【超難問】Twitterで高校教師から数学の問題が届きました。
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- Опубліковано 27 тра 2020
- 本当にあった怖い?TwitterのDM（ダイレクトメッセージ）で
学校の先生（高校数学教師）の方から頂いた至高の１問です。
40人中1人しか解けなかった難問とのことですが、確かに考え方は面白い問題ですね！
（お礼のDMもさせて頂きました。ありがとうございます。）
他にも高校教師や予備校の先生からもいくつか頂いてます！
もし面白い問題がある方は、PASSLABO公式のTwitterのDMでお願いします
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P.S.今日のパスチャレの答えはこちら
note.com/pfsbr123/n/n238a80fa...
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定年した老医師ですが、先生の整数問題楽しみにしています。しかし、今回はどうしても解けず、解答見てしまいました。次回も楽しみににしております。
定年後も数学を続けるのは老化防止に繋がりますしね！！とてもいい心がけですね！！
老化防止というより、人生経験が知恵となり、持ち合わせた教養も合わさって知性が溢れていらっしゃる、と推察いたします。
【補足】
3p(p+1)=m(m-1)の部分で
p=3を先に考えて代入して、自然数kが存在しないこと(p≠3)を示しておいた方が良さそうです。
そうすると
「pとp+1が互いに素だけでなく、3とpもそれぞれ互いに素だから、左辺は因数pを1つだけもつ」
上記が示すことができます🐼
「p,p+1が互いに素」および「3とpが互いに素」という議論は、いずれも全く不要。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
そもそも「3p(p+1)が素因数pを1つだけもつ」ことは重要ではなく、
「3p(p+1)が素数pの倍数である」
ことが分かれば十分。（素因数pを含んでいるから明らか）
これにより
「右辺におけるm, m-1 の少なくとも一方はpの倍数である」
ことが従うので、mがpの倍数である場合とm-1がpの倍数である場合に分けて議論することになります。
（この場合分けが互いに背反である必要は全くありません。）■
単純に左辺がpの倍数であるから
右辺もpの倍数である、ではダメですか？
daii kota もちろん要約するとそうなりますね笑
連続する整数の積が偶数であることからa＝2またはb＝2とするのは乱暴でしょうか...
吾輩はねこでない p≠2を言っておけば大丈夫だと思いますよ👌
備忘録👏80G"【 整数問題 (素数) mod6 】2²･3･p(p＋1)＋1＝k² ･･･① mod6 において 1≡k²
だから k＝6n ±1 と表すことができる。⑴ k＝6n＋1 のとき、① ⇔ 2²･3･p(p＋1) ＝ 2²･3･(3n＋1)n
p(p＋1) ＝ (3n＋1)n ･･･② ここで p∈素数 だから、 3n＋1＝pm または n＝pm ( m,n ∈自然数 )
(ⅰ) 3n＋1＝pm ⇔ n＝(pm－1)/3 これを②に代入して、p について解くと p＝(m＋3)/(m²－3) ･･･③
p ≧ 2 だから、(m＋3)/(m²－3) ≧ 2 ⇔ m(2m－1) ≦ 9 よって m＝1, 2 (∈自然数) ③と合わせて、
m＝2, p＝5 ∴ n＝3 よって k＝19 他の場合も同様にすると、(m, p)＝(自然数, 素数)は存在しない.
以上より、p＝５ ( k＝ 19 )■
k=6n-1のときは省略されてますか？ま
この問題を作った先生も解いた生徒も
どちらも凄いと思います！
これ解けたら1人やばい気がする笑笑
スゴすぎ！！！
明日が楽しみだ～。応援してます！
やっぱ作問者ってすごいんだなと思いました。
もう既に大学受験が終わり数学の勉強なんて必要無い身ですが、毎回難しい問題を楽しませてもらってます！。解説のテンポもよく理解し易いです。
今日の動画楽しみだった
初見です。pointでまとめられていて、さらにそのpointが分かりやすい+すばるさんの神解説という。。
皆さんからするとこんなことでと思うかもしれませんが、この動画を見て凄く感動しました！次の動画楽しみにしています🙇♂️
判別式で瞬殺だろって思ったらうまく因数分解出来ない数字でした…
こういうお互いが刺激になる動画はとても良いと思います。
流石、わかりやすいです
素数のエッセンスが詰まった良問ですね！しっかり復習しておきます！
物理の話かと思った
全く解らない😱けど…仕事行く前の頭の体操にはなりました。ありがとうございます😌
別解::(6p+1+k)(6p+1-k)=24p^2で積の形を作成してpは素数なので約数を割り振って解くこともできますね！！
( ᐛ)｢仲間見っけ！！🍌｣
あなた仲間のくせになかなかやりますねー
あたまのわるいひと えへへまぁね🥳
よろしければ詳しい解き方教えて欲しいです！
なんで24p^2をつくろうという発想になるの、、
M M
左辺計算したら36p^2+12p+1−k^2で与式に合わせるために36p^2+12p+1-k^2−24p^2にして24p^2を右辺に移項したんだと思います。
ほんとに良問ですね
パスラボの動画が毎朝の楽しみになってるんだけど、同じ人いる?
い る よ ね ?
夜見とる。
前半まではついていけるけど、後半からの考え方が難しい〜
同じ解き方でしたが、分数形も解の公式も使いませんでした。
3(p+1)=b(bp+1) は b=1 は明らかに不適。b=2 は p=1 で不適。b≥3 は明らかに右辺のほうが大きいから不適。
p(a²-3)=a+3 は 0
すばるさんの整数問題の教え方,感動するわ笑笑
色んな解き方が考えられそうで面白い問題ですね！
kは奇数なのでk=2a+1とすると、3p^2+3p=a^2+a
ここで 3(p^2+p)=a^2+a より明らかに p0、よって a
超良問だなあ
おはようございます。
素数の集大成って感じで、もしテストで解けたら気持ち良さそう。
k+1 とk-1 の差は 2 であり、 p 素数であり、p+1 とは互いに素なので、左辺の形に合わせるには 12 を二つに分けるしかない。
1/12 , 2/6, 3/4 の数を p, p+1 にかけて ( 6 通り) それぞれを 引き算をして差が 2 になるものは 4p と 3p +3 のみで後は不適。
よって p=5 と分かる。
同じやり方でときました！
これで解いたわ。1番楽な気がする。
途中まで解いてみて『うん、そうだよね』ってなったんだけど、3xPx(p+1)=m×(m-1)でm=pa,m-1=pbの考え方が少し出来なかった……。
この数学の先生面白い問題作るんだね
（自分がこの数学の先生の教え子だったら、苦手にはならないけどやりたくなくなる www）
眠い目を擦りながら見てたらなんも考えてなかったわ
絶対明日早くおわりそうだな～笑間違えた問題の解説も少なく終わりそうだな🤔🤔
この問題楽しい
カタカナでハンイw くまたん好きやわまじで笑
おはようございます❗️
授業が上手い！
これが解ける人がクラスに一人でもいるって結構な進学校ですよね？
気になります
65くらいじゃなーい？
高2です。とけました。弊校の偏差値は68らしいですが、私は学校の中でも下です…
k^2≡1 (mod p) から k≡±1 (mod p)なので
k=np+1、k=np-1 (nは自然数)を代入して整理したら、同じ形の式にたどり着けました
結局やってることはほぼ同じですが
整数問題にどうやって対処していくかに関してのポイントがまとまってていい問題だけど解法が見えすぎるから大学入試向けではないな
良問だと思います。
6:40位の二次方程式は解きませんでした。
3p(p+1)=m(m-1)の時点で、2≦pからp
整数問題の解説ってなんでこんなに見てて面白いんだろう。
私が自分の学校の教師から出されて解けた英雄です。
自分しか解けてなくてビックリした
私もです
中高一貫？公立？
まじですか？実は僕もなんです！
奇遇やな。俺もやで
僕もなんです！運命ですね！
かなり数学的で面白いですね！
この問題なんかで出た時にpass laboと同様に受けて立てるようになりました！笑
教員目指してるので、すばるさんに納得のいく問題を作りたいです！🤗
本当に解き方、試行錯誤の仕方が頭良い
pを因数分解する発想はなかった、、、。覚えます！！
連続整数が互いに素を聞いた所で思考が解れて何とか場合分けに成功、その後の不等式評価は2以上と置かなくても整数条件だけでも一次式を二次式で割っているので範囲はたかが知れている（2通り+1通り）なので後はそのまま根性算で
別解考えました。以下に大雑把に書きます。既出だったらすみません
12p(p +1)＝(k-1)(k +1)
右辺に注目すると、(k +1)-(k-1)＝2なので、左辺もこうなっていなければいけない。
12＝1・12＝2・6＝3・4の3パターンのためこれを用いて吟味を行う。
1)1・12p(p +1)とみると、1p・12(p +1)か12p・1(p +1)のどちらかに分解できる。ところが、後者は12(p +1)-p＝11p+12なので、＝2とすると明らかにpがマイナスになり不適。以下同様に考えられるのは(大きい数)×pと(小さい数)×(p +1)だけである。
12p-1(p +1)＝2はp＝3/11より不適
2)6pと2(p +1)は
6p-2(p +1)＝2よりp＝1で不適
3)4pと3(p +1)は
4p-3(p +1)＝p-3＝2よりp＝5
このとき18・20＝(k-1)(k +1)よりk＝19であることがわかる。(kが自然数になってる)
以上よりp＝5のみが答え。
p+1は素数とは限らないのでp+1=cdと因数に分解される可能性があり、(cp,12d),(2cp,6d),(3cp,4d),...などの組も考慮する必要があると思うのですが、それを省いてよいとする理由を教えて下さい
共通テストの対策方法見たいです。
コロナで模試が中止ばかりでとても不安です！
3p(p+1)＝m(m+1) (m＝2k+1)
の形にしてから同じことしました。
m＝ap-1など代入して試しますが全部しっかりpについて因数分解出来たトントン具合に気持ちよくなりかけましたが理性を抑えて
(p,k)＝(5,19)を導出しました
むしろパスラボのポイントフルに応用した問題ですごい。
12p(p+1)=(k+1)(k-1)から、(k+1,k-1)の組を24組書き出し、
k+1>k-1≧0, p≧2, (k+1)-(k-1)=2
を利用して12組に絞りながら解いたけどくっそ時間かかったから倍数の考え方身につけたいなぁ
高校の先生がツイッターやってるイメージないからどんな投稿してるか気になる木
解けたーーやったーー！
①最初の等式の左辺と右辺を見比べてkは明らかに奇数。②左辺は3を法として1と合同より、右辺k^2も3を法として1と合同、つまりkは3を法として±1と合同(3では割り切れない)。この2つからk=6m±1と表せて…として色々計算していくと、結局素数となるpが出てくるのはk=6m+1の時だけ、と解きました。
整数余程やってないとこんな考え浮かばないよね。正解した人いるってことは相当頭いい学校だったんやろなぁ
最初の式を見て、左辺は偶数でも3の倍数でもないから、k=2m-1ではなくて、
k=6m±1と置けばp(p+1)=m(3m±1)となってもっと簡単になる気がする…
あぁー最後まで辿り着かんかった〜泣
左辺=3(2p+1)の2乗−2としてなにか使えませんでしょうか…
ユーモアのある教師だなあ
授業うけてみたいw
無理やり(6p+1)^2を作って24p^2=(6p+1)^2-k^2の右辺を因数分解し、素因数分解の方法でも解けます。
項の偶奇で場合分けは6つに絞れ、項の和により4つまで絞れこめます。
あとは二次方程式が出てくるので4つに代入して終了
この方法でも解けます。
3p(p+1)=pa(pa-1)のときに両辺をpで割っていいか不安になったけど、p=0はあり得ないから割っていいってことかな？？
初見で解けた子凄い。。。
kは2の倍数でも3の倍数でもないから、k=6m±1(mは自然数)を代入しても出来ました！
自分も同じ方法で解いたのですが、p=0,1が出てきてできませんでした。詳しくやり方教えてもらっていいですか？
私もp=0,1はでてきましたが、これはpが素数という条件に当てはまらないので、除外しました。
kを2m-1としなくても同じように解けると思います。この場合、何か落とし穴あるんでしょうか。
とけましたー
聞いたら分かるのにいざ手を動かすと・・・
自分の考え方
12p(p+1)=(k-1)(k+1)ということは
k+1とk-1の差は2である。
つまり12の素因数である2の２乗、3
の組合せを(a,b)としたときap-b(p+1)=2となる。a>b>0であるから
(a,b)=(12,1),(6,2),(4,3)の３通りとなる
これらをap-b(p+1)=2に代入するとそれぞれp=3/11,5,1となる。
この中でpが素数なのは5のときのみである。よってp=5 k=19と分かる。
(k+1)(k-1)の因数を、ap, b(p+1)と分けていますがそうなるとは限らないのでは？
p+1は素数ではないからp+1=cdのときにapc,bdという分け方があり得るんじゃないですか？
ちょうど出されて困ってたのでありがとうございました。
12p(p+1)=(k+1)(k-1)
pとp+1は互いに素であることに着目して、12の約数、p、p+1で差が2になるような組を探す。
Ex.12pとp+1は差が2であるとき、pは素数ではない
こうやってpが素数となるものを探していくと、4pと3(p+1)のくみでp=5のとき、差が2となる。
よってp=5が答え
必要十分じゃなくない？
4:40 くらいからp=3は考えないのですか？
これって、最初にp≠kの証明しなくていいんですか？解説を聞いて意味はわかったのですが、一応すべきなのかどうかが分からないです。
(問題にはpは素数、kは自然数とあるので、p=kの場合も一応考えられます。その場合を検証すると、結局
p=k=-1又は-1/11になり、条件から不適にはなりますが。これって余り意味ないですかね。)
2:48のところから、総当たりで解きました。
ほとんどの場合がpが素数であるのでpは２以上という条件で消せるので、
意外とすぐに答えがわかりました（具体的には１分ほど）
これ整数全復習いけるしほんとに良問だね
連続する２つの整数の性質って、「どちらかが奇数でどちらかが偶数」のイメージ強くて、「互いに素」の発想が出来なかった。
パスチャレ解いたことある！！
あんまりいい解法思い付かないなぁと思ってたけど、解き方大体一緒だったんで安心した❗
ところで、自作問題なんですが、解き方が分からなくて困っています。
m^2+343＝2^n（m，n：自然数）
もし良かったらやってみて下さい。宜しくお願いします。
考えてみましたがあまり論理的に導くことができませんでした、、、
一応書いておきます
はじめにm^2+343=2^n>343よりn≧9
与式はm^2-169=2^n-512、つまり(m+13)(m-13)=2^9(2^(n-9)-1)...①と変形でき、
まずn=9の時を検討するとm=13の時成り立つ。
次にn≠9のときを考える
①の左辺は整数かつn>9であるから右辺は偶数
ここでm=2k-1 (k≧1)とおくと、①は(k+6)(k-7)=2^7(2^(n-9)-1)
k+6とk-7は偶奇が異なるから、
k+6=2^(n-9)-1かつk-7=2^7 または k-7=2^(n-9)-1かつk+6=2^7
これを満たす自然数nは存在しないので、
n=9, m=13
@@bubbububootaro4793 ご返信ありがとうございます。
通知が来なかったので、返信が遅れてスミマセン😅。
おぉ、解けてるじゃないですか❗スゴい❗
自分は、m≡±13，±243（mod 512）までやって行き詰まりました（笑）。
自力で解いたら正解しました。あまり効率的なやり方ではありませんが、僕はこのやり方もありではないかなって思いました。
連続する二つの整数が互いに素になるのはどうしてですか？
素数は処理の仕方が限られてるから慣れたら簡単ですよね
1番に絞るのは条件が厳しいものをまとめる！
どーゆー意味でしょうか？？？？
1次式と2次式だったら、2次式の場合解が2つ有る可能性があるけど、1次式だったら解多くとも１つなので、1次式で整理
とかかなぁ
久しぶりに見返したら、一番の落とし穴のところで詰まりました。また復習します。
素数pを素因数分解すると、1とpしかないことが重要ですね。
pはp^2にならないとおっしゃいますが、p=3のケースが抜けませんか？
パスラボ見すぎてなんか解けた中学生です笑
なんか整数問題だけすごく得意になりました！ありがとうございます！！！
24p^2=(6p+1+k)(6p+1-k)と変形して解きました
解けたけど、動画と比較するとちょっと遠回りしちゃった感もあるなー
ただ、異なるアプローチでも最終的に似たような議論になって面白いなと思いました。（数学は専門でないので偶然なのか何か背景があるのかはわかりませんが。わかる人いたらおしえてください。→自己解決 よくみたら順番が違うだけで実質的に動画と同じような文字の置き換えをしてた）
断りがない場合、合同式の法はpとする。
補題：自然数kと素数pに対して、k^2≡1ならばk≡1 or p-1である。
補題証明
k≡q（qは0≦q≦p-1を満たす自然数）とするとき、q≠1, p-1と仮定する。このとき
(q+1)(q-1)=q^2-1≡0
よって(q+1)(q-1)はpの倍数であり、pを素因数に持つ。
よってq+1, q-1のどちらか一方はpを素因数に持ち、pの倍数である。
しかしこれはq≠1, p-1に反し矛盾。よって仮定は示された。
解答
12p^2+12p+1≡1 より k^2≡1
補題よりk≡1 or p-1なので自然数nを用いてk=np±1とおける。（動画と同様にしてk≧9であることに注意する）
12p^2+12p+1=(np±1)^2
⇔（中略）
⇔(n^2-12)p=12±2n ...(#)
ここで、p=2のとき12p^2+12p+1=73となり平方数でないので不適。
よってpは奇数である。これと、(#)の左辺が偶数であることよりn^2-12は偶数。
よってnは偶数であり、自然数aを用いてn=2aとおくと
((2a)^2-12)p=12±4n
⇔（中略）
⇔(a^2-3)p=3±a
i)(a^2-3)p=3+aのとき
左辺が正なので右辺も正。よってa≧2が必要。
p≧3（この解法ではp≠2を示したのでp≧3としますが、p≧2として解き進めると動画と同じ2次不等式が出てきます）とa^2-3≧0より
(a^2-3)p≧(a^2-3)3
⇔3+a≧3a^2-9
⇔3a^2-a-12≦0
これとa≧2をあわせてa=2が必要である。このときp=5となりたしかに素数である。
ii)(a^2-3)p=3-aのとき
両辺の正負が一致する条件は、両辺0にならないこととp>0に注意して
(a^2-3)(3-a)>0
⇔a
12p(p+1)=(k+1)(k-1)にして左辺を差が2になるように分解していく場合分けのほうがスマートな気がします
同じ解き方だったわ
学校の先生とかもパスラボ見てるんだ
今日のパスチャレのグラフの考え方、東大の過去問にあったなあ
移項ミスで時間かかった･･･気を付けます･･･
落とし穴にたどり着けなかった男
明日ネクステの生配信か
去年7週くらい回したわ
こりゃいい問題やな
素数は処理の仕方がほぼパターンだから割といけると思われ
数弱すぎてこの発想に持っていけない...
正答率2.5%だからしゃーない
パスラボといえば整数みたいなところあるんですよね。僕だけですか？笑笑
同値性を明確に。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
与式 ⇔ 12p(p+1)=(k-1)(k+1)…①。
・k-1, k+1の積が素数pの倍数であるから、その少なくとも一方はpの倍数。
・k-1, k+1は偶奇をともにし、かつその積が偶数であるから、ともに偶数。
・p=2のとき与式の左辺=73は平方数ではないので不適。
よってpは3以上の素数ゆえに奇数。
ゆえに k-1, k+1の少なくとも一方は2pの倍数。
また題意より、k^2>25 ∴k>5
----------------------------------
1°）k-1=2ap（aは正整数）のとき：
①より
12p(p+1)=2ap(2ap+2)
∴3(p+1)=a(ap+1) 【∵4p≠0で割った】
∴(a^2 - 3)p = 3 - a …②
ところが
a=1 ⇒ (a^2 - 3)p < 0 < 3-a
⇒ ②は偽,
a≧3 ⇒ (a^2 - 3)p > 0 ≧ 3-a ⇒ ②は偽
であるから、②であるためには a=2かつp=1 が必要。1は素数ではないから不適。
----------------------------------
2°）k+1=2ap（aは正整数）のとき：
①⇔ 12p(p+1) = 2ap(2ap - 2)
⇔ 3(p+1) = a(ap - 1) 【∵4p≠0で割った】
⇔ (a^2 - 3)p = a+3 …③
。
ところが
③⇒ (a^2 - 3)p >0 ⇒ a≧2
…④。
∴③⇒ ④かつ③
⇒ ④かつa^2- 3 < a+3 【∵p>1】
⇒ ④かつa^2 - a - 6
貫太郎さんの動画みすぎてなれた
12p2乗+12p2乗=(k+1)(k-1)
左辺は右辺より偶数にしかならないことから
右辺=p(12p+12)、12p(p+1)、2p(6p+6)、4p(3p+3)、6p(2p+2)の組み合わせしかありえない。
左辺のカッコないがk+1とk-1であり2差であることをかんがえると1個目、２個目、3個目、5個目は具体的に考えなくてもかける数どうしが2以上の差があるのは明白でありありえない。
4個目は4p=3p+3+2と考えればp=5、4p+2=3p+3と考えればp=1となる
この中で素数は5のみであり答えは5となる。以上
あまり美しくない解き方ですがこれでも一応解けます。
2行目は余計でした
3p(4p+4)の場合もありますがp=2でないことを先に確認しておくと排斥できます(同じ理由でp(12p+12)も排斥できますねすいません)
単純に左辺がpの倍数であるから右辺はpの倍数である、としてはいけないのですか？、pの因数のことは置いといて
現役数学者でUA-camで大学数学を教えてる方(登録者数が先日10000人超え)が、「高校までは素数に1は含めないと教えているが、一般的な数学(大学以上の本当の意味での数学)の世界では素数に1は含まれる」と言っていました。
つまりp＝1とすることは、受験数学では×となるけど、一般的な数学(大学以上の本当の意味での数学)では間違いではないことになります。
もちろん、この動画のように解いてp＝5を求めなければいけませんが。
できた！！！！
やっと6じはんに起きれたぞ
いちこめじゃないけど
この解答例はダメでしょうか？
ダメなところがあれば、ご指摘お願いします。
解答例)
12p^2+12p+1=k^2
12p(p+1)=(k+1)(k-1) ・・・・・①
4p×3(p+1)=(k+1)(k-1)
p=2 のとき k^2=73 となり不適。
p=3 のとき k^2=145 となり不適。
p=5 のとき k^2=361=19^2 となり、k=19 は自然数なので、条件を満たす。
k-1 とk+1の差を取ると、2だから、①の条件式を満たすためには、
p(p+1)=10,14 または
4p-3(p+1)=2
を満たす必要がある。
p≧7 のとき、
p(p+1)≧56,
4p-3(p+1)=p-3≧4
より、これを満たす素数pは無い。
よって、求める自然数pは5のみ。
正直大部分は減点されると思った方がいいです…
pは素数ですがp+1はそうではありませんよね。ということは何かしら約数を持つはずです。すると(k+1,k-1)の組み合わせは上(本当は何も論証しないなら上の2つだけではなく他にも考えるべき組合せはあるのですが)以外にもたくさんでてきます。(簡単な数でいろいろ試してみると組合せがたくさん出てくることが分かると思います)
ですので上の方針でいきたいなら(k+1,+-1)の組合せをちゃんと議論して候補を全て調べ上げないといけませんよね、コメ主さんが分かってて端折ってこの場合分けだけで済むために上の議論だけで済ませてるなら愚問でしかありませんが、もしされていないのでしたらここで大幅に減点になります…
こういう組合せを考えるときは合成数が厄介になることが多かったりするので注意してください、頑張ってください💪
連続2回の偶数は、一方は必ず4の倍数になることも使える