Rechenregeln, Addition, Subtraktion, Skalar- und Vektorprodukt in Kurzform Alle Videos und Skripte: www.phys.ch Niveau der videos: * Einfach, * Berufsschule / Gymnasium, ** Uni / FH
Aber die Grundlagen gelegt um das jetzt so schnell zu verstehen. Ich bin mir sicher ohne den Unterricht wäre aus dem Video auch nichts hängen geblieben.
Klasse erklärt, hab mich im Zuge meines Studiums damit befassen müssen und das Video hat mich echt weiter gebracht. Top!! (y) PS: der Dialekt ist sau gut! :D hat gleich viel mehr Spaß gemacht. :)
Vielen dank bitte bleiben sie an ihren Videos dran sie sind sehr lehrreich und daraus resultierend natürlich umso hilfreicher in der schule. Möchte wissen wie viele Noten sich dank ihnen verbessert haben,auf jeden fall sehr edel von ihnen sich die zeit zu nehmen für andere wissensbedürftige menschen solche videos zu organisieren und ins netz zu stellen. Daumen hoch (Y) :D
Super Video, aber bei der Bildung der mittleren Komponente bei 9:25 muss man doch a3b1-a1b3 nehmen oder? Steht so in der Formelsammlung und so haben wir es auch gelernt. Kommen auch unterschiedliche Ergebnisse raus!
Hi, Danke für das hilfreiche Video! Warum muss das Ergebnis der mittleren Komponente bei der Vektormultiplikation mit -1 malgenommen werden (Ca.bei 9:40)? In den Schulbüchern steht das nicht drin.
Sehr gut erklärt, ich gehe in Klasse 9 und interessiere mich sehr für Mathematik ich habe gelesen das Vektoren ein wichtiger Bestandteil der Abiturprüfung ist aber so schwer ists nich oder wie gesagt sehr verständlich erklärt.
Light Yagami ich mein generell die Vekorrrechnung, die wird sowieso in der Schule vernachlässigt auf den Wirtschaftgymnasien im Saarland befasst man sich nur 1/2 von 3 Jahren damit und die Abiprüfungen in der Analytischen Geometrie bekommt für mich jeder Schimpanse hin. Das ist gar nix und die Anwendungsaufgaben muss man in Standartschemen übersetzten und konzentriert runter rechnen passt schon :)
Dankeschön! Sie erklären sehr gut und haben ein angenehme Stimme. Mathe Professoren sollten öfter Farben verwenden, dadurch prägt man sich sehr viel ein. L.G. aus Österreich
Auch ich möchte Ihnen sowohl danken als auch gratulieren, dass Sie einem, der nicht wusste, was Vektoren sind, binnen einiger Minuten erklärt haben, worum es da eigentlich geht. SUPER!
Hallo, was würde rauskommen wenn ich einen Vektor im Raum (3 Komponenten) mit sein transponierten multipliziere ? a) Ein Skalar ? b) Eine Matrix? können sie einen Beispiel rechnen ?
Sehr geehrter Herr Mueller. Ihre Videos sind eine echte Hilfe. Ich besuche derzeit das 1. Semester an einer Technikerschule HF. Vielen Dank für die Mühe !
Sehr gutes Video. Leider gibt es einen Fehler beim Vektorprodukt. Beim Beispiel wurde a1b3-a3b1 gerechnet. Laut der Regel ist es aber a3b1-a1b3. Macht in dieser Rechnung keinen Unterschied, in manchen anderen aber schon.
Außerdem wird das Kreuzprodukt oft verwendet, um physikalische Gesetze zu formulieren. Beispielsweise wirkt auf eine elektrische Ladung q mit Geschwindigkeitsvektor v im Magnet(vektor)feld B ein Kraftvektor F senktrecht zu v und B und es gilt: F=q*v×B. Generell ist es praktisch, um Vektoren zu finden, welche normal zueinander sind. Beispielsweise sind die kartesischen Koordinatenachsen alle normal zueinander und es gilt für die Einheitsvektoren (normiert auf Betrag 1) e_x, e_y und e_z: e_z=e_x×e_y. Eine weitere Anwendung finden diese Produkte bei der Berechnung des Volumens eines Parallelepipeds. Wird ein Parallelepiped durch die Vektoren a, b und c aufgespannt, so gilt für das Volumen V: V=(a×b)⋅c
Wow so ein super Video! Ich habe Mathe als Leistungskurs und hatte Schwierigkeiten mit der Vektorrechnung die letzten paar Wochen aber nach diesem video habe ich keine fragen mehr!!
Sie sind ein Held. Bis jetzt hatte ich keine Werbung in ihrem Kanal, und alles sachlich und sehr anschaulich erklärt. Das ist wahre Qualität, die sicher auch sehr viel Zeit gekostet hat. Also ein „Bravo“ von meiner Seite aus !
Perfekt auf den Punkt gebracht. Ich kannte bisher nur eine andere Art, um das Vektorprodukt auszurechnen- und jetzt eine mehr- Danke dafür! Viele Wege führen nach Rom:)
Habe den Kram im ABI 1998-2000 nie verstanden! Heute nach 20 Jahren kapiere ich endlich wofür diese ganze Rechnerei steht. Konnten das meine Lehrer damals nicht auch einmal praktischer angehen... DANKE Herr Müller!!! Beste Grüße von Frau Müller :)
Sehr geehrter Herr Müller, Ich habe zwei Fragen an Sie und zwar: wieso kann man in ein Koordinatensystem mehrere Vektoren unterschiedlicher Einheiten einzeichnen, schließlich repräsentiert ein E-Feld Vektor keinen Punkt im R^3. Und wieso kann ich meine Basis immer für einen Vektor wählen, wenn ich z.B. den Vektor (2,5,3) habe, dann hängt dieser 'Pfeil' vom Koordiantensystem ab, in der Physik hat man aber häufig Vektoren, die fest sind, unabhängig vom System. In welchem Raum leben diese denn dann überhaupt? LG R.L.
Gute Fragen… zum ersten Teil: Die drei Basisvektoren definieren (zusammen mit ihren EInheiten) die Art der Vektoren, um die es geht. Das müssen nicht unbedingt Ortsvektoren sein, sondern können auch Kräfte, Efelder oder anderes bedeuten. Die Darstellung als Linearkombination ist dann aber in allen Fällen vom Prinzip her gleich. Wenn man zwei Sorten Vektoren gleichzeitig ins Koordinatensstem zeichnet, sollte man eigentlich die Basisvektoren auch unterscheiden. Das kann man zB mit Farben machen. Zur zweiten Frage: es betrifft ein ähnliches Thema wie die Frage 1. Die Linearkombination der Basisvektoren wird in allen Fällen gleich dargestellt, es kommt nur darauf an, wie die Basisvektoren definiert sind. Oft sind die Vektoren dann zusätzlich Orts-abhängig, zB ein Geschwindigkeitsfeld einer Windströmung, dann hat man die drei Geschwindigkeitsvektoren, die an Raumpunkten angeheftet werden. Die Einheiten der Vektoren sind aber m/s, ihre Länge hat somit im Ortsraum keine Bedeutung.
Gute Frage. Der Vektor des Vektorprodukts hat die Einheit einer Fläche: m^2. Es ist somit ein wenig heikel, ihn ins gleiche Koordinatensystem wie die beiden ursprünglichen Vektoren zu zeichnen.
Man kann auch ganz ohne Vektoren auskommen und die "normalen" Rechenregeln für die einzelnen Komponenten benutzen. Irgendwann merkt man aber, dass die Schreibweise mit Vektoren die Rechnungen enorm erleichtern.
Dafür gibts keine graphische Interpretation. Das Skalarprodukt ist die Länge der Projektion des ersten Vektors auf den zweiten, multipliziert mit der Länge des zweiten Vektors.
Bei Zeitmarke ua-cam.com/video/KSEOCeC2zTs/v-deo.html ist ein Fehler: Es wird gesagt: "1x4 - 2x2", muß aber heißen: "2x2 - 1x4". Man beginnt immer eine Zeile UNTER der ignorierten. Nur weil beides 4 ergibt, bleibt zufällig das Ergebnis richtig. Bitte eine Notiz/Annotation an der Stelle einfügen (oder Videokorrektur mit geneauerer Erkklärung hineinschneiden), damit es niemand falsch lernt.
Genervter Benutzer lösch deinen Kommentar lieber, eh er andere Nutzer wirr macht. Wir lernen es auch ohne Minus, aber in seiner Methode wird anders gekreuzt dafür aber halt extra Minus genommen. Es kommt aufs Gleiche raus.
4 Wochen Matheunterricht in a Nutshell :D Vielen Dank! :)
12 Minuten und ich habe alles auf Anhieb verstanden....Mein Mathelehrer hat das in fast einem Monat nicht hinbekommen! Danke!
Aber die Grundlagen gelegt um das jetzt so schnell zu verstehen.
Ich bin mir sicher ohne den Unterricht wäre aus dem Video auch nichts hängen geblieben.
@@user-ke3hh4fv3k save
Klasse erklärt, hab mich im Zuge meines Studiums damit befassen müssen und das Video hat mich echt weiter gebracht.
Top!! (y)
PS: der Dialekt ist sau gut! :D hat gleich viel mehr Spaß gemacht. :)
+Johannes H. Freut mich, Danke!
Vielen dank bitte bleiben sie an ihren Videos dran sie sind sehr lehrreich und daraus resultierend natürlich umso hilfreicher in der schule. Möchte wissen wie viele Noten sich dank ihnen verbessert haben,auf jeden fall sehr edel von ihnen sich die zeit zu nehmen für andere wissensbedürftige menschen solche videos zu organisieren und ins netz zu stellen. Daumen hoch (Y) :D
Absolut genial gemacht. Weiter so, und vielen Dank !!!!
+David Quabeck Danke!
warum kann ich 5 minuten dieses Videos schauen und verstehe mehr als nach 3 Wochen Mathematikunterricht. Top Erklärt wirklich
Sehr gutes Video habe endlich das Thema kapiert.
Respekt! Super Video
Sehr starkes Video
Super Video, aber bei der Bildung der mittleren Komponente bei 9:25 muss man doch a3b1-a1b3 nehmen oder? Steht so in der Formelsammlung und so haben wir es auch gelernt. Kommen auch unterschiedliche Ergebnisse raus!
Mit dem Minuszeichen kommt dasselbe heraus.
1 mal schauen, schon verstanden :D
Einfach prima
Sehr gutes Video. Mehr verstanden. Hoffe, finde noch mehr Videos, die so gut erklären.
Meinen a**** gerettet in 12 Minuten. Vielen Dank
Wunderbar erklärt :)
Hi,
Danke für das hilfreiche Video!
Warum muss das Ergebnis der mittleren Komponente bei der Vektormultiplikation mit -1 malgenommen werden (Ca.bei 9:40)? In den Schulbüchern steht das nicht drin.
Es kommt auf die Reihenfolge der Rechnung davor an… wenn Sie dies vergleichen, sehen Sie, dass dasselbe herauskommt
Sehr gut erklärt, ich gehe in Klasse 9 und interessiere mich sehr für Mathematik ich habe gelesen das Vektoren ein wichtiger Bestandteil der Abiturprüfung ist aber so schwer ists nich oder wie gesagt sehr verständlich erklärt.
das wird noch bisschen schwieriger, das hier sind nur die Grundlagen
das Problem sind die Anwendungsaufgaben
Light Yagami ich mein generell die Vekorrrechnung, die wird sowieso in der Schule vernachlässigt auf den Wirtschaftgymnasien im Saarland befasst man sich nur 1/2 von 3 Jahren damit und die Abiprüfungen in der Analytischen Geometrie bekommt für mich jeder Schimpanse hin. Das ist gar nix und die Anwendungsaufgaben muss man in Standartschemen übersetzten und konzentriert runter rechnen passt schon :)
+Lukas Weyland weiter so Lukas
Man versteht unter Vektoren auch Matrizen! Wie kann ich graphisch in diesem Fall Vektoren vorstellen? Danke
4:36 und ich bin schon weiter als nach 2 qualvollen Monaten Matheunterricht.
smile...
Danke Herr Müller
homeschooling gerettet :D
Mathematiker sind wirklich die kopflastigsten Menschen die ich kenne.warum kann man alles nicht einfach wie bei einem Baby erklären.
Dankeschön! Sie erklären sehr gut und haben ein angenehme Stimme. Mathe Professoren sollten öfter Farben verwenden, dadurch prägt man sich sehr viel ein.
L.G. aus Österreich
Auch ich möchte Ihnen sowohl danken als auch gratulieren, dass Sie einem, der nicht wusste, was Vektoren sind, binnen einiger Minuten erklärt haben, worum es da eigentlich geht. SUPER!
Sehr gutes Video, Sie retten meine Matheklausur morgen! Danke ^^
Da sind wir schon zu zweit^^
Ich mag dein Profilbild :D
Richtig gut erklärt
Hallo Herr Müller,
Ihre Videos sind sehr hilfreich! Dank Ihnen habe ich die Vektorberechnung verstanden. Von mir haben sie den Daumen nach oben!
Enis Mantar Danke!
Gymnasium ist so schwer ich bin am heulen
Sorry aber ein richtungsvektor ab wird doch b-a gerechnet.... und nicht a+b
G'scheid guade Erklärung "do legst de nieda", da steht der morgigen Maths Matura nix mehr im Wege!
Vielen Dank Herr Müller ^.^/
Top vorbereitet auf die Matheklausur ! Danke! :)
Ich habe als nächstes Thema Vektorechnung und dank Ihnen habe ich es verstanden bevor wir mit dem Thema angefangen haben:D Weiter so Herr Müller 👍
+Oguzcan Coban So soll es sein :-D
Hallo,
was würde rauskommen wenn ich einen Vektor im Raum (3 Komponenten) mit
sein transponierten multipliziere ?
a) Ein Skalar ?
b) Eine Matrix?
können sie einen Beispiel rechnen ?
Er kann. Die Frage ist, kannst du das jetzt auch? Du hattest 4 Monate Zeit es zu lernen. Hast du? :-P :-D ;-)
Sehr geehrter Herr Mueller. Ihre Videos sind eine echte Hilfe. Ich besuche derzeit das 1. Semester an einer Technikerschule HF. Vielen Dank für die Mühe !
Freut mich, danke!
Vektor multipliziert Vektor. Können SIe ein Beispiel aus der Physik nenne?
Definition der Arbeit als Skalarprodukt aus Kraft mal Weg.
Definition der Lorentzkraft als Vektorprodukt aus Geschwindigkeit und Magnetfeld
Super Video! Danke!
ehr gutes Video. Mehr verstanden. Hoffe, finde noch mehr Videos, die so gut erklären.
danke genosse
Kurz, knapp und Verständlich, sehr hilfreich!
Viele Jahre später und nun endlich verstanden! 😅
Sie haben die Vektorrechnung sehr anschaulich und verständlich erklärt, danke
verstehe bei 11:48 einfach Artvektor ;)
hahah echt so ^^aber mega gut erklärt, danke
Besten Dank für die sorgfältige Erklärung!
Morgen Mathe abi xD das kann was werden
👍👌👌🙏🙏👍
Thank you
Sehr gutes Video. Leider gibt es einen Fehler beim Vektorprodukt. Beim Beispiel wurde a1b3-a3b1 gerechnet. Laut der Regel ist es aber a3b1-a1b3. Macht in dieser Rechnung keinen Unterschied, in manchen anderen aber schon.
8:38 wofür wird dies benötigt, also als Bsp.?
DerDonut Wenn man zu zwei Vektoren einen senkrechten Vektor sucht. Zum Beispiel um die Normalenform einer Ebenengleichung aufzustellen.
Außerdem wird das Kreuzprodukt oft verwendet, um physikalische Gesetze zu formulieren. Beispielsweise wirkt auf eine elektrische Ladung q mit Geschwindigkeitsvektor v im Magnet(vektor)feld B ein Kraftvektor F senktrecht zu v und B und es gilt: F=q*v×B. Generell ist es praktisch, um Vektoren zu finden, welche normal zueinander sind. Beispielsweise sind die kartesischen Koordinatenachsen alle normal zueinander und es gilt für die Einheitsvektoren (normiert auf Betrag 1) e_x, e_y und e_z: e_z=e_x×e_y. Eine weitere Anwendung finden diese Produkte bei der Berechnung des Volumens eines Parallelepipeds. Wird ein Parallelepiped durch die Vektoren a, b und c aufgespannt, so gilt für das Volumen V: V=(a×b)⋅c
Danke,danke,danke, hast mir sehr weitergeholfen :))
Ein waschechter Ehrenmathematiker
Super Video :) Besser als mein Mathelehrer!!
Großes Kompliment! Grafisch gezeigt, welche Auswirkung welche Rechnung hat, so einfach stelle ich mir Vorlesungen vor.. leider ab von der Realität!
Wow so ein super Video! Ich habe Mathe als Leistungskurs und hatte Schwierigkeiten mit der Vektorrechnung die letzten paar Wochen aber nach diesem video habe ich keine fragen mehr!!
Sie sind ein Held. Bis jetzt hatte ich keine Werbung in ihrem Kanal, und alles sachlich und sehr anschaulich erklärt. Das ist wahre Qualität, die sicher auch sehr viel Zeit gekostet hat. Also ein „Bravo“ von meiner Seite aus !
Du hast mein Leben geretet
Perfekt auf den Punkt gebracht. Ich kannte bisher nur eine andere Art, um das Vektorprodukt auszurechnen- und jetzt eine mehr- Danke dafür!
Viele Wege führen nach Rom:)
Sehr schön, vielen Dank, in 10 min wiederholt was ich in 40 Jahren vergessen habe.
Wow danke! Sehr einfach und vor allem übersichtlich erklärt..jetzt verstehe ich endlich mal die ganzen Zusammenhänge!
Vielen vielen Dank für die intelligente Erklärung ..... Bitte hören Sie niemals auf!
Top Video, super Erklärungen und sehr hilfreiche Verbildlichungen
Eine tolle Zusammenfassung, besser erklärt als in jeder meiner Mathe Stunden.
Vielen Dank hat mir sehr weitergeholfen:) nächste Woche Mathe Vorabitur..
Habe den Kram im ABI 1998-2000 nie verstanden! Heute nach 20 Jahren kapiere ich endlich wofür diese ganze Rechnerei steht. Konnten das meine Lehrer damals nicht auch einmal praktischer angehen... DANKE Herr Müller!!! Beste Grüße von Frau Müller :)
Danke zurück :-*
Ich mag Ihre Videos! Bitte weiter so machen Herr Müller!
Vielen Dank für das Video, perfekte Zusammenfassung von der Vektorrechnung! 🌟
spitze!!!! alees was man braucht kurz und verständlich erklärt!
Sehr geehrter Herr Müller,
Ich habe zwei Fragen an Sie und zwar:
wieso kann man in ein Koordinatensystem mehrere Vektoren unterschiedlicher Einheiten einzeichnen, schließlich repräsentiert ein E-Feld Vektor keinen Punkt im R^3.
Und wieso kann ich meine Basis immer für einen Vektor wählen, wenn ich z.B. den Vektor (2,5,3) habe, dann hängt dieser 'Pfeil' vom Koordiantensystem ab, in der Physik hat man aber häufig Vektoren, die fest sind, unabhängig vom System. In welchem Raum leben diese denn dann überhaupt?
LG R.L.
Gute Fragen…
zum ersten Teil: Die drei Basisvektoren definieren (zusammen mit ihren EInheiten) die Art der Vektoren, um die es geht. Das müssen nicht unbedingt Ortsvektoren sein, sondern können auch Kräfte, Efelder oder anderes bedeuten. Die Darstellung als Linearkombination ist dann aber in allen Fällen vom Prinzip her gleich. Wenn man zwei Sorten Vektoren gleichzeitig ins Koordinatensstem zeichnet, sollte man eigentlich die Basisvektoren auch unterscheiden. Das kann man zB mit Farben machen.
Zur zweiten Frage: es betrifft ein ähnliches Thema wie die Frage 1. Die Linearkombination der Basisvektoren wird in allen Fällen gleich dargestellt, es kommt nur darauf an, wie die Basisvektoren definiert sind. Oft sind die Vektoren dann zusätzlich Orts-abhängig, zB ein Geschwindigkeitsfeld einer Windströmung, dann hat man die drei Geschwindigkeitsvektoren, die an Raumpunkten angeheftet werden. Die Einheiten der Vektoren sind aber m/s, ihre Länge hat somit im Ortsraum keine Bedeutung.
Eine frage: wie kann beim vektorprodukt/kreuzprodukt der betrag eines vektors einer fläche entsprechen?
Gute Frage. Der Vektor des Vektorprodukts hat die Einheit einer Fläche: m^2. Es ist somit ein wenig heikel, ihn ins gleiche Koordinatensystem wie die beiden ursprünglichen Vektoren zu zeichnen.
Super Leistung!👍 Vielen Dank:)
Was ist ein Vektor in der physikalischen Welt?
Warum rechnen Mathematiker einfach nur die Ganze Zeit vor ohne mit Kontext zu erklären was sie da überhaupt rechnen ?
Dafür sind die Physikvorlesungen da.
@@trinatphys morruk was labberst du ja tam Professor Komplex
@@canercelik3800 komm mal klar was geht denn bei dir kleiner Hauptschüler
@@schwanzuslongus4638 hab Abitur du halbes Hähnchen
@@canercelik3800 Nice aber was beleidigst du ihn dann wie son Haupti
Gut erklärt nur ist leider nicht immer alles im Bild
Ein gutes, Informationsreiches Video ! Echt Top ! Aber wozu brauche ich sowas ? Was sagt die Vektorrechnung aus ?
Man kann auch ganz ohne Vektoren auskommen und die "normalen" Rechenregeln für die einzelnen Komponenten benutzen. Irgendwann merkt man aber, dass die Schreibweise mit Vektoren die Rechnungen enorm erleichtern.
Danke! Super erklärt hat mir einiges gebracht!
sehr gutes video! Sehr einfach und gut erklärt.
Das einzige was mein gestresstes Hirn vor der Klausur beruhigt: Die Stimme vom Herrn Müller!
Haha.... der Physikflüsterer
Super Video! Habe Vektoren im Studium wieder gebraucht, war super um die Basics nochmal aufzufrischen!
Freut mich!
Kurze Frage, was bedeutet die 7 graphisch dargestellt im gezeigten Skalarprodukt?
Dafür gibts keine graphische Interpretation. Das Skalarprodukt ist die Länge der Projektion des ersten Vektors auf den zweiten, multipliziert mit der Länge des zweiten Vektors.
Bei Zeitmarke ua-cam.com/video/KSEOCeC2zTs/v-deo.html ist ein Fehler: Es wird gesagt: "1x4 - 2x2", muß aber heißen: "2x2 - 1x4". Man beginnt immer eine Zeile UNTER der ignorierten. Nur weil beides 4 ergibt, bleibt zufällig das Ergebnis richtig. Bitte eine Notiz/Annotation an der Stelle einfügen (oder Videokorrektur mit geneauerer Erkklärung hineinschneiden), damit es niemand falsch lernt.
Genervter Benutzer lösch deinen Kommentar lieber, eh er andere Nutzer wirr macht. Wir lernen es auch ohne Minus, aber in seiner Methode wird anders gekreuzt dafür aber halt extra Minus genommen. Es kommt aufs Gleiche raus.
das ist alles richtig so im video, viele wege führn nach rom
Vielen dank, mathe geht auch einfach!
Danke für die super Erklärung!
11:12 Wer kennt es nicht? Ich messe Längen auch immer im Quadrat ;)
@KubusTumor Ich glaube ich habe nicht verstanden, dass Vektoren auch m² sein können.
Beim a+b-Vektor: Ist 3+ (-2) nicht 1?
Ansonsten sehr hilfreich, danke😉
da steht -1
Danke für die gelungene Zusammenfassung
Top vorgestellt! Vielen Dank!
Astrein. Super.
Sehr gutes Video.
Danke, sehr gut erklärt.
Ich würde die Achsen nicht mit X,Y und Z kennzeichnen sondern mit X1, X2 und X3
+Chrympa Dorktor Das stimmt... dann kann man besser in mehr als drei Dimensionen erweitern.
@@trinatphys ich find es gut som in der technischen mechanik rechnet man ja auch meist mit x,y,z. xn ist so unspeziell :()
Sehr schönes Video :)
Perfekt, bitte weitere Videos! Daumen hoch! (Y)
+philipp plsm Danke!
Sehr schön erklärt :-)
Echt gut! Danke
Dankeschön! :)
Geschwindigkeit auf 1,25 dann hat man das in 10 Minuten
Ja, das ist ein guter Trick.
In 9 Minuten und 36 Sekunden wenn man es genauer haben möchte
Danke
sehr gut erklärt, TOP
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ua-cam.com/channels/lcMVpYWSaWPdP4aEoytNoA.html
Danke :D
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Ich bin in der 8. Und ich bin ein Streber und lerne es in den Ferien
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sehr schön verständlich erklärt danke