Attention une précision: le Schéma d'Axiomes de Remplacement est, comme son nom l'indique, non un unique axiome, mais une énumération récursive d'une infinité d'axiomes. L'Induction dans l'Arithmétique de Peano (du Premier Ordre) s'exprime également par un Schéma d'Axiomes: elle ne comporte donc pas 9 Axiomes comme dit rapidement, mais 9 formes d'Axiomes (en un sens formel: ce sont les différents cas de Formes syntaxiques qu'un Axiome de PA peut prendre selon la Grammaire (typiquement de Backus-Naur) qui les génère).
Bonjour. J'ai appris que pour Frege et les acteurs de la théories des ensembles de son temps. La notion primitive était la 'propriété' ensuite seulement venait l'ensemble comme conséquence definitionnelle. Dans la théorie axiomatique des ensembles ou même la théorie des types de Russell la primature de la propriété aura ensemble est conservé. Cette nuance est-elle pertinente dans votre propos ? Dans quel cas y a t il inversion de ce rapport et qu'est ce que cela peut impliquer?...
_"Votre question est difficile, elle revient à s'intéresser aux logiques du second ordre. Dans la tradition, et telles que je présente les choses, le langage logique n'admet de quantificateurs que sur les variables d'individus et non sur des variables de propriétés. Si on peut quantifier sur les propriétés, on peut dire beaucoup plus de choses. Historiquement on a surtout visé à englober les mathématiques telles qu'elles étaient pratiquées et les langages du premier ordre remplissaient bien cette mission. Il faudrait voir si les logiciens ont construit des systèmes axiomatiques intéressants avec ces langages du second ordre. Il me semble qu'il y a eu des travaux sur ce point…"_ *Nicolas Bouleau*
Je fais suite à la réponse du Pr. Bouleau: il y a effectivement de nombreuses extensions axiomatiques de logiques d'ordre supérieur qui sont étudiées. Mais il n'est pas nécessaire me semble-t-il d'aller aussi loin pour répondre à votre interrogation: en effet, dans la réponse du Pr. Bouleau transparaît clairement que la syntaxe, les propriétés comme vous dites, sont *formellement* a priori des ensembles, ne serait-ce que parce qu'il faut une théorie des ensembles, objet syntaxique, pour parler formellement d'ensembles. En revanche *conceptuellement*, la question de l'interaction des concepts d'ensemble et de propriété est intéressante, notamment via la notion d'extension d'un prédicat, évoquée dans la vidéo sans la nommer. Et les logiques du second ordre (et au-delà) sont indubitablement à évoquer sur le sujet. Mais pour conclure, je ne pense pas qu'il y ait un ordre d'a priori nécessaire entre les actes mentaux d'intuiter le concept d'ensemble ou celui de propriété... Pas plus que le fait - indépendant du concept d'ensemble, c'est pareil avec n'importe quel autre concept abstrait ou non - que le concept de propriété est méta, en ce que tout concept a, par définition, des propriétés ; ne serait-ce que le définissant. :)
Excellente vidéo
Attention une précision: le Schéma d'Axiomes de Remplacement est, comme son nom l'indique, non un unique axiome, mais une énumération récursive d'une infinité d'axiomes.
L'Induction dans l'Arithmétique de Peano (du Premier Ordre) s'exprime également par un Schéma d'Axiomes: elle ne comporte donc pas 9 Axiomes comme dit rapidement, mais 9 formes d'Axiomes (en un sens formel: ce sont les différents cas de Formes syntaxiques qu'un Axiome de PA peut prendre selon la Grammaire (typiquement de Backus-Naur) qui les génère).
Entendu, merci pour votre réponse.
Bonjour.
J'ai appris que pour Frege et les acteurs de la théories des ensembles de son temps. La notion primitive était la 'propriété' ensuite seulement venait l'ensemble comme conséquence definitionnelle. Dans la théorie axiomatique des ensembles ou même la théorie des types de Russell la primature de la propriété aura ensemble est conservé. Cette nuance est-elle pertinente dans votre propos ? Dans quel cas y a t il inversion de ce rapport et qu'est ce que cela peut impliquer?...
_"Votre question est difficile, elle revient à s'intéresser aux logiques du second ordre. Dans la tradition, et telles que je présente les choses, le langage logique n'admet de quantificateurs que sur les variables d'individus et non sur des variables de propriétés. Si on peut quantifier sur les propriétés, on peut dire beaucoup plus de choses. Historiquement on a surtout visé à englober les mathématiques telles qu'elles étaient pratiquées et les langages du premier ordre remplissaient bien cette mission. Il faudrait voir si les logiciens ont construit des systèmes axiomatiques intéressants avec ces langages du second ordre. Il me semble qu'il y a eu des travaux sur ce point…"_
*Nicolas Bouleau*
Je fais suite à la réponse du Pr. Bouleau: il y a effectivement de nombreuses extensions axiomatiques de logiques d'ordre supérieur qui sont étudiées. Mais il n'est pas nécessaire me semble-t-il d'aller aussi loin pour répondre à votre interrogation: en effet, dans la réponse du Pr. Bouleau transparaît clairement que la syntaxe, les propriétés comme vous dites, sont *formellement* a priori des ensembles, ne serait-ce que parce qu'il faut une théorie des ensembles, objet syntaxique, pour parler formellement d'ensembles.
En revanche *conceptuellement*, la question de l'interaction des concepts d'ensemble et de propriété est intéressante, notamment via la notion d'extension d'un prédicat, évoquée dans la vidéo sans la nommer. Et les logiques du second ordre (et au-delà) sont indubitablement à évoquer sur le sujet. Mais pour conclure, je ne pense pas qu'il y ait un ordre d'a priori nécessaire entre les actes mentaux d'intuiter le concept d'ensemble ou celui de propriété... Pas plus que le fait - indépendant du concept d'ensemble, c'est pareil avec n'importe quel autre concept abstrait ou non - que le concept de propriété est méta, en ce que tout concept a, par définition, des propriétés ; ne serait-ce que le définissant. :)
Même en accélérer x2 la vidéo est lente mais merci quand même de la qualité
Merci