C'è una dimostrazione analoga anche in Cⁿ |u + v|²=u u+u v+v u+v v= =|u|²+u v+(u v)*+|v|²= =|u|²+2Re(u v)+|v|²= ≤|u|²+2|Re(u v)|+|v|²= ≤|u|²+2|u v|+|v|²=(*) u v=(v u)* ... z+z*=2Re(z) ... Se z∈R z≤|z| ... Re(z)∈R ... |Re(z)|≤|z| Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz nel senso complesso |u v|≤|u| |v| (*)≤|u|²+2|u| |v|+|v|²= |u + v|²≤|u| + |v|²=(**) Facendo la radice quadrata a destra e a sinistra, sapendo che i radicandi sono positivi otteniamo (**)|u + v|≤|u| + |v|
L'uguaglianza non vale solo se uno dei due vettori è nullo, ma anche nel caso sono consecutivi, cioè nel caso in cui giaciano sulla stessa semiretta.
C'è una dimostrazione analoga anche in Cⁿ
|u + v|²=u u+u v+v u+v v=
=|u|²+u v+(u v)*+|v|²=
=|u|²+2Re(u v)+|v|²=
≤|u|²+2|Re(u v)|+|v|²=
≤|u|²+2|u v|+|v|²=(*)
u v=(v u)* ... z+z*=2Re(z) ... Se z∈R z≤|z| ... Re(z)∈R ... |Re(z)|≤|z|
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz nel senso complesso
|u v|≤|u| |v|
(*)≤|u|²+2|u| |v|+|v|²=
|u + v|²≤|u| + |v|²=(**)
Facendo la radice quadrata a destra e a sinistra, sapendo che i radicandi sono positivi otteniamo
(**)|u + v|≤|u| + |v|