2:20 już przy doprowadzeniu do tego równania można było udowodnić, korzystając z faktu że suma liczby dodatniej i jej odwrotności jest większa lub równa 2
Można też trochę inaczej: Rozumując identycznie jak na filmie, otrzymujemy, że: 1/a+1/b+1/c = = 3+(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(a/c+c/a). Następnie korzystamy z pewnej informacji: --------------------------------------------------------- Niech t będzie dodatnią liczbą rzeczywistą. Wtedy prawdą jest, że: t + 1/t >= 2. Dowód: Nie zmieniając znaku, mnożymy nierówność przez t i otrzymujemy kolejno: t^2 + 1 >= 2t t^2 - 2t + 1 >= 0 (t - 1)^2 >= 0, co kończy dowód. --------------------------------------------------------- Korzystając z powyższej wiadomości (dla t = a/b ; b/c ; a/c), mamy że: a/b + b/a >= 2 b/c + c/b >= 2 a/c + c/a >= 2 Dodając stronami te nierówności, otrzymujemy: a/b+b/a+b/c+c/b+a/c+c/a >= 6 Jeżeli teraz do obu stron dodamy 3, to dostaniemy: 1/a + 1/b + 1/c >= 9, czyli tezę.
Też ładnie. Dodam tylko od siebie, że ta nierówność: t+1/t>=2, gdzie t jest dodanie wynika z nierówności AM-GM. Zauważmy, że t+1/t>=2*sqrt(t*1/t)=2. Dobrze o tym widzieć.
To jest proste zadanie. Ja bym tu z miejsca walił nierównością między średnią harmoniczną a arytmetyczną tak jak to zrobił Zwykły Matematyk w kometarzu niżej, ale byłoby to mało edukacyjne, więc postanowiłem pokazać rozwiązanie, w którym wychodzimy z założenia i po kilku algebraicznych sztuczkach otrzymujemy tezę.
Można też z nierówności między średnią harmoniczną, a arytmetyczną: 3/(1/a+1/b+1/c)
Można po prostu z Cauchiego Shwartza w formie Engela i to tak na ez mocno idzie, bez żadnych przekształceń,
2:20 już przy doprowadzeniu do tego równania można było udowodnić, korzystając z faktu że suma liczby dodatniej i jej odwrotności jest większa lub równa 2
Można też trochę inaczej:
Rozumując identycznie jak na filmie, otrzymujemy, że:
1/a+1/b+1/c =
= 3+(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(a/c+c/a).
Następnie korzystamy z pewnej informacji:
---------------------------------------------------------
Niech t będzie dodatnią liczbą rzeczywistą. Wtedy prawdą jest, że:
t + 1/t >= 2.
Dowód:
Nie zmieniając znaku, mnożymy nierówność przez t i otrzymujemy kolejno:
t^2 + 1 >= 2t
t^2 - 2t + 1 >= 0
(t - 1)^2 >= 0, co kończy dowód.
---------------------------------------------------------
Korzystając z powyższej wiadomości
(dla t = a/b ; b/c ; a/c), mamy że:
a/b + b/a >= 2
b/c + c/b >= 2
a/c + c/a >= 2
Dodając stronami te nierówności, otrzymujemy:
a/b+b/a+b/c+c/b+a/c+c/a >= 6
Jeżeli teraz do obu stron dodamy 3, to dostaniemy:
1/a + 1/b + 1/c >= 9, czyli tezę.
Też ładnie. Dodam tylko od siebie, że ta nierówność: t+1/t>=2, gdzie t jest dodanie wynika z nierówności AM-GM. Zauważmy, że t+1/t>=2*sqrt(t*1/t)=2. Dobrze o tym widzieć.
Fajny filmik, kiedy cos z OM?
nierówność będzie równością kiedy (a-b)^2/ab=(b-c)^2/bc=(a-c)^2/ac=0 (a-b)^2=(b-c)^2==(a-c)^2=0 a=b ^ b=c ^ a=c czyli a=b=c=1/3
masz moze jakies tipy jak robic podobne zadnia dowodowe/ na co zwracac uwage?
To jest proste zadanie. Ja bym tu z miejsca walił nierównością między średnią harmoniczną a arytmetyczną tak jak to zrobił Zwykły Matematyk w kometarzu niżej, ale byłoby to mało edukacyjne, więc postanowiłem pokazać rozwiązanie, w którym wychodzimy z założenia i po kilku algebraicznych sztuczkach otrzymujemy tezę.
Fun fact: To zadanie było na omie
2 om XD