Bonjour, merci pour cette démonstration. C'est très agréable à suivre et d'une pédagogie impeccable. Cette vidéo m'a fait découvrir qu'il y a des chaînes de Markov au "menu" de maths experte et m'a mis au travail sur ce sujet que je n'avais jamais vu ... J'aurais une remarque pour faire la démonstration d'une façon équivalente et peut-être un peu plus simple. Dites moi ce que vous en pensez ... On introduit la notation Pi_n la distribution après n transitions. On veut montrer en (ii) que Pi_n=Pi_0 M^n. On veut aussi en (i) interpréter les termes de la matrice M^n comme la proba de passer de l'état i à l'état j en n transitions. Dans mon cours du CNED capes sur les graphes, on montre d'abord que Pi_{n+1}=Pi_{n}M (c'est la partie difficile de la preuve avec une démonstration similaire à ce qui est fait ici mais plus courte: ça correspond plus ou moins à une partie de votre démonstration). Puis par une récurrence évidente on en déduit (ii) Pi_n=Pi_0 M^n. Et finalement on utilise cette formule pour interpréter directement les termes de la matrice M^n (c'est à dire montrer (i) ). Il y a pour l'instant peu de livres de terminal sur les nouveaux programmes. Il y a Lelivrescolaire.fr (version gratuite en ligne) qui le fait. maths expertes: fr.calameo.com/books/0005967295d0b5d5c47f6 maths spécialité: fr.calameo.com/books/000596729efdd44af7a7c Sur le manuel maths experte la propriété qui est énoncée p. 214 est: Pi_{n+1}=Pi_{n}M et Pi_n=Pi_0 M^n. Sa démonstration correspond à l'ex 78 p227. L'exercice est proposé pour 2 états et n'est pas corrigé. Ils proposent une preuve qui suit cependant la démarche de mon cours de cned ...
Bonjour et merci ! De mon côté, j'ai voulu proposer la démonstration telle qu'elle m'est apparue lorsque j'ai entrepris de démontrer cette propriété, avec l'exemple exact sur lequel je me suis appuyé pour raisonner. Je me suis dit que cela permettrait d'avoir une idée authentique sur la manière dont les démonstrations "se cherchent", et dont il est possible de passer de l'exemple au cas général. Votre démonstration, qui consiste à démontrer l'égalité Pi_{n+1}=Pi_{n}M d'emblée, est assurément plus élégante. Cette démarche, plus légère, pourrait être envisagée naturellement après une réflexion stratégique quant à la structure de la propriété étudiée. J'invite tout futur lecteur à s'y essayer, sachant que tous les ingrédients nécessaires sont présentés dans cette émission. Enfin, comme les deux approches ont leurs vertus, je n'exclus pas la possibilité de réaliser une émission supplémentaire qui reprend la démarche que vous proposez. Si cela vient à se faire, j'indiquerai la référence de cette émission quelque part par là !
Merci pour votre réponse. Vous avez tout à fait raison. La pédagogie de cette vidéo est excellente et j’ai passé un très bon moment de visionnage et je vous en remercie. Il m'a semblé intéressant de discuter de la confrontation du choix de votre démonstration à une autre. Les mathématiciens aiment « trouver, échanger, et parler des idées ».
Ici, comme vous le dites dans votre réponse, vous ne vous contentez effectivement pas uniquement de « faire comprendre » la démonstration ; vous montrez « comment la trouver » : on y voit tout le cheminement du mathématicien qui mène l’enquête … On le voit à l'œuvre dans cette démarche de recherche, avec la mise en lumière des idées clefs : celles qui ouvrent les portes d’une démonstration finale et de sa bonne compréhension. Et tout cela bien sûr "tout en finesse" … Il est surement plus utile d'apprendre à faire des démonstrations (capacité « rechercher ») que d'uniquement à les comprendre et les rédiger (capacité « démontrer »). Souvent (dans les livres de math) on ne voit que le résultat final : "la preuve rédigée" dans laquelle le mathématicien s'efface ainsi que toute sa technique qui lui a permis de la trouver. Difficile alors d’apprendre comment entreprendre ou améliorer cette démarche si on ne la voit jamais en action. La vidéo dévoile donc cette démarche, tel un magicien qui livrerait ses secrets … Or pour le mathématicien la méthodologie développée (qui elle est transverse) est souvent plus importante que le résultat final, souvent spécifique à une situation. Oui car les idées acquises ou mises en œuvre à cette occasion, il va pouvoir les utiliser pour résoudre d’autres situations. C’est bien plus puissant … En un certain sens, je note donc, suite à votre réponse, que la plus "belle" démonstration est donc certainement celle que l'on a trouvée soi-même plutôt, que celle plutôt que celle que l'on a lu de quelqu'un d'autre. C'est une belle leçon ... La confrontation avec d'autres de ce que l'on a trouvé (ou pas) et comment on l'a trouvé est alors source d'amélioration de sa technique. Merci donc pour cette vidéo et ces échanges d’idées … Petite remarque de détail sur la vidéo : à 28 :30 le petit nuage Pi_0 M^n se trouve sous le terme de gauche de l’équation alors qu’il s’applique au premier terme de la somme du terme de droite de l’équation. Or finalement ce terme de gauche va s’avérer être Pi_0 M^{n+1} en fin de démonstration. Au début j’avais cru que ce nuage s’appliquait au terme de gauche de l’équation (alors que l’on parle du terme de gauche « de la somme » du terme de droite de l’équation) et je pensais qu’il fallait mettre n+1 (et point d’interrogation, car c’est ce que l’on veut montrer). Visuellement ça tombe mal ; mais tout est dit dans l’explication oral. Cependant, comme je garde une trace écrite de la vidéo sous forme de captures des tableaux (ici 3 tableaux), j’ai donc rajouté sur la capture du dernier tableau, une flèche de « ce petit nuage » vers le terme considéré … Encore merci pour tout ce que vous faites …
C'est au programme de mathématiques expertes, donc, en quelque sorte, de l'ancienne "Spé Maths": cela s'adresse à des étudiants qui feront 9 heures de mathématiques par semaine. Effectivement, c'est assez musclé mais ça devrait passer après avoir réalisé des travaux préliminaires, histoire de ne pas aborder toutes les difficultés en même temps... On verra bien ce qu'en pensent les étudiants de terminale qui regarderont cette émission l'année prochaine 😃.
Application au suivi d'une épidémie, avec les 3 états : immunisé, sain et malade. En connaissant les probabilités pour passer d'un état à un autre, dans combien de semaines sortirons nous du confinement ?
Énorme 😃 ! Pour une modélisation plus sérieuse, qui passe par les équations différentielles, il y a la vidéo d'El Jj ! 📹 On va tous mourir ? - ua-cam.com/video/-2tI3MQFqkI/v-deo.html
Ah oui, ce ne sont pas les plus faciles à comprendre, et de loin ! Je serais capable de les rendre plus intelligibles aujourd'hui si c'était à refaire, cela dit 😇.
@@oljenmaths Ne vous en faites pas. C'est déjà assez facile à comprendre comparé aux autres cours. Vous faites quand même un travail remarquable. Que Dieu vous bénisse
Disons qu'on pourrait considérer des chaînes de Markov avec une suite de variables aléatoires qui suit une loi de Bernoulli, oui, tout à fait. Par exemple un interrupteur qui alternerait entre 0 et 1, et qui aurait 70% de chances de rester dans son état, et 30% de chances de changer d'état à chaque instant.
Les probabilités conditionnelles seraient données par l'énoncé, ce sont des données sans lesquelles on ne pourrait pas faire d'exercices. On pourrait éventuellement ne pas toutes les donner en utilisant que "la somme doit faire 1" si on somme les probabilités qui partent de chaque sommet, par exemple.
Alors là... c'était une idée qui m'est apparue en une fraction de secondes et qui a été implémentée dans les cinq minutes pour obtenir une miniature; rien de plus, rien de moins 🤖.
![[DET#36] Théorème de Bachet-Bézout (Démonstration)](http://i.ytimg.com/vi/gZFhAMvFxdA/mqdefault.jpg)
![[DET#36] Théorème de Bachet-Bézout (Démonstration)](/img/tr.png)
Bonjour,
merci pour cette démonstration. C'est très agréable à suivre et d'une pédagogie impeccable.
Cette vidéo m'a fait découvrir qu'il y a des chaînes de Markov au "menu" de maths experte et m'a mis au travail sur ce sujet que je n'avais jamais vu ...
J'aurais une remarque pour faire la démonstration d'une façon équivalente et peut-être un peu plus simple. Dites moi ce que vous en pensez ...
On introduit la notation Pi_n la distribution après n transitions. On veut montrer en (ii) que Pi_n=Pi_0 M^n. On veut aussi en (i) interpréter les termes de la matrice M^n comme la proba de passer de l'état i à l'état j en n transitions.
Dans mon cours du CNED capes sur les graphes, on montre d'abord que Pi_{n+1}=Pi_{n}M (c'est la partie difficile de la preuve avec une démonstration similaire à ce qui est fait ici mais plus courte: ça correspond plus ou moins à une partie de votre démonstration). Puis par une récurrence évidente on en déduit (ii) Pi_n=Pi_0 M^n. Et finalement on utilise cette formule pour interpréter directement les termes de la matrice M^n (c'est à dire montrer (i) ).
Il y a pour l'instant peu de livres de terminal sur les nouveaux programmes. Il y a Lelivrescolaire.fr (version gratuite en ligne) qui le fait.
maths expertes: fr.calameo.com/books/0005967295d0b5d5c47f6
maths spécialité: fr.calameo.com/books/000596729efdd44af7a7c
Sur le manuel maths experte la propriété qui est énoncée p. 214 est: Pi_{n+1}=Pi_{n}M et Pi_n=Pi_0 M^n. Sa démonstration correspond à l'ex 78 p227. L'exercice est proposé pour 2 états et n'est pas corrigé. Ils proposent une preuve qui suit cependant la démarche de mon cours de cned ...
Bonjour et merci !
De mon côté, j'ai voulu proposer la démonstration telle qu'elle m'est apparue lorsque j'ai entrepris de démontrer cette propriété, avec l'exemple exact sur lequel je me suis appuyé pour raisonner. Je me suis dit que cela permettrait d'avoir une idée authentique sur la manière dont les démonstrations "se cherchent", et dont il est possible de passer de l'exemple au cas général.
Votre démonstration, qui consiste à démontrer l'égalité Pi_{n+1}=Pi_{n}M d'emblée, est assurément plus élégante. Cette démarche, plus légère, pourrait être envisagée naturellement après une réflexion stratégique quant à la structure de la propriété étudiée. J'invite tout futur lecteur à s'y essayer, sachant que tous les ingrédients nécessaires sont présentés dans cette émission.
Enfin, comme les deux approches ont leurs vertus, je n'exclus pas la possibilité de réaliser une émission supplémentaire qui reprend la démarche que vous proposez. Si cela vient à se faire, j'indiquerai la référence de cette émission quelque part par là !
Merci pour votre réponse. Vous avez tout à fait raison. La pédagogie de cette vidéo est excellente et j’ai passé un très bon moment de visionnage et je vous en remercie.
Il m'a semblé intéressant de discuter de la confrontation du choix de votre démonstration à une autre. Les mathématiciens aiment « trouver, échanger, et parler des idées ».
Ici, comme vous le dites dans votre réponse, vous ne vous contentez effectivement pas uniquement de « faire comprendre » la démonstration ; vous montrez « comment la trouver » : on y voit tout le cheminement du mathématicien qui mène l’enquête … On le voit à l'œuvre dans cette démarche de recherche, avec la mise en lumière des idées clefs : celles qui ouvrent les portes d’une démonstration finale et de sa bonne compréhension. Et tout cela bien sûr "tout en finesse" …
Il est surement plus utile d'apprendre à faire des démonstrations (capacité « rechercher ») que d'uniquement à les comprendre et les rédiger (capacité « démontrer »). Souvent (dans les livres de math) on ne voit que le résultat final : "la preuve rédigée" dans laquelle le mathématicien s'efface ainsi que toute sa technique qui lui a permis de la trouver. Difficile alors d’apprendre comment entreprendre ou améliorer cette démarche si on ne la voit jamais en action. La vidéo dévoile donc cette démarche, tel un magicien qui livrerait ses secrets …
Or pour le mathématicien la méthodologie développée (qui elle est transverse) est souvent plus importante que le résultat final, souvent spécifique à une situation. Oui car les idées acquises ou mises en œuvre à cette occasion, il va pouvoir les utiliser pour résoudre d’autres situations. C’est bien plus puissant …
En un certain sens, je note donc, suite à votre réponse, que la plus "belle" démonstration est donc certainement celle que l'on a trouvée soi-même plutôt, que celle plutôt que celle que l'on a lu de quelqu'un d'autre. C'est une belle leçon ... La confrontation avec d'autres de ce que l'on a trouvé (ou pas) et comment on l'a trouvé est alors source d'amélioration de sa technique.
Merci donc pour cette vidéo et ces échanges d’idées …
Petite remarque de détail sur la vidéo : à 28 :30 le petit nuage Pi_0 M^n se trouve sous le terme de gauche de l’équation alors qu’il s’applique au premier terme de la somme du terme de droite de l’équation. Or finalement ce terme de gauche va s’avérer être Pi_0 M^{n+1} en fin de démonstration. Au début j’avais cru que ce nuage s’appliquait au terme de gauche de l’équation (alors que l’on parle du terme de gauche « de la somme » du terme de droite de l’équation) et je pensais qu’il fallait mettre n+1 (et point d’interrogation, car c’est ce que l’on veut montrer). Visuellement ça tombe mal ; mais tout est dit dans l’explication oral. Cependant, comme je garde une trace écrite de la vidéo sous forme de captures des tableaux (ici 3 tableaux), j’ai donc rajouté sur la capture du dernier tableau, une flèche de « ce petit nuage » vers le terme considéré …
Encore merci pour tout ce que vous faites …
bonne vidéo
Wow ça me paraît assez costaud comme preuve pour des terminales. C'est au programme ?
C'est au programme de mathématiques expertes, donc, en quelque sorte, de l'ancienne "Spé Maths": cela s'adresse à des étudiants qui feront 9 heures de mathématiques par semaine. Effectivement, c'est assez musclé mais ça devrait passer après avoir réalisé des travaux préliminaires, histoire de ne pas aborder toutes les difficultés en même temps... On verra bien ce qu'en pensent les étudiants de terminale qui regarderont cette émission l'année prochaine 😃.
Application au suivi d'une épidémie, avec les 3 états : immunisé, sain et malade.
En connaissant les probabilités pour passer d'un état à un autre, dans combien de semaines sortirons nous du confinement ?
Énorme 😃 ! Pour une modélisation plus sérieuse, qui passe par les équations différentielles, il y a la vidéo d'El Jj !
📹 On va tous mourir ? - ua-cam.com/video/-2tI3MQFqkI/v-deo.html
@@oljenmaths Bonjour si je veux utiliser Les chaines de Markov , Q'est ce que je doit faire ? et Merci
Oui l'émission m'a plu mais elle m'a laissé KO. Ton émission sur les distributions m'avait paru technique mais celle ci aussi est compliquée . 😃😃
Ah oui, ce ne sont pas les plus faciles à comprendre, et de loin ! Je serais capable de les rendre plus intelligibles aujourd'hui si c'était à refaire, cela dit 😇.
@@oljenmaths Ne vous en faites pas. C'est déjà assez facile à comprendre comparé aux autres cours. Vous faites quand même un travail remarquable. Que Dieu vous bénisse
Question naïve, est-ce qu'il y a un lien entre les chaînes de Markov et la loi de Bernoulli ?
Disons qu'on pourrait considérer des chaînes de Markov avec une suite de variables aléatoires qui suit une loi de Bernoulli, oui, tout à fait. Par exemple un interrupteur qui alternerait entre 0 et 1, et qui aurait 70% de chances de rester dans son état, et 30% de chances de changer d'état à chaque instant.
svp je peux savoir comment vous avez calculer la probabilité de transition ou bien la probabilité conditionnelle ?
Les probabilités conditionnelles seraient données par l'énoncé, ce sont des données sans lesquelles on ne pourrait pas faire d'exercices. On pourrait éventuellement ne pas toutes les donner en utilisant que "la somme doit faire 1" si on somme les probabilités qui partent de chaque sommet, par exemple.
Pourquoi y a-t-il les mains de Dieu et Adam dessinées par Michel-Ange sur la miniature ?
Alors là... c'était une idée qui m'est apparue en une fraction de secondes et qui a été implémentée dans les cinq minutes pour obtenir une miniature; rien de plus, rien de moins 🤖.
Ce genre de matrices stochastiques