Kannte ich so bisher nicht, ist aber wichtiger zu verstehen warum bei den einzelnen Schritten das überhaupt so funktionieren kann, (sowas macht ja meistens der Fuchs) Danke dafür!
@@magdaliebtmathe Faszinierend, verblüffend, verrückt! Hast du mittlerweile schon herausgefunden, warum dieser „Trick“ denn funktioniert? Wäre super, wenn du es in einem weiteren Video kommentieren beziehungsweise erläutern könntest! Danke und schöne Grüße Anna
Den Algorithmus kannte ich selbst bisher noch nicht. Es ist wirklich eine einfache und schnelle Möglichkeit Wurzeln ohne Taschenrechner zu berechnen, sehr schön :) Durch die Einteilung in Pärchen kann man hier sogar zwei Aussagen zur Ergebniszahl machen, vorausgesetzt, es handelt sich bei dem Ergebnis auch um eine Ganzzahl. Erstes Zahlenpärchen 11 gibt an, dass 9 die größtmögliche Quadratzahl unter 11 ist, daher beginnt die Ergebniszahl mit einer 3. Das letzte Zahlenpärchen hat eine 9 als letzte Ziffer, sodass die Ergebniszahl entweder auf eine 3 (Quadratzahl 9) oder eine 7 (Quadratzahl 49) endet. Einzig das mittlere Zahlenpärchen gibt keinen Aufschluss über die mittlere Ziffer des Ergebnisses, da das mittlere Zahlenpärchen durch alle drei Ziffern beeinflusst wird.
Das Verfahren ist mir seit meiner frühen Jugend bekannt. Damals war die Handkurbelrechenmaschine von meinem Vater mein Lieblingsspielzeug. Nach genau diesem Verfahren konnte man mit dieser Kurbelmaschine Quadratwurzeln ziehen. Diese Methode funktioniert so: wenn man ungerade Zahlen addiert erhält man immer Quadratzahlen. Deshalb muß man umgekehrt beim subtrahieren von ungeraden Zahlen auf die Wurzel kommen.
Deine Aussage "Wenn man ungerade Zahlen addiert erhält man immer Quadratzahlen" ist leider falsch. Hier der Widerspruchsbeweis: (2 ungerade Zahlen miteinander addiert) bspw. 3 + 5 = 8. 8 ist keine Quadratzahl.
Leider missverständlich und falsch ausgedrückt, aber richtig gemeint: Wenn man eine Reihe aufeinanderfolgender ungerader Zahlen beginnend mit 1 aufaddiert, erhält man eine Quadratzahl.
Cooler Trick. Besten Dank, Magda! - Bisher kannte ich nur diesen: 1) die letzten beiden Ziffern "89" können nur aus ...3^2 oder ...7^2 entstehen = einzige Endziffern, die als Quadratzahlen die "...9" ergeben. 2) Die verbleibenden Ziffern vorne "1108" sind > 33^2 = 1.089 und < 34^2 = 1.156 - Kopfrechnen mit 1. bin. Form.: (30 + 3)^2! bzw. (30 + 4)^2. 3) 33 * 34 (n+1, Mittelwert) berechnen = 1.122. Das ist > 33^2, also muss es die kleinere Endziffer, die 3 sein. Also 33 & 3 = 333 🙂 Anderes Bsp.: sqrt(13.924) = ? 1) "...4" kann nur aus ...2^2 oder ...8^2 entstehen. Also gelten asl mögliche, letzte Ziffern die 2 oder die 8. 2) Quradrat zahlen für die ersten 3 Ziffern suchen: 139 > 11^2 und < 12^2 3) Mittelmert 11 * 12 (n+1) = 132 4) 132 ist < als 139, also muss es von 2 und 8 die größere Zah l sein. 5) 11 & 8 = "118"
Ich hoffe, du bist nicht nur wegen der hübschen Frau hier! 😉 So wie beim Kanal MaiLab, den die Leute hauptsächlich wegen der Frau abonnieren, egal was sie für einen Unsinn redet ...
Wir hatten damals auf dem Gymnasium weder einen Taschenrechner noch ein Tabellenbuch und da mußten wir mit dieser Methode die Wurzeln ziehen. - Das ist allerdings 60 Jahre her 'g'
Statt der drei ungeraden Zahlen abziehen kann man natürlich auch schauen, welches die größte Quadratzahl ist, die in 11 reinpasst. Denn n² ist ja nichts anderes als die Summe der ersten n ungeraden Zahlen. Und der Trick beim schriftlichen Radizieren ist natürlich die Anwendung der 1. binomischen Formel.
Respekt! Wer kungelt sowas aus? Heute mit Rechner/Computer ist das nicht mehr so wichtig. Aber vor 100 Jahren wurde rumprobiert, bis es passte Verrückt 👍
Der zahlentheoretische Hintergrund wäre auch noch interessant gewesen. Der ist nämlich, dass die Summe von n aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen gleich dem Quadrat der Anzahl der summierten Zahlen ist. Das lässt sich hier nur schwer in mathematischer Schreibweise darstellen ohne Summenzeichen. Mal auf deutsch: Summe über alle 2k+1 von 0 bis n ist gleich n². Beispiele: erste Spalte Anzahl, zweite Spalte: Zahlen, dritte Spalte: Quadrat der Anzahl. 1: 1 1 2: 1+3 4 3: 1+3+5 9 4: 1+3+5+7 16 Der entscheidende Zusammenhang ist der zwischen erster und dritter Spalte.
Ein Erklärungsversuch, weshalb das klappt. Ich bin allerdings kein Mathematiker, weshalb die Erklärung etwas ungenau ist :): Die Wurzel ist ja die Umkehrfunktion von ^2. Diese kann man so bilden: 0+1=1, 1+3=4, 4+5=9, 9+7=16 etc. man addiert also jeweils die nächsthöhere ungerade Zahl. Mathematisch SUM(n*2-1). Wenn man also 1+3+5+7 (4 Summanden) zusammenzählt, kommt man auf 16. Wie eingangs erwähnt, ist die Wurzel nun die Umkehrung davon. Ähnlich wie bei der Division schaut man nun, wie oft diese "Quadrataddition" hineinpasst. Die Verdoppelung beim rüberziehen ist mir noch nicht ganz klar. Ich denke aber, dass es sich hier sozusagen um den mittleren Term der 1. binomischen Formel handelt (a^2+2ab+b^2). Man wiederholt gewissermassen den linken den mittleren Term, bis zum Abbruchkriterium.
Daumen hoch! Kurze Rückfrage an die Matheexpertin: ich müßte so doch auch z.B. √2 manuell ausrechnen können? Zur Not schiebe ich das Komma vorm Wurzelziehen um 4 Stellen nach rechts, dann ziehe ich √20000 und nach dem ich das Ergebnis habe, wieder 2 Stellen zurück nach links. Expertenmeinung?
Die Vorgehensweise ist etwas crazy und vor allem etwas kochrezeptmäßig unmathematisch. Damit man auch inhaltlich versteht, was man da macht: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n^2. Damit hat man bei einer fünf- oder sechsstelligen Quadratzahl schon den Hunderter H der Wurzel. Danach muss man dann immer abwechselnd schauen, wie oft das Doppelte des bereits feststehenden Teilergebnisses in den Rest (nachdem man eine weitere Ziffer runtergeholt hat) reinpasst und dann wieder das Quadrat davon abziehen. Also die Quadratzahl, die ja (H+Z+E)^2 ist (H=Hunderter, Z=Zehner, E=Einer) in H^2 +2H•Z + Z^2 + 2(H + Z)•E + E^2 zerlegen. Mist, das ist hier kompliziert zu erklären - ich mache mal irgendwann ein eigenes Video dazu… 😅
Ich kann noch schriftlich Quadratwurzeln ziehen, aber diesen Algorithmus kannte ich auch noch nicht. Wenn man sich aber zurücklehnt und darüber nachdenkt, sieht man, dass die eigentliche Rechnung dieselbe ist. Trotzdem super! Naja, aber "im Kopf berechnen" ist vielleicht etwas übertrieben, nicht wahr?
11 | 11 | 11| , 00 | 00 ... Erste Ziffer: 3 (3^2 < 11 < 4^2). Quadrat abziehen (11-3^2=2) und zweite Gruppe anhängen: 211. Jetzt wird abgezogen: 211 - 61 - 63 - 65 = 22. Das sind drei Terme, damit ist auch die zweite Ziffer eine 3. Nächste Gruppe anhängen: 2211. Wieder wird abgezogen: 2211 - 661 - 663 - 665 = 222. Wieder drei Terme, damit ist auch die dritte Ziffer eine 3. Die nächste Gruppe ist die erste nach dem Dezimalkomma, daher wird jetzt ein Dezimalkomma im Ergebnis fällig: 333,. Gruppe anhängen: 22200. Differenz bilden: 22200 - 6661 - 6663 - 6665 = 2211. Damit ist die nächste Ziffer schon wieder eine 3 (333,3...). Eine noch: Gruppe anhängen: 221100. Differenz bilden: 221100 - 66661 - 66663 - 66665 = 21111. Nächstes Zwischenergebnis: 333,33... Jetzt will ich es wissen: 2111100 - 666661 - 666663 - 666665 = 111111. Nächstes Zwischenergebnis: 333,333... Jetzt aber: 11111100 - 6666661 = 4444439. Zwischenergebnis 333,3331... Eine noch, dann ist Schluss: 444443900 - 66666621 - 66666623 - 66666625 - 66666627 - 66666629 - 66666631= 44444144. Zwischenergebnis: 333,33316... Ach, ich könnte ewig so weitermachen. Kann es eigentlich sein, dass das Verfahren umso fehleranfälliger wird, je mehr Ziffern man schon berechnet hat?
Dann kannst du an die 11 paarweise Nullen anhängen, z.B. 11 00 00 und den Faktor 10.000 als Kehrwert vor die Wurzel ziehen, hier 0,01. Je mehr Nullenpaare du anhängst, desto höher wird die Genauigkeit, aber auch der Aufwand.
In dieser Form kannte ich das Verfahren nicht. Ich kenne es so: Man bestimmt zunächst die größte Zahl, deren Quadrat kleiner gleich die erste Zahlengruppe ist. Das wäre die 3 (denn 3^2 11) und damit hätten wir die erste Ziffer. Das Quadrat wird von der ersten Gruppe abgezogen (11 - 3^2 = 2) und die zweite Gruppe an die Differenz angehängt (2 ⊕ 08 = 208). Danach wird folgendes Verfahren immer wiederholt: Wenn g die aktuelle Zahlengruppe ist und e das aktuelle Ergebnis, dann ist die nächste Ziffer die größte Ziffer z, so dass gilt: g >= z*(20*e + z). (Dahinter steckt in der Tat die binomische Formel (10*a + b)^2 = 100*a^2 + 20*a*b + b^2. Die aktuelle Zahlengruppe g entspricht dann 20*a*b + b^2 = b*(20*a + b).) Hier ist zunächst g = 208 und e = 3 und daraus folgt z = 3, denn 208 >= 3*63, aber 208 < 4*64. Dann wird das Produkt 3*63 von 208 abgezogen (208 - 189 = 19) und die nächste Gruppe angehängt, was 1989 ergibt. Und das Spiel wiederholt sich: Die nächste Ziffer ist erneut die 3, denn 1989 >= 3*663, aber 1989 < 4*664. Da 1989 exakt so viel ist wie 3*663, ergibt sich nach Differenzbildung der Wert 0 und wir haben unser Ergebnis, da keine weiteren Zahlen anzuhängen sind. Wichtig ist noch, dass die Zweiergruppen vom Dezimalkomma aus eingeteilt werden. Die Rechtfertigung für das im Video vorgeschlagene Verfahren basiert auf der gleichen Grundlage: ∑(i=1,z) (20*e+(2*i-1)) = (20*e*∑(i=1,z) 1) + (∑(i=1,z) (2*i-1)) = 20*e*z + z^2 = z*(20*e + z).
Jetzt bin ich baff! Das kannte ich noch nicht. Ich hätte diese Aufgabe ohne Taschenrechner nicht lösen können. Ich muss mal meinen Sohn fragen, der hatte höhere Mathematik im Studium zum Dipl. Wirtschaftsingenieur und kann auch sehr gut ohne Taschenrechner rechnen. Chapeau!
Ja, das Verfahren ist das schriftliche Wurzelziehen. Dazu gibt es einen wikipedia-Artikel. Noch interessanter wäre eine Erklärung gewesen, warum das Verfahren so funktioniert. Der wikipedia-Artikel erwähnt die binomischen Formeln. - Zum Kopfrechnen halte ich das Verfahren für nicht praktikabel. Selbst schriftlich ohne Taschenrechner ist es häufig nicht effizient, da die Subtraktionen aufgrund auftretender großer Zahlen doch recht mühselig sind. Mit dem Newton-Algorithmus geht es schneller.
Ich weiß nicht warum, beim ansehen der Zahl kam mir 333 in den Sinn und ich habe dies direkt mit dem Windows Taschenrechner gegengerechnet. Warum wusste ich das? Wahrscheinlich Zufall wegen der 9 am Ende und ich dachte direkt dass die Lösung eine 3 am Ende haben muss, also 333 probiert 🙂
Super. Sehr schönes Verfahren. Kannte ich noch nicht. Da die Zahl nicht sehr groß war und höchstwahrscheinlich eine Quadratzahl ist, habe ich es im Kopf gemacht: 1. Muss es zwischen 330 und 340 sein (33^2 ist 1089 und 34^2 ist 1156). 2. Da die Quadratzahl mit 9 endet, muss die Wurzel mit 3 oder 7 enden. 3. Da die Quadratzahl durch 9 teilbar ist, muss die Wurzel durch 3 teilbar sein. -> 333.
Krass! Kannte ich ebenfalls nicht. Deine Kollegin von "MathemaTrick" hat etwas ähnliches im Programm.(ua-cam.com/video/RQlnMPpLQFk/v-deo.htmlsi=ZQWmHcs6FryGNw-A) Das ist so ähnlich, dass ich vermute es hat einen ähnlichen oder oder gleichen Ursprung. Ich muss mir das bei Gelegenheit einmal genauer anschauen. Würde mich brennend interessieren, wie man das herleiten kann???
Hi Magda. You might have seen this but using this algorithm, you can calculate the exact square root of any number to any number of decimal places you want ... ua-cam.com/video/fyzj8wwKPGA/v-deo.html
@@magdaliebtmathe This is what students learn in class 8 I think, in India. It is very cool. There is a lot of cool math in their books. It is mostly very ancient math but very elegant and cool. They show you the very roots of mathematics which is usually not discussed anywhere. You would love those books if you went through them. Take care.
Indeed, these two algorithms are equivalent, because ∑(i=1,d) (20*r+(2*i-1)) = (20*r*∑(i=1,d) 1) + (∑(i=1,d) (2*i-1)) = 20*r*d + d^2 = d*(20*r + d). r is the result you got already and d is the new digit. The first expression is the basis of Magdas method, the last one the basis of yours (and I prefer it as well). Best regards from Germany.
sqrt(110889). Ich nehme mal an, daß Ergebnis ist ganzzahöig, sonst wird das im Kopf etwas schwierig, bin ja nicht der Rain Man. Die letzt Ziffer des Ergebnisses muß dann eine 3 oder 7 sein, denn 3^2 = 9 und 7^2 = 49. Da der Radikand ca. 100000 ist, also 6-stellig, muß das Ergebnis ca. 3-stellig sein. Halt: 100^2 = 1 Million. Das ist zuviel, also ist der Radikand maximal 99, also 2-stellig.
Quatsch, 100^3 = 1 Million, 10^2 = 10000, das ist viel zuwenig. Also ist die Wurzel doch dreistellig. Mal sehen, 500^2 = 250000, das ist zuviel. 400^2 = 160000, 30^2 = 90000, also muß die Wurzel zwischen 300 und 400 liegen, also 3x3 oder 3x4 lauten.
Sorry, Magda, aber das kann doch nicht Dein Ernst sein, daß man solch komplizierte Rechnungen laut Video "im Kopf" berechnen soll! Du machst doch im Video auch jede Menge Nebenrechnungen schriftlich.
Kannte ich so bisher nicht, ist aber wichtiger zu verstehen warum bei den einzelnen Schritten das überhaupt so funktionieren kann, (sowas macht ja meistens der Fuchs) Danke dafür!
Echt crazy! Aber funktioniert tatsächlich. Gefällt mir!👍
Interessant! Es würde mich interessieren, warum das so funktioniert. Aber ich könnte mir die Methode wahrscheinlich gar nicht merken😓
Boah, super! 🎉
Das macht richtig Spaß, dankeschön! ❤
Das freut mich! 🤗
Das ist bisher die genialste Art die Wurzel zu berechnen (und ich habe bisher zwei andere, komplizierte Arten gelernt)!
Jaaa, ich bin auch so begeistert davon, Frank! Total verrückt! 🤩
Muss jetzt nur noch verstehen, WARUM das klappt. Sowas triggert mich immer total 😃😅🙈.
@@magdaliebtmathe Faszinierend, verblüffend, verrückt! Hast du mittlerweile schon herausgefunden, warum dieser „Trick“ denn funktioniert? Wäre super, wenn du es in einem weiteren Video kommentieren beziehungsweise erläutern könntest!
Danke und schöne Grüße
Anna
Wow, Magda, toll! Das muss ich mir merken! Vielen Dank!
Sehr schön! Man kann nie genug kleine Tricks kennen!! 😃😃
WOW, kannte ich noch nicht. Danke fürs Teilen.
Sehr interessant, danke für die immer wieder erfrischenden Aufgaben!
Den Algorithmus sehe ich auch zum ersten Mal, sehr cool. Danke fürs zeigen!
Den Algorithmus kannte ich selbst bisher noch nicht. Es ist wirklich eine einfache und schnelle Möglichkeit Wurzeln ohne Taschenrechner zu berechnen, sehr schön :)
Durch die Einteilung in Pärchen kann man hier sogar zwei Aussagen zur Ergebniszahl machen, vorausgesetzt, es handelt sich bei dem Ergebnis auch um eine Ganzzahl.
Erstes Zahlenpärchen 11 gibt an, dass 9 die größtmögliche Quadratzahl unter 11 ist, daher beginnt die Ergebniszahl mit einer 3. Das letzte Zahlenpärchen hat eine 9 als letzte Ziffer, sodass die Ergebniszahl entweder auf eine 3 (Quadratzahl 9) oder eine 7 (Quadratzahl 49) endet. Einzig das mittlere Zahlenpärchen gibt keinen Aufschluss über die mittlere Ziffer des Ergebnisses, da das mittlere Zahlenpärchen durch alle drei Ziffern beeinflusst wird.
Ich kannte ihn noch nicht, aber ich finde ihn klasse.
Das Verfahren ist mir seit meiner frühen Jugend bekannt. Damals war die Handkurbelrechenmaschine von meinem Vater mein Lieblingsspielzeug. Nach genau diesem Verfahren konnte man mit dieser Kurbelmaschine Quadratwurzeln ziehen. Diese Methode funktioniert so: wenn man ungerade Zahlen addiert erhält man immer Quadratzahlen. Deshalb muß man umgekehrt beim subtrahieren von ungeraden Zahlen auf die Wurzel kommen.
Deine Aussage "Wenn man ungerade Zahlen addiert erhält man immer Quadratzahlen" ist leider falsch.
Hier der Widerspruchsbeweis: (2 ungerade Zahlen miteinander addiert) bspw. 3 + 5 = 8.
8 ist keine Quadratzahl.
Leider missverständlich und falsch ausgedrückt, aber richtig gemeint: Wenn man eine Reihe aufeinanderfolgender ungerader Zahlen beginnend mit 1 aufaddiert, erhält man eine Quadratzahl.
Genial!😊
Cooler Trick. Besten Dank, Magda! - Bisher kannte ich nur diesen: 1) die letzten beiden Ziffern "89" können nur aus ...3^2 oder ...7^2 entstehen = einzige Endziffern, die als Quadratzahlen die "...9" ergeben. 2) Die verbleibenden Ziffern vorne "1108" sind > 33^2 = 1.089 und < 34^2 = 1.156 - Kopfrechnen mit 1. bin. Form.: (30 + 3)^2! bzw. (30 + 4)^2. 3) 33 * 34 (n+1, Mittelwert) berechnen = 1.122. Das ist > 33^2, also muss es die kleinere Endziffer, die 3 sein. Also 33 & 3 = 333 🙂
Anderes Bsp.: sqrt(13.924) = ?
1) "...4" kann nur aus ...2^2 oder ...8^2 entstehen. Also gelten asl mögliche, letzte Ziffern die 2 oder die 8.
2) Quradrat zahlen für die ersten 3 Ziffern suchen: 139 > 11^2 und < 12^2
3) Mittelmert 11 * 12 (n+1) = 132
4) 132 ist < als 139, also muss es von 2 und 8 die größere Zah l sein.
5) 11 & 8 = "118"
Das geht natürlich nur, wenn du im Vorfeld schon weißt, dass es sich tatsächlich um eine Quadratzahl handelt ...
Tolle Sache. Und eine sehr hübsche Rechnerin :)
Dankeschön! 😊 Bist du neu auf dem Kanal gelandet?
@@magdaliebtmathe Bitte schön! Jap, Heute entdeckt...
@@mir6685 Wie cool! Na dann herzlich willkommen! 😇🙋🏽♀️
Ich hoffe, du bist nicht nur wegen der hübschen Frau hier! 😉 So wie beim Kanal MaiLab, den die Leute hauptsächlich wegen der Frau abonnieren, egal was sie für einen Unsinn redet ...
Aber keine Taschenrechnerin. Denn DIE steckst du so schnell nicht in die Tasche! 😄
Wir hatten damals auf dem Gymnasium weder einen Taschenrechner noch ein Tabellenbuch und da mußten wir mit dieser Methode die Wurzeln ziehen.
- Das ist allerdings 60 Jahre her 'g'
Statt der drei ungeraden Zahlen abziehen kann man natürlich auch schauen, welches die größte Quadratzahl ist, die in 11 reinpasst. Denn n² ist ja nichts anderes als die Summe der ersten n ungeraden Zahlen.
Und der Trick beim schriftlichen Radizieren ist natürlich die Anwendung der 1. binomischen Formel.
Respekt!
Wer kungelt sowas aus?
Heute mit Rechner/Computer ist das nicht mehr so wichtig.
Aber vor 100 Jahren wurde rumprobiert, bis es passte
Verrückt 👍
Das frage ich mich auch immer! Auf sowas muss man ja erstmal kommen!! 😃😅
bin platt, warum wird das nicht in der Schule unterrichtet. Kannst du Analysieren warum das funktioniert.
Ich glaube nicht, dass ich sowas mal im Alltag brauchen könnte. Aber die Herleitung des Tricks würde mich schon interessieren!...
Der zahlentheoretische Hintergrund wäre auch noch interessant gewesen.
Der ist nämlich, dass die Summe von n aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen gleich dem Quadrat der Anzahl der summierten Zahlen ist. Das lässt sich hier nur schwer in mathematischer Schreibweise darstellen ohne Summenzeichen. Mal auf deutsch: Summe über alle 2k+1 von 0 bis n ist gleich n².
Beispiele: erste Spalte Anzahl, zweite Spalte: Zahlen, dritte Spalte: Quadrat der Anzahl.
1: 1 1
2: 1+3 4
3: 1+3+5 9
4: 1+3+5+7 16
Der entscheidende Zusammenhang ist der zwischen erster und dritter Spalte.
Ja, genau so!
Das war mir nicht bekannt. Aber warum funktioniert das so? Ich habe noch keine Erklärung gefunden. Ich bin baff!
Ich weiß es auch noch nicht! Hat etwas damit zu tun, dass man jede Quadratzahl in eine Summe von ungeraden Zahlen zerlegen kann... 😃
Deze kende ik nog niet, leuke truc!
🧡🧡🧡
Ein Erklärungsversuch, weshalb das klappt. Ich bin allerdings kein Mathematiker, weshalb die Erklärung etwas ungenau ist :): Die Wurzel ist ja die Umkehrfunktion von ^2. Diese kann man so bilden: 0+1=1, 1+3=4, 4+5=9, 9+7=16 etc. man addiert also jeweils die nächsthöhere ungerade Zahl. Mathematisch SUM(n*2-1). Wenn man also 1+3+5+7 (4 Summanden) zusammenzählt, kommt man auf 16. Wie eingangs erwähnt, ist die Wurzel nun die Umkehrung davon. Ähnlich wie bei der Division schaut man nun, wie oft diese "Quadrataddition" hineinpasst. Die Verdoppelung beim rüberziehen ist mir noch nicht ganz klar. Ich denke aber, dass es sich hier sozusagen um den mittleren Term der 1. binomischen Formel handelt (a^2+2ab+b^2). Man wiederholt gewissermassen den linken den mittleren Term, bis zum Abbruchkriterium.
Wie ist das mit kubik wurzel
Daumen hoch! Kurze Rückfrage an die Matheexpertin: ich müßte so doch auch z.B. √2 manuell ausrechnen können? Zur Not schiebe ich das Komma vorm Wurzelziehen um 4 Stellen nach rechts, dann ziehe ich √20000 und nach dem ich das Ergebnis habe, wieder 2 Stellen zurück nach links. Expertenmeinung?
@@_H__T_
2 ist keine Quadratzahl.
Ich denke ich nehme lieber den Taschenrechner 😜
hallo geht es auch mit zweistelligen zahlen zb wurzel aus 76
Probier es mal aus, das Problem wird sein, dass die 76 keine Quadratzahl ist. 😉
Wie ist es, wenn das erste Pärchen eine 99 ist?
Die Vorgehensweise ist etwas crazy und vor allem etwas kochrezeptmäßig unmathematisch. Damit man auch inhaltlich versteht, was man da macht: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n^2. Damit hat man bei einer fünf- oder sechsstelligen Quadratzahl schon den Hunderter H der Wurzel. Danach muss man dann immer abwechselnd schauen, wie oft das Doppelte des bereits feststehenden Teilergebnisses in den Rest (nachdem man eine weitere Ziffer runtergeholt hat) reinpasst und dann wieder das Quadrat davon abziehen. Also die Quadratzahl, die ja (H+Z+E)^2 ist (H=Hunderter, Z=Zehner, E=Einer) in H^2 +2H•Z + Z^2 + 2(H + Z)•E + E^2 zerlegen.
Mist, das ist hier kompliziert zu erklären - ich mache mal irgendwann ein eigenes Video dazu… 😅
Hey Lenn! Mach das gern! Ich hab mich bisher noch nicht dazu durchringen können den Algorithmus in einem Video zu erklären. 😃😅
... und plötzlich ist es auch "kochrezeptmäßig"....
Diese Art zu rechnen, hat auch einen bestimmten Namen "Satz des He...."
Ich kann noch schriftlich Quadratwurzeln ziehen, aber diesen Algorithmus kannte ich auch noch nicht. Wenn man sich aber zurücklehnt und darüber nachdenkt, sieht man, dass die eigentliche Rechnung dieselbe ist. Trotzdem super! Naja, aber "im Kopf berechnen" ist vielleicht etwas übertrieben, nicht wahr?
Stimmt, zwischen "ohne Taschenrechner!" und "Im Kopf!" gibt es natürlich noch einen Unterschied. 😉
Diese Zahl durch kleinere Quadratzahlen teilen,hier ist die Quersumme durch 9 teilbar..daraus folgt,auch der Radikant
Susanne hat dazu auch mal ein Video gedreht.
Coole Sache! Würdest du uns auch verraten, wie es weitergeht, wenn beim letzten Päckchen der Rest nicht 0 ist? Zb bei √111111
11 | 11 | 11| , 00 | 00 ... Erste Ziffer: 3 (3^2 < 11 < 4^2). Quadrat abziehen (11-3^2=2) und zweite Gruppe anhängen: 211. Jetzt wird abgezogen: 211 - 61 - 63 - 65 = 22. Das sind drei Terme, damit ist auch die zweite Ziffer eine 3. Nächste Gruppe anhängen: 2211. Wieder wird abgezogen: 2211 - 661 - 663 - 665 = 222. Wieder drei Terme, damit ist auch die dritte Ziffer eine 3. Die nächste Gruppe ist die erste nach dem Dezimalkomma, daher wird jetzt ein Dezimalkomma im Ergebnis fällig: 333,. Gruppe anhängen: 22200. Differenz bilden: 22200 - 6661 - 6663 - 6665 = 2211. Damit ist die nächste Ziffer schon wieder eine 3 (333,3...). Eine noch: Gruppe anhängen: 221100. Differenz bilden: 221100 - 66661 - 66663 - 66665 = 21111. Nächstes Zwischenergebnis: 333,33... Jetzt will ich es wissen: 2111100 - 666661 - 666663 - 666665 = 111111. Nächstes Zwischenergebnis: 333,333... Jetzt aber: 11111100 - 6666661 = 4444439. Zwischenergebnis 333,3331... Eine noch, dann ist Schluss: 444443900 - 66666621 - 66666623 - 66666625 - 66666627 - 66666629 - 66666631= 44444144. Zwischenergebnis: 333,33316... Ach, ich könnte ewig so weitermachen. Kann es eigentlich sein, dass das Verfahren umso fehleranfälliger wird, je mehr Ziffern man schon berechnet hat?
Aber wie sieht das mit Wurzeln, deren Ergebnis eine Kommazahl ist, zb bei der Wurzel aus 11?
Dann kannst du an die 11 paarweise Nullen anhängen, z.B. 11 00 00 und den Faktor 10.000 als Kehrwert vor die Wurzel ziehen, hier 0,01. Je mehr Nullenpaare du anhängst, desto höher wird die Genauigkeit, aber auch der Aufwand.
In dieser Form kannte ich das Verfahren nicht. Ich kenne es so: Man bestimmt zunächst die größte Zahl, deren Quadrat kleiner gleich die erste Zahlengruppe ist. Das wäre die 3 (denn 3^2 11) und damit hätten wir die erste Ziffer. Das Quadrat wird von der ersten Gruppe abgezogen (11 - 3^2 = 2) und die zweite Gruppe an die Differenz angehängt (2 ⊕ 08 = 208). Danach wird folgendes Verfahren immer wiederholt: Wenn g die aktuelle Zahlengruppe ist und e das aktuelle Ergebnis, dann ist die nächste Ziffer die größte Ziffer z, so dass gilt: g >= z*(20*e + z). (Dahinter steckt in der Tat die binomische Formel (10*a + b)^2 = 100*a^2 + 20*a*b + b^2. Die aktuelle Zahlengruppe g entspricht dann 20*a*b + b^2 = b*(20*a + b).) Hier ist zunächst g = 208 und e = 3 und daraus folgt z = 3, denn 208 >= 3*63, aber 208 < 4*64. Dann wird das Produkt 3*63 von 208 abgezogen (208 - 189 = 19) und die nächste Gruppe angehängt, was 1989 ergibt. Und das Spiel wiederholt sich: Die nächste Ziffer ist erneut die 3, denn 1989 >= 3*663, aber 1989 < 4*664. Da 1989 exakt so viel ist wie 3*663, ergibt sich nach Differenzbildung der Wert 0 und wir haben unser Ergebnis, da keine weiteren Zahlen anzuhängen sind. Wichtig ist noch, dass die Zweiergruppen vom Dezimalkomma aus eingeteilt werden. Die Rechtfertigung für das im Video vorgeschlagene Verfahren basiert auf der gleichen Grundlage: ∑(i=1,z) (20*e+(2*i-1)) = (20*e*∑(i=1,z) 1) + (∑(i=1,z) (2*i-1)) = 20*e*z + z^2 = z*(20*e + z).
Jetzt bin ich baff! Das kannte ich noch nicht. Ich hätte diese Aufgabe ohne Taschenrechner nicht lösen können. Ich muss mal meinen Sohn fragen, der hatte höhere Mathematik im Studium zum Dipl. Wirtschaftsingenieur und kann auch sehr gut ohne Taschenrechner rechnen. Chapeau!
Warum lernt man das in der Schule nicht (mehr)? 😭
Weiß ich auch nicht... 😃
Ja, das Verfahren ist das schriftliche Wurzelziehen. Dazu gibt es einen wikipedia-Artikel. Noch interessanter wäre eine Erklärung gewesen, warum das Verfahren so funktioniert. Der wikipedia-Artikel erwähnt die binomischen Formeln. - Zum Kopfrechnen halte ich das Verfahren für nicht praktikabel. Selbst schriftlich ohne Taschenrechner ist es häufig nicht effizient, da die Subtraktionen aufgrund auftretender großer Zahlen doch recht mühselig sind. Mit dem Newton-Algorithmus geht es schneller.
Also mit n = x - f(x) * 1/(d/dx f(x)
V4=8/4 , V9=9/3
V2=a/b a=? , b=?
Ich weiß nicht warum, beim ansehen der Zahl kam mir 333 in den Sinn und ich habe dies direkt mit dem Windows Taschenrechner gegengerechnet.
Warum wusste ich das? Wahrscheinlich Zufall wegen der 9 am Ende und ich dachte direkt dass die Lösung eine 3 am Ende haben muss, also 333 probiert 🙂
Effektiv, aber ineffizient🙃
Super. Sehr schönes Verfahren. Kannte ich noch nicht. Da die Zahl nicht sehr groß war und höchstwahrscheinlich eine Quadratzahl ist, habe ich es im Kopf gemacht:
1. Muss es zwischen 330 und 340 sein (33^2 ist 1089 und 34^2 ist 1156).
2. Da die Quadratzahl mit 9 endet, muss die Wurzel mit 3 oder 7 enden.
3. Da die Quadratzahl durch 9 teilbar ist, muss die Wurzel durch 3 teilbar sein.
-> 333.
Krass! Kannte ich ebenfalls nicht. Deine Kollegin von "MathemaTrick" hat etwas ähnliches im Programm.(ua-cam.com/video/RQlnMPpLQFk/v-deo.htmlsi=ZQWmHcs6FryGNw-A) Das ist so ähnlich, dass ich vermute es hat einen ähnlichen oder oder gleichen Ursprung. Ich muss mir das bei Gelegenheit einmal genauer anschauen. Würde mich brennend interessieren, wie man das herleiten kann???
Hi Magda. You might have seen this but using this algorithm, you can calculate the exact square root of any number to any number of decimal places you want ... ua-cam.com/video/fyzj8wwKPGA/v-deo.html
Oh wow! Need to check that out! 😍🤩
@@magdaliebtmathe This is what students learn in class 8 I think, in India. It is very cool. There is a lot of cool math in their books. It is mostly very ancient math but very elegant and cool. They show you the very roots of mathematics which is usually not discussed anywhere. You would love those books if you went through them. Take care.
Indeed, these two algorithms are equivalent, because ∑(i=1,d) (20*r+(2*i-1)) = (20*r*∑(i=1,d) 1) + (∑(i=1,d) (2*i-1)) = 20*r*d + d^2 = d*(20*r + d). r is the result you got already and d is the new digit. The first expression is the basis of Magdas method, the last one the basis of yours (and I prefer it as well). Best regards from Germany.
Luschtig😂 Da lerne ich lieber Teilbarkeitsregeln und mache Primfaktorzerlegung.
Ich habe in der Deutsch Schulaufgabe eine 5
😔
@@wilmafeuerstein9028 ja ich bin echt gestürzt, aber wie immer heißt es weiter geht’s
@@footballfactssky5057 Welches Thema hast du denn vergeigt?
@@wilmafeuerstein9028 ich glaube an mich, um den Turnaround hinzubekommen!!! Das Thema war eine Sachtextanalyse
@@footballfactssky5057 OK, schaffst du! Das nächste Thema liegt dir dann besser 😉
Naja, im Kopf berechnet hast das aber nicht, denn sonst würdest du nichts dazuschreiben und noch dazu sogar Nebenrechnungen schriftlich ausführen!
WTF!!!
Wer kommt auf Sowas?
sqrt(110889). Ich nehme mal an, daß Ergebnis ist ganzzahöig, sonst wird das im Kopf etwas schwierig, bin ja nicht der Rain Man. Die letzt Ziffer des Ergebnisses muß dann eine 3 oder 7 sein, denn 3^2 = 9 und 7^2 = 49.
Da der Radikand ca. 100000 ist, also 6-stellig, muß das Ergebnis ca. 3-stellig sein. Halt:
100^2 = 1 Million. Das ist zuviel, also ist der Radikand maximal 99, also 2-stellig.
Quatsch, 100^3 = 1 Million, 10^2 = 10000, das ist viel zuwenig. Also ist die Wurzel doch dreistellig. Mal sehen, 500^2 = 250000, das ist zuviel. 400^2 = 160000, 30^2 = 90000, also muß die Wurzel zwischen 300 und 400 liegen, also 3x3 oder 3x4 lauten.
Quatsch, 300^2 = 90000 und 400^2 = 160000, also liegt die Wurzel zwischen 300 und 400, muß also 3x3 oder 3x7 lauten, wegen der Endziffer.
Sorry, Magda, aber das kann doch nicht Dein Ernst sein, daß man solch komplizierte Rechnungen laut Video "im Kopf" berechnen soll! Du machst doch im Video auch jede Menge Nebenrechnungen schriftlich.