Eines der simpelsten ungelösten Probleme der Mathematik? 🤔📝 Die Goldbachsche Vermutung
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- Опубліковано 7 вер 2024
- Schon seit mehreren Jahrhunderten versuchen Mathematiker die Goldbachsche Vermutung zu beweisen. Er stelle im Jahr 1742 die These auf, dass man jede gerade Zahl größer als 2 als Summe von zwei Primzahlen schreiben kann. Obwohl die Forschung bedeutende Fortschritte im Primzahlbereich machen konnte, bleibt die Goldbachsche Vermutung bis zum heutigen Tag unbewiesen.
Eines der simpelsten ungelösten Probleme der Mathematik? 🤔📝 Die Goldbachsche Vermutung
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Danke für das gut aufgeschlüsselte Thema.
Zwei kleine Anmerkungen:
1. Die Zahl 1 ist meiner Meinung nach kein "Sonderfall", sondern die 1 entspricht nicht der Vorschrift für Primzahlen "GENAU zwei Teiler" zu haben, nämlich "1 UND sich selbst".
2. Mathematisch und didaktisch würde ich das Primzahlsieb immer mit SECHS Zahlen pro Reihe darstellen, da Primzahlen dadurch (ab der 2. Spalte) nur mehr in Spalte 1 und 6 zu suchen/finden sind (und daher in der Form 6n+1 bzw. 6n-1 darstellbar sind).
Nunja, eigentlich ist es nicht besonders schlau, überhaupt gerade Zahlen ins Sieb aufzunehmen oder zu testen.
Kleine Anmerkung bei 0:59 …. 44=31+13 da 15 keine Primzahl
Ups, da ist also doch leider ein kleiner Fehler reingerutscht 🙈 Danke für den Hinweis!
44 = 31+13 = 37+7 = 41+3
Na das ist ja ein Schnitzer !
Das mit Goldbach ist verkürzt:
Die Goldbachvermutung besagt, das sich jede gerade Zahl auf mindestes eine Art als Summe zweier Primzahlen darstellen läßt. Je größer die geraden Zahlen werden, desto größer wird die Wahrscheinlichkeit, das sich eine gerade Zahl auf mehr als eine Art als Summe zweier Primzahlen darstellen läßt:
10 = 5+5 = 7+3
14 = 7+7 = 11+3
16 = 11+5 = 13+3
18 = 11+7 = 13+5
20 = 13+7 = 17+3
22 = 11+11 = 17+5 = 19+3
...
Das ist keine verkürzte Darstellung. Die Aussage "Jede gerade Zahl >2 lässt sich als Summe von 2 Primzahlen darstellen", enthält implizit ein "mindestens". Wenn man ausdrücken will, dass die Darstellung eindeutig ist, so muss man ein "genau" hinzufügen. Die Goldbachsche Formulierung war auch in den berühmten 23 Hilbertschen Problemen enthalten und enthielt diese einfache Formulierung. Natürlich hat man dann zusätzlich heraus gefunden, dass es häufig mehrere Möglichkeiten gibt.
Hätte da mal ne allgemeine Frage zu:
Worauf will man eigentlich hinaus? "Schnell" sagen zu können: 3423427 ist eine Primzahl, ohne sich "durchprobieren" zu müssen? (nicht durch 2 teilbar, 3, 4, 5, 6 ...) Bzw die nächste Primzahl nach 10 ist 11, die davor 7?
Für einige Zahlen gibt es ja Regeln, womit sich schnell drauf schließen lassen kann "x ein Multiplikator von y". x ist durch 2 teilbar = immer bei geraden Zahlen, durch 5 = Zahl endet auf 0 oder 5, durch 9 teilbar = Quersumme (zur Not mehrmals) ist glaube ich immer 9, 10 = Zahl endet auf 0, 100 auf 00, ...
Wie weit ist man denn eigentlich da? Gibt es eine solche Regel auch für 3? Dann wäre z.B. 6 die Regel aus 2 (gerade zahlen erzeugen auch immer gerade summen) + 3.
Und wäre die Primzahlberechnung nicht im Endeffekt dann "Mann versucht irgendwie nen allgemeine Formel für diese Teilerregeln zu finden" und auf die Primzahl trifft diese nicht zu?" ?
Oder hapert es gerade daran, dass man nicht vorhersagen kann, ob eine Zahl durch 7, 11 oder 13245 teilbar ist - und damit keine allgemeine Formel entwickeln kann?
Oder gehts eher um die Verteilung von Primzahlen? Mal kommen 3 Stück fast hintereinander, danach für 100000 Zahlen erstmal nichts?
Für die Teilbarkeit durch 3 kann man wie bei der 9 die Quersumme bilden. Bei der Teilbarkeit durch 6 kann man dann wie du geschrieben hast auf Teilbarkeit durch 2 und 3 prüfen.
Grob gesagt versucht man allgemein gültige Aussagen über Primzahlen zu finden. Der Primzahlsatz ist deshalb sehr interessant. So weit ich weiß sind die Primzahllücken - also Abstände zwischen zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen- noch unklar. Wenn man hier eine Regelmäßigkeit finden würde, würde es die Forschung vermutlich nach vorne treiben.
Wie weit man ist kannst du nachlesen --> _Primzahlen - Altbekanntes und Neues von Karl-Heinz Kuhl_
"Worauf will man eigentlich hinaus?" Das ist die falsche Frage, die stellt sich die Mathematik nie. Es ist einfach spannend zu wissen (zumindest für Zahlentheoretiker), ob man jede gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen darstellen kann. Klar, solche Sätze haben oft unvermutete, aber manchmal auch vorher schon bekannte Konsequenzen. Aber darum geht es nicht.
Obwohl ich kein Mathe-LK bin, mag ich diese Art von Videos sehr.
Das Gebiet, zu dem die Primzahlen gehört, ist die Zahlentheorie. Die Zahlentheorie ist voll solcher schönen Sachen. Dazu gehören auch die Fibbonacci-Folge und die Lucas-Folgen U_n(P,Q) und V_n(P.Q)
Danke. Ich mag Primzahlen, gerne mehr davon.
Die Primzahlen sind ein großes Gebiet bis in den Bereich der fermatschen Pseudoprimzahlen. 15 ist die kleinste fermatsche Pseudoprimzahl und 91 ist die kleinste Zahl, von der man, auf den einfachen Blick, nicht sehen kann, das sie keine Primzahl ist,
Noch ein Algorithmus zur Erzeugung von fermatschen Pseudoprimzahlen: Das Produkt zweier unterschiedlicher Primzahlen größer 2 ist eine fermatsche Pseudoprimzahl mit wenigstens zwei Basen.
15 = 3*5 ist eine fermatsche Pseudoprimzahl zu den Basen 4 und 11. 4 ist eine Basis, weil sie zwischen 3 und 5 liegt. 11 ist eine Basis, weil sie zwischen 10 (teiler 5) und 12 (teiler 3) liegt. Ausserdem ist die Summe der beidenBasen 4 und 11 gleich 15.
Super interessant, und sehr gut erklärt! 👍
Vielen Dank!
Würde mich interressieren, was der Beweis der Vermutung zur Folge hätte. Gäbe es einen konkreten Nutzen daraus?
Für den Mathematiker besteht der Nutzen darin, dass ein bisher ungelöstes Problem gelöst wurde. Er denkt dabei nicht an einen Nutzen, der sich in irgendeiner Weise wertschöpferisch messen lässt. Das bedeutet nicht, dass ein solcher Nutzen nicht auftritt, z.B. sind Primzahlen wichtig für Verschlüsselungen. Oft entstehen aber aus solchen Erkenntnisse weitere Erkenntnisse in ganz anderen Disziplinen, was niemand vorhersehen kann. Ich glaube nicht, dass man Deine Frage konkreter beantworten kann.
@@berndkru Mit "Nutzen" meinte ich weniger eine "praktische" Anwendung, sondern ob sich dadurch z.b. andere ungelöste mathematische Probleme besser lösen oder gar andere Beweise führen ließen, die auf der jetzigen Vermutung beruhen (vgl. Riemannsche Vermutung).
Es geht meines Erachtens nicht um irgendeinen Nutzen, sondern um den Grundsatz: Lügen dürfen geglaubt werden, die Wahrheit braucht stets einen Beweis!
@@fraukevinetabulow4064 Das gilt ganz sicher nicht für die Mathematik. Wenn man nachweisen möchte, dass eine Aussage wahr ist, dann muss man sie beweisen, wenn man nachweisen möchte, dass sie falsch ist, dann muss man ein Gegenbeispiel bringen. Das eine Vermutung falsch ist, bedeutet nicht, dass sie gelogen ist, sondern lediglich, dass sie nicht gilt. Was willst Du mit Deinem Beitrag aussagen?
@@berndkru Ich finde gerade in diesen verrückten Zeiten Trost und Rückhalt in der Mathematik und versuche stets, anderen Menschen Denkfehler aufzuzeigen. Leider ist das nicht immer einfach. Diesen Frust habe ich mal abgeladen...
Bei der Erklärung zum Sieb des Erathostenes liegt ein Fehler vor: Die 3 ist nicht etwa eine Primzahl, wei sie nur durch 1 und 3 teilbar ist (das ist sie auch)! Die 3 ist, im Sieb des Erathostenes, eine Primzahl, weil sie die, nach der 2, nächste nicht durchgestrichene Zahl ist!
Könnte man so sehen... deshalb ist die 1 auch eine Primzahl.
@@Salvoran
Nein! Die 1 ist keine Primzahl. Man läßt bei einem ordentlichen Sieb des Erathostenes die 1 auch gleich weg und fängt mit der 2 an!
Würde man das Sieb des Erathostenes mit der 1 beginnen, gäbe es keine wei8tere mögliche Primzahl mehr, weil jede Zahl durch 1 teilbar ist!
Völlig korrekt! Man schreitet in der Liste, beginnend bei der 2, jeweils bis zur nächsten nicht durchgestrichenen Zahl voran, womit man eine Primzahl gefunden hat, und streicht dann alle vielfachen dieser Primzahl weg. Das wiederholt man dann, bis man das Ende der Liste erreicht hat.
@@valuemasteryKann man nicht bereits aufhören weiter wegzustreichen, sobald man die Wurzel der Zielzahl erreicht hat?
@@Tine1713 Leider nicht. Das würde z.B. bedeuten, dass (wenn man gerade dabei ist jede zweite Zahl zu streichen) und die Liste bis hundert geht, man bei 10 aufhören würde. Alle geraden Zahlen über 10 würden dann übrig bleiben, obwohl sie keine Primzahlen sein können.
Allerdings genügt es beim alternativen Ansatz, alle möglichen Teiler einer Zahl durchzuprobieren, bei der Wurzel der Zahl aufzuhören. Genau genommen genügt es sogar, alle Primzahlen die kleiner oder gleich der Wurzel der Zielzahl sind, als Teiler zu versuchen.
es gibt tatsächlich Bilder von Gauß, da muss man keine KI-Bilder benutzen.
ansonsten gutes Video
Welche praktischen Anwendungen haben denn diese Vermutungen, sollten sie jemals gelöst werden? Oder erfinden Mathematiker einfach Probleme spaßeshalber und forschen dann dazu
Im Video wird behauptet: "Nach der Primzahl werden alle vielfachen der Primzahl gestrichen"... kann man so sehen. Tatsächlich aber wird nach der Primzahl *immer* das Primzahlquadrat gestrichen.
Ouatsch, denn die gestrichene 15 ist nicht das Primquadrat der 3 oder der 5.
@@truesoundchris Verstehe es nicht. Dann bin ich mit einem IQ > 130 wohl zu Dumm für.
@@kurtkunz1742
Nach der 2 wird die 4 gestrichen = 2²
Nach der 3 wird die 9 gestrichen = 3²
Nach der 5 wird die 25 gestrichen = 5²
Nach der 7 wird die 49 gestrichen = 7² und so weiter und sofort.
Primzahlquadrate sind die wichtigsten Nichtprimzahlen und spielen auch bei der Riemanschen Vermutung eine große Rolle.
@@Salvoran Danke
@@truesoundchris Es geht sogar noch weiter.... nach dem Quadrat kommt eine Wellenfunktion. Diese Quadrat/Wellenfunktion kann man auf beliebige Zahlen anwenden... es tauchen immer irgendwo die Primzahlen auf. Quadrat - Welle... das sollte einigen aus einem anderen Bereich bekannt vorkommen.
Irgendwie glaube ich nicht, dass es eine Formel zur Bestimmung von Primzahlen geben kann. Man kann die Anzahl der Primzahlen bis n abschätzen, eine Wahrscheinlichkeit dafür angeben, dass eine Zahl n in Abhängigkeit ihrer Größe eine Primzahl ist, aber eine Formel zur Bestimmung von Primzahlen... Sind Primzahlen nicht eher mit "maximaler Unordnung" verteilt? Das würde gegen eine Formel sprechen, die eine gewisse Ordnung benötigt. Bin kein Mathematiker und spinne hier nur etwas rum :)
Eine solche Formel gibt es bereits. Sie beruht zunächst auf Vermutungen des Mathematikers John Wilson aus dem 18. Jahrhundert, wurde aber von Louis Lagrange 1771 bewiesen. Diese Formel ist eine Funktion f(n), die den Wert 1 liefert, falls n eine Primzahl ist und den Wert 0, falls n keine Primzahl ist. Sie benutzt den Kosinus, die Zahl Pi sowie die Fakultät. Aus dieser Formel lässt sich eine weitere angeben, die genau die n-te Primzahl liefert. Für praktische Berechnungen von großen Primzahlen ist sie allerdings nicht geeignet wegen der Fakultät: Um zu berechnen, ob n eine Primzahl ist, braucht man die Fakultät von n-1 und damit sind auch Supercomputer für sehr große Zahlen überfordert. Dazu wurde am 20.10.2023 ein Artikel von spektrum.de unter dem Titel "Löst eine einfache Formel die vielen Rätsel um Primzahlen?" veröffentlicht , der auch online verfügbar ist.
Wenn meine Enkelin, statt in die Schule zu gehen, Videos dieser Art schauen würde, würde sie in der halben Zeit, das doppelte Lernen.( Monikasche Vermutung, noch unbewiesen)
😂
Das mit der Schule hättest Du selbst beachten sollen, denn Deine Rechtschreibfehler sind eklatant.
@@Ego10trik Ging es hier nicht um Mathe? Und welchen Rechtschreibfehler meinst du? Und wieso fühlst du dich so angepisst?
@@zuckerfee9928 Achtung: Troll Alarm von einem EGO.ZE(H)N.TRIK(G)ER
Das Problem deiner Vermutung ist aber, dass dir die Lehrer.Realitäten dann aber ganz gewaltig in das Gesicht pissen. Mein Sohn hat in der Grundschule bei einer Arbeit auf Grund meiner Ausbildung einen richtigen Weg beschritten, den die Lehrerin auf Grund ihres allgemeinen Lehrplanstandes als einen falschen, also O Punkte, Weg wertete.
Warum nicht: 2·n = prim+prim ?
Gibt es unendliche Primzahlen?
Ja, es gibt unendlich viele Primzahlen :)
Ja. Das hat schon Euklid bewiesen. Der Beweis ist etwas holprig, dafür einfach und wasserdicht.
@@georgkrahl56 Der Beweis ist nicht holprig
Warum ist die 1 ein Sonderfall? 1 ist nur durch 1 und sich selbst teilbar, entspricht also genau der Definition einer ganz normalen Primzahl.
Dieser "Sonderfall" erinnert mich an einen Mathematikgymnasiallehrer, der die 2 nicht als Primzahl sehen wollte, "weil die 2 eine gerade Zahl ist". Genau so ein Unsinn!
eine Primzahl hat genau 2 Teiler. Deshalb ist die 1 keine Primzahl, ganz ohne Geschwurbel.
Die 1 ist halt das außerordentliche Ehrenmitglied der Primzahlen 😇
--
Markus
1 ist keine Primzahl, weil dann die Primzahlenzerlegung nicht mehr eindeutig wäre, z.B. 6 = 3 * 2, 6 = 3 * 2 * 1 und 6 = 3 * 2 * 1 * 1 etc. Und Mathematiker mögen Eindeutigkeit.
@@wilfriedbohlken1054 Sie ist damit nur per Definition keine Primzahl. Es spricht aber einiges dafür das sie eine Primzahl ist.
@@SalvoranWas soll den hier dafür sprechen, dass 1 eine Primzahl ist? Die Definition ist, dass jede Primzahl durch exakt zwei Zahlen teilbar ist (1 und sich selbst). Da 1 jedoch nur durch eine Zahl teilbar ist, ist 1 keine Primzahl. Zu sagen „für mich ist es schöner, dass 1 auch eine Primzahl ist“ ist keine Mathematik sonder eher Philosophie.
@@skybibo Die 1 ist per Definition keine Primzahl. Nach der Primzahl wird als nächstes immer das Primzahlquadrat gestrichen... bei der 1 wäre das die 1 selber.
Ich verstehe die Problematik nicht? ja, es ist eine Vermutung, aber anhand von ganz einfachen grundlagen.... Warum kann man diese vermutung nicht beweisen? Ganz einfach... es gibt nur 3 zustände: zustand 1, plus minus geteilt oder mal, zustand 2 kommt zum ergebnis 3... es geht also nur um die 1 2 oder 3, daraus lässt sich alles errechnen! Die einzige frage, die in meinen augen zählt: kann ergebnis 3 gleich null (0) sein, weil null gibts ja eigentlich nicht. den zustand null haben wir uns geschaffen um einen bezugspunkt zu haben. da würde die gleichung dann lauten 0 =1 ?!
Auch einfache Aussagen können schwierig zu beweisen sein. Den größten Teil Deines Postings verstehe ich allerdings nicht.
@@berndkru Ich kann durch Addition, Subtraktion, Division und Multiplikation der Zahlen 1, 2 und 3, in welcher Konstellation auch immer, jede erdenkliche Zahl erstellen Bsp.: 3+3+3=9 oder (3+3+3)*(3+3+3)=81 und so weiter... so können wir jede beliebige Zahl errechnen, einzig und allein unter der Verwendung von 1, 2 und 3 und der normalen Mathematik Regeln. Dabei passt aber die Null nicht ins Konzept. Da stellt sich mir eben die Frage, Gibt es eine Null, oder ist Null gleich Eins?
@@Karl_Katheter Selbstverständlich passt da die 0 rein, es ist 1-1=0. Die Null ist beweisbar nicht die 1. Dazu müsste man etwas mehr von der Struktur der Zahlen verstehen. Es ist auch nicht richtig, dass man alle "erdenklichen" Zahlen durch die Grundrechenarten erreichen kann, insbesondere nicht die irrationalen Zahlen. Ich vermute, Du hast Dir da eine etwas merkwürdige Welt der Mathematik aufgebaut.
@@berndkru Möglich, möglich... Vielleicht hast du sogar recht! :)
Die Definition "Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch sich selbst und 1 teilbar ist" ist falsch. Demnach wäre auch die 1 eine Primzahl, was sie aber nicht ist. Die korrekte Definition lautet: "Eine Primzahl hat genau zwei verschiedene ganzzahlige Teiler." Die 1 ist demnach auch kein Sonderfall.
An sich ja auch eine Definition die Sinn macht. Allerdings hätte man aus Symmetriegründen die 1 besser über ihr Quadrat rausnehmen sollen.
Selbstverständlich gibt es auch andere, äquivalente Definitionen, z.B: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl > 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Diese Definition findet man ebenfalls und nicht nur die, die in Wikipedia steht. Nebenbei: Es gibt keine falschen Definitionen, sondern nur unterschiedliche. Die natürlichen Zahlen z.B. werden ja nach Werk mal mit und mal ohne Null definiert. Einheitlichkeit ist zwar erstrebenswert, aber nicht immer gegeben. Aber auch äquivalente Definitionen können und dürfen unterschiedlich formuliert sein.
Ja, das ist ein korrekte Definition. Wichtiger ist aber zu verstehen, warum die Primzahlen so definiert wurden, weil nämlich die Primfaktorenzerlegung eindeutig sein soll. Man hätte durchaus die 1 mit zu den Primzahlen zählen können und die Primfaktorenzerlegung so definieren können, dass die Primfaktorenzerlegung jeder Zahl, genau eine 1 enthält - dann wäre sie auch wieder eindeutig gewesen.
@@berndkru Ja, das ist alles richtig. Allerdings sind zwei Definitionen, die zu einer unterschiedlichen Menge an Primzahlen führen (mit oder ohne die Eins), nicht äquivalent. Und da die Eins eben nicht als Primzahl definiert ist, sind alle Definitionen die auch für die Eins erfüllt sind eben falsch.
@@valuemastery Aber die von Dir zitierte Definition enthält eben NICHT die 1: weil irgendein Schlaumeier drauf kam, zu sagen, dass das "und" in dieser Definition als "sowohl als auch" zu lesen ist. Das widerspricht der Definition von "und" in der bool'schen Logik, aber wird immer als Argument angeführt. Hat mich schon vor 30 Jahren im Mathestudium irritiert, aber man muss sich klar machen, dass auch in der Mathematik vieles historisch gewachsen ist.
"Ein Primzahl ist eine Zahl die nur durch sich selbst und durch Eins teilbar ist" stimmt so nicht, da mit dieser Definition die Zahl Eins selbst auch prim wäre.
Doch, es stimmt. Das "und" wird in der Definition als "sowohl als auch" gelesen. Also muss eine Zahl sowohl durch sich selbst, als auch durch 1 teilbar sein. Das gilt aber für die 1 nicht. Das klingt nach Korinthenschisserei, zumal es der Definition von "und" in der mathematischen bool'schen Logik widerspricht. Aber es ist die übliche Definition für Primzahlen.
@@jo555444 die übliche Definition von Primzahlen ist, dass sie genau zwei Teiler hat.
Das hätte in der Tat ein wenig besser formulieren sollen. Gemeint hatte ich genau zwei (unterschiedliche) Teiler, nämlich die 1 und sich selbst
@@entwurzler wenn ich in meinen Mathe-Ausflügen eines gelernt habe ist es, dass es rigide und wasserdicht sein muss. Wenn man mit Abkürzungen anfängt, "das ist doch klar", "jeder weiß was gemeint ist", "das ist intuitiv", reitet man sich in die Scheiße. Weil es oft funktioniert, aber nicht immer. Selbst die Profis bei Numberphile kürzen manchmal unzulässig ab.
-1 und1 sind die beiden ersten Primzahlen!!
Und es gibt eine Formel, nur da können sich Primzahlen befinden: 6n plus minus 1.
Das kann man schon seit 30 Jahren wissen. Heraus gefunden hat es der lichtdurchleuchtete
Dr.Peter Plichta.