Oui il faut regarder les racines. On peut dire aussi que si a est une racine de P qui n'est pas un entier négatif, alors pour tout n, a+n est une racine puisque j'ai a+1, a+2...qui ne sont pas nuls et sont des racines. Comme il y a un nombre fini de racines, a ne peut pas ne pas être un entier négatif. Soit -m le plus petit de ces entiers négatifs racines de P. Alors, nécessairement P a m+1 racines constituées des entiers consécutifs de -m à 0. Donc P(x) = k(x+m)(x+m-1)...(x+1)x. Ensuite on remplace cette expression dans l'équation et on a : xk(x+m+1)(x+m)....(x+2)(x+1) = (x+4)k(x+m)(x+m-1)...(x+1)x soit en simplifiant : x + m+1 = x+4.....d'où m=3 et le résultat P(x) = k(x+3)(x+2)(x+1)x
Ça me fait une corde de plus à mon arc pour dezinguer les ccrs, merci ! Tu pourrais résoudre : calculez le cardinal de l'intersection de Mn(Z) et On(R) ?
@@Progresser-en-maths merci tu gères, jv le chercher de mon côté comme ça jme casse les dents dessus et si je bloque trop je guette la correction pour avancer.
Un moyen que je trouve, personnellement plus simple, est de prendre l'équation donné, P(X+1)X = (X+1)P(X) et de la réécrire X(P(X+1) - P(X)) = P(X) ce qui permet par loi sur les degrés de déterminer que pour tout X, a_n (X+1)^n - a_n X^n doit s'annuler, ce qui aboutit à a_n nul, et donc deg(P) < deg(P), et donc P = 0
j'ai procédé de la manière suivante j'aimerais savoir si cela fonctionne : deja on remarque que 0 et -4 sont racines de P. Ensuite : soit z une racine non nul de P. Alors zP(z+1)=(z+4)P(z). Donc z etant non nul, P(z+1) = 0. Donc z racine => z+1 racine. Donc en itérant, on déduit que P admet une infinité de racines. Et comme z=0 est aussi une racine, alors P est constant nul. C'est le polynome nul.
Si z un entier négatif, tu vas tomber sur 0 au bout d'un moment qui stop le raisonnement donc pas l'infinité de Racine nan (bon après on peut quand même compléter le raisonnement)
@@adamlek9691 yes mais tu peux pas deduire que y a une infinité de racine avec juste cet argument du coup, pcq le fait que 0 soit racine ne donne pas que 1 est racine
d'accord en effet je vois la faille dans mon raisonnement maintenant. T'as une idée de comment on pourrait la corriger ? sinon c'est quoi ton niveau en maths ?@@mattisborderies6132
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Merciiiiiiii
Oui il faut regarder les racines.
On peut dire aussi que si a est une racine de P qui n'est pas un entier négatif, alors pour tout n, a+n est une racine puisque j'ai a+1, a+2...qui ne sont pas nuls et sont des racines. Comme il y a un nombre fini de racines, a ne peut pas ne pas être un entier négatif.
Soit -m le plus petit de ces entiers négatifs racines de P. Alors, nécessairement P a m+1 racines constituées des entiers consécutifs de -m à 0.
Donc P(x) = k(x+m)(x+m-1)...(x+1)x. Ensuite on remplace cette expression dans l'équation et on a :
xk(x+m+1)(x+m)....(x+2)(x+1) = (x+4)k(x+m)(x+m-1)...(x+1)x soit en simplifiant : x + m+1 = x+4.....d'où m=3 et le résultat P(x) = k(x+3)(x+2)(x+1)x
Tout à fait !
T très rapide et tu n’explique pas les étapes c’est chiant de faire pause et essayer de savoir ce que t’as fait mais bon travail 👍
merci pour cette vidéo, ou trouves tu tous ces exercices ?
Hello,
Tu peux les trouver ici
progresser-en-maths.com/exercices-prepa/
Ça me fait une corde de plus à mon arc pour dezinguer les ccrs, merci ! Tu pourrais résoudre : calculez le cardinal de l'intersection de Mn(Z) et On(R) ?
Ouais, tu sais dans quel concours ça tombe ?
@@Progresser-en-maths CCMP PC mdrrr c'est le genre d'exo dégueu que je dois savoir faire à la fin de l'année
@@artin_thm8721 je vais le traiter demain je pense :)
@@Progresser-en-maths merci tu gères, jv le chercher de mon côté comme ça jme casse les dents dessus et si je bloque trop je guette la correction pour avancer.
@@artin_thm8721 c'est tourné, ça sort demain 7h
Un moyen que je trouve, personnellement plus simple, est de prendre l'équation donné, P(X+1)X = (X+1)P(X) et de la réécrire X(P(X+1) - P(X)) = P(X) ce qui permet par loi sur les degrés de déterminer que pour tout X, a_n (X+1)^n - a_n X^n doit s'annuler, ce qui aboutit à a_n nul, et donc deg(P) < deg(P), et donc P = 0
Mais P n'est pas nécessairement nul pourtant
j'ai procédé de la manière suivante j'aimerais savoir si cela fonctionne :
deja on remarque que 0 et -4 sont racines de P.
Ensuite : soit z une racine non nul de P.
Alors zP(z+1)=(z+4)P(z). Donc z etant non nul, P(z+1) = 0.
Donc z racine => z+1 racine.
Donc en itérant, on déduit que P admet une infinité de racines.
Et comme z=0 est aussi une racine, alors P est constant nul.
C'est le polynome nul.
Si z un entier négatif, tu vas tomber sur 0 au bout d'un moment qui stop le raisonnement donc pas l'infinité de Racine nan (bon après on peut quand même compléter le raisonnement)
oui mais j'ai aussi justifié a la fin que 0 est aussi une racine a la fin regarde. Donc ya pas de soucis@@mattisborderies6132
@@adamlek9691 yes mais tu peux pas deduire que y a une infinité de racine avec juste cet argument du coup, pcq le fait que 0 soit racine ne donne pas que 1 est racine
d'accord en effet je vois la faille dans mon raisonnement maintenant. T'as une idée de comment on pourrait la corriger ? sinon c'est quoi ton niveau en maths ?@@mattisborderies6132
@@adamlek9691 En faisant le meme raisonnement, t'as que si z
On ne peut pas déterminer c!!
Non tout à fait
Bon exercice intéressant, mais applique-toi quand tu écris.
Ah ça c'est la version où je suis appliqué