안녕하세요. 영상 정말 인상깊게 보았습니다. 한가지 궁금한 것이 있는데요. 복소수의 연산을 벡터 성분의 연산처럼 다룰 수 있다고 하셨습니다. 이러한 개념을 확장하여 복소평면(좌표계)에서 벡터의 내적이나 외적 등 다른 벡터 연산도 수행할 수 있나요? 그런 연산의 수학적 의미가 있나요? 복소평면관련 탐구중인 고둥학교 3학년입니다. 바쁘실테지만 답변 부탁드립니다!!
안녕하세요! 저는 다항함수의 허근이 왜 켤레근을 갖는가에 대한 연구를 하고 있는 고등학생입니다. 영상을 통해서 허근에 개념에 더 가까워진 것 같아 감사합니다. 혹시 괜찮으시면 허근이 왜 켤레근을 갖게되는지에 대한 약간의 조언과 영상에서 사용된 4차원그래프를 그리는 프로그램을 알려달라는 부탁을 하고싶습니다..ㅎ
안녕하세요~ 1. 다항함수에서 차수가 2차 이상인 경우만 상정하는 것이지요? 제 생각에는 (다항 방정식을 인수분해 해서 얻은) 계수가 실수인 2차 방정식은 언제나 완전제곱식의 꼴로 식을 정리할 수 있기 때문에 둘 중 하나의 근이 허근이라면 나머지 하나의 근은 항상 그 허근의 켤레근이 될 수 밖에 없을 것 같네요... 근의 공식을 유도하는 과정을 생각해보면 도움이 되지 않을까 생각해요. 2. 영상에서 그래프를 그린 프로그램은 MATLAB 입니다.
파이썬으로도 당연히 가능하겠죠? 다만 제가 작성해둔 파이썬 코드는 없습니다. MATLAB 코드는 아래에서 확인해주십시오. github.com/angeloyeo/gongdols/blob/master/%EA%B8%B0%EC%B4%88%EC%88%98%ED%95%99/%ED%97%88%EA%B7%BC%EC%9D%98%EC%9C%84%EC%B9%98/z_squared_plus_1.m
안녕하세요. 아래의 페이지에서 확인해보시면 좋을 것 같습니다. github.com/angeloyeo/gongdols/tree/master/%EA%B8%B0%EC%B4%88%EC%88%98%ED%95%99/%ED%97%88%EA%B7%BC%EC%9D%98%EC%9C%84%EC%B9%98
저도 그렇게 생각합니다. orthogonal vector의 기하학적 의미는 2차원 내지는 3차원에서 기하학적으로 수직한 것이라고 생각할 수 있지만 그 이상의 차원에서는 기하학적으로 생각하는 것은 불가능하고, 두 벡터를 내적했을 때 0 이다 정도로만 생각할 수 있을 것 같습니다. 어떤 수학교재를 보더라도 고차원의 orthogonal vector의 기하학적 의미를 설명해주는 책은 저는 아직까지 못 본 것 같습니다 ... :)
다 MATLAB으로 그렸습니다~ 소스 코드는 제 github repo에서 확인하실 수 있습니다. github.com/angeloyeo/gongdols/tree/master/%EA%B8%B0%EC%B4%88%EC%88%98%ED%95%99/%ED%97%88%EA%B7%BC%EC%9D%98%EC%9C%84%EC%B9%98
![[깨봉라이브] 허수의 숨겨진 비밀 2편! 실생활에서 만나는 허수!](http://i.ytimg.com/vi/dUcf7oIRpNA/mqdefault.jpg)
목소리가 좋으시네요. 감사합니다
헛.... 예상치 못한 ^^; 댓글 감사합니다 ㅎ 도움이 되었다면 좋겠습니다.
항상 깨달음을 얻고 갑니다. 좋은 영상 감사합니다.
별말씀을요... 허접한 영상에 칭찬의 댓글 감사드립니다! 좋은 하루 되세요!
텐서해석학에 대해서도 다뤄주실 수 있습니까? 텐서개념이 잘 안잡히네요.
수학에 흥미가 많은 저에게 유일하게 딱 맞는 영상물이군요! 학교에서 삼차방정식 실근,허근들만 기계적으로 구하는 애들보고 마음아팠는데ㅠㅠ
김랄로 호씨 왜 여기서 수학공부하고있어
감사합니다.
^^ 도움이 되었다면 좋겠습니다
근본적으로 궁금할만한 걸 해결해주셔서 감사해요! 암기만하고 달달달 외으기만 했는데 왜 그런지 알고나니 이해가 쉬워요 !
기계공학과 진학해서 기구학 기초를 배울때 복소평면과 *i를 했을때 복소평면에서 90도 회전이 된다는걸 배웁니다~
여기 왜 있노 ㅋㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋ게이야
감사합니다!
일요일 아침부터 부지런하시네요 ^^ 봐주셔서 감사합니다.
+AngeloYeo 영상이 너무 재밌었서 기다려 지게 되네요 감사합니다!!
강의 감사합니다. 간혹 파이썬 그래프 질문하시는 분이 있으신데, matlab을 챗 GPT로 파이썬 변환하여 돌려보시면 됩니다. magnitude를 surface 로그리고, wireframe으로 실수부 허수부를 같이 나타내니 phase에 대한 감이 명확하더군요.....
그런 방법도 있군요! 좋은 제안 감사합니다 😁
어허... 이거 하나만으로도 유튜브 보기를 잘했다는 생각이 듭니다.
재밌게 봐주신 것 같아서 뿌듯합니다 ^^!
안녕하세요. 영상 정말 인상깊게 보았습니다.
한가지 궁금한 것이 있는데요.
복소수의 연산을 벡터 성분의 연산처럼 다룰 수 있다고 하셨습니다.
이러한 개념을 확장하여 복소평면(좌표계)에서 벡터의 내적이나 외적 등 다른 벡터 연산도 수행할 수 있나요? 그런 연산의 수학적 의미가 있나요?
복소평면관련 탐구중인 고둥학교 3학년입니다. 바쁘실테지만 답변 부탁드립니다!!
안녕하세요 ㅎ 네 내적이나 외적이나 모든 벡터 연산들은 복소 벡터에까지 확장해서 생각할 수 있습니다
안녕하세요! 영상 잘 봤습니다. 이런 간단한 해석 정말 필요했는데… 혹시 영상 후반부에 나오는 그래프는 어떤 방법으로 그리신 건지 알 수 있나요? 저도 관심이 많아서요…^^
안녕하세요! 모두 매트랩 으로 그렸습니다 😊
평면에서는 억지로 만나게 하는 복소수이지만 4차원에서는 허수축도 하나의 축으로 가정하면 억지로가 아닌 실제축처럼 보이죠
저거보니궁금한게 분명 2차함수가 두개허근을 갖는 그래프를 그렸는데
복소평면상에서 바라보니 4차함수마냥 그래프가 그려지네요?
어떤 원리가있는건 지 우연인지 궁금하네요.
오 그렇게 볼 수도 있겠군요.
제 생각에는 z= x+iy인데 z^2에 관한 그래프를 그리다보니 4차함수처럼 보이는 것읕 아닌가 싶습니다. x, y 모두 변수라서요~
@@AngeloYeo 아 그렇겠네요 대댓감사합니다
정의역은 직교좌표계로 하고 치역은 극좌표계로 한 이유가 있을까요?
치역도 직교좌표계로 나타내서 그래프를 그릴 순 없나요??
색깔로 위상을 표현하였을 뿐 극좌표계로 치역을 사용한 것은 아닙니다. 시각화는 직교좌표계에서 이루어진 것입니다.
안녕하세요. 혹시 블로그는 폐쇄된걸까요? 네이버에서 서치하는 도중에 발견했는데 블로그가 들어가지지 않아서 여쭤봅니다.
@@수진-f4p9e 아니요 아직 운영되고 있습니다. 어떤 내용의 포스팅이 보고싶으셨을까요?
angeloyeo.github.io/2019/06/16/imaginary_root.html
정의역은 직교좌표로하고
치역은 극좌표로해서 쎄타를 색깔로 표시했는데
색깔이 연속되지 않고 어디는 연속되고 어디는 단절되는데
경계선이 생기는 이유가 뭔가요?
범위를 -ㅠ부터 ㅠ로 잡아서 그렸기 때문입니다! 실제 세타는 2사분면과 3사분면을 넘나들 뿐인데, 범위상으로는 양극단을 오가는 셈이라 경계선처럼 보일 뿐입니다. 실제로는 세타의 변화도 연속적이고 경계선은 시각화 과정의 어쩔 수 없는 한계라고 보시면 되겠습니다.
오... 대신 좋은 설명 해주셔서 감사합니다 ;)
@@AngeloYeo ㅎㅎㅎ 영광입니다
허수 i에 대하여 i의 n제곱근은 어떻게 구하는 지를 고민했었는데 이걸 보니깐 깨달았네요.
2차원 평면으로 봤을때 절댓값이 1이 되는 복소수는 형태가 cosA+sinAi 형태인데
허수는 A가 pie의 1/2인 상태이므로 이의 n제곱근은 A가 pie의 1/2n이 되면 되겠네요.
파이는 pi죠;;
@@이잉-w7g 그러게요 5년 전이라 왜 저리 적었는지 의문이 있긴하네요.
그래프로 그리니 정확히이해가 가네요 ㅎㅎ 감사합니다 그런데 마지막 그래프에서 정의역의 좌표계가 Im(z) Re(z)가 되야하는게 아닌가요??
혹시 다음번에 리만 구에 대해서도 다뤄주실 수 있나요?ㅠㅠ 독학해보려구 했는데 너무 어렵네여ㅠㅠㅠㅠㅠ
으어어.... 잠깐 찾아봤는데 무슨 얘기인지 모르겠네요 ㅠㅠ 제가 제 관심 분야 밖의 수학 내용에 대해서는 저도 문외한이라 ㅠㅠ 죄송해용
안녕하세요! 저는 다항함수의 허근이 왜 켤레근을 갖는가에 대한 연구를 하고 있는 고등학생입니다. 영상을 통해서 허근에 개념에 더 가까워진 것 같아 감사합니다. 혹시 괜찮으시면 허근이 왜 켤레근을 갖게되는지에 대한 약간의 조언과 영상에서 사용된 4차원그래프를 그리는 프로그램을 알려달라는 부탁을 하고싶습니다..ㅎ
안녕하세요~
1. 다항함수에서 차수가 2차 이상인 경우만 상정하는 것이지요? 제 생각에는 (다항 방정식을 인수분해 해서 얻은) 계수가 실수인 2차 방정식은 언제나 완전제곱식의 꼴로 식을 정리할 수 있기 때문에 둘 중 하나의 근이 허근이라면 나머지 하나의 근은 항상 그 허근의 켤레근이 될 수 밖에 없을 것 같네요... 근의 공식을 유도하는 과정을 생각해보면 도움이 되지 않을까 생각해요.
2. 영상에서 그래프를 그린 프로그램은 MATLAB 입니다.
복소수 성질로 증명할수있는데요 z=0이면 켤레z=0 이 됩니다! 켤레z->z’으로 표현할게요! 즉 0’=0이 됩니다!
이차이상의 n차다항식 f(x)=0이 복소수z를 근으로 갖는다면 f(z)=0이 되고 f(z’)=0을 증명하면됩니다! (x^n은 x의 n제곱 이란 뜻입니다)
f(x)=ax^n+bx^(n-1)+...+c 라하면
f(z)=az^n+bz^(n-1)+...+c=0
f(z’)=az’^n+bz’^(n-1)+...+c
=[az^n+bz^(n-1)+...+c]’=0’=0
따라서 f(z’)=0이 되므로 켤레근 z’도 근이 됩니다!
색깔로 하자고 생각한사람 똑똑하다
그래프 파이썬으로 그린 거 스크립트 공유하실 수 있나용
안녕하세요. 영상 description에 코드가 제공되어 있는 주소를 링크해 두었습니다. 그리고 참고로 파이썬이 아니라 MATLAB으로 코드 작성되어 있습니다. 감사합니다 ^^~
혹시 이거 파이썬으로는 안될까요?
파이썬으로도 당연히 가능하겠죠? 다만 제가 작성해둔 파이썬 코드는 없습니다. MATLAB 코드는 아래에서 확인해주십시오.
github.com/angeloyeo/gongdols/blob/master/%EA%B8%B0%EC%B4%88%EC%88%98%ED%95%99/%ED%97%88%EA%B7%BC%EC%9D%98%EC%9C%84%EC%B9%98/z_squared_plus_1.m
매트랩 코드를 볼수 있을까요?
안녕하세요. 아래의 페이지에서 확인해보시면 좋을 것 같습니다.
github.com/angeloyeo/gongdols/tree/master/%EA%B8%B0%EC%B4%88%EC%88%98%ED%95%99/%ED%97%88%EA%B7%BC%EC%9D%98%EC%9C%84%EC%B9%98
@@AngeloYeo 감사합니다!
이 내용을 대학교나 논문을 통해 배우시게 된건가요 아니면 공돌이 노트님이 궁금하게 되어서 연구하셨던 건가요?
안녕하세요. 인터넷에서 보고 배운 내용을 제 나름대로 이해한 대로 설명한 것입니다 ㅎ
@@AngeloYeo 답변 감사합니당 ㅎㅎ
간단한 함수에도 복소수가 들어가니 4차원이 되네요, 그러고 보면 복소수를 내적해서 0이 나온다는 것의 기하학적 의미는 최소한 4차원에서의 수직을 말하는게 되겠네요..그림으로 아무리 그려도 안되던 이유가 이거였던걸까요...감사합니다! 좋은 하루 되세요~!
저도 그렇게 생각합니다. orthogonal vector의 기하학적 의미는 2차원 내지는 3차원에서 기하학적으로 수직한 것이라고 생각할 수 있지만 그 이상의 차원에서는 기하학적으로 생각하는 것은 불가능하고, 두 벡터를 내적했을 때 0 이다 정도로만 생각할 수 있을 것 같습니다. 어떤 수학교재를 보더라도 고차원의 orthogonal vector의 기하학적 의미를 설명해주는 책은 저는 아직까지 못 본 것 같습니다 ... :)
영상에서 사용하신 그래프 그리는 소프트웨어 이름이 무엇인지 여쭤봐도될까요? 영상 마지막에 위키독스에서 직접 적용해볼 수 있다고 하신것 같은데 잘 모르겠어서 여쭤봅니당... 직접 해보고 싶네요
안녕하세요 ㅎㅎ MATLAB을 사용해서 모두 그렸습니다 ㅎㅎ
@@AngeloYeo 앗 감사합니당 근데 9:25 에 색깔로 phase를 표현하실 때 기준이 언제가 파랑색이고 언제가 노란색이라는 것인가요? 고등학교 수준으로는 이해가 안되네요ㅠㅠㅠ
음... 옆에 있는 칼라바를 보시면 어떤 phase 값에 어떤 색깔이 매칭되어 있는지 알 수 있습니다 ㅎㅎ
@@AngeloYeo phase는 파이가 단위인게 아닌건가요 그럼??
여기서 사용된 phase의 단위는 radian 입니다.
그래프 어떻게 그렸나요
다 MATLAB으로 그렸습니다~ 소스 코드는 제 github repo에서 확인하실 수 있습니다.
github.com/angeloyeo/gongdols/tree/master/%EA%B8%B0%EC%B4%88%EC%88%98%ED%95%99/%ED%97%88%EA%B7%BC%EC%9D%98%EC%9C%84%EC%B9%98
와우 이해가 안되는군요 ㅋㅋㅋ 대학교에서 나오는 건가요??
수학에서 고1때 살짝 맛보기로 배우고 대학교에서 전기공학쪽에서 배울듯싶네요!!
저같은경우 기계공학 3학년때 기구학에서 배웠어요