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Desafortunadamente se comete un error grave al final, y es asumir inyectividad. Si se considera la función f(x) = x^(1/x), para tofo x>0, el último paso se puede reescribir como f(256) = f(x), y si bien x=256 es evidentemente una solución, el problema es que no es única, dado que f np es inyectiva. Más aún, otra solución es x = exp(-W(-ln(2)/32)) = 1.022392..., siendo W la función de Lambert. Una forma de demostrar esto es la siguiente. Si se buscan solo soluciones positivas, aplicando logaritmos a ambos miembros a la wcuación de partida se obtiene, x * ln(2) = 32 * ln(x) ln(x)/x = ln(2)/32. Luego, definiendo el cambio de variable x = exp(-t), se llega a que -t * exp(t) = ln(2)/32 t * exp(t) = - ln(2)/32. Llegados a este punto, se debe recordar que la función g(t) = t * exp(t), para todo t en IR, se usa para definir la función W de Lambert real. En este caso, como -ln(2)/32 es aprox. -0.0021, existen dos preimagenes por g de -l (2)/32. Haciendo uso de derivadas se concluye lo siguiente, ● g es estrictamente decreciente en ]-oo, -1], de imagen [-1/e, 0[, siendo la inversa restringida a este caso la función de Lambert W_{-1}, ● g es estrictamente creciente en [-1, +oo[, de imagen [1/e, +oo[ ), siendo la inversa restringida a este caso la función de Lambert W (o bien, W_{0}). Finalmente, como -1/e = -0.367... < -ln(2)/32 < 0, se concluye que son soluciones de la ecuación, x1 = exp(-W(-ln(2)/32)) = 1.0022... x2 = exp(-W_{-1}(-ln(2)/32)) = exp(-W_{-1}(-ln(256)/256)) = exp(-(-ln(256)) = 256.
eso parece un copia y pega de chat gpt .. pero bueno es otra solución, normalmente esos ejercicios vienen en olimpiadas de matemáticas de la escuela, y la solución mas viable, es por propiedades como el mostrado en el video.
@@JimySantiagoGamarra Solo aclarar que no uso Chat GTP, es solo conocimiento de funciones y Análisis Real en una variable. Si se deseaba una solución entera, se debe especificar en el enunciado, y en el caso de olimpiadas, se debe dar una demostración rigurosa al respecto.
Para encontrar una solución sí, pero si necesitas encontrar todas las soluciones, como la ecuación es la intersección de dos funciones ( exponencial y polinómica) puedes graficar y ver dónde intersectan. Esos puntos de intersección serán las soluciones de la ecuación.
Hola, Andrés!! Si la ecuación fuera una función polinómica de grado 32, sí tendría 32 soluciones; pero esta ecuación representa la intersección de una función exponencial y otra polinómica. Si queremos encontrar todas sus soluciones podemos graficar ambas funciones y ver sus puntos de intersección. Esos puntos de intersección serán las soluciones de la ecuación.
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Que hermoso , me gusto tu video 😍
@@Star35972 Muchas gracias!! Me alegro 😊 Saludos 🤗
Gracias : base y exponente igual en ambos miembros muy buena,gracias
Desafortunadamente se comete un error grave al final, y es asumir inyectividad. Si se considera la función f(x) = x^(1/x), para tofo x>0, el último paso se puede reescribir como
f(256) = f(x),
y si bien x=256 es evidentemente una solución, el problema es que no es única, dado que f np es inyectiva. Más aún, otra solución es
x = exp(-W(-ln(2)/32)) = 1.022392...,
siendo W la función de Lambert.
Una forma de demostrar esto es la siguiente. Si se buscan solo soluciones positivas, aplicando logaritmos a ambos miembros a la wcuación de partida se obtiene,
x * ln(2) = 32 * ln(x)
ln(x)/x = ln(2)/32.
Luego, definiendo el cambio de variable x = exp(-t), se llega a que
-t * exp(t) = ln(2)/32
t * exp(t) = - ln(2)/32.
Llegados a este punto, se debe recordar que la función g(t) = t * exp(t), para todo t en IR, se usa para definir la función W de Lambert real.
En este caso, como -ln(2)/32 es aprox. -0.0021, existen dos preimagenes por g de -l (2)/32.
Haciendo uso de derivadas se concluye lo siguiente,
● g es estrictamente decreciente en ]-oo, -1], de imagen [-1/e, 0[, siendo la inversa restringida a este caso la función de Lambert W_{-1},
● g es estrictamente creciente en [-1, +oo[, de imagen [1/e, +oo[ ), siendo la inversa restringida a este caso la función de Lambert W (o bien, W_{0}).
Finalmente, como -1/e = -0.367... < -ln(2)/32 < 0, se concluye que son soluciones de la ecuación,
x1 = exp(-W(-ln(2)/32)) = 1.0022...
x2 = exp(-W_{-1}(-ln(2)/32))
= exp(-W_{-1}(-ln(256)/256))
= exp(-(-ln(256))
= 256.
Hola Alejandro!!! Muchas gracias por su comentario y por explicar y aclarar que hay más soluciones ❤️
eso parece un copia y pega de chat gpt .. pero bueno es otra solución, normalmente esos ejercicios vienen en olimpiadas de matemáticas de la escuela, y la solución mas viable, es por propiedades como el mostrado en el video.
@@JimySantiagoGamarra Solo aclarar que no uso Chat GTP, es solo conocimiento de funciones y Análisis Real en una variable. Si se deseaba una solución entera, se debe especificar en el enunciado, y en el caso de olimpiadas, se debe dar una demostración rigurosa al respecto.
@@ahoppern5 Wao, quedé sorprendido, debe haber llevado a mucho esfuerzo y dedicación para tener todo ese conocimiento. Felicidades amigo
Que Genial!!!!!!!!!!!!
Hola Cristhian!!! 🤗 Gracias!!!!!!!!! ❤️
Explicas super bien maestra. Me encantan tus vídeos, están muy bien resumidos y explicados.
Hola Pablo!! Me alegra mucho que te gusten los vídeos 😍 Muchísimas gracias!!! 🤗❤️
Una preciosidad, explicada de forma inmejorable, Isabel
Muchas gracias, Vito!! Feliz semana 🤗❤️
Gracias por la clase, profesora Isabel.🌟🌟🌟🌟🌟
Gracias a ti, Tébar!! Feliz semana 🤗❤️
Los pasos a la solución son interesantes
Hola, Luis Alfredo!! 🤗 Muchas gracias!!! ❤️
Q ojo matematico❤ una joya el ejercicio
Gracias!! 🤗❤️
Ojo que hay otras soluciones x=256 es una solución trivial
Cuáles?
la otra pregunta es que si pudiera considerarse el procedimiento aplicado en este caso, general para ecuaciones del tipo a Exp x = x Exp a
Para encontrar una solución sí, pero si necesitas encontrar todas las soluciones, como la ecuación es la intersección de dos funciones ( exponencial y polinómica) puedes graficar y ver dónde intersectan. Esos puntos de intersección serán las soluciones de la ecuación.
@@AprendemosMatematicas Excelente, muchas gracias
@@osbelnunezjimenez5313 gracias a ti!!! 🤗❤️
i ❤ Mathematics
Con que razón cambias, con que razón multiplicas con que termino afirmas que el exponente se multiplica por 2 no veo simple lógica en esto.
Esta bien, pero no sabemos si esa es la unica solución, no habrá otra solución?
Hola, Osbel!! Sí hay más soluciones. Son decimales...Y son más complejas llegar a ellas
@@AprendemosMatematicas ok gracias
Y las otras 31 soluciones?
Hola, Andrés!! Si la ecuación fuera una función polinómica de grado 32, sí tendría 32 soluciones; pero esta ecuación representa la intersección de una función exponencial y otra polinómica. Si queremos encontrar todas sus soluciones podemos graficar ambas funciones y ver sus puntos de intersección. Esos puntos de intersección serán las soluciones de la ecuación.
Prueba con los valores 1.0223929402 y --0.97901693498. Son las dos soluciones que te faltan
1 partido de 128... jajajaja Jajajaja Jajajaja
Gracias : base y exponente igual en ambos miembros muy buena,gracias
Gracias a ti!! 🤗❤️