확실히 입시류 문제에서 '다항함수가 아닌 적당히 지저분한 식(함수)'의 최대,최소를 구하는 경우의 70% 이상은 치환해서 4차 이하의 다항함수(주로 2차)로 변환하고 변환 시의 정의역,치역에서의 최대,최소를 구하는 것 같습니다. 뭔가 정리가 될거는 같았지만 4θ보고 겁먹고 그래프 그려서 풀면 되지 않을까? 하는 마음으로 미분하고 주어진 범위에서 그래프 그려서 풀어봤는데 상당히 시간이 많이 걸렸습니다.. 그래서 저는 다항함수가 아닌 함수의 최대최소 구할 때 어떨 때 치환이고 정석인가에 대해 조금 고민해봤는데 (단, 평범한 내신 및 입시 내외에서) i) 식이 삼각함수로만, 로그함수로만, 지수함수로만 이루어져 있을 때 ii) 이루어진 식에서 한 문자로 치환할 수 있도록 식을 변형할 수 있을 때, 가령 cos,sin / tan,sec / (lnx)^2,ln(x^2) / θ,nθ의 삼각비 변환 (각변환) 등 의 경우는 범위와 함수를 치환하고 구해서 최대,최소를 구하는 경우가 많은 것 같습니다. 다만, 다양한 종류의 함수가 섞여있거나 미분 시에 식이 너무 깔끔하다면 원함수 그대로 정석대로 풀어야하는 경우일 수도 있지 않을까 싶습니다. 오류가 있거나 조언해주실게 있다면 알려주시길 부탁드립니다. 좋은 풀이 감사합니다.
@@poiecis 맞습니다. 지나친 분류는 진정한 실력 향상을 저해하고 사고의 시야를 좁힌다고 생각합니다. 어 일단 처음에 쌩으로 문제를 풀었을 때를 복기해보면 '그래프를 그려보자!'라는 방식으로 접근한 것이기에 미분하면 f'(θ)= -4sin4θ-8sinθcosθ가 되고 sin4θ=2sin2θcos2θ, 2sinθcosθ=sin2θ이므로 f'(θ)를 sin2θ로 묶어서 정리하면 f'(θ)=-4sin2θ(2cos2θ+1) , f'(θ)=0을 만족하려면 sin2θ=0 or cos2θ=-1/2 이고 0≤θ≤3/4π 에서 이를 만족하는 θ는 0, π/3, π/2, 2/3π 이고 이때의 f(θ)의 값은 각각 1, -7/2, -3, -7/2이며 f(0)=1, f(3/4π)=-3 입니다. 여기서 "범위 끝값들의 함숫값,극값을 구했으니 이 안에서 최대,최소 값이 있으며 1, -7/2이다"라고 생각했지만 왜 그런지 확신이 없어서 기왕 그래프를 그려보고 싶었습니다. 더 나아가 f'(θ)=0이 되는 값들 사이의 f'(θ)의 부호를 조사해야하거나 f''(θ)에서 변곡점을 구해야할 수도 있겠지만 일단 위에 상황만 놓고 그래프에 찍어봐도 인과관계가 명확해서 극값을 기준으로 ↘↗↘↗의 형태로 그려지게 됩니다. ( 좀 더 정확히 개형을 설명드리자면 f(0)에서 f(π/3)로 가는 첫↘가 길고 나머지는 짧게 짧게 그어집니다. 대충 치아모양 ) 다만 변곡점을 구하지 못해서 곡선의 형태를 파악하지 못했습니다. 이제 그래프에서 f(0)=1이 최댓값이고 f(π/3)=f(2/3π)=-7/2이 최솟값이 된다는 것을 확인할 수 있습니다. *제가 시도한 이계도함수 : f"(θ)=-16cos4θ-8cos2θ=-16(2cos^2(2θ)-1)-8cos2θ=-8(4cos^2(2θ)+cos2θ-2) , f"(θ)=0을 만족하려면 4cos^2(2θ)+cos2θ-2=0 , cos2θ에 대한 이차방정식으로 풀면 cos2θ=(-1±√33/8) , 특수각이 아니므로 일단 보류
@@poiecis 추가적으로 한가지 여쭤보고 싶은게 있는데, 그래프를 찾아보면 cos4θ-4sin^2(θ)는 주기가 π인데 cos4θ는 주기가 π/2이고 sin^2(θ)는 주기가 2π인데 (주기함수)±(주기함수)의 주기는 랜덤일까요? 혹은 주기를 몰라도 항상 주기를 가질까요?
![미적분 최상위권을 위한 관찰과 정당화 [2008 교토대]](http://i.ytimg.com/vi/tShZF_YCIeg/mqdefault.jpg)
![수능에 나올 만한 대표적인 [고난도 문제]입니다.](/img/n.gif)
확실히 입시류 문제에서 '다항함수가 아닌 적당히 지저분한 식(함수)'의 최대,최소를 구하는 경우의 70% 이상은 치환해서 4차 이하의 다항함수(주로 2차)로 변환하고 변환 시의 정의역,치역에서의 최대,최소를 구하는 것 같습니다. 뭔가 정리가 될거는 같았지만 4θ보고 겁먹고 그래프 그려서 풀면 되지 않을까? 하는 마음으로 미분하고 주어진 범위에서 그래프 그려서 풀어봤는데 상당히 시간이 많이 걸렸습니다.. 그래서 저는 다항함수가 아닌 함수의 최대최소 구할 때 어떨 때 치환이고 정석인가에 대해 조금 고민해봤는데 (단, 평범한 내신 및 입시 내외에서)
i) 식이 삼각함수로만, 로그함수로만, 지수함수로만 이루어져 있을 때
ii) 이루어진 식에서 한 문자로 치환할 수 있도록 식을 변형할 수 있을 때, 가령 cos,sin / tan,sec / (lnx)^2,ln(x^2) / θ,nθ의 삼각비 변환 (각변환) 등
의 경우는 범위와 함수를 치환하고 구해서 최대,최소를 구하는 경우가 많은 것 같습니다.
다만, 다양한 종류의 함수가 섞여있거나 미분 시에 식이 너무 깔끔하다면 원함수 그대로 정석대로 풀어야하는 경우일 수도 있지 않을까 싶습니다.
오류가 있거나 조언해주실게 있다면 알려주시길 부탁드립니다. 좋은 풀이 감사합니다.
재미있고 타당한 (그리고 상당부분 유효한) 해석입니다만, 문제의 외형을 보고 그 기준에 따라 문제를 유형별로 딱 잘라 정리하고, 분류하는 것은 그리 좋은 사고 방향이 아니라는 입장입니다. 4θ에 관련하여 그래프 그린 것을 좀 구체적으로 알려주시겠어요? ㅎㅎ
@@poiecis 맞습니다. 지나친 분류는 진정한 실력 향상을 저해하고 사고의 시야를 좁힌다고 생각합니다. 어 일단 처음에 쌩으로 문제를 풀었을 때를 복기해보면
'그래프를 그려보자!'라는 방식으로 접근한 것이기에 미분하면 f'(θ)= -4sin4θ-8sinθcosθ가 되고 sin4θ=2sin2θcos2θ, 2sinθcosθ=sin2θ이므로 f'(θ)를 sin2θ로 묶어서 정리하면 f'(θ)=-4sin2θ(2cos2θ+1) , f'(θ)=0을 만족하려면 sin2θ=0 or cos2θ=-1/2 이고 0≤θ≤3/4π 에서 이를 만족하는 θ는 0, π/3, π/2, 2/3π 이고 이때의 f(θ)의 값은 각각 1, -7/2, -3, -7/2이며 f(0)=1, f(3/4π)=-3 입니다. 여기서 "범위 끝값들의 함숫값,극값을 구했으니 이 안에서 최대,최소 값이 있으며 1, -7/2이다"라고 생각했지만 왜 그런지 확신이 없어서 기왕 그래프를 그려보고 싶었습니다. 더 나아가 f'(θ)=0이 되는 값들 사이의 f'(θ)의 부호를 조사해야하거나 f''(θ)에서 변곡점을 구해야할 수도 있겠지만 일단 위에 상황만 놓고 그래프에 찍어봐도 인과관계가 명확해서 극값을 기준으로 ↘↗↘↗의 형태로 그려지게 됩니다. ( 좀 더 정확히 개형을 설명드리자면 f(0)에서 f(π/3)로 가는 첫↘가 길고 나머지는 짧게 짧게 그어집니다. 대충 치아모양 ) 다만 변곡점을 구하지 못해서 곡선의 형태를 파악하지 못했습니다. 이제 그래프에서 f(0)=1이 최댓값이고 f(π/3)=f(2/3π)=-7/2이 최솟값이 된다는 것을 확인할 수 있습니다.
*제가 시도한 이계도함수 : f"(θ)=-16cos4θ-8cos2θ=-16(2cos^2(2θ)-1)-8cos2θ=-8(4cos^2(2θ)+cos2θ-2) , f"(θ)=0을 만족하려면 4cos^2(2θ)+cos2θ-2=0 , cos2θ에 대한 이차방정식으로 풀면 cos2θ=(-1±√33/8) , 특수각이 아니므로 일단 보류
@@poiecis 추가적으로 한가지 여쭤보고 싶은게 있는데, 그래프를 찾아보면 cos4θ-4sin^2(θ)는 주기가 π인데 cos4θ는 주기가 π/2이고 sin^2(θ)는 주기가 2π인데 (주기함수)±(주기함수)의 주기는 랜덤일까요? 혹은 주기를 몰라도 항상 주기를 가질까요?
@@카르비젤 오우 정말 고생하셨네요 ㅎㅎ 충분히 좋은 풀이라고 생각합니다. 하지만 아무래도 계산기가 없으면 설명할 수 없는 지점이 좀 많이 생기겠네요. 재미있는 풀이 잘 봤어요!
@@카르비젤 (주기함수)±(주기함수)의 주기는 두 함수의 주기의 최소공배수가 될 것 같습니다 ㅎㅎ 몇 가지 적어보시면 쉽게 아실 수 있을 것 같아요. 정리하는 것은 크게 의미 없겠지만!