 이상해지다가 결국 완전히 엇나간 것 같다고 봅니다. 수학적 귀납법이 기본적으로는 긍정식 삼단논법에서 출발해서, p(n) -> p(n+1)이 항진임을 보이는 거고, 어떤 특정 n=k에 대해 성립한다는 사실을 직접 보이고 나서부터는 이후의 항이 삼단논법의 추이에 의해 참이 되는 거잖아요. 문제는 p->q가 항진임을 보이는 방법론 이전에, 가르치는 사람도 배우는 사람도 저게 뭔지도 모르고 할 겁니다. 가르치는 사람도 제대로 배운 적이 없는데 누굴 탓하겠습니까. 다만, 축소 관점에 한해서는 제 의견은 다릅니다. "p(n) 이면 p(n+1)" 명제를 보이기 위해 p(n)의 성립 상태로부터 p(n+1) 성립 상태를 유도해야 하는 건 절대적이라고 보고, 영상의 예시에서는 p(n+1) 자체가 p(n+1) : 점n+1 -> 선n 이라는 조건부 명제라서 증명 방식이 고등학생 수준의 귀납법 문제에 비해 까다로워진 것이죠. 당연히 p(n+1)의 가정으로부터 결론을 이끌어야 하니까 임의 n+1점 트리를 만들고 시작하는 거고요.
오늘도 좋은 영상 감사합니다. 영상의 내용을 보며 잠깐 생각을 해보았는데요, 예시로 들어주신 트리 문제에서 수학적 귀납법의 논리 전개 관점을 확장으로 볼 것이냐, 축소로 볼 것이냐 하는 부분에 궁금한 부분이 생겨 댓글 남깁니다. 만약 트리 문제를 확장의 개념으로 증명한다고 했을 때, node의 갯수가 k개인 tree 혹은 tree set에서 출발해서 node의 갯수가 k+1개인 임의의 tree로 확장할 수 있는 방법론이 추가 된다면 여전히 확장의 개념으로 수학적 귀납법을 이해하는게 문제 있어 보이지는 않는다는 생각이 들었습니다. 다만 트리 문제가 확장보다는 축소의 관점에서 접근 했을 때 증명의 서술을 보다 간결하게 하기 좋은 예시이기 때문에 무작정 확장의 관점으로만 귀납법을 적용해 볼것이 아니라 축소의 관점으로도 이 문제를 볼 수 있어야 한다는 생각도 동시에 들었습니다. 확장의 관점으로 접근 했을 때 문제를 정확하게 풀어내지 못하는 것은 그 풀이법의 논리적 허점을 깨닫지 못했기 때문이지 확장의 관점 자체에는 문제가 있다는 생각은 아직 잘 들지 않는데, 일반적으로 여러 연구들에서 축소 관점으로 문제를 푸는 경우가 더 많은 것인지, 그렇지 않으면 너무 확장으로만 배우고 생각하다보니 사고가 좁아져 단순히 수학적 귀납법이라는 툴을 확장으로만 생각하게 되는 경향이 있다는 말씀을 하고 싶으셨던 것인지 궁금합니다!
이전 스텝은 참이 가정이 되어 있는 것이고, 증명하는 대상은 다음스텝에 있기 때문에 주어가 다음스텝의 대상이라고 할 수 있습니다. 확장을 해서 일반적인 k+1개의 노드를 가지는 모든 tree를 다 커버할 수 있다는 사실을 별개로 증명을 한다면, 확장 논리에 오류는 없겠습니다만, 자연스럽다고 보기는 어려울 것 같습니다. 수학적 귀납법은 언제나 축소의 관점으로 쓰여야지 간결하고 명확한 증명이라 생각합니다.
고등학교에서 1에서 n까지의 합은 수학적 귀납법으로 먼저 배우는 것이 아닌, 가우스의 아이디어 방식으로 먼저 배우는 것으로 되어있고 가우스의 아이디어에 초점을 두어 가르칩니다. 1에서 n까지의 합이 귀납법의 효용성을 입증하기에 부족하다는 생각에 동의합니다. 그렇기 때문에 수학교사들은 귀납법이 무엇인지 쉬운 예시로 그것을 이용할 뿐 대신 1에서 n의 제곱이나 세제곱의 합을 구하면서 귀납법의 유용성은 따로 알려줍니다. 영상 재밌게 봤습니다만 수학교사들에 대한 변명을 좀 해봅니다.
축소 논리로 증명해야 한다는건 동의하지만 도미노로 설명하는것이 적합하지 않다는 것에 대해서는 저는 조금 동의하지 못하겠습니다. ㅎㅎ 물론 다 맞는 말씀인데 도미노로 설명하는게 본질을 훼손하지는 않는다고 생각해요. 축소를 하는 이유는 증명의 연결 고리를 만들기 위해 k+1에서 k로 축소하는게 아닌가 생각했습니다. 뭐 관점의 차이겠죠. ^^
수학적귀납법을 시그마 공식 증명으로 보이는 것은 k^2부터의 시그마 공식 증명이 고등학생에게는 꽤 힘든 수학적 조작을 해야 되는 부분이 있는 것 때문이라 봐요. 잘 아는 사람 입장에서야, 그거 곱셈 공식 알면 할 수 있는거 아니냐고 말할 수 있지만, 수학적귀납법은 확실한 지름길이 되지요. 특정한 지식 없이 어려웠던 과제를 새로 배운 수학적 개념을 통해 해결하도록 하는 것은, 수학을 전공하려는 계획이 없는 평범한 학생들에게도 적용될 수 있는 좋은 교수법입니다. 이에 유투브 본 동영상에서 언급하신 부분까지 학교 교실에서 무리하여 가르치려 하기 보다, divide and conquer이나 dynamic programing 같은것을 학부 과정에서 학습하면서 자연스레 깨닫게 하는 것이 적당하지 않을까 생각합니다. 학부 선형대수학 강의를 보면 참 재미없는 교육을 하잖아요? 다른 해석학같은 과목처럼 초등학교에서 올라오는 근본있는 질문은 하나도 없고, 형식적인 것만 가르치고. 나중에 선형대수학을 쓰게 되는 수준이 되면 이해하게 되지요. 수많은 학문 분야에서 사용하는 선형대수학을 다 집어넣으면, 선형대수학만 4년 배워야 하겠구나. 그냥 기본만 가르친 거구나. 그 학문 분야를 전공하였으나, 교육에 대한 고찰이 없는 사람들이 제시하는 '특정한 교육 방침이 이론적으로 가치가 있다'와 같은 식의 교육법은, 이미 70년 전에 실패한 바 있고, 그것이 왜 실패하였는지 이공계 교육을 전공하면 기본적으로 배우게 됩니다. (Why Johnny Can't Add , Morris Kline, 1973) 지금도 초중고등학교 학생 대상 교육 경험이 없으신 교수님들 보면, 왜 중학교에서 소인수분해를 왜 가르칠까? 유클리드 호제법이 더 insight가 있고, 좋지 않냐? 이런 말씀을 하십니다. 그러나 학교 교육은 철학자 군주 양성을 위해 우수한 인재를 선별하는 platon주의식 교육이 아니라, 민주사회 시민 양성을 위한 교육임을 이해해야 합니다.
영상 잘 보았습니다. 크게 감명받았습니다. 실제로 많은 고등학교 교과서나 참고서 문제집이 저런식으로 P(k) 문장에 양변에 무엇인가를 더하거나 곱하는 이런 작용을 통해서 P(k+1) 문장으로 전개해 나가는 형식으로 서술되어 있는 경우가 많은데 굉장히 잘못된 서술이라고 생각합니다. 멀리 볼 필요 없이 부등식 형태의 수학적 귀납법 문제를 학생들이 해결할 때 p(k)문장을 건드려서 p(k+1) 문장 형태를 구하려고 시도를 하는 학생들이 많은데 논리적으로도 불가능하고 부등식 사이에는 등식과 다르게 실수의 성질을 이용해서 증명해야 하는 구간이 있어서 학생들에게 수학적 귀납법을 증명하는 구조에 있어서는 반드시 12마쓰님의 설명처럼 p(k+1)의 형태를 먼저 설정하고 그것을 어떻게 증명을 하도록 해야하는지 고민하는 연습을 하는것이 가장 중요하다고 생각합니다.
수형도를 그냥 나무라고 하기엔 웃기고 나무 모양 그림이라 하기엔 길어서 수형도를 사용하는 게 최선인 것 같습니다. +웃기다는 표현이 말 그대로 웃기다는 것도 있지만 실제 뜻은 나무 모양 그림인데 그걸 나무 한 단어로 축약하기엔 턱없이 부족하고, 이미 식물 나무의 뜻도 있고, 그래프 이론의 트리의 직역과도 겹쳐서 비유라면 몰라도 용어로써 의미를 가질 수 없다는 겁니다.
물리학에서도 비슷한 시도가 있었습니다. 예전에 학부시절에 electric field(전기장)을 '전기마당'이라고 쓴 책을 본 적이 있습니다. 그리고 이후로 그런 책은 다시 볼 수 없었습니다. 문제는 대부분의 한자용어는 일본식을 그대로 가져온 경우가 많다는 데 있습니다. 그리고 그걸 그대로 다시 한글로 번역하니 문제가 생기는 것 같습니다. 물리에서 말하는 field를 한자로 '마당 장'을 쓰긴 하지만 여기서의 field는 '마당'의 의미는 아니거든요. 물론 tree graph와 수형도는 거의 비슷하기 때문에 제 예시랑은 관련이 없긴 합니다만, 제 요지는 무조건 한글로 번역한다고 더 좋은 것은 아니며, 만약 번역을 하려면 일본식 단어를 보고(전기장, 수형도) 번역하지 말고 original 용어를 보고(electric field, tree graph) 적절히 한국 독자적으로 번역을 하는 것이 합당해보입니다.
@@12math 웃긴 것도 그렇지만, 나무라는 말이 홀로 '나무 모양 그림'을 축약해서 표현할 수 있을까 싶네요. 트리라는 개념 자체랑 겹치기도 하고요. 얼핏 비유적 표현으로 들리기도 하고, 트리라는 개념을 모르는 사람이 수형도를 나무라고 하는 것을 봤을 때, 이해할 수 있을 지 의문입니다.
@@bluehigh_ 얼핏 이해가 안되지만 곰곰히 생각해 보면 전기장은 결국 전기가 영향을 미치는 공간이니 우리집 앞마당 같이 누군가 영향을 미치는 공간을 표현하는 말로써의 마당의 쓰임을 생각해 보면 전기마당은 적절한 번역이라 생각합니다. 다만 ~장이란 표현에 이미 익숙해져 뭔진 모르겠는데 느낌은 알겠는 그 표현에 비해 이쪽은 곰곰히 생각해본 후에야 그 뜻을 알 수 있는 상황인 거죠. 제 생각엔 일본의 노벨상 수상자 다수 배출이 질 높은 과학 용어 번역이란 말이 있을 정도로 어차피 일본의 번역은 웬만해선 정확하고 적절하니 본래의 뜻을 생각하되 일본어 번역에서 힌트를 얻어도 좋을 것 같습니다.
@@deleted_user_7392 전기장, 자기장, 중력장 등에 쓰이는 장(field)은 마당과 같이 어떤 공간/영역의 의미가 아닙니다. 수학에서 vector field라는 것에 해당하는 field입니다. 여기서의 field란 일상 용어의 field와는 아예 다른 의미입니다. 전 공간의 각 점에 벡터를 하나씩 부여하는 것입니다. 따라서 '장'이라는 한자에 제가 아는 '마당'이라는 의미 외에 다른 의미가 있지 않은 이상은 'field'를 '장'으로 번역한 것은 일상용어로 착각하여 직역한 명백한 오역입니다. 비슷한 대표적인 예로 rational number(유리수), irrational number(무리수) 가 있습니다. 이것 역시 일본에서 번역한 것인데 rational을 원래 의미인 '분수(비율)의'이 아닌 '이성적인'으로 번역하여 유'리'수가 된 것입니다. 일본에 노벨상 수상자가 많이 있고, 영어의 일본어 자체 번역이 우수하다고 하여 모든 사례가 그런 것은 아닙니다. 다만, 어떤 의미로 말씀하신 것인지는 알겠습니다. 제가 든 예시와는 반대로 우수한 번역 예시도 있으니 적당히 참고하는 정도는 괜찮은 것 같습니다.
1개의 유리수는 유리수고 여기에 하나를 더해도 유리수도 이 유리수에 다시 유리수를 더해도 유리수 이다 pi는 3.141592...로 무한히 유리수를 더한값이므로 유리수다에서 그냥 무한히 더하면 아니다로 결론짓고 말았었는데 확장의 개념이 아니라는 생각을 하게 되면 명확해지네요
영상을 보면서 개인적으로 든 생각을 적어봅니다:) 확장식으로 가르치는 것과 축소식으로 가르치는 것은 각각 수학적 귀납법의 다른 측면을 강조하는 듯 합니다. 확장식으로 가르치는 것은, 어떻게 "모든 자연수 n에 대하여 명제 P(n)이 성립한다"는 결과가 얻어지는지에 대한 큰 틀을 이해하는 쪽에 강점이 있는 듯 합니다 . 반면 축소식으로 가르치는 것은, 실제 증명 과정이 어떻게 이뤄지는지를 이해하는 데에 강점이 있는 듯 하구요. 아마 축소식으로 가르칠 때의 특징은 다음의 2가지로 요약될 듯 합니다. ① 영상에서 다룬 것과 같은 증명 상황에서, 확장식으로 가르쳤을 때에 비해서 오류가 발생할 가능성이 낮아질 것으로 기대된다는 점 ② 실전에서 명제를 증명할 때 더 자연스럽게 적용가능할 것으로 기대된다는 점 (여기서 "실전"이라 함은 현 수능에서 출제되는 빈칸 채우기 문제를 푸는 것을 뜻하는게 아니라, 본인이 수학적 귀납법을 통해 실제로 어떤 명제의 증명을 써내려가려고 시도할 때를 의미하는 것. 실전에서는 k스텝에서부터 출발하여 k+1스텝으로 끼워맞추는 것보다, k+1스텝을 분해하여 k스텝 부분을 찾아내는 방식이 자연스럽기 때문.) 그러나 저는 수학적 귀납법의 첫 학습은 확장식으로 배우는 것이 좋다고 생각합니다. 제가 생각하는 이유는 다음과 같습니다. (1) 대부분의 학생들에게 "어떤 식으로 모든 자연수 n에 대해 P(n)이 성립한다는 것을 보일 수 있는지"의 큰 틀을 이해하는 것은, 개념 자체의 불편감을 빠르게 해소하여 친숙하게 만드는 데에 큰 도움을 주기 때문입니다. 특히 수학의 흥미가 낮은 많은 학생들에게는 이것이 실제 증명 과정을 정확하게 이해하는 것보다도 중요할 수 있다고 생각합니다. (2) 경우에 따라선, 처음부터 완벽하게 가르치려는 노력이 학습에 반드시 도움이 되지는 않을 수도 있다고 생각하기 때문입니다. 적어도 기초적인 수준의 학습 과정에서는, 오류를 다양하게 범하고 수정하는 경험이 성장에 중요하다는 것도 맞다고 보기 때문입니다. (미숙한 시절에 쌓인 오류 경험이, 궁극적으로 수학의 최전선에서는 스스로를 보호하는 힘이 되어줄 것이라 생각합니다.) (3) 확장식과 축소식이 배타적 개념은 아니기 때문입니다. 더구나 확장식 개념이 자체적으로 오개념을 내포하고 있거나 한 것도 아니니까요. 제가 보기엔 처음에 확장식 이미지를 형성하고, 나중에 증명 경험을 통해 축소식 이미지를 갖추는 것이 자연스러운 흐름인 듯 합니다. 그래서 처음부터 축소식 이미지를 강조하는 것은 부자연스럽지 않나 싶은 생각도 듭니다.
교육학적으로 전적으로 공감하는 댓글입니다 저도 이 영상을 보고도 일반학생들을 두고 교육한다면 확장식으로 가르칠 듯 합니다 수학영재들을 교육한다면 축소식으로 가르치겠지만요 지금 댓글창에도 이해를 못하거나 잘못 이해한 댓글이 많은만큼 보편적 학생들을 두고서 축소식으로 가르치진 않을 것 같습니다
다른 분이 댓글 남겨주신 것을 읽다보니, 사실 확장식/축소식이라는 말 자체가 조금 애매하다는 느낌이 들긴 하네요.^^; (앗, 다른 분이 남기신 댓글은 제가 이걸 작성하는 도중에 삭제됐네요.) 처음에 좀 잡담하는 느낌으로 가볍게 쓴 내용이다 보니 내용이 어설펐는데, 정말로 진지하게 이 건에 대해 논의하려면 확장식/축소식의 의미가 뭔지를 명확히 해야 할 것 같기는 합니다. 참고로 제가 위의 내용을 쓸 때에는 "어떤 식으로 모든 자연수 n에 대해 P(n)이 성립한다는 것이 보여지는지" 를 도미노로 비유하여 설명하는 방식 자체를 확장식이라고 부른 듯 합니다. 근데 이제부터 이건 도미노식이라고 불러서 구분하는게 더 나을 것 같습니다. 그래서 제가 아까 댓글을 달 때에는, 영상에 오류 풀이로 나온 방식, 즉 "P(k)에서의 상황을 그대로 유지한 채 P(k+1)의 상황으로 연결하여 증명하는 것" (이제부턴 확장식이라는 용어는 이걸 가리키는 것으로 부르면 될 것 같습니다.) 은 도미노식으로 가르쳤을 때 일부 학생들이 실수할 수도 있을법한 사례 정도로만 인식되었습니다. 기왕 새로 댓글을 남긴김에, 또 다른 이야기해보면 좋겠다 싶은 포인트가 있는데요. 약간 표현이 애매하긴 하지만 "P(k)의 상황과 P(k+1)의 상황이 연결되지 않는 경우" 는 고등학교 수학에서 등장하지 않도록 통제되고 있다는 점도 주목할만한 점으로 보입니다. 예를 들어 영상에 나온 1+2+...+n=n(n+1)/2 의 증명은 연결가능한 경우에 해당합니다. 이런 명제를 증명할땐, 축소식 사고방식이 전혀 없이 확장식 풀이를 써도 오류가 생기지 않습니다. 확장식을 썼을 때 오류가 생길 수 있는건 연결이 안되는 명제, 즉, P(k+1)의 증명 상황에서 무대 자체를 새로 세팅해야 하는 경우인 듯 합니다. 영상에 나온 tree에 관한 명제를 살펴보면, P(k+1)을 증명할 땐 vertex가 k+1인 "임의의" tree를 새롭게 세팅한 후 증명을 해야하기 때문에, vertex가 k인 tree에서부터 확장하여 무대를 만드는 것이 오류가 되는거죠. (만약 "vertex가 k인 적당한 tree에다가 하나의 점을 이어붙이는 방식으로 vertex가 k+1인 "임의의" tree를 만들 수 있다"를 먼저 증명한다면, 이것도 이야기가 달라지지만요.) 다시 요약하면, 현 교육과정에서 수학적 귀납법으로 증명하는 모든 명제는 "상황이 연결되는 경우"만 다뤄지도록 잘 통제되어 있는 듯 합니다. 때문에 학생들에게 도미노식으로 가르치더라도 이 영상에서 나온 것 같은 오류는 나오지 않게 되어있죠. 즉, 도미노식으로 가르치는 장점은 보존되고, 도미노식에서 문제가 될 수도 있는 예상되는 오류를 경험할 일은 없도록 환경이 잘 통제되어 있는 것입니다. 이렇게 환경을 안전하게 통제한 탓에, 수학과로 진학할 학생들이 새롭게 오개념을 마주하게 될 수는 있겠죠. 그러나 환경을 안전하게 통제한 덕분에, "수학적 귀납법 간단하구나! 그냥 도미노구나!" 정도로 쉽게 배우고 자신감을 가질 수 있는 학생들이 생길 수도 있습니다. 즉, 환경 통제의 단점과 장점 중에 어디에 초점을 맞출지는 견해가 다를 수 있겠지만... 저의 경우 장점이 훨씬 더 강력하다(즉, 처음엔 도미노식으로 가르쳐야 한다)고 생각하는 이유는 (1) 단점은 학문의 길로 향할 학생들에게만 적용되지만 장점은 더 많은 일반 학생들에게 적용된다는 점, (2) 학문의 길로 향할 학생들이 "어느 정도 전체적으로 이해하고, 나중에 디테일한 부분은 연습하면서 정정해나가는 것"은 흔한 공부 과정이지만, 처음부터 미스가 없도록 하려다가 많은 학생들이 "수학적 귀납법 어려워"라고 생각하게 만드는 것은 아무 이유 없는 손해로 보이는 점. (3) 실제로 수학의 길로 가지 않는 학생들 입장에서는 "P(k)와 P(k+1)이 연결되는 상황"이 평생 마주할 대부분의 상황이기도 하다는 점. 의 3가지입니다. ※ 사실 고등학생이 오개념을 가졌다가 극복하는 것이 큰일날 일이 아닌것처럼, 수학과 학부생들이 이산수학 숙제를 하다가, 저렇게 수학적 귀납법을 한번쯤 틀려보는 것도 그냥 있을 법한 일이란 생각도 듭니다. 어차피 고등학생이나 학부생이나, 아직 남이 개척한 길만 따라가는 PRO.follower라는 점에서는 거기서 거기니까요.
멍청한 애들 때문에 이해하기 쉽게 확장식으로 알려줘야 한다라.... 어차피 수학을 깊게 할 사람들과 수학과 담을 쌓을 사람은 거의 명확하게 나뉘는게 현실인데 굳이 그런 애들을 신경 써줘야 하나요? 수학은 무엇보다 본질이 중요하다고 생각합니다 선생님들 멍청한 애들을 억지로 수면으로 끌어 올리는 것보다 가능성 있는 애들을 빨리 하늘에 날 수 있도록 도우는게 전체적으로 사회발전의 기댓값이 오르지 않을까 생각합니다
제가 공부한 해석학개론 교재에서 소개된 수학적 귀납법은 확장적 논리로밖에 안 느껴지는데요, 주어진 트리 예시 같은 경우는 저도 어디에 논리적 허점이 있는지 눈치는 챘지만....글쎄요 어렵네요. 수학적 귀납법의 본질은 그냥 무언가를 셀 수 있다는 사실 그자체고...그래서 교과서에서는 원론적인 내용만 소개하는거 같습니다. 이 영상에서는 올바른 방법론적인 측면을 강조하고자 한 것 같구요. 잘 봤습니다.
설득력 있는 관점이네요. 귀납법(induction)이 사실은 절차적 관점에서는 재귀(recursion) 또는 환원(reduction)의 동의어인 것 같습니다. 귀납법을 이용한 증명의 구조를 가만히 들여다보자면 어떤 대상을 분해, 해체하여 더 작은 대상(들)으로 치환함으로써 더 작은 새끼문제(subproblem)들을 계속해서 풀어나가는 방식이니까요. 다만 도미노 비유법이 오도적이라는 데 대해서는 무언가 찝찝한 뒷맛이 남아 조금 더 고민해보았는데, 결론부터 말하자면 저는 개인적으로 이를 논리 층위 vs. 직관 층위 사이의 대립으로 해석합니다. 오직 증명에서의 논리적 순서만 고려한다면 P(1)이 P(2)를, P(2)가 P(3)를... 등등을 이끌어내는 것이 맞고 이는 도미노의 작동 방식과 정확하게 일치합니다. 그러나 우리가 어떤 문제를 막상 마주했을 때 그것에 접근하는 순서를 보면 P(n)을 증명키 위하여 더 작은 k들에 대해서 P(k)를 호출하고 이용하는 발상을 자연스레 하게 되죠. 결론적으로는 수학의 증명에서 종종 논리적 순서와 직관적 순서가 서로 배치되기 때문에 능숙하지 않은 학생들로 하여금 실수를 유발하는 것 같습니다. 흥미롭고 유익한 관점인 것과는 별개로 초등적인 교육과정에서는 도미노 비유를 고수하는 편이 낫다고 생각하는데, 이는 평균적인 학습자들의 역량을 고려했을 때 개념적 혼란을 최소화하는 가장 직관적인 이해 방식이라고 생각하기 때문입니다. 수학 또는 인접분야를 전공하는 등 오랜 기간 훈련받고 소질이 있는 사람들의 '세련된' 관점이 일반적인 학생들에게는 오히려 와 닿지 않고 기존의 개념조차 흔들리는 경우를 상당히 많이 봐서 ㅎ.ㅠ
그런데 사실 이렇게 바라보면 모든 종류의 수학적 증명이라는 게 그렇죠. 전제에서 논리적으로 '출발'하는 것이 아니라 '도착점'을 상정해놓고 그곳에 도달하기 위한 온갖 수단과 방법을 동원하는 것이니까요. 결국은 P(n) -> P(n+1)을 증명한다고 했을 때 우리 머릿속에서 일어나는 일은 P(n)에서 출발하는 대신 P(n+1)이라는 도착점에서 그곳에 가기 위한 진입로들을 찾는 것이라는 뜻이죠.
연역은 단순한 보편성에서 수많은 구체적 사실을 추론하는거라 사례와 범주가 확장되어가는 것이 일반적이고, 귀납은 정확히 그 반대로 수많은 예를 통해 큰 규칙성 하나로 축소시켜야 하는 논증이므로 말씀하신 사고 과정과 일맥상통하는 것 같습니다. 이게… 단순히 수학이란 학문뿐이 아닌 논리학이 결합되는 부분이라 학생들 입장에서 순간 헷갈릴 수 있긴 해요. 알고리즘 같은게 왜 그런 순서와 절차로 이루어지게 되는지 옛날부터 수학교재들은 충분한 설명을 제대로 못했던거 같아요. 근데 막상 이공계 대학을 진학하면 밥 먹듯이 나오는게 알고리즘이니…
저는 가우스가 찾은 방법 혼자서 7살 때 찾았어요!ㅎㅎ 그리고 각 층의 높이가 n인 계단 2개를 붙혀서 넓이를 구하는 방법으로도 스스로 찾았어요 사람들은 안 믿어주더라구요 ㅋㅋㅠㅜ 그리고 최근에는 학원에서 시그마 배웠는데 시그마 k²을 3차식에서 유도하는걸로 배웠는데 더 직관적인 방법 찾다가 시그마k² 을 각 층의 높이가 1인 사각뿔로 만들어 3개를 합쳐 n(n+1)(2n+1)/6으로 구하는 법도 혼자 증명했어요!
트리 선의 개수 증명에서 12수학님이 말씀하신 것처럼 '확장'으로 수학적 귀납법의 2,3 step을 증명하려하면 생각해야될 것이 많아집니다. 그러니 트리에서 잎사귀 하나를 빼는 식으로(이하 축소) 2,3 step을 증명하려 접근하는 게 덜 복잡하고, 고려할 것도 적고, 또 이태껏 수학적 귀납법을 사용하는 다수의 수학적 문제들에 대해서도 (축소 방식의) 논리전개로 접근하는 것이 명료했기에 12수학님이 '확장'으로 수학적귀납법의 논리전개를 하는 게 좋지 않다고 말씀하신 것이겠죠. 하지만 저는 여기서 수학적 귀납법의 '2,3 step을 증명하는 방식'과 '수학적 귀납법 자체의 논리전개'는 다른 것이라고 생각합니다. (12수학님이 수학적 귀납법의 assumption step 과 inductive step 에서의 논리를 전개하는 방식과 수학적 귀납법 자체의 논리전개 방식을 헷갈리시는 것이 아닌가 싶습니다.) 수학적 귀납법의 basis step, assumption step, inductive step 을 통한 결론 도출은 도미노 방식의 논리전개(확장)로 생각해도 문제가 없습니다. 오히려 맞는 비유라고 생각합니다. 다만 이런 확장식 전개를 반드시 '2,3 step을 증명하려는 데'에서도 적용해야 한다는 것은 아니라는 거죠. 2,3 step에서 증명해야 하는 문제들은 대게 확장 식으로 생각하려 하면 머리가 빠게(?)질려는 게 보통이거든요. 수학적 귀납법을 잘못 공부한 학생들은 수학적 귀납법의 1,2,3 step을 통한 결론도출 방식 (=확장)을 꼭 2,3 step을 증명하려는 데에서도 사용해야 한다고 생각하기에 (혹은 임의의 k에 대해서 성립해야 한다는 의미를 간과해서) 12수학님이 안타까워 하셨던 케이스가 나온 것이 아닐까 싶습니다. 자연수의 합 증명에서, 수학적 귀납법의 2,3 step은 확장하는 방식으로 생각해도 증명할 수 있으면서도 해당 논리방식인 확장이 수학적 귀납법 자체의 논리전개와 비슷한 구조를 가지고 있으니 학생들의 첫 예제로 사용한 것이 아닐까 싶습니다. 이후 부등식을 포함한 명제에 수학적 귀납법을 사용할 때 2,3 step을 똑같이 확장하는 방식으로 증명하려 한다면 골치아파진다는 것을 경험하게 되면서 2,3 step을 증명하는 방법 중에 꼭 확장 식으로만 생각하는 머시기가 있다는 것이 아닌 축소 방식도 있다는 것을, 혹은 축소 방식이 대부분의 경우에 더 자명하게 풀이된다는 것을 깨닫게 될 수 있겠죠. -(사실 외우죠?)- 영상을 보고나서 저 혼자 나름 생각해 본 것입니다만 저는 수학에 머시기(?)가 없던 사람이다 보니 위 글에 말도 안되는 내용이 포함돼 있었더라도 나쁘게(?) 생각하지 말아 주시고 저의 상념아닌 상념들을 제대로 정리하도록 도와주시면 감사하겠습니다. 어찌되었던 이 영상을 보고 수학적 귀납법을 잘하고 싶어졌거든요. 😂😂
제가 이 영상을 다른 사람들에게 소개하니까 이런 식으로 사실 논증 방향만 다르고 결과는 같은 거 아니냐(올바른 증명이 나온다면), 는 얘기가 있었는데요, 이 지적도 완전히 틀린 것은 아닙니다. 모로 가도 서울로 가면 되긴 하죠... 서울로 가는 방향이 어딘지 정확히 알고 있다면요. 귀납 단계inductive step를 기호로 쓰면 결국 P(k)로부터 P(k+1)을 얻는 것인데, P(k)을 보고 이리 저리 해서 P(k+1)을 얻는 게 앞으로 가는 논증forward reasoning이고, P(k+1)로부터 이리 저리 해서 P(k)를 사용할 수 있게 만드는 게 뒤로 가는 논증backward reasoning입니다. 어느 쪽이 "항상" 더 낫다는 보장은 없습니다만, 일반적으로는 P(k)보다 P(k+1)이 더 큰 문제이기 때문에, P(k)에서 출발하면 P(k+1)을 만들기 위해서 뭘 더 더해야 하는지 "찍어야" 하는 상황이 드물지 않은 반면, P(k+1)에서 출발하면 P(k)를 만들기 위해서 뭘 빼야 하는지 파악하면 됩니다. 더할 수 있는 가능성보다 빼는 가능성이 더 적으니까 뒤로 가는 논증이 더 빠르게 올바른 증명에 도달할 가능성이 높다고 생각할 수 있죠. 하물며 이 영상처럼 P(k+1)을 만들었다고 생각했는데 사실 아니었다는 실수는 P(k+1)을 이미 알고 있는 상황에서는 일어나기 어렵습니다. 물론 이게 앞으로 가는 논증이 전적으로 잘못된 것이고 기피해야 한다는 뜻은 아닙니다. 수학을 잠시 벗어나서 일반적인 과학에서 "귀납법"은 본래 구체적 사실로부터 보편적 사실을 추론하는 것으로, 새로운 지식을 얻기 위해 필연적으로 거쳐야 하는 과정입니다. 과학적 귀납법은 구체적 사실을 전부 나열할 수 없기 때문에 보편적 사실이 언제나 틀릴 가능성이 있는 반면, "수학적" 귀납법은 일단 증명이 되면 보편적 사실은 구체적 사실만큼이나 믿을만하다는 차이가 있을 뿐입니다. 앞으로 가는 논증은 이런 의미에서 정말로 과학적인 귀납법을 사용해서 (후보) 증명을 추출하려는 시도라고 할 수 있고, 수학적 직관의 중요한 축이라고 할 수 있겠습니다. 하지만 그것이 진정 올바른 증명인지는 결국 뒤로 가는 논증과 같은 연역적인 방법으로 설득해야만 하는 것이지요.
음~ 어쩌면 저 또한 지극히 개인적인 관점에서의 논리로 적용될 듯 합니다만... 12 math 님께서 보여주고자 하시는 내용에 대해 반박성 관점이 되지 않을까 합니다... 우선, math님께서 예시를 들기 위해 적용하신 두가지의 경우 "1.가우스의 수학적 귀납법", "2.점과 선의 연결 관계에 따른 축소 관점"을 비교 예시로 들고 있으신데요. 여기서 맹점 중 하나가 1. 가우스의 수학적 귀납법에서 주어진 전제 조건 "동일한 형태의 점 '한 가지' 혹은 물건 '한 가지'가 '하나 씩' 증가할 때의 공식화"를 통해 그 동일한 형태 혹은 물질이 "하나 씩 증가"할 때의 "전제 조건"에 대한 증명 방식일 테고요. 2. math님께서 축소의 개념을 적용하고자 하실 때의 전제 조건 "동일한 형태의 점 + 동일한 형태의 선 각기 '두 가지의 형태 혹은 물질'이 서로 '연결'될 조건 하에서의 공식화"에 대해 적용하고자 하는 "감소" 방식일 때의 논리이신 듯 하구요. math님께서 전제 조건으로 잡아 주신 경우 "점"은 "점"대로 증가 되어 있는 위치의 숫자를 찾기 위한 가우스 귀납법을 적용시키면 될테고, 임의의 위치에 해당하는 "점 - K, n"에 대한 "숫자 표현"에 대한 증명 시 K=1부터 시작하고, n번째에 해당하는 위치의 "숫자 표현"은 당연 n(n+1)/2로 적용시키고, 그 "점"과 "점" 사이에 "연결" 되어야 할 "선 - L, m"의 위치에 대한 "숫자 표현"은 L=K+1일 때부터 "점"과 "점" 사이에 "선"이 생성될 수 있다는 전제 조건(L=1 : K=2부터)으로 적용하여, "점"이 n번째 일 때의 "선"에 대한 "숫자 표현" m=n-1로 각기 분리해서 적용 시킴이 맞는 것 아닌가 합니다. 즉, 전제 조건으로 주어진 "점"과 "선"의 '두 가지' 형태가 "서로 연결되어 증가될 때"에 대해 특정한 위치에서의 "각기 다른 숫자 표현"에 대한 증명을 위해선 math님께서도 영상 초반에 언급하신 도미노식의 증명을 "점"과 "선"에 대해 각기 달리 적용시켜 특정 위치에 대한 "숫자 표현"을 잡고, 그 각기 적용시키고 있는 증명을 통합시켜 적용시키기 위해선 "도미노식 증명" + "징검다리 식 증명"으로 접근함이 맞지 않나 합니다.
추가하여 해당 예시(점 + 선의 연결 상태)에 대해 설명(?)을 덧붙이자면, 아주 긴~~~~~~~~ 비이커(서로 연결이 가능한, 서로 다른 물질을 연결시켜 줄)에 "물" 한 컵(점) 씩 층층이 부어 나갈 때 n번째 부었을 때의 층 수는 n(n+1)/2의 "숫자 표현"이 될테구요. "물"+"기름"+"물"+"기름"+.........으로 부어 나갈 때 "물"을 n번째 부었을 때 "물"에 대한 층 수는 n(n+1)/2의 "숫자 표현"이 되며, 이 때의 "기름" 층 수는 "물"의 층 수 보다 바로 한 단계 낮은 "기름" = "물"-1 번째의 "숫자 표현"이 될테구요. 해당 비이커에 담긴 총 층 수는 "물"의 층 수 + "기름"의 층 수 일거구요...
수학적 귀납법을 잘못 활용하는 확장의 예시에서는, 가설로서 참으로 가정한 것 뿐인데 뒤의 설명에선 ‘참인 조건’으로 확정을 해서 문제인 것으로 보이네요. 가설을 세우고 그 명제의 대우가 모순이 되는지를 보고 증명을 하기도 하는데, 그걸 잘못 활용하는 느낌입니다… 반대로 말씀하신 축소의 개념으로 보면, 일반화한 가설의 답을 계산한 후 원명제와 호환이 될 수 있는지 답을 맞춰보는 것으로 보이네요. 이산수학을 전공하셨다니!! 컴퓨터 프로그래밍에서도 코드의 논리를 검증하는데 확장논리에서 그치는 경우가 많죠. 내가 놓친 잘못된 케이스가 있는지 축소논리로 ‘검증’을 해야하는데 이것을 놓치는 개발자들이 많은 이유 중 하나가 이런 교육의 문제인 것으로 봐도 되겠네요.
잘못 알고 있었는데 좋은 영상 감사합니다 혹시 12math님 스도쿠같이 특정구간의 숫자의 합이 같도록 수를 배열하는 경우의수를 구하는 것과 같은 문제도 다뤄 주실 수 있을까요? 케이스를 어느정도는 좁힐수 있겠는데 좁힌 케이스중에서 하나하나 대입해봐서 맞는지 아닌지 판별하는 방법외에 다른방법이 있는지 궁금합니다
트리문제에서 결국 축소관점을 활용하라!라는 것이 k+1인 모든 상황에 대해 증명할 수 있도록 하라는 것에 불과하죠. 결론에서 증명을 시작하는 방법에 불과하다고 생각합니다. k에 대해 성립할 때 k+1에 대해서도 성립함을 보이는 증명의 한 가지 방법일 뿐이죠. k+1이 대해 성립한다는 것의 의미를 정확하게 파악해야 하는 것일 뿐, 증명의 순서가 중요하지 않죠. 축소관점은 "왜 수학적 귀납법이 연역적 증명인가"에 대해서는 오히려 직관적이지 않다는 큰 문제도 있습니다. 증명법은 그 증명법이 타당하다는 것이 중요한 거지, 실제로 어떻게 증명하는지가 중요하진 않으니까요.
감명 깊게 잘 보았습니다. n=k+1일 때의 명제 자체를 가지고 거기서 n=k일 때의 명제를 어떻게 활용할 건지가 핵심인 거네요. 그렇게 되면 임의의 자연수 n에 대한 명제를 자연수 1에 대한 명제까지 끌고 올 수 있게 되는 거군요. 수학적 귀납법의 논리 혹은 아이디어 자체는 당연히 (모든 자연수로의) 확장성이라고 생각을 했었는데, 말씀하신대로 축소 관점으로 생각할 수도 있다는 걸 알게 되었습니다. 확실히 이 관점이 증명과정에서의 논리적 오류나 비약을 범할 확률이 적겠네요. 덧붙여서, 제가 학부시절에 수학을 공부할 때 수학자들이 수학적 귀납법을 너무 모든 곳에 남용하는 것을 좋아하지 않는다고 들었습니다. 수학적 귀납법은 (당연히, 너무나) 강력한 툴이긴 하지만 아름다운 증명은 아니고, 때문에 다른 더 좋은(아름다운) 증명방법이 있다면 최대한 찾아보고 정말 어쩔 수 없을 때 써야한다, 그래서 수학적 귀납법으로만 증명된 명제들도 다른 증명법을 찾고있다. 이런 얘길 들었습니다. 제가 수학이 본업이 아니다보니 잘못 전해들었을 수도 있어서 이에 대해서도 말씀해주시면 좋을 것 같습니다.
확장과 축소 모두 [ [P(k) is true for all k = 1,2,...] [ [P(1) is true] and [If P(k) is true, then P(k+1) is true] ] ]라는 사실을 이용하고 있는 것 같은데요! (아닌가요...?) 그래서 저는 확장과 축소 모두 도미노로 비유하는 것이 나쁘지 않다고 생각합니다. 영상에서 귀납법을 도미노로 비유하는 것이 적절하지 않다고 생각하셨는데요! 축소도, [If P(k) is true, then P(k+1) is true]을 보이는데 있어서 접근방식이 확장과 다를뿐이지, 결국은 도미노로 비유 될 수 있는 것 아닐까요? (k번째 도미노가 쓰러지면 과연 그 다음 도미노가 쓰러질까?) 물론 말씀해주신 나무(수형도) 이야기에서는 P(k)가 복잡하게 생겨서 (P(k)='모든 k개의 점을 가지는 나무는 k-1개의 선을 가질까?') 실수하기 쉽고, 엄밀하게 증명하다보면 결국 축소의 방법으로 증명하게 된다는 것에 대해 동의합니다. 영상 잘 봤습니다. 구독합니다!
실제로 데이터구조 시험에서 저 트리의 엣지 개수 문제가 나와 말씀하신 틀린 풀이를 답으로 작성한적 있는 학생입니다. 근데 논리를 잘못이해해서 쓴 건 아니고.. 틀린 건 알겠는데 맞는 해법을 찾지 못해서 저거라도 쓴거에요.. 혹시 저희 교수/조교님이셨다면 이 기회를 빌어 사과말씀 드립니다 머쓱..
실제로 연구할때는 아래처럼 됩니다. K+1을 생각하는것도 어렵긴 매한가지고 천재가 아닌이상 방금 본 현상의 일반식은 모르는게 정상이니까요. 1)현상 관측 - 1+2+3....+100=5050(위인전에서 봄) 2) 시행착오와 실험의 반복 - 1,3,6,10,15,21,28..... 3) 실험 범위를 좁혀서 그럴듯한 규칙 발견 - 홀수 번째 숫자는 자기자신의 배수네? 4) 3)번 가설의 논리적 정합성 만들기 - 생각해보니까 홀수면 가운데 숫자×개수라 무조건 자기자신의 배수일수밖에 없네. 5) 아는 조건에서 검증 5050-100=4950=99×50 6) 아는 조건에서 수식화 하기 - 개수×중간값(홀수일때) 7) 예외 상황일때도 성립하는지 확인 - 개수 ×중간값이 아니라 개수× 평균이면 항상 성립하네. 8) 마치 한번에 생각난것처럼 쓰기 N=1일때 ~, N=K일때~
수학적 귀납법은 임의의 미지수를 주어진 수까지 이어서 증명하는 거라고 생각하면 되겠네요 확장논리를 가면 1과 k 혹은 n의 관계를 증명하기보다는 맞을거라고 가정하고 k, n보다 큰 수와의 관계를 증명하는 거니까 비약이다... 확실히 이렇게 보는게 귀납법이 왜 쓰이는지 한 눈에 확 보이네요
귀납적 사고는 확장인것같지만 축소에 개념을 간과하고 있었다는 깊은 뜻을 알아가네요 1에서n까지 더할때 n(n+1)/2이 된다는 공식은 연역적 방법으로 가우스의 공식유도 과정으로 확인하고 추론했지만 이것이 1+2+3+...+n+n+1는 어떤 형태가 나올것인가? 물음이 귀납적 증명의 핵심입니다. 그러나 n=k라 가정하고 참이라 할때 마찬가지로 k(k+1)/2일테고 1+2+3+...+k=k(k+1)/2 의 식에서 양변에 k+1을 더해서 (k+1)(k+2)/2의 모양새가 나오기에 n+1번까지 더하는 식도 성립할 것이라는 끼워맞추기식 전개가 나옵니다 그러나 만약 양변에 k+1을 더한다는것이 대수적으로 틀린 전개라는 어떠한 대상의 공리라 한다면 (k+1)(k+2)/2의 모양새가 나오지 않게 될것이며 결국 k+1가 확장되지 않다고 단언할수 밖에 없게 됩니다. 다행히 대수적으로 문제가없고 오류가 없기에 식이 성립해서 귀납적 증명이 참이 되는것처럼 보여지지만 귀납적 증명의 핵심은 1+2+3+...+k+(k+1)이 어떤 형태이냐이기에 단독적으로 여기 식에 k(k+1)/2+(k+1)하며 (k+1)(k+2)/2이 되는것을 확인하는게 초점입니다. 엄밀히 말하면 양변의 k+1을 더함으로 식이 맞는지 확인하는것이 귀납적 증명의 핵심이 아니라 1에서 k까지 더했기에 k(k+1)/2라는 모습이고 1에서 k+1까지 더하면 어떤 형태인가를 확인하는과정이 이 귀납적 증명의 본질적 의미라고 할수 있습니다. 양변의 k+1을 더해서 공식이 맞는지 확인하는건 양변의 정수를 식에 더한것이 대수적으로 맞아 k+1번째도 그렇기에 모든 정수에 성립한다라는 것을 확인해보고 싶다는것이 아닌 1에서 k+1까지 더했을때의 식이 어떤식으로 나오는지에 관한 접근적 시야는 빠져있습니다. 양변의 정수를 더해서 우연찮게 얻어걸려 공식을 유도하게 된 전개이고 귀납적 증명과는 다른 문제이고 본질에선 벗어난것입니다.
@@강현규-g3g 어...그게 아닙니다 정확히는 n=k일때 참이라면 이라는 가정에서 이미 여러 경우의수는 참이라 가정하는 겁니다 문제는 이 가정을 이용해 n=k+1일때도 참이라는걸 증명하는 과정인데 이를 커버하기 위해서는 n=k의 경우의 수에서 잎사귀 하나가 추가되었을 모든 경우 = n=k+1인 모든 경우 라는걸 추가로 증명해야합니다 n=k+1인 모든 경우 중에서 n=k에서 확장된게 아닌게 있으면 증명이 성립되지 않으니까요 그래서 주어를 n=k+1로 둬서 하는 풀이가 깔끔한거죠 빈틈이 생길 수가 없으니까요
좋은 영상 감사합니다! 비전공자라 자세히 모를 수도 있어서 그럴 것 같은데 궁금한 점이 있습니다. 말씀하신 수형도와 급수에 대한 예시에서는 귀납법의 확장/축소에서 논리적 타당성이 기인했다기 보다는, 임의의 대상을 설정하는 데에 있어서 문제가 생긴 것 아닌가요? 확장보다는 축소가 임의의 대상을 정의하는 데 논리적 비약을 줄여준다는 설명이신건지, 아니면 임의의 대상을 설정하는 데 있어서 확장으로 인지하는 것이 아예 잘못된 것인지 헷갈립니다. 긴 질문 읽어주셔서 감사합니다 :)
지금 생각해보니까 고등학교때 수학적귀납법을 처음배울때 개념설명은 도미노원리랑 비슷하다는 말씀을 해주셨지만 빈칸문제 해설해주실 때는 이 영상의 축소관점을 더 많이 보여주셨던것 같네요 그땐 그냥 그렇구나 넘어갔었는데 왜 그러셨는지 이제 조금 알고갑니다 결국 겉으로 보기에는 1,2,3,k처럼 단계를 밟아가는 귀납처럼 보여도 1일때 성립함(증명)과 k일때 성립함(가정) 두 전제를 활용하여 결론을 내는 연역법이 수학적귀납법 개념의 본질이라는걸까요? 감사합니다 ㅎㅎ
문과출신으로 보았을 때, 수학은 근본적으로 연역적 논리를 사용하는데 그것을 귀납적 논리로 증명하려니 "수학적 귀납법"이라는 분야가 재미있는 발상임에는 틀림이 없습니다. 그런 측면에서, 님의 주장(확장논리-연역방법-가 아니라 축소논리-귀납방법)이 더 귀납법의 정의에 더욱 맞지않나 생각해 봅니다.
잘 보았습니다. 그런데 하나 질문이 있는데 그러면 처음 학생들이 수학적 귀납법을 배울 때 적절한 예시는 어떤 것들이 있을까요? 1부터 n까지의 합의 예시가 부적절해 보여도 '난생 처음' 이런 논리를 전개해 보아야 하는 학생들에게 이보다 더 적절한 예시를 가져와 보라고 문제를 제시한다면... 저는 솔직히 생각이 잘 나지 않습니다.
k+1의 관점에서 k를 바라본다는 것이 클리어한 수학적 귀납법이지요. 즉, k+1일 때의 상황을 가정하고 k일 때 참임을 이용하여 k+1일 때 참임을 증명하는 방법이 수학적 귀납법이라는 것입니다. 그런데 박사님께서 틀리다고 하신 '도미노식 확장 논리'라는 표현은 'k가 참인 상황에서 k+1일 때 참인 것을 증명하는 것'이 아니라 'n=k일 때 참이면 n=k+1일 때도 참'이라는 뜻이 아닌가요? n=1이 참이면 n=2도 참이고, n=2가 참이면 n=3도 참이고 ... 해서 모든 자연수에 대하여 증명하고자 하는 명제가 참임을 증명하는 것이지요. 즉, 증명 과정에서의 확장 논리는 잘못된 것이 맞지만, 증명의 형식 그 자체는 n=1부터 출발해서 모든 자연수가 참임을 증명한다는 것이 '도미노식 확장 논리'가 표상하는 것 같습니다. 아무튼 매우 훌륭한 영상 감사합니다. 새로운 관점을 이해하고 가니깐요.
방향성이라는걸 생각해보지 않았는데 귀납법이 자연수 대상으로 정의되니 (transfinite 제외) k의 successor가 k+1이고 비유적으로 표현하면 물리에서 시간축처럼 방향이 한개인거로 생각하는거라 확장 축소라는 orientation자체가 의미가 없게 느껴지거든요. 결국 inductive step에선 실질적으로 k를 이용해 k+1을 해결한다인거고 이것 자체가 자연수니까요.
흠... 해당 내용에 대해 접근을 어려워 하는 학생 분들도 계실 듯하여 추가로 적고자 합니다.(어느 누구건 간혹 혹은 자주 겪게 되는 전제 오류, 출제자 오류, 풀이 조건 오류.....라 불리곤 하는...꾸벅.....) 수학적 귀납법 - "모든 자연수(동일한 형태 동일한 크기 등으로 정형화시키고 정량화시켜 놓은 숫자 개념)"가 어떤 주어진 성질을 만족시킨다는 명제를 증명하는 방법. 가우스 정리 중 영상 예시 들어주신 것 1+2+3+.....n = n(n+1)/2 의 개념 및 확장이 적용된 증명을 통해 수학적 귀납법에 대해 첫 시작을 쉽게 이해시키고자 함. 영상의 트리 구조에는 해당 수학적 귀납법이 일부만 적용됨...요... 이유는 "자연수"에 "자연수가 아닌 수"를 추가한 상태로 접근하고 계셔서... "선" = "점"의 연속된 상태, 즉 1 >>> 1+2+3+.......+m(자연수의 합) >>> 2 >>> 1+2+3+.......+m(자연수의 합) >>> 3 >>>...........>>>1+2+3+.......+m(자연수의 합) >>> n번 항 ~1칸~ ~2칸~ ~3칸~ ~4칸~ ~5칸~ .......................................................... 혹은, "점" = "자연수", "선" = "자연수가 아닌 수" 예를들어 1 >>> √2 >>> 2 >>> √2 >>> 3 >>> √2 >>>.................>>> √2 >>> n번 항 ~1칸~ ~2칸~ ~3칸~ ~4칸~ ~5칸~ ~6칸~ .............................. 여기서 "점"과 "선"이 서로 연결 되어져 갈 때 1칸(자연수의 개념이 아닌)씩 늘어나고 줄어든다는 또 다른 수학적 개념이 추가되어져 해당 풀이를 증명해 나가야 하지, 무한수, 유한수, 실수, 허수의 개념이 같이 적용 되어지고 있는 상태에 "모든 자연수"에 대한 명제 만을 다루고자 하는 "수학적 귀납법"만 적용시켜 해석하고자 하면... 그대로, 오류 나 있는 상태로 결과 및 과정까지도 통째(확장과 축소의 개념을 분리 혹은 통합 혹은 연속해서 적용하고 싶다는 것과 별개로...)로 오류의 연속과 본인 스스로의 혼동이..... 다시 한번 꾸벅....
마지막으로, 이산수학 자체가 다루고 있고 실생활에도 적용되고 있는 분야가 어마어마하게 많으며, 수학적 귀납법 또한 주어지는 전제 조건 영역들이 확대 됨에 따라 어마어마한 경우들(이산수학과 연속성수학 개념이 혼존하는)이 존재하는디, 그 경우들 내에서 그 규칙성(확장 형태로의 접근이든 축소 형태로의 접근이든)을 찾아 내는 것 부터가 머리 쥐납니다;;; 애시당초 "대다수 사람들이 생각하고 싶어하는 범위"가 "점"형태의 이산수학에서 출발하여 "선"형태 추가, "면"형태 추가, "3차원 좌표계"형태 추가, "벡터계"형태 추가, "시공간의 중첩계"형태 추가 이상에까지로 확대 적용이 가능한 범위를 점점 넘어설 경우, 워낙 방대하고 복잡한 구조 내에서 그 규칙성을 찾아내야 할 경우를 접하게 되면, 뇌차체에서 무의식 영역으로 대뜸 "포기"상태로 들어가게 만들기에..... 개인적으로 해당 분야만 몇 년 이상을 줄창 파고 들겠다는 이유가 있는 분들 혹은 "생각의 범위, 발달해 있는 뇌 피지컬" 자체가 순간적인 확장 사고력을 보유하고 있는 분들 외엔.....해서 일반적인 사람들 대다수에게 그 수학적 귀납법을 배우게 하고, 익혀서 실생활에까지 써먹을 수 있도록 범위를 축소해 놓는 상태, 딱 거기까지만 다루고자 함이 아닐런지도요;;;
윽... 마지막 글이라 하면서 적어 놓고, 추가로 생각난 점이 있어 다시 댓글 창 열었습니다........꾸벅... 수학적 귀납법의 적용 가능 범위에 대해 쫌 더 생각하다보니 나온 개인적인 이론(?), 상상(?), 망상(?)이라 치부될 수 있는 내용일 듯 하니 가볍~~~게 보셨으면 합니다..ㅎㅎ;; math님께서도 언급 주셨던 그 수학적 귀납법의 이론 속에 들어 있는 재미난 요소들이 어~~~~~~~엄청 많지만, 현실에선 극히 일부만 가르치고 배우는 정도에서 끝난다는... 이 수학적 귀납법이 적용 가능한 이론적 내용 중에 확대 적용이 가능한 부분으로 3차원 벡터계(현실 - 연속성이 공존하고 있는) 내에서 적용시킬 수 있는 점은, 많이 알려져 있는 "워프"에 대한 개념에 적용이 가능하다는...ㅎㅎ;; 다만, 이 "워프"에 대한 개념은 "수학적 귀납법의 확장"과 "연속성 수학 개념의 제거 혹은 삭제" 내에서만 다뤄질 수 있는 내용이지 않나라는 점과 아직까지 그 방법을 찾질 못하여 현실 구현 못하고 있는..... math님께서 짚어주신 수학적 귀납법의 축소에 대한 개념은 "시공간 중첩계"에서 적용이 간능한 "타임 워프"에 대한 이론적 기초 개념으로 적용이 가능할 듯 싶다는 생각이 들게 되어, 다시 한번 댓글로 남기고 싶었습니다......ㅎㅎ;
귀납가설 다섯번이나 쓰는 문제
ua-cam.com/video/sIMbG0yAdx0/v-deo.html
Disclaimer : 도미노도 맞는 비유 아니냐 라고 하시는 분들이 많은데 사실 맞는 비유입니다. 도미노로 비유한 것이 틀렸다기보다는 도미노가 잘못된 이해를 유도한다는 관점으로 봐주시면 좋겠습니다 :)
컴퓨터과학의 알고리즘 분야 중 Dynamic Programming, 동적 계획법이라는 알고리즘이 있습니다. 이 DP문제를 해결할 때 점화식을 정의하고 State = k 에서 State = k+1 인 경우로 확장시키려고 하다가 모든 경우를 감싸지 못해서 다시 생각을 다잡게 되는 경우가 많았습니다. 영상을 보고 느낌으로만 느끼던 것의 실체를 좀 알게 되었던 것 같습니다. 앞으로 문제를 해결할 때 도움이 될 것 같습니다. 좋은 영상 감사합니다.
Dp 아시는구나.
dp도 bottom-up방식과 up-down 방식이 있죠
Dp 너무 어려워요...
그래서 교과서나 이런 데 보면, DP를 그렇게 확장해 가면서 테이블을 채우는 식으로 바로 설명하는 것이 아니라, 문제에서 sub-problem, sub-structure를 발견하고, 그걸 이용하여 점화식을 이용한 재귀를 하고, pure function이니까 같은 연산을 여러번 하는 것을 memoization으로 없애고, 함수 호출 오버로드를 줄이기 위해서 테이블 채우는 순서를 확장 순서로 바꿔서 루프만으로 할 수 있는 DP를 하게 되는 식이죠. (물론 이것도 테이블을 다 채울 필요가 없는데 채우게 되는 경우가 생기지요.) 그런 이해 없이 하면 정말 저런 오류 범하기 쉽지요. 영상에서 잘못된 방식의 증명 예제를 봤을 때, "아악! 저거 아니잖아." 하는 반응이 바로 오긴 했어요. ㅋㅋ
맞습니다. 사실 귀납적이라는 워딩때문에 많이들 착각하시지만 사실 수학이란 틀 안에서는 연역일 수 밖에 없는 것이죠.. 귀납인척 하는 연역입니다...
굉장히 좋은 영상입니다!
그런데 얘기하신 축소 관점은 부등식으로 예를 들면 더 좋을 것 같아요.사실 학생들도 귀납법 등식은 곧잘 하는데 부등식 증명은 "A
정말 좋은 영상 올려주셔서 감사합니다. 수학을 굉장히 좋아하고, 직업도 아이들에게 수학을 알려주는 직업을 갖고 있음에도 수학적 귀납법의 참된 의미를 알아채지 못했다는 게 부끄럽게 느껴지는 영상이었습니다. 학부 시절 수학 공부할 때 교수님께서 수학 적 귀납법은 k+1 항에 숨어 있는 k항을 찾아내는 것이 핵심이다. 라고 설명해주셨는데 그 의미가 무엇인지 이제셔야 깨닫게 되었습니다. 학부생 시절에 이산수학은 적성에 맞지 않는다고 등한시했었는데, 이번 기회를 빌어서 다시 한 번 공부하고 싶은 의욕이 드네요. 좋은 영상 정말 감사합니다!!
요약을 굉장히 잘하시네요! b
오! 저도 '귀납'이란 말이 수렴하는 어감인데 , 수학쪽에선 이상하단 느낌이 쎘는데 이렇게 정리된걸 보니 무척 반갑네요!!
저는 예전에 철학을 배울 때, 귀납이 특수한 것에서 일반적인 것을 추론해 내는 것으로 배워서 확장하는 느낌을 받았습니다.
혹시 귀납이 수렴하는 어감이라는 건 어떤 부분에서 그렇게 느끼셨는지 알 수 있을까요??
여러가지 사례에서 한가지 일반된 것으로 정리하니까 여러가지에서 한가지로 가는 수렴하는 이미지가 떠오를 수 있죠
@@리도토-n9w
아 교집합을 찾아내는 것 같은 느낌을 말씀하시는 거군요.
이해했습니다. 감사합니다!
흥미롭네요
고딩때 수학 한가닥한 평범한 성인입니다
수학과나 수학교육과 전공은 아니지만요
논리적 비약을 찾고 수형도 문제 올바른 증명까지도 일시정지하고 스스로 했는데 이런 문제가 앞으로도 많이 나왔으면 좋겠네요
저도 제 생각에 확장논리로 하려다가 틀렸다고 인지하고 증명을 고쳤을것 같거든요
확실히 무의식적으로 확장논리로 접근하려 하는 것 같네요
앞으로 이런 문제 더 많이 주시면 감사할 것 같습니다
감사합니다
좋은 말씀 감사합니다
@@12math 여러 댓글들을 보고 느낀 것이 제목이 너무 센 것 같습니다
축소식으로 접근하는 것이 증명과정 중 오류가 날 가능성이 적고 증명도 더 간결해진다
가 주요 논제이지
제목이 말하는걸 보면 확장식으로 하는 증명은 틀렸다
로 들리거든요
사실 확장식으로도 증명할 수 있잖아요?
그 과정에서 논리적비약이 생길 가능성이 있을뿐
영상을 제대로 이해한 사람들도 이견을 내는 사람이 많은건 이게 원인이지 않을까 싶습니다
@@beraerkkk 제목 어그로는 유튜버의 덕목..
@@beraerkkk 틀릴 수도 있는 증명법을 엄밀함을 추구하는 수학자 입장에서 비선호하는 건 어찌보면 당연한 게 아닐까 싶네요 그렇게 잘못된 제목도 아닌듯
@@mainisnumber 맞말이긴한데 그냥 관점을 수학자 관점으로 보느냐 수학교육자 관점으로 보느냐의 차이일듯 합니다
또한 선호 비선호는 기호의 문제이지만 제목을 보면 확장 방식은 오답이다!!라는 식의 뉘앙스여서 쓴 댓글이였습니다
저도 영상에서 말한 내용은 이해하고 있습니다만 그냥 몇몇 반박댓글들을 읽어보며 든 생각을 적은 것입니다
일반계 고등학교 수학교사입니다. 아이들에게 꽤나 인사이트를 줄수있는 영상이라고 생각되며, 실제로 이러한 내용으로 수학교육논문을 작성해도 되지않을까?하는 생각을 하게 되었습니다.
많은 영상에서 저또한 좋은 영감을 받아가고 있습니다. 항상 좋은 영상감사드립니다.^^
n까지의 합은 그냥 가우스의 방법이 제일 멋지고 재밌는 거 같네요..^^^
그래서 더더욱 수학적 귀납법의 매력이 어필되지 못하는 예시라 수학적 귀납법을 접하는데 있어서 아쉬운 예시라고 생각하시는 거 같아요
엄상일 교수님 트윗으로 찾아 왔는데 정말 좋은 영상이었습니다. 전 대학원에서 프로그래밍 언어를 전공해서 구조적 귀납법structural induction을 엄밀하게 정의하고 밥먹듯이 사용해 왔는데, 구조적 귀납법은 확장식으로 만들면 논리 자체가 성립하지 않는 경우가 많아서 자연스럽게 축소 논리를 쓰게 되지요. 자연수에 대한 수학적 귀납법이 구조적 귀납법의 특수한 경우라는 걸 이해하면 이 영상의 내용이 당연해 보이지만 반대 방향으로 이해하기는 어려운 것 같습니다. 확장 논리는 (특히 자연수 같이 귀납 정의가 간단할 때는) 직관을 빌려 증명을 스케치하는 데는 도움이 될 지는 몰라도, 결국 진짜 증명에서는 통하지 않는다는 걸 이해하려면 자연수 말고도 다양한 귀납 정의를 접할 필요가 있다고 생각합니다.
자연수가 특구한 경우였군요, 고등학교에서 수학이 멈춘 저로선 자연수에 대한 수학적 귀납법이 근본인줄
와 진짜 맞는 말씀입니다. 동기들도 왜 이리 귀납법의 아이디어에 대해 받아들이기 어려워했는지 이제야 명확하게 정리가 되네요. 맞아요. k+1 에서 k 를 바라봐야 생각의 흐름이 깔끔해지죠. 이 사실을 친구에게 알려주려고 했는데 확장과 축소라는 직관적인 단어를 생각해내지 못해 전공책 예제를 전부 외우는 친구를 말리지 못했습니다ㅠ 어서 주변 친구들한테 이 영상을 추천해줘야겠습니다.
밥 먹으면서 반찬삼아 봤는데 너무 유익해서 놀랐습니다.
보면 볼수록 학문을 깊이있게 접근하는 것과 평균적인 학생들에게 그 내용을 가르치는 것에는 극명한 차이가 있는것 같습니다. 저도 순수화학을 전공하면서, 중고등교육에서 가르치는 개념들에 중요하지만 어려운 요소들이 빠져있는게 참 안타깝더라고요. 엄밀한 개념 대신 보편적인 교육을 선택하면서 생략된 내용들이 전공자들로 하여금 논리적 비약을 느끼게 하는게 아닐까 싶습니다.
채널소개를 이제 봤는데 동문이셨군요.. 요즘 카이에서는 수학과가 기초학문을 다루는 학과 중에선 가장 인기있습니다 ㅋㅋ 지금까지 정말 많이 배웠다고 생각했는데 이런 내용들 보면 여전히 배움에는 끝이 없네요
진짜 이건 학교에서 틀어줘야한다.... 배울때 확실히 배워야하는 기초 과정에서 꼭 한번 이상 봐야할 영상인거 같네요 ㅎㅎㅎ 이런 영상을 무료로 이렇게 볼 수 있다는게 크... 오늘도 너무 잘 봤습니다.
아쉽게도 고교 수학과정에서는 저런 깊이있는 내용이 아니라 교과서의 개념만을 이용한 문제만이 있을 뿐임
그래서 전 고등학생들 귀납법 가르칠 때 n=k+1을 먼저 대입해서 목적식을 세운 다음에 두 식을 비교하게 합니다. 보통 수학적귀납법 문제가 네모 칸 채우기로 출제되고 그 네모 칸 중 하나가 k에서 k+1로 확장하기 위한 항을 더하거나 곱하게 되있는데, 학생 입장에선 이게 엄청 뜬금없다고 느낄 수 있어서, 타겟을 먼저 쓴 뒤 비교하라고 하면 이해 잘 하더라구요
고등학교 수학교사입니다. 말씀하신 것처럼 학생들은 확장으로 진행하는 경우가 많습니다만 다행히도 저를 비롯해 선생님들이 그렇게 가르치는 것 같지는 않습니다. ^^ 저는 그게 축소논리라고 생각해본적은 없지만 항상 학생들에게 니들중 대부분은 수학적 귀납법이 어떤 논리인지 전혀 모르고 그저 방법만을 외운다고 지적하고 그래서 부등호 형태의 수학적 귀납법은 손도 못대는 거라고 얘기합니다. 그리고 증명 논리를 이해해야 자신이 어떻게 증명해야 할지 길이 보인다고 항상 말해줍니다. (수학적 귀납법이 어째서 증명방법이 되는가를.생각해 보았다면 절대로 확장논리로 접근할수가 없다고 생각합니다.) 물론 아이들은 변하지 읺습니다 ㅎㅎ 우리나라 고등학생들은 점수 말곤 수학에 관심을.가진 학생이 극소수입니다. 수학이 주는 재미라는 걸 모르지요. 오늘 영상 보면서도 그저 안타까움으로 한숨만 쉬게 되는군요. 학생들이 수학을 수학이라기보다 재미있는 논리이야기로 받아들였으면 하는.바램이 많습니다. 그 논리의 구조는 그럴수 밖에 없기 때문에 아주 단순한 풀이를 가져다줄텐데 말이죠.
제가 어릴 적 가우스 풀이를 보고 기가 차서 한참 망연자실 했던 게 기억나네요. 가우스는 수학의 신. 일반인은 절대 그 나이에 그렇게 할 수 없다라고 생각을 했었죠. 나이가 들어서는 "어떻게" 가우스가 그런 생각을 "할 수도 있었을까"를 더 많이 생각해 보게 되더라구요. 일반인도 그런 결론에 도달 할 수도 있지 않을까라는 생각을 하며 말이죠. 이건 그냥 저의 가설인데. 제가 가우스로 빙의해서 스토리를 써보면.. 가우스는 숫자들을 더할 때 순서나 조합을 어떻게 바꿔도 결과가 같다라는 걸 이미 알고 있었다고 생각합니다. 일반 초등생도 충분히 알 수도 있다고 생각합니다.. 여기서 가우스는 더하기를 이리저리 여러가지 방법으로 해보고 가지고 놀며 특별한 순서의 더하기 조합이 전체 계산을 단순화 할 수 있다는 걸 안 것 같습니다. 일반 초등생들은 누가 시키지도 않았는데 굳이 이리저리 다른 방법으로 조합을 해볼리가 잘 없다는 생각이 드네요^^. 아마도 적은 숫자를 가지고 놀았다면 (예를들어 1부터 6), 그 더하기의 조합 방법을 그리 어렵지 않게 생각해 내었을 수도 있다고 생각이 듭니다. 즉 1+6, 2+5, 3+4. 그런상태에서 선생님이 1부터 100까지의 더하기 문제를 냈다면. 1+100, 2+99,3+98, ..., 즉 101을 50번 더한 거라고 어렵지않게 생각해 낼 수도 있다고 스토리를 써봅니다. 즉 (1+n)을 (n/2)번 하게 되는 거죠. 이러한 저의 추측성 스토리에서 느끼는 건 가우스가 정말 수를 사랑하고 즐겼을 것이며 그것이 기본이 되어 많은 업적들을 쌓아나가지 않았을까 생각합니다. 천재는 즐기는 자를 못이긴다는 말이 있는데, 제가 생각하기에 가우스는 수학을 정말 즐겼다고 생각이 됩니다.
삼각형을 떠올리지 않았을까 싶네요
수학적귀납법은 간접증명법입니다. 치명적인 아이디어가 필요할 때도 있지만 종종 증명이 공허하게 느껴질 때도 있구요. 그래서 영상 말미의 인싸이트에 대한 언급이 귀납법을 고찰하게 되는 인싸이트이기도 한 것 같습니다.^^
항상 재밌는 영상 올려주셔서 감사합니다.
영상이 이상하게 빨려들어가는 매력이 있어요...
이게 아무래도 논리 규칙을 제대로 이해시키지 못하는 상태에서 가르쳐야 하다 보니 점점 열화판으로 이상해지다가 결국 완전히 엇나간 것 같다고 봅니다.
수학적 귀납법이 기본적으로는 긍정식 삼단논법에서 출발해서, p(n) -> p(n+1)이 항진임을 보이는 거고,
어떤 특정 n=k에 대해 성립한다는 사실을 직접 보이고 나서부터는 이후의 항이 삼단논법의 추이에 의해 참이 되는 거잖아요.
문제는 p->q가 항진임을 보이는 방법론 이전에, 가르치는 사람도 배우는 사람도 저게 뭔지도 모르고 할 겁니다. 가르치는 사람도 제대로 배운 적이 없는데 누굴 탓하겠습니까.
다만, 축소 관점에 한해서는 제 의견은 다릅니다.
"p(n) 이면 p(n+1)" 명제를 보이기 위해 p(n)의 성립 상태로부터 p(n+1) 성립 상태를 유도해야 하는 건 절대적이라고 보고,
영상의 예시에서는 p(n+1) 자체가 p(n+1) : 점n+1 -> 선n 이라는 조건부 명제라서 증명 방식이 고등학생 수준의 귀납법 문제에 비해 까다로워진 것이죠.
당연히 p(n+1)의 가정으로부터 결론을 이끌어야 하니까 임의 n+1점 트리를 만들고 시작하는 거고요.
진짜 의미있는 영상이네요... 앞으로도 많은 영상 부탁드립니다...
오늘도 좋은 영상 감사합니다. 영상의 내용을 보며 잠깐 생각을 해보았는데요, 예시로 들어주신 트리 문제에서 수학적 귀납법의 논리 전개 관점을 확장으로 볼 것이냐, 축소로 볼 것이냐 하는 부분에 궁금한 부분이 생겨 댓글 남깁니다. 만약 트리 문제를 확장의 개념으로 증명한다고 했을 때, node의 갯수가 k개인 tree 혹은 tree set에서 출발해서 node의 갯수가 k+1개인 임의의 tree로 확장할 수 있는 방법론이 추가 된다면 여전히 확장의 개념으로 수학적 귀납법을 이해하는게 문제 있어 보이지는 않는다는 생각이 들었습니다. 다만 트리 문제가 확장보다는 축소의 관점에서 접근 했을 때 증명의 서술을 보다 간결하게 하기 좋은 예시이기 때문에 무작정 확장의 관점으로만 귀납법을 적용해 볼것이 아니라 축소의 관점으로도 이 문제를 볼 수 있어야 한다는 생각도 동시에 들었습니다. 확장의 관점으로 접근 했을 때 문제를 정확하게 풀어내지 못하는 것은 그 풀이법의 논리적 허점을 깨닫지 못했기 때문이지 확장의 관점 자체에는 문제가 있다는 생각은 아직 잘 들지 않는데, 일반적으로 여러 연구들에서 축소 관점으로 문제를 푸는 경우가 더 많은 것인지, 그렇지 않으면 너무 확장으로만 배우고 생각하다보니 사고가 좁아져 단순히 수학적 귀납법이라는 툴을 확장으로만 생각하게 되는 경향이 있다는 말씀을 하고 싶으셨던 것인지 궁금합니다!
이전 스텝은 참이 가정이 되어 있는 것이고, 증명하는 대상은 다음스텝에 있기 때문에 주어가 다음스텝의 대상이라고 할 수 있습니다. 확장을 해서 일반적인 k+1개의 노드를 가지는 모든 tree를 다 커버할 수 있다는 사실을 별개로 증명을 한다면, 확장 논리에 오류는 없겠습니다만, 자연스럽다고 보기는 어려울 것 같습니다. 수학적 귀납법은 언제나 축소의 관점으로 쓰여야지 간결하고 명확한 증명이라 생각합니다.
우와.. 통찰력있으시네요.
@@12math 어떤 포인트인지 이해가 되었습니다. 답변 감사합니다!
이 영상 보고 dp문제 풀때 매번 찍듯이 하나만 걸려라 하고 1부터 확장했던 제 자신이 깨어진 기분이네요 ㅋㅋ 좋은 영상 감사합니다
혹시 박사생이신지요... 통찰력이 정말 뛰어나십니다. 재귀 함수 구현하다가 귀납법 검색 타고 들어왔는데 정말 퀄리티 높은 영상입니다!
고등학교에서 1에서 n까지의 합은 수학적 귀납법으로 먼저 배우는 것이 아닌, 가우스의 아이디어 방식으로 먼저 배우는 것으로 되어있고 가우스의 아이디어에 초점을 두어 가르칩니다.
1에서 n까지의 합이 귀납법의 효용성을 입증하기에 부족하다는 생각에 동의합니다. 그렇기 때문에 수학교사들은 귀납법이 무엇인지 쉬운 예시로 그것을 이용할 뿐 대신 1에서 n의 제곱이나 세제곱의 합을 구하면서 귀납법의 유용성은 따로 알려줍니다.
영상 재밌게 봤습니다만 수학교사들에 대한 변명을 좀 해봅니다.
수학적 귀납법 문제는 풀어도 이걸 왜 하는지 모르겠어서 답답했던 고삼입니다... 저도 계속 확장의 느낌으로 생각하고 있었더라고요. 마지막에 가우스의 풀이랑 비교하면서 수학적 귀납법의 유용성을 알려주신 부분도 많은 도움이 됐습니다! 감사합니다❤❤
'수형도'는 아마 일본에서 만든 단어일 건데요, 19세기 말 당시 일본 지식인층에는 번역을 한문스럽게 해야 일반 대중이 그 학문을 권위있는 학문으로 우러러봐줘서 그 학문이 배울 가치가 있는 학문임을 인정할 거라는 믿음이 있었습니다.
수식으로 배울 때 k, k+1에만 집착해서 큰 틀을 못 짜는 학생들이 많더군요. 축소 관점에 대한 좋은 예시를 잘 배우고 갑니다.
학부다닐 때 교수님께서 '임의의 ~에 대해 성립하므로' 를 쓰지 않았을 때 0점을 주셨던 기억이 나네요. 그땐 '마지막 한 줄은 무조건 써야한다'만 생각했었어요 ㅎㅎ
너무 흥미롭고 좋은 내용이네요 잘 봤어욥 감사합니당 ㅎㅅㅎ
생각하고 계신부분이 잘 보입니다.
좋은 설명 감사합니다.
프로그래머의 시각으로는 재귀함수 만드는 논리같군요 재밌습니다
축소 논리로 증명해야 한다는건 동의하지만 도미노로 설명하는것이 적합하지 않다는 것에 대해서는 저는 조금 동의하지 못하겠습니다. ㅎㅎ 물론 다 맞는 말씀인데 도미노로 설명하는게 본질을 훼손하지는 않는다고 생각해요. 축소를 하는 이유는 증명의 연결 고리를 만들기 위해 k+1에서 k로 축소하는게 아닌가 생각했습니다. 뭐 관점의 차이겠죠. ^^
수험생시절부터 학부시절까지 본능적으로 저렇게 하는 게 맞다고 느꼈는데 속 시원하게 긁어주시니 정말 명쾌하네요! 좋은 설명 배우고 싶습니다!
비전공자로 입시수학만 가르쳤는데 수학적귀납법 좀 어려운형태는 거꾸로 간다고 나름 정리해서 가르친적이 있었는데 깊은 의미가 있었네요. 영상 감사합니다.
수학적귀납법을 시그마 공식 증명으로 보이는 것은 k^2부터의 시그마 공식 증명이 고등학생에게는 꽤 힘든 수학적 조작을 해야 되는 부분이 있는 것 때문이라 봐요. 잘 아는 사람 입장에서야, 그거 곱셈 공식 알면 할 수 있는거 아니냐고 말할 수 있지만, 수학적귀납법은 확실한 지름길이 되지요.
특정한 지식 없이 어려웠던 과제를 새로 배운 수학적 개념을 통해 해결하도록 하는 것은, 수학을 전공하려는 계획이 없는 평범한 학생들에게도 적용될 수 있는 좋은 교수법입니다.
이에 유투브 본 동영상에서 언급하신 부분까지 학교 교실에서 무리하여 가르치려 하기 보다, divide and conquer이나 dynamic programing 같은것을 학부 과정에서 학습하면서 자연스레 깨닫게 하는 것이 적당하지 않을까 생각합니다.
학부 선형대수학 강의를 보면 참 재미없는 교육을 하잖아요? 다른 해석학같은 과목처럼 초등학교에서 올라오는 근본있는 질문은 하나도 없고, 형식적인 것만 가르치고. 나중에 선형대수학을 쓰게 되는 수준이 되면 이해하게 되지요. 수많은 학문 분야에서 사용하는 선형대수학을 다 집어넣으면, 선형대수학만 4년 배워야 하겠구나. 그냥 기본만 가르친 거구나.
그 학문 분야를 전공하였으나, 교육에 대한 고찰이 없는 사람들이 제시하는 '특정한 교육 방침이 이론적으로 가치가 있다'와 같은 식의 교육법은, 이미 70년 전에 실패한 바 있고, 그것이 왜 실패하였는지 이공계 교육을 전공하면 기본적으로 배우게 됩니다. (Why Johnny Can't Add , Morris Kline, 1973) 지금도 초중고등학교 학생 대상 교육 경험이 없으신 교수님들 보면, 왜 중학교에서 소인수분해를 왜 가르칠까? 유클리드 호제법이 더 insight가 있고, 좋지 않냐? 이런 말씀을 하십니다. 그러나 학교 교육은 철학자 군주 양성을 위해 우수한 인재를 선별하는 platon주의식 교육이 아니라, 민주사회 시민 양성을 위한 교육임을 이해해야 합니다.
영상 잘 보았습니다. 크게 감명받았습니다. 실제로 많은 고등학교 교과서나 참고서 문제집이 저런식으로 P(k) 문장에 양변에 무엇인가를 더하거나 곱하는 이런 작용을 통해서 P(k+1) 문장으로 전개해 나가는 형식으로 서술되어 있는 경우가 많은데 굉장히 잘못된 서술이라고 생각합니다. 멀리 볼 필요 없이 부등식 형태의 수학적 귀납법 문제를 학생들이 해결할 때 p(k)문장을 건드려서 p(k+1) 문장 형태를 구하려고 시도를 하는 학생들이 많은데 논리적으로도 불가능하고 부등식 사이에는 등식과 다르게 실수의 성질을 이용해서 증명해야 하는 구간이 있어서 학생들에게 수학적 귀납법을 증명하는 구조에 있어서는 반드시 12마쓰님의 설명처럼 p(k+1)의 형태를 먼저 설정하고 그것을 어떻게 증명을 하도록 해야하는지 고민하는 연습을 하는것이 가장 중요하다고 생각합니다.
미쳤다....처음 알았습니다 진짜.... 배움의 감동이 오는중
강의에서 언급한 '엉터리'로 여겼던 부분들을 통해 수학적 귀납법에 대한 오해를 바로잡을 수 있었습니다. 강의자가 실제로 간단한 예시를 들어가며 귀납법의 원리를 잘 보여주셨고, 이제는 더 확신을 갖고 귀납법을 사용할 수 있을 것 같아요. 좋은 강의였습니다! 감사합니다.
수형도를 그냥 나무라고 하기엔 웃기고 나무 모양 그림이라 하기엔 길어서 수형도를 사용하는 게 최선인 것 같습니다.
+웃기다는 표현이 말 그대로 웃기다는 것도 있지만 실제 뜻은 나무 모양 그림인데 그걸 나무 한 단어로 축약하기엔 턱없이 부족하고, 이미 식물 나무의 뜻도 있고, 그래프 이론의 트리의 직역과도 겹쳐서 비유라면 몰라도 용어로써 의미를 가질 수 없다는 겁니다.
나무라는 단어가 웃긴 건 처음에 익숙하지 않아서 그렇지 않을까요? 좀 웃겨도 좋을 것 같기도 하고요 :)
물리학에서도 비슷한 시도가 있었습니다. 예전에 학부시절에 electric field(전기장)을 '전기마당'이라고 쓴 책을 본 적이 있습니다. 그리고 이후로 그런 책은 다시 볼 수 없었습니다. 문제는 대부분의 한자용어는 일본식을 그대로 가져온 경우가 많다는 데 있습니다. 그리고 그걸 그대로 다시 한글로 번역하니 문제가 생기는 것 같습니다. 물리에서 말하는 field를 한자로 '마당 장'을 쓰긴 하지만 여기서의 field는 '마당'의 의미는 아니거든요. 물론 tree graph와 수형도는 거의 비슷하기 때문에 제 예시랑은 관련이 없긴 합니다만, 제 요지는 무조건 한글로 번역한다고 더 좋은 것은 아니며, 만약 번역을 하려면 일본식 단어를 보고(전기장, 수형도) 번역하지 말고 original 용어를 보고(electric field, tree graph) 적절히 한국 독자적으로 번역을 하는 것이 합당해보입니다.
@@12math 웃긴 것도 그렇지만, 나무라는 말이 홀로 '나무 모양 그림'을 축약해서 표현할 수 있을까 싶네요. 트리라는 개념 자체랑 겹치기도 하고요. 얼핏 비유적 표현으로 들리기도 하고, 트리라는 개념을 모르는 사람이 수형도를 나무라고 하는 것을 봤을 때, 이해할 수 있을 지 의문입니다.
@@bluehigh_ 얼핏 이해가 안되지만 곰곰히 생각해 보면 전기장은 결국 전기가 영향을 미치는 공간이니 우리집 앞마당 같이 누군가 영향을 미치는 공간을 표현하는 말로써의 마당의 쓰임을 생각해 보면 전기마당은 적절한 번역이라 생각합니다. 다만 ~장이란 표현에 이미 익숙해져 뭔진 모르겠는데 느낌은 알겠는 그 표현에 비해 이쪽은 곰곰히 생각해본 후에야 그 뜻을 알 수 있는 상황인 거죠.
제 생각엔 일본의 노벨상 수상자 다수 배출이 질 높은 과학 용어 번역이란 말이 있을 정도로 어차피 일본의 번역은 웬만해선 정확하고 적절하니 본래의 뜻을 생각하되 일본어 번역에서 힌트를 얻어도 좋을 것 같습니다.
@@deleted_user_7392 전기장, 자기장, 중력장 등에 쓰이는 장(field)은 마당과 같이 어떤 공간/영역의 의미가 아닙니다. 수학에서 vector field라는 것에 해당하는 field입니다. 여기서의 field란 일상 용어의 field와는 아예 다른 의미입니다. 전 공간의 각 점에 벡터를 하나씩 부여하는 것입니다. 따라서 '장'이라는 한자에 제가 아는 '마당'이라는 의미 외에 다른 의미가 있지 않은 이상은 'field'를 '장'으로 번역한 것은 일상용어로 착각하여 직역한 명백한 오역입니다. 비슷한 대표적인 예로 rational number(유리수), irrational number(무리수) 가 있습니다. 이것 역시 일본에서 번역한 것인데 rational을 원래 의미인 '분수(비율)의'이 아닌 '이성적인'으로 번역하여 유'리'수가 된 것입니다. 일본에 노벨상 수상자가 많이 있고, 영어의 일본어 자체 번역이 우수하다고 하여 모든 사례가 그런 것은 아닙니다.
다만, 어떤 의미로 말씀하신 것인지는 알겠습니다. 제가 든 예시와는 반대로 우수한 번역 예시도 있으니 적당히 참고하는 정도는 괜찮은 것 같습니다.
제가 이것이 수학적으로 얼마나 엄밀한지 어떤 의미가 있는지는 잘 알지 못하지만 이러한 관점을 제시하고 알려주신 것 자체에 감사드립니다
수능 기출 수열 빈칸문제 보면 이런 접근방식으로 풀게 하는데 아무래도 관점이 생소하다보니 어려운 유형으로 꼽히는 듯
1개의 유리수는 유리수고 여기에 하나를 더해도 유리수도 이 유리수에 다시 유리수를 더해도 유리수 이다 pi는 3.141592...로 무한히 유리수를 더한값이므로 유리수다에서 그냥 무한히 더하면 아니다로 결론짓고 말았었는데 확장의 개념이 아니라는 생각을 하게 되면 명확해지네요
와 이거 생각지도 못했네요... 이렇게 받아들일 수도 있네요
영상을 보면서 개인적으로 든 생각을 적어봅니다:)
확장식으로 가르치는 것과 축소식으로 가르치는 것은 각각 수학적 귀납법의 다른 측면을 강조하는 듯 합니다.
확장식으로 가르치는 것은, 어떻게 "모든 자연수 n에 대하여 명제 P(n)이 성립한다"는 결과가 얻어지는지에 대한 큰 틀을 이해하는 쪽에 강점이 있는 듯 합니다 .
반면 축소식으로 가르치는 것은, 실제 증명 과정이 어떻게 이뤄지는지를 이해하는 데에 강점이 있는 듯 하구요.
아마 축소식으로 가르칠 때의 특징은 다음의 2가지로 요약될 듯 합니다.
① 영상에서 다룬 것과 같은 증명 상황에서, 확장식으로 가르쳤을 때에 비해서 오류가 발생할 가능성이 낮아질 것으로 기대된다는 점
② 실전에서 명제를 증명할 때 더 자연스럽게 적용가능할 것으로 기대된다는 점 (여기서 "실전"이라 함은 현 수능에서 출제되는 빈칸 채우기 문제를 푸는 것을 뜻하는게 아니라, 본인이 수학적 귀납법을 통해 실제로 어떤 명제의 증명을 써내려가려고 시도할 때를 의미하는 것. 실전에서는 k스텝에서부터 출발하여 k+1스텝으로 끼워맞추는 것보다, k+1스텝을 분해하여 k스텝 부분을 찾아내는 방식이 자연스럽기 때문.)
그러나 저는 수학적 귀납법의 첫 학습은 확장식으로 배우는 것이 좋다고 생각합니다.
제가 생각하는 이유는 다음과 같습니다.
(1) 대부분의 학생들에게 "어떤 식으로 모든 자연수 n에 대해 P(n)이 성립한다는 것을 보일 수 있는지"의 큰 틀을 이해하는 것은, 개념 자체의 불편감을 빠르게 해소하여 친숙하게 만드는 데에 큰 도움을 주기 때문입니다. 특히 수학의 흥미가 낮은 많은 학생들에게는 이것이 실제 증명 과정을 정확하게 이해하는 것보다도 중요할 수 있다고 생각합니다.
(2) 경우에 따라선, 처음부터 완벽하게 가르치려는 노력이 학습에 반드시 도움이 되지는 않을 수도 있다고 생각하기 때문입니다.
적어도 기초적인 수준의 학습 과정에서는, 오류를 다양하게 범하고 수정하는 경험이 성장에 중요하다는 것도 맞다고 보기 때문입니다.
(미숙한 시절에 쌓인 오류 경험이, 궁극적으로 수학의 최전선에서는 스스로를 보호하는 힘이 되어줄 것이라 생각합니다.)
(3) 확장식과 축소식이 배타적 개념은 아니기 때문입니다.
더구나 확장식 개념이 자체적으로 오개념을 내포하고 있거나 한 것도 아니니까요.
제가 보기엔 처음에 확장식 이미지를 형성하고, 나중에 증명 경험을 통해 축소식 이미지를 갖추는 것이 자연스러운 흐름인 듯 합니다.
그래서 처음부터 축소식 이미지를 강조하는 것은 부자연스럽지 않나 싶은 생각도 듭니다.
일리있는 말씀입니다. 개인적인 경험으로 인해 제가 지나치게 편향되어 있을 수도 있습니다.
교육학적으로 전적으로 공감하는 댓글입니다
저도 이 영상을 보고도 일반학생들을 두고 교육한다면 확장식으로 가르칠 듯 합니다
수학영재들을 교육한다면 축소식으로 가르치겠지만요
지금 댓글창에도 이해를 못하거나 잘못 이해한 댓글이 많은만큼 보편적 학생들을 두고서 축소식으로 가르치진 않을 것 같습니다
다른 분이 댓글 남겨주신 것을 읽다보니, 사실 확장식/축소식이라는 말 자체가 조금 애매하다는 느낌이 들긴 하네요.^^;
(앗, 다른 분이 남기신 댓글은 제가 이걸 작성하는 도중에 삭제됐네요.)
처음에 좀 잡담하는 느낌으로 가볍게 쓴 내용이다 보니 내용이 어설펐는데,
정말로 진지하게 이 건에 대해 논의하려면 확장식/축소식의 의미가 뭔지를 명확히 해야 할 것 같기는 합니다.
참고로 제가 위의 내용을 쓸 때에는
"어떤 식으로 모든 자연수 n에 대해 P(n)이 성립한다는 것이 보여지는지"
를 도미노로 비유하여 설명하는 방식 자체를 확장식이라고 부른 듯 합니다.
근데 이제부터 이건 도미노식이라고 불러서 구분하는게 더 나을 것 같습니다.
그래서 제가 아까 댓글을 달 때에는, 영상에 오류 풀이로 나온 방식, 즉
"P(k)에서의 상황을 그대로 유지한 채 P(k+1)의 상황으로 연결하여 증명하는 것"
(이제부턴 확장식이라는 용어는 이걸 가리키는 것으로 부르면 될 것 같습니다.)
은 도미노식으로 가르쳤을 때 일부 학생들이 실수할 수도 있을법한 사례 정도로만 인식되었습니다.
기왕 새로 댓글을 남긴김에, 또 다른 이야기해보면 좋겠다 싶은 포인트가 있는데요.
약간 표현이 애매하긴 하지만
"P(k)의 상황과 P(k+1)의 상황이 연결되지 않는 경우"
는 고등학교 수학에서 등장하지 않도록 통제되고 있다는 점도 주목할만한 점으로 보입니다.
예를 들어 영상에 나온 1+2+...+n=n(n+1)/2 의 증명은 연결가능한 경우에 해당합니다.
이런 명제를 증명할땐, 축소식 사고방식이 전혀 없이 확장식 풀이를 써도 오류가 생기지 않습니다.
확장식을 썼을 때 오류가 생길 수 있는건 연결이 안되는 명제, 즉, P(k+1)의 증명 상황에서 무대 자체를 새로 세팅해야 하는 경우인 듯 합니다.
영상에 나온 tree에 관한 명제를 살펴보면, P(k+1)을 증명할 땐 vertex가 k+1인 "임의의" tree를 새롭게 세팅한 후 증명을 해야하기 때문에, vertex가 k인 tree에서부터 확장하여 무대를 만드는 것이 오류가 되는거죠.
(만약 "vertex가 k인 적당한 tree에다가 하나의 점을 이어붙이는 방식으로 vertex가 k+1인 "임의의" tree를 만들 수 있다"를 먼저 증명한다면, 이것도 이야기가 달라지지만요.)
다시 요약하면, 현 교육과정에서 수학적 귀납법으로 증명하는 모든 명제는 "상황이 연결되는 경우"만 다뤄지도록 잘 통제되어 있는 듯 합니다.
때문에 학생들에게 도미노식으로 가르치더라도 이 영상에서 나온 것 같은 오류는 나오지 않게 되어있죠.
즉, 도미노식으로 가르치는 장점은 보존되고, 도미노식에서 문제가 될 수도 있는 예상되는 오류를 경험할 일은 없도록 환경이 잘 통제되어 있는 것입니다.
이렇게 환경을 안전하게 통제한 탓에, 수학과로 진학할 학생들이 새롭게 오개념을 마주하게 될 수는 있겠죠.
그러나 환경을 안전하게 통제한 덕분에, "수학적 귀납법 간단하구나! 그냥 도미노구나!" 정도로 쉽게 배우고 자신감을 가질 수 있는 학생들이 생길 수도 있습니다.
즉, 환경 통제의 단점과 장점 중에 어디에 초점을 맞출지는 견해가 다를 수 있겠지만...
저의 경우 장점이 훨씬 더 강력하다(즉, 처음엔 도미노식으로 가르쳐야 한다)고 생각하는 이유는
(1) 단점은 학문의 길로 향할 학생들에게만 적용되지만 장점은 더 많은 일반 학생들에게 적용된다는 점,
(2) 학문의 길로 향할 학생들이 "어느 정도 전체적으로 이해하고, 나중에 디테일한 부분은 연습하면서 정정해나가는 것"은 흔한 공부 과정이지만,
처음부터 미스가 없도록 하려다가 많은 학생들이 "수학적 귀납법 어려워"라고 생각하게 만드는 것은 아무 이유 없는 손해로 보이는 점.
(3) 실제로 수학의 길로 가지 않는 학생들 입장에서는 "P(k)와 P(k+1)이 연결되는 상황"이 평생 마주할 대부분의 상황이기도 하다는 점.
의 3가지입니다.
※ 사실 고등학생이 오개념을 가졌다가 극복하는 것이 큰일날 일이 아닌것처럼,
수학과 학부생들이 이산수학 숙제를 하다가, 저렇게 수학적 귀납법을 한번쯤 틀려보는 것도 그냥 있을 법한 일이란 생각도 듭니다.
어차피 고등학생이나 학부생이나, 아직 남이 개척한 길만 따라가는 PRO.follower라는 점에서는 거기서 거기니까요.
멍청한 애들 때문에 이해하기 쉽게 확장식으로 알려줘야 한다라....
어차피 수학을 깊게 할 사람들과 수학과 담을 쌓을 사람은 거의 명확하게 나뉘는게 현실인데 굳이 그런 애들을 신경 써줘야 하나요?
수학은 무엇보다 본질이 중요하다고 생각합니다 선생님들
멍청한 애들을 억지로 수면으로 끌어 올리는 것보다 가능성 있는 애들을 빨리 하늘에 날 수 있도록 도우는게 전체적으로 사회발전의 기댓값이 오르지 않을까 생각합니다
그냥 확장으로 개념을 알려주고 증명할 때는 축소식으로 하는 게 편하다고 일러 주면 되지 않을까요
제가 공부한 해석학개론 교재에서 소개된 수학적 귀납법은 확장적 논리로밖에 안 느껴지는데요, 주어진 트리 예시 같은 경우는 저도 어디에 논리적 허점이 있는지 눈치는 챘지만....글쎄요 어렵네요. 수학적 귀납법의 본질은 그냥 무언가를 셀 수 있다는 사실 그자체고...그래서 교과서에서는 원론적인 내용만 소개하는거 같습니다. 이 영상에서는 올바른 방법론적인 측면을 강조하고자 한 것 같구요. 잘 봤습니다.
어떤 증명은 가끔 비약적으로 느껴지는 것에 이런 배경이 있군요
진짜 깨달음을 얻고 갑니다
설득력 있는 관점이네요. 귀납법(induction)이 사실은 절차적 관점에서는 재귀(recursion) 또는 환원(reduction)의 동의어인 것 같습니다. 귀납법을 이용한 증명의 구조를 가만히 들여다보자면 어떤 대상을 분해, 해체하여 더 작은 대상(들)으로 치환함으로써 더 작은 새끼문제(subproblem)들을 계속해서 풀어나가는 방식이니까요. 다만 도미노 비유법이 오도적이라는 데 대해서는 무언가 찝찝한 뒷맛이 남아 조금 더 고민해보았는데, 결론부터 말하자면 저는 개인적으로 이를 논리 층위 vs. 직관 층위 사이의 대립으로 해석합니다. 오직 증명에서의 논리적 순서만 고려한다면 P(1)이 P(2)를, P(2)가 P(3)를... 등등을 이끌어내는 것이 맞고 이는 도미노의 작동 방식과 정확하게 일치합니다. 그러나 우리가 어떤 문제를 막상 마주했을 때 그것에 접근하는 순서를 보면 P(n)을 증명키 위하여 더 작은 k들에 대해서 P(k)를 호출하고 이용하는 발상을 자연스레 하게 되죠. 결론적으로는 수학의 증명에서 종종 논리적 순서와 직관적 순서가 서로 배치되기 때문에 능숙하지 않은 학생들로 하여금 실수를 유발하는 것 같습니다.
흥미롭고 유익한 관점인 것과는 별개로 초등적인 교육과정에서는 도미노 비유를 고수하는 편이 낫다고 생각하는데, 이는 평균적인 학습자들의 역량을 고려했을 때 개념적 혼란을 최소화하는 가장 직관적인 이해 방식이라고 생각하기 때문입니다. 수학 또는 인접분야를 전공하는 등 오랜 기간 훈련받고 소질이 있는 사람들의 '세련된' 관점이 일반적인 학생들에게는 오히려 와 닿지 않고 기존의 개념조차 흔들리는 경우를 상당히 많이 봐서 ㅎ.ㅠ
그런데 사실 이렇게 바라보면 모든 종류의 수학적 증명이라는 게 그렇죠. 전제에서 논리적으로 '출발'하는 것이 아니라 '도착점'을 상정해놓고 그곳에 도달하기 위한 온갖 수단과 방법을 동원하는 것이니까요. 결국은 P(n) -> P(n+1)을 증명한다고 했을 때 우리 머릿속에서 일어나는 일은 P(n)에서 출발하는 대신 P(n+1)이라는 도착점에서 그곳에 가기 위한 진입로들을 찾는 것이라는 뜻이죠.
자료구조 공부할때 귀납법으로 증명하면서 찜찜했던 부분이 해결됬네요 감사합니다.
학교에서 수학적 귀납법의 예시로 자연수의 합을 배우는 것은
아마도 수열 단원의 내용의 연장선이라서 그런 것 같습니다.
수학적 귀납법을 수열 단원에서 배우니까요.
수학적 귀납법의 다른 관점을 알려주셔서 감사합니다.
연역은 단순한 보편성에서 수많은 구체적 사실을 추론하는거라 사례와 범주가 확장되어가는 것이 일반적이고,
귀납은 정확히 그 반대로 수많은 예를 통해 큰 규칙성 하나로 축소시켜야 하는 논증이므로 말씀하신 사고 과정과 일맥상통하는 것 같습니다.
이게… 단순히 수학이란 학문뿐이 아닌 논리학이 결합되는 부분이라 학생들 입장에서 순간 헷갈릴 수 있긴 해요. 알고리즘 같은게 왜 그런 순서와 절차로 이루어지게 되는지 옛날부터 수학교재들은 충분한 설명을 제대로 못했던거 같아요. 근데 막상 이공계 대학을 진학하면 밥 먹듯이 나오는게 알고리즘이니…
히야.... 어렵네요. 심오합니다....
아직 트리 문제에 대한 확장적 관점이 논리적으로 어디가 잘못인지 분명하게 이해는 못했지만,
일단, 좋은 강의 감사드리고, 여러 차례 보면서 생각 좀 해봐야겠네요.
흥미롭군요… 저는 해외 고등학교 과정을 가르치는 일을 하는데 그쪽에선 본문의 축소 관점으로 서술하고, 그렇게 문제를 푸는것이 정석입니다. 한국에서는 확장?의 개념으로 하는 경우가 많군요
저는 가우스가 찾은 방법 혼자서 7살 때 찾았어요!ㅎㅎ
그리고 각 층의 높이가 n인 계단 2개를 붙혀서 넓이를 구하는 방법으로도 스스로 찾았어요
사람들은 안 믿어주더라구요 ㅋㅋㅠㅜ
그리고 최근에는 학원에서 시그마 배웠는데 시그마 k²을 3차식에서 유도하는걸로 배웠는데 더 직관적인 방법 찾다가 시그마k² 을 각 층의 높이가 1인 사각뿔로 만들어 3개를 합쳐 n(n+1)(2n+1)/6으로 구하는 법도 혼자 증명했어요!
대단해요!!
@@emiliofermi9994 고맙습니다!!
지금은 4차원 도형을 가정해서 시그마k³ 해보고있어요
궁금해서 그런데 시그마k^2을 사각뿔로 어떻게 증명을 하나요?
1*1*1
1*2*2
1*3*3
...
이 직육면체들을 한쪽 구석을 기준으로 계속 쌓으면 뿔형태가 돼요
그리고 최근에는 (부피)-(면적)이 계차랑 같다, 차원축 증가에따른 계차 증가, 이 새로운 두가지 방벙으로 k³증명했어요
지ㅁ꺽없던 방법 같더라고요
@@노문현 맨 밑에가 1*n*n이고 맨 위가 1*1*1 인 정사각뿔 이라는 거네요 그 다음엔요?
밑의 한 모서리가 n이고 높이가 n인 정사각뿔의 부피는 단순히 n^3/3 아닌가요? 어떻게 n(n+1)(2n+1)/6 이 되는지 자세하게 설명해주시면 감사하겠습니다.
트리 선의 개수 증명에서 12수학님이 말씀하신 것처럼 '확장'으로 수학적 귀납법의 2,3 step을 증명하려하면 생각해야될 것이 많아집니다. 그러니 트리에서 잎사귀 하나를 빼는 식으로(이하 축소) 2,3 step을 증명하려 접근하는 게 덜 복잡하고, 고려할 것도 적고, 또 이태껏 수학적 귀납법을 사용하는 다수의 수학적 문제들에 대해서도 (축소 방식의) 논리전개로 접근하는 것이 명료했기에 12수학님이 '확장'으로 수학적귀납법의 논리전개를 하는 게 좋지 않다고 말씀하신 것이겠죠.
하지만 저는 여기서 수학적 귀납법의 '2,3 step을 증명하는 방식'과 '수학적 귀납법 자체의 논리전개'는 다른 것이라고 생각합니다. (12수학님이 수학적 귀납법의 assumption step 과 inductive step 에서의 논리를 전개하는 방식과 수학적 귀납법 자체의 논리전개 방식을 헷갈리시는 것이 아닌가 싶습니다.)
수학적 귀납법의 basis step, assumption step, inductive step 을 통한 결론 도출은 도미노 방식의 논리전개(확장)로 생각해도 문제가 없습니다. 오히려 맞는 비유라고 생각합니다. 다만 이런 확장식 전개를 반드시 '2,3 step을 증명하려는 데'에서도 적용해야 한다는 것은 아니라는 거죠. 2,3 step에서 증명해야 하는 문제들은 대게 확장 식으로 생각하려 하면 머리가 빠게(?)질려는 게 보통이거든요.
수학적 귀납법을 잘못 공부한 학생들은 수학적 귀납법의 1,2,3 step을 통한 결론도출 방식 (=확장)을 꼭 2,3 step을 증명하려는 데에서도 사용해야 한다고 생각하기에 (혹은 임의의 k에 대해서 성립해야 한다는 의미를 간과해서) 12수학님이 안타까워 하셨던 케이스가 나온 것이 아닐까 싶습니다.
자연수의 합 증명에서, 수학적 귀납법의 2,3 step은 확장하는 방식으로 생각해도 증명할 수 있으면서도 해당 논리방식인 확장이 수학적 귀납법 자체의 논리전개와 비슷한 구조를 가지고 있으니 학생들의 첫 예제로 사용한 것이 아닐까 싶습니다. 이후 부등식을 포함한 명제에 수학적 귀납법을 사용할 때 2,3 step을 똑같이 확장하는 방식으로 증명하려 한다면 골치아파진다는 것을 경험하게 되면서 2,3 step을 증명하는 방법 중에 꼭 확장 식으로만 생각하는 머시기가 있다는 것이 아닌 축소 방식도 있다는 것을, 혹은 축소 방식이 대부분의 경우에 더 자명하게 풀이된다는 것을 깨닫게 될 수 있겠죠. -(사실 외우죠?)-
영상을 보고나서 저 혼자 나름 생각해 본 것입니다만 저는 수학에 머시기(?)가 없던 사람이다 보니 위 글에 말도 안되는 내용이 포함돼 있었더라도 나쁘게(?) 생각하지 말아 주시고 저의 상념아닌 상념들을 제대로 정리하도록 도와주시면 감사하겠습니다. 어찌되었던 이 영상을 보고 수학적 귀납법을 잘하고 싶어졌거든요. 😂😂
저도 이런 의문이 들었는데 같은 생각을 하신 분이 계셨군요
문제가 k 참 빈칸빈칸 k+1 이 참
이게 국롤이라 k->k+1 논리가 느낌이 강한데 두개가 굳이 이어질 필요가 없는거 인지하면 되는거 아닌가
제가 이 영상을 다른 사람들에게 소개하니까 이런 식으로 사실 논증 방향만 다르고 결과는 같은 거 아니냐(올바른 증명이 나온다면), 는 얘기가 있었는데요, 이 지적도 완전히 틀린 것은 아닙니다. 모로 가도 서울로 가면 되긴 하죠... 서울로 가는 방향이 어딘지 정확히 알고 있다면요.
귀납 단계inductive step를 기호로 쓰면 결국 P(k)로부터 P(k+1)을 얻는 것인데, P(k)을 보고 이리 저리 해서 P(k+1)을 얻는 게 앞으로 가는 논증forward reasoning이고, P(k+1)로부터 이리 저리 해서 P(k)를 사용할 수 있게 만드는 게 뒤로 가는 논증backward reasoning입니다. 어느 쪽이 "항상" 더 낫다는 보장은 없습니다만, 일반적으로는 P(k)보다 P(k+1)이 더 큰 문제이기 때문에, P(k)에서 출발하면 P(k+1)을 만들기 위해서 뭘 더 더해야 하는지 "찍어야" 하는 상황이 드물지 않은 반면, P(k+1)에서 출발하면 P(k)를 만들기 위해서 뭘 빼야 하는지 파악하면 됩니다. 더할 수 있는 가능성보다 빼는 가능성이 더 적으니까 뒤로 가는 논증이 더 빠르게 올바른 증명에 도달할 가능성이 높다고 생각할 수 있죠. 하물며 이 영상처럼 P(k+1)을 만들었다고 생각했는데 사실 아니었다는 실수는 P(k+1)을 이미 알고 있는 상황에서는 일어나기 어렵습니다.
물론 이게 앞으로 가는 논증이 전적으로 잘못된 것이고 기피해야 한다는 뜻은 아닙니다. 수학을 잠시 벗어나서 일반적인 과학에서 "귀납법"은 본래 구체적 사실로부터 보편적 사실을 추론하는 것으로, 새로운 지식을 얻기 위해 필연적으로 거쳐야 하는 과정입니다. 과학적 귀납법은 구체적 사실을 전부 나열할 수 없기 때문에 보편적 사실이 언제나 틀릴 가능성이 있는 반면, "수학적" 귀납법은 일단 증명이 되면 보편적 사실은 구체적 사실만큼이나 믿을만하다는 차이가 있을 뿐입니다. 앞으로 가는 논증은 이런 의미에서 정말로 과학적인 귀납법을 사용해서 (후보) 증명을 추출하려는 시도라고 할 수 있고, 수학적 직관의 중요한 축이라고 할 수 있겠습니다. 하지만 그것이 진정 올바른 증명인지는 결국 뒤로 가는 논증과 같은 연역적인 방법으로 설득해야만 하는 것이지요.
와 정말 말씀하신대로네요. 확장의 논리로 가져가면 트리 엣지 개수 문제를 커버하기가 힘들어지는군요. 이제서야 수학적 귀납법의 묘미를 깨닫습니다.
음~ 어쩌면 저 또한 지극히 개인적인 관점에서의 논리로 적용될 듯 합니다만...
12 math 님께서 보여주고자 하시는 내용에 대해 반박성 관점이 되지 않을까 합니다...
우선, math님께서 예시를 들기 위해 적용하신 두가지의 경우 "1.가우스의 수학적 귀납법", "2.점과 선의 연결 관계에 따른 축소 관점"을 비교 예시로 들고 있으신데요.
여기서 맹점 중 하나가
1. 가우스의 수학적 귀납법에서 주어진 전제 조건 "동일한 형태의 점 '한 가지' 혹은 물건 '한 가지'가 '하나 씩' 증가할 때의 공식화"를 통해 그 동일한 형태 혹은 물질이 "하나 씩 증가"할 때의 "전제 조건"에 대한 증명 방식일 테고요.
2. math님께서 축소의 개념을 적용하고자 하실 때의 전제 조건 "동일한 형태의 점 + 동일한 형태의 선 각기 '두 가지의 형태 혹은 물질'이 서로 '연결'될 조건 하에서의 공식화"에 대해 적용하고자 하는 "감소" 방식일 때의 논리이신 듯 하구요.
math님께서 전제 조건으로 잡아 주신 경우 "점"은 "점"대로 증가 되어 있는 위치의 숫자를 찾기 위한 가우스 귀납법을 적용시키면 될테고,
임의의 위치에 해당하는 "점 - K, n"에 대한 "숫자 표현"에 대한 증명 시 K=1부터 시작하고, n번째에 해당하는 위치의 "숫자 표현"은 당연 n(n+1)/2로 적용시키고,
그 "점"과 "점" 사이에 "연결" 되어야 할 "선 - L, m"의 위치에 대한 "숫자 표현"은 L=K+1일 때부터 "점"과 "점" 사이에 "선"이 생성될 수 있다는 전제 조건(L=1 : K=2부터)으로 적용하여, "점"이 n번째 일 때의 "선"에 대한 "숫자 표현" m=n-1로 각기 분리해서 적용 시킴이 맞는 것 아닌가 합니다.
즉, 전제 조건으로 주어진 "점"과 "선"의 '두 가지' 형태가 "서로 연결되어 증가될 때"에 대해 특정한 위치에서의 "각기 다른 숫자 표현"에 대한 증명을 위해선 math님께서도 영상 초반에 언급하신 도미노식의 증명을 "점"과 "선"에 대해 각기 달리 적용시켜 특정 위치에 대한 "숫자 표현"을 잡고, 그 각기 적용시키고 있는 증명을 통합시켜 적용시키기 위해선 "도미노식 증명" + "징검다리 식 증명"으로 접근함이 맞지 않나 합니다.
추가하여 해당 예시(점 + 선의 연결 상태)에 대해 설명(?)을 덧붙이자면, 아주 긴~~~~~~~~ 비이커(서로 연결이 가능한, 서로 다른 물질을 연결시켜 줄)에 "물" 한 컵(점) 씩 층층이 부어 나갈 때 n번째 부었을 때의 층 수는 n(n+1)/2의 "숫자 표현"이 될테구요. "물"+"기름"+"물"+"기름"+.........으로 부어 나갈 때 "물"을 n번째 부었을 때 "물"에 대한 층 수는 n(n+1)/2의 "숫자 표현"이 되며, 이 때의 "기름" 층 수는 "물"의 층 수 보다 바로 한 단계 낮은 "기름" = "물"-1 번째의 "숫자 표현"이 될테구요. 해당 비이커에 담긴 총 층 수는 "물"의 층 수 + "기름"의 층 수 일거구요...
예제들이 기대되네요!
초등 영재원에서 1부터 10까지의 합을 모형으로 만들어 어떻게 합을 쉽게 구할까 생각해보라고 하니 학생들이 스스로 똑같은 것 하나를 거꾸로 붙이면 직사각형이 되겠다고 생각하고 이게 어떤 자연수 n이라면 어떻게 될지 스스로 정리할 수 있더라구요
정말 도움 많이 되었습니다
수학적 귀납법을 잘못 활용하는 확장의 예시에서는, 가설로서 참으로 가정한 것 뿐인데 뒤의 설명에선 ‘참인 조건’으로 확정을 해서 문제인 것으로 보이네요.
가설을 세우고 그 명제의 대우가 모순이 되는지를 보고 증명을 하기도 하는데, 그걸 잘못 활용하는 느낌입니다…
반대로 말씀하신 축소의 개념으로 보면, 일반화한 가설의 답을 계산한 후 원명제와 호환이 될 수 있는지 답을 맞춰보는 것으로 보이네요.
이산수학을 전공하셨다니!!
컴퓨터 프로그래밍에서도 코드의 논리를 검증하는데 확장논리에서 그치는 경우가 많죠.
내가 놓친 잘못된 케이스가 있는지 축소논리로 ‘검증’을 해야하는데 이것을 놓치는 개발자들이 많은 이유 중 하나가 이런 교육의 문제인 것으로 봐도 되겠네요.
잘못 알고 있었는데 좋은 영상 감사합니다 혹시 12math님 스도쿠같이 특정구간의 숫자의 합이 같도록 수를 배열하는 경우의수를 구하는 것과 같은 문제도 다뤄 주실 수 있을까요? 케이스를 어느정도는 좁힐수 있겠는데 좁힌 케이스중에서 하나하나 대입해봐서 맞는지 아닌지 판별하는 방법외에 다른방법이 있는지 궁금합니다
아 안 그래도 오일러공식편에서도 귀납법 말씀해주셔서 공부중이던 거 정리해서 질문드리려고 했는데 이 영상까지 보고 정리되면 질문드리겠습니다. 늘 감사합니다 12쌤!
미분과 적분도 다뤄주시면 좋겠어요ㅜㅜ
논술 수학 공부할때 배운게 기억나는 강의였습니다. 퍼즐 푸는 느낌때문에 재미있는 영역.
전 그냥 나뭇가지그림이라고 해요ㅋㅋ물론 수형도라고 언급은 하는데 직관적이지 않으니 나뭇가지그림으로 표현하면 대충 알더라구요
수학적귀납법은 n까지의 합을 설명할 때 축소로 알려주다보니 확장이 더 생소해보이네요
썸네일은 찌라신데 내용은 겁내 유익함 ㅋㅋㅋ
트리문제에서 결국 축소관점을 활용하라!라는 것이 k+1인 모든 상황에 대해 증명할 수 있도록 하라는 것에 불과하죠. 결론에서 증명을 시작하는 방법에 불과하다고 생각합니다. k에 대해 성립할 때 k+1에 대해서도 성립함을 보이는 증명의 한 가지 방법일 뿐이죠. k+1이 대해 성립한다는 것의 의미를 정확하게 파악해야 하는 것일 뿐, 증명의 순서가 중요하지 않죠.
축소관점은 "왜 수학적 귀납법이 연역적 증명인가"에 대해서는 오히려 직관적이지 않다는 큰 문제도 있습니다. 증명법은 그 증명법이 타당하다는 것이 중요한 거지, 실제로 어떻게 증명하는지가 중요하진 않으니까요.
대박이다 저는 개발자고 알고리즘 공부하고있는데 수학적 귀납법이 필요한 재귀문제가 제일 어려웠습니다. 영상을 보니 저도 확장을 생각하고 있었네요. 축소해서 수렴시켜야 맞구요!
집합의 개념에서 생각하면 더 이해가 잘되네요!
나는 짜장면소스를 좋아하기 때문에 짜장면을 좋아한다
vs
나는 짜장면을 좋아하기 때문에 짜장면 소스를 좋아한다.
전자는 면을 안좋아할 확률이 존재함.
후자는 짜장면 자체를 좋아하기에 면과 소스를 둘다 좋아할거란 확신이있음
이런개념 맞죠? -일반인-
현재 cs 전공중인 1학년인데.. liked list 이해하기 위해서 이 영상이 정말 도움이 되지 않을까 싶습니다.. 너무 유익하네요
감명 깊게 잘 보았습니다. n=k+1일 때의 명제 자체를 가지고 거기서 n=k일 때의 명제를 어떻게 활용할 건지가 핵심인 거네요. 그렇게 되면 임의의 자연수 n에 대한 명제를 자연수 1에 대한 명제까지 끌고 올 수 있게 되는 거군요. 수학적 귀납법의 논리 혹은 아이디어 자체는 당연히 (모든 자연수로의) 확장성이라고 생각을 했었는데, 말씀하신대로 축소 관점으로 생각할 수도 있다는 걸 알게 되었습니다. 확실히 이 관점이 증명과정에서의 논리적 오류나 비약을 범할 확률이 적겠네요.
덧붙여서, 제가 학부시절에 수학을 공부할 때 수학자들이 수학적 귀납법을 너무 모든 곳에 남용하는 것을 좋아하지 않는다고 들었습니다. 수학적 귀납법은 (당연히, 너무나) 강력한 툴이긴 하지만 아름다운 증명은 아니고, 때문에 다른 더 좋은(아름다운) 증명방법이 있다면 최대한 찾아보고 정말 어쩔 수 없을 때 써야한다, 그래서 수학적 귀납법으로만 증명된 명제들도 다른 증명법을 찾고있다. 이런 얘길 들었습니다. 제가 수학이 본업이 아니다보니 잘못 전해들었을 수도 있어서 이에 대해서도 말씀해주시면 좋을 것 같습니다.
수학적 귀납법이 덜 아름답다고 여겨지는 이유는 결과를 미리 상정하고 끼워맞추는 방식이기 때문인 것 같습니다. 그래서 수학적 귀납법의 증명 과정은 정말 그 문제만을 위한 조건 하에서 진행되고, 그래서인지 대체로 새로운 인사이트가 발견되지 않기도 하구요.
확장과 축소 모두 [ [P(k) is true for all k = 1,2,...] [ [P(1) is true] and [If P(k) is true, then P(k+1) is true] ] ]라는 사실을 이용하고 있는 것 같은데요! (아닌가요...?)
그래서 저는 확장과 축소 모두 도미노로 비유하는 것이 나쁘지 않다고 생각합니다.
영상에서 귀납법을 도미노로 비유하는 것이 적절하지 않다고 생각하셨는데요!
축소도, [If P(k) is true, then P(k+1) is true]을 보이는데 있어서 접근방식이 확장과 다를뿐이지, 결국은 도미노로 비유 될 수 있는 것 아닐까요?
(k번째 도미노가 쓰러지면 과연 그 다음 도미노가 쓰러질까?)
물론 말씀해주신 나무(수형도) 이야기에서는 P(k)가 복잡하게 생겨서 (P(k)='모든 k개의 점을 가지는 나무는 k-1개의 선을 가질까?') 실수하기 쉽고,
엄밀하게 증명하다보면 결국 축소의 방법으로 증명하게 된다는 것에 대해 동의합니다.
영상 잘 봤습니다. 구독합니다!
과정을 쭉 나열했을 때, 그걸 보는 사람과 과정을 직접 생각해낸 사람의 차이 같네요! 수학적 귀납법이 확장 논리로 설계되어있는 것 같지만 이걸 이용하기 위해서는 이미 다음 스텝을 생각해 놓고 축소하는게 더 편할 수 있으니까요
와 다항 정리를 수학적 귀납법으로 증명하고 싶었는데, 축소 논리로 바라보니 굉장히 쉬워지네요. ㄷㄷ 배워갑니다!
실제로 데이터구조 시험에서 저 트리의 엣지 개수 문제가 나와 말씀하신 틀린 풀이를 답으로 작성한적 있는 학생입니다. 근데 논리를 잘못이해해서 쓴 건 아니고.. 틀린 건 알겠는데 맞는 해법을 찾지 못해서 저거라도 쓴거에요.. 혹시 저희 교수/조교님이셨다면 이 기회를 빌어 사과말씀 드립니다 머쓱..
확장이냐 축소는 아무 문제가 아닌것 같습니다.
k 와 k+1 이 있을때 k+1을 k'이라고 하면 k는 k'-1이 되니까요.
임의의 k에 관한 증명은 임의의 k'에 관한 증명과 같아집니다.
와우 감사합니다. 진짜 확장이 아닌 k+1에서 k값을 활용한다고 생각해야 깔끔해집니다.
실제로 연구할때는 아래처럼 됩니다. K+1을 생각하는것도 어렵긴 매한가지고 천재가 아닌이상 방금 본 현상의 일반식은 모르는게 정상이니까요.
1)현상 관측
- 1+2+3....+100=5050(위인전에서 봄)
2) 시행착오와 실험의 반복
- 1,3,6,10,15,21,28.....
3) 실험 범위를 좁혀서 그럴듯한 규칙 발견
- 홀수 번째 숫자는 자기자신의 배수네?
4) 3)번 가설의 논리적 정합성 만들기
- 생각해보니까 홀수면 가운데 숫자×개수라 무조건 자기자신의 배수일수밖에 없네.
5) 아는 조건에서 검증
5050-100=4950=99×50
6) 아는 조건에서 수식화 하기
- 개수×중간값(홀수일때)
7) 예외 상황일때도 성립하는지 확인
- 개수 ×중간값이 아니라 개수× 평균이면 항상 성립하네.
8) 마치 한번에 생각난것처럼 쓰기
N=1일때 ~, N=K일때~
수학적 귀납법은 임의의 미지수를 주어진 수까지 이어서 증명하는 거라고 생각하면 되겠네요
확장논리를 가면 1과 k 혹은 n의 관계를 증명하기보다는 맞을거라고 가정하고 k, n보다 큰 수와의 관계를 증명하는 거니까 비약이다...
확실히 이렇게 보는게 귀납법이 왜 쓰이는지 한 눈에 확 보이네요
귀납적 사고는 확장인것같지만 축소에 개념을 간과하고 있었다는 깊은 뜻을 알아가네요
1에서n까지 더할때 n(n+1)/2이 된다는 공식은 연역적 방법으로 가우스의 공식유도 과정으로 확인하고 추론했지만 이것이 1+2+3+...+n+n+1는 어떤 형태가 나올것인가? 물음이 귀납적 증명의 핵심입니다. 그러나 n=k라 가정하고 참이라 할때 마찬가지로 k(k+1)/2일테고 1+2+3+...+k=k(k+1)/2 의 식에서 양변에 k+1을 더해서 (k+1)(k+2)/2의 모양새가 나오기에 n+1번까지 더하는 식도 성립할 것이라는 끼워맞추기식 전개가 나옵니다 그러나 만약 양변에 k+1을 더한다는것이 대수적으로 틀린 전개라는 어떠한 대상의 공리라 한다면 (k+1)(k+2)/2의 모양새가 나오지 않게 될것이며 결국 k+1가 확장되지 않다고 단언할수 밖에 없게 됩니다. 다행히 대수적으로 문제가없고 오류가 없기에 식이 성립해서 귀납적 증명이 참이 되는것처럼 보여지지만 귀납적 증명의 핵심은 1+2+3+...+k+(k+1)이 어떤 형태이냐이기에 단독적으로 여기 식에 k(k+1)/2+(k+1)하며 (k+1)(k+2)/2이 되는것을 확인하는게 초점입니다.
엄밀히 말하면 양변의 k+1을 더함으로 식이 맞는지 확인하는것이 귀납적 증명의 핵심이 아니라 1에서 k까지 더했기에 k(k+1)/2라는 모습이고 1에서 k+1까지 더하면 어떤 형태인가를 확인하는과정이 이 귀납적 증명의 본질적 의미라고 할수 있습니다. 양변의 k+1을 더해서 공식이 맞는지 확인하는건 양변의 정수를 식에 더한것이 대수적으로 맞아 k+1번째도 그렇기에 모든 정수에 성립한다라는 것을 확인해보고 싶다는것이 아닌 1에서 k+1까지 더했을때의 식이 어떤식으로 나오는지에 관한 접근적 시야는 빠져있습니다. 양변의 정수를 더해서 우연찮게 얻어걸려 공식을 유도하게 된 전개이고 귀납적 증명과는 다른 문제이고 본질에선 벗어난것입니다.
이미 주어진 식을 반짝이는 아이디어 없이 다룰수 있다는 이점이 있다는 면은 생각 못했네요 와우 너무 재밌게 잘봤습니다!❤
n=k 일때가 여러 경우의 수를 가진다면 확장논리로는 모든 경우의 수를 설명할 수 없다는 거군요. 진짜 늘 많이 배우네요.
갑자기 생각난건데 확장논리로 증명하려면 n=1 일때에서 2, 3, 4, ... 로 하나씩 확장하면서 모든 경우의 수를 다 만들수 있다는 것을 따로 받아들인다면 확장논리의 허점이 메꿔지는 것 같네용
@@강현규-g3g 어...그게 아닙니다
정확히는 n=k일때 참이라면 이라는 가정에서 이미 여러 경우의수는 참이라 가정하는 겁니다
문제는 이 가정을 이용해 n=k+1일때도 참이라는걸 증명하는 과정인데 이를 커버하기 위해서는
n=k의 경우의 수에서 잎사귀 하나가 추가되었을 모든 경우
= n=k+1인 모든 경우
라는걸 추가로 증명해야합니다
n=k+1인 모든 경우 중에서 n=k에서 확장된게 아닌게 있으면 증명이 성립되지 않으니까요
그래서 주어를 n=k+1로 둬서 하는 풀이가 깔끔한거죠
빈틈이 생길 수가 없으니까요
@@beraerkkk 좋은 정리네요. 감사합니다
@@beraerkkk 확장식으로 하는 게 잘못된 건 아니고 실수하기 좋다는 건가요? 자연스레 확장식에서 임의의 모든 n=k인 나무에서 하나가 추가된 모든 경우가 n=k+1인 경우와 똑같다 라고 생각되어서요 그 부분만 추가한다면 증명에서 오류는 없는 건가요?
@@Finn_Mertens 똑같다고 생각된다고 하고 넘어가면 이미 논리적 비약이 생긴거에요
똑같은게 맞는지를 추가로 증명해줘야 깔끔해짐
영상 잘 보았습니다. ta하면서 전자와 비슷한 Tree 증명을 저도 가끔 봅니다.
전자 같은 경우, 임의의 Tree가 T'과 같이 만들어 질 수 있음을 보여야 하는 걸 학생들에게 설명하는 게 쉽지 않았는데, 영상 덕분에 새로운 관점을 생각해 보게 됩니다.
확장 관점으로 증명을 하면 특정 사례에 대해서만 참임을 보이게 될 수 있군요. 흥미있게 잘 봤습니다.
좋은 영상 감사합니다! 비전공자라 자세히 모를 수도 있어서 그럴 것 같은데 궁금한 점이 있습니다. 말씀하신 수형도와 급수에 대한 예시에서는 귀납법의 확장/축소에서 논리적 타당성이 기인했다기 보다는, 임의의 대상을 설정하는 데에 있어서 문제가 생긴 것 아닌가요? 확장보다는 축소가 임의의 대상을 정의하는 데 논리적 비약을 줄여준다는 설명이신건지, 아니면 임의의 대상을 설정하는 데 있어서 확장으로 인지하는 것이 아예 잘못된 것인지 헷갈립니다. 긴 질문 읽어주셔서 감사합니다 :)
후자에 가깝습니다. 다음단계의 (임의의) 대상이 주어로 시작해야 합니다.
답변주셔서 감사합니다!!😊
자연수 정의하는 페아노 공리계도 수학적 귀납법과 관계가 있다고 본 기억이 있습니다
기회가 된다면 여기에 대한 이야기도 듣고 싶네요
신기한게 우연인진 모르겠지만 이 영상보고 난 후에 유튭 알고리즘이 페아노 공리계를 추천해주네요ㅋㅋㅋㅋ
정확히는 수학적 귀납법의 아이디어가 페아노 공리계에 놓여있다 생각하는 것이 옳을 듯 싶습니다.
지금 생각해보니까 고등학교때 수학적귀납법을 처음배울때 개념설명은 도미노원리랑 비슷하다는 말씀을 해주셨지만 빈칸문제 해설해주실 때는 이 영상의 축소관점을 더 많이 보여주셨던것 같네요 그땐 그냥 그렇구나 넘어갔었는데 왜 그러셨는지 이제 조금 알고갑니다 결국 겉으로 보기에는 1,2,3,k처럼 단계를 밟아가는 귀납처럼 보여도 1일때 성립함(증명)과 k일때 성립함(가정) 두 전제를 활용하여 결론을 내는 연역법이 수학적귀납법 개념의 본질이라는걸까요? 감사합니다 ㅎㅎ
문과출신으로 보았을 때, 수학은 근본적으로 연역적 논리를 사용하는데 그것을 귀납적 논리로 증명하려니 "수학적 귀납법"이라는 분야가 재미있는 발상임에는 틀림이 없습니다. 그런 측면에서, 님의 주장(확장논리-연역방법-가 아니라 축소논리-귀납방법)이 더 귀납법의 정의에 더욱 맞지않나 생각해 봅니다.
구의 부피나 겉넓이를 직관적으로 이해할 수 있는 방법을 다뤄주시면 좋을 것 같아요
미적분을 배우시면 됩니다
구분구적법정도면 굉장히 직관적이지 않나요?
명제 p(n)을 증명하기 위해 p(n) 에서 증명하기 쉬운 명제(p(1)과 같은)로 가는 다리를 놓는다 라고 설명하는게 더 좋으려나요
좋은 접근인 것 같습니다.
첫번째 증명에서 어디가 오류인지는 모르겠지만 저 복잡할 수 있는 tree를 너무 단순하게 확장하는데에 있어서 뭔지 모를 불안감이 들더군요 "그냥 그렇게 확장해도 되는거야?"와 같은.. 뒤에 설명을 듣고 생각을 확고히 했습니다
잘 보았습니다. 그런데 하나 질문이 있는데 그러면 처음 학생들이 수학적 귀납법을 배울 때 적절한 예시는 어떤 것들이 있을까요? 1부터 n까지의 합의 예시가 부적절해 보여도 '난생 처음' 이런 논리를 전개해 보아야 하는 학생들에게 이보다 더 적절한 예시를 가져와 보라고 문제를 제시한다면... 저는 솔직히 생각이 잘 나지 않습니다.
예시는 앞으로 하나씩 소개드릴 계획입니다. 쉬운 예시일수록 너무 자명해서 재미가 없고 재미있는 예시일수록 다소 어려워 진입장벽이 있고 해서 둘 사이에서 적당한 걸 고르는게 어렵네요
k+1의 관점에서 k를 바라본다는 것이 클리어한 수학적 귀납법이지요. 즉, k+1일 때의 상황을 가정하고 k일 때 참임을 이용하여 k+1일 때 참임을 증명하는 방법이 수학적 귀납법이라는 것입니다. 그런데 박사님께서 틀리다고 하신 '도미노식 확장 논리'라는 표현은 'k가 참인 상황에서 k+1일 때 참인 것을 증명하는 것'이 아니라 'n=k일 때 참이면 n=k+1일 때도 참'이라는 뜻이 아닌가요? n=1이 참이면 n=2도 참이고, n=2가 참이면 n=3도 참이고 ... 해서 모든 자연수에 대하여 증명하고자 하는 명제가 참임을 증명하는 것이지요. 즉, 증명 과정에서의 확장 논리는 잘못된 것이 맞지만, 증명의 형식 그 자체는 n=1부터 출발해서 모든 자연수가 참임을 증명한다는 것이 '도미노식 확장 논리'가 표상하는 것 같습니다. 아무튼 매우 훌륭한 영상 감사합니다. 새로운 관점을 이해하고 가니깐요.
도미노가 틀린 비유라기 보다는 잘못된 이해를 유도할 수 있는 비유라고 생각합니다 :)
방향성이라는걸 생각해보지 않았는데 귀납법이 자연수 대상으로 정의되니 (transfinite 제외) k의 successor가 k+1이고 비유적으로 표현하면 물리에서 시간축처럼 방향이 한개인거로 생각하는거라 확장 축소라는 orientation자체가 의미가 없게 느껴지거든요. 결국 inductive step에선 실질적으로 k를 이용해 k+1을 해결한다인거고 이것 자체가 자연수니까요.
증명된걸 축소로 보는 관점이야 상관없지만
축소관점에서의 증명은 결론을 가져다 쓰는 오류가 있는거 아닌가요?
놓은지 오래되긴 해서 확실하진 않습니다만...
흠... 해당 내용에 대해 접근을 어려워 하는 학생 분들도 계실 듯하여 추가로 적고자 합니다.(어느 누구건 간혹 혹은 자주 겪게 되는 전제 오류, 출제자 오류, 풀이 조건 오류.....라 불리곤 하는...꾸벅.....)
수학적 귀납법 - "모든 자연수(동일한 형태 동일한 크기 등으로 정형화시키고 정량화시켜 놓은 숫자 개념)"가 어떤 주어진 성질을 만족시킨다는 명제를 증명하는 방법.
가우스 정리 중 영상 예시 들어주신 것 1+2+3+.....n = n(n+1)/2 의 개념 및 확장이 적용된 증명을 통해 수학적 귀납법에 대해 첫 시작을 쉽게 이해시키고자 함.
영상의 트리 구조에는 해당 수학적 귀납법이 일부만 적용됨...요...
이유는 "자연수"에 "자연수가 아닌 수"를 추가한 상태로 접근하고 계셔서...
"선" = "점"의 연속된 상태, 즉 1 >>> 1+2+3+.......+m(자연수의 합) >>> 2 >>> 1+2+3+.......+m(자연수의 합) >>> 3 >>>...........>>>1+2+3+.......+m(자연수의 합) >>> n번 항
~1칸~ ~2칸~ ~3칸~ ~4칸~ ~5칸~ ..........................................................
혹은, "점" = "자연수", "선" = "자연수가 아닌 수" 예를들어 1 >>> √2 >>> 2 >>> √2 >>> 3 >>> √2 >>>.................>>> √2 >>> n번 항
~1칸~ ~2칸~ ~3칸~ ~4칸~ ~5칸~ ~6칸~ ..............................
여기서 "점"과 "선"이 서로 연결 되어져 갈 때 1칸(자연수의 개념이 아닌)씩 늘어나고 줄어든다는 또 다른 수학적 개념이 추가되어져 해당 풀이를 증명해 나가야 하지,
무한수, 유한수, 실수, 허수의 개념이 같이 적용 되어지고 있는 상태에 "모든 자연수"에 대한 명제 만을 다루고자 하는 "수학적 귀납법"만 적용시켜 해석하고자 하면...
그대로, 오류 나 있는 상태로 결과 및 과정까지도 통째(확장과 축소의 개념을 분리 혹은 통합 혹은 연속해서 적용하고 싶다는 것과 별개로...)로 오류의 연속과 본인 스스로의 혼동이.....
다시 한번 꾸벅....
마지막으로, 이산수학 자체가 다루고 있고 실생활에도 적용되고 있는 분야가 어마어마하게 많으며, 수학적 귀납법 또한 주어지는 전제 조건 영역들이 확대 됨에 따라 어마어마한 경우들(이산수학과 연속성수학 개념이 혼존하는)이 존재하는디, 그 경우들 내에서 그 규칙성(확장 형태로의 접근이든 축소 형태로의 접근이든)을 찾아 내는 것 부터가 머리 쥐납니다;;;
애시당초 "대다수 사람들이 생각하고 싶어하는 범위"가 "점"형태의 이산수학에서 출발하여 "선"형태 추가, "면"형태 추가, "3차원 좌표계"형태 추가, "벡터계"형태 추가, "시공간의 중첩계"형태 추가 이상에까지로 확대 적용이 가능한 범위를 점점 넘어설 경우, 워낙 방대하고 복잡한 구조 내에서 그 규칙성을 찾아내야 할 경우를 접하게 되면, 뇌차체에서 무의식 영역으로 대뜸 "포기"상태로 들어가게 만들기에..... 개인적으로 해당 분야만 몇 년 이상을 줄창 파고 들겠다는 이유가 있는 분들 혹은 "생각의 범위, 발달해 있는 뇌 피지컬" 자체가 순간적인 확장 사고력을 보유하고 있는 분들 외엔.....해서 일반적인 사람들 대다수에게 그 수학적 귀납법을 배우게 하고, 익혀서 실생활에까지 써먹을 수 있도록 범위를 축소해 놓는 상태, 딱 거기까지만 다루고자 함이 아닐런지도요;;;
윽... 마지막 글이라 하면서 적어 놓고, 추가로 생각난 점이 있어 다시 댓글 창 열었습니다........꾸벅...
수학적 귀납법의 적용 가능 범위에 대해 쫌 더 생각하다보니 나온 개인적인 이론(?), 상상(?), 망상(?)이라 치부될 수 있는 내용일 듯 하니 가볍~~~게 보셨으면 합니다..ㅎㅎ;;
math님께서도 언급 주셨던 그 수학적 귀납법의 이론 속에 들어 있는 재미난 요소들이 어~~~~~~~엄청 많지만, 현실에선 극히 일부만 가르치고 배우는 정도에서 끝난다는...
이 수학적 귀납법이 적용 가능한 이론적 내용 중에 확대 적용이 가능한 부분으로 3차원 벡터계(현실 - 연속성이 공존하고 있는) 내에서 적용시킬 수 있는 점은, 많이 알려져 있는 "워프"에 대한 개념에 적용이 가능하다는...ㅎㅎ;;
다만, 이 "워프"에 대한 개념은 "수학적 귀납법의 확장"과 "연속성 수학 개념의 제거 혹은 삭제" 내에서만 다뤄질 수 있는 내용이지 않나라는 점과 아직까지 그 방법을 찾질 못하여 현실 구현 못하고 있는.....
math님께서 짚어주신 수학적 귀납법의 축소에 대한 개념은 "시공간 중첩계"에서 적용이 간능한 "타임 워프"에 대한 이론적 기초 개념으로 적용이 가능할 듯 싶다는 생각이 들게 되어, 다시 한번 댓글로 남기고 싶었습니다......ㅎㅎ;
수학적 귀납법은 항상 무슨 말장난 같이 느껴졌었는데, 이제 무엇이 문제였는지 알겠군요.
저는 주로 학생들에게 "임의의 다음 것에서 이전 항의 형태를 찾아내는(뽑아내는) 방식이다" 라고 표현합니다. 내가 틀린말은 아니었구나 라고 느끼는 영상이었습니다 ^^
수학적귀납법이 이럴게 강력한줄은 몰랐네요 앞으로의 절묘한 쓰임세가 기대됩니다