[DET#10] Inégalité de Bernoulli & Suites géométriques (Démonstration)
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- Опубліковано 15 вер 2024
- Dans cette émission, je démontre l'inégalité de Bernoulli, puis m'appuie sur ce résultat pour étudier le comportement de différentes suites géométriques en fonction de leur raison. Les démonstrations proposées, dans l'esprit du programme, vont permettre de toucher du doigt l'une des propriétés fondamentales de la droite réelle: la propriété d'Archimède.
📝 La démonstration réalisée ici fait partie des 18 démonstrations proposées dans les nouveaux programme de terminale en mathématiques, enseignement de spécialité, voie générale.
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✒️ Notions abordées: inégalité de Bernoulli, démonstration par récurrence, suite croissante non majorée, propriété d'Archimède, suites géométriques.
🌞 Bonne écoute !
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![[DET#11] Théorème fondamental de l'analyse (Démonstration)](http://i.ytimg.com/vi/mEuI_QXa84Q/mqdefault.jpg)
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Merci pour cette vidéo, cela me rend nostalgique de l'époque où on avait eu un ds sur l'inégalité de Bernoulli et sur une redémonstration de la fonction exponentielle. :)
Tu verras bientôt une belle tranche de nostalgie alors, parce que la fonction exponentielle est très présente dans les programmes de terminale 😃. De mon côté, c'est aussi un plaisir de me replonger dans ces résultats de lycée que je n'ai pas revu depuis belle lurette, ça me rappelle bien des souvenirs !
@@oljenmaths Non non xD on avait fait ça en MPSI
Pouvez-vous faire une vidéo sur la démo de l'inégalité arithmético-géométrique par la méthode de Cauchy ? 😢
Je dois bien avouer que je ne sais même pas en quoi consiste cette démonstration, mais je note l'idée 😇.
Tu peux aussi faire la démonstration avec le binôme de Newton. Il faudrait sortir les cas k=0 et k=1 de la somme pour obtenir le résultat.
oui voilà, pourquoi on fait pas comme çà ?
Super comme d'habitude ! Pourriez vous faire une vidéo sur les relations entre coefficients et racines d'un polynôme ou polynôme symétrie svp ?
Merci ! C'est un joli thème, j'en prends note ✍️ !
la démonstration, j'ai envie de la faire a partir du binôme :
(1+a)^n = sum(i=0, n : Cbin(n, i)*1^i*a^(n-i)) = 1 + Cbin(n, 1)*a + sum(i=2, n : Cbin(n, i)*1^i*a^(n-i)) la somme est positive, ca les coefficient binomiaux sont positif, 1^i aussi et a est défini positif dans le sujet donc on obtient :
(1+a)^n >= 1 + Cbin(n, 1)*a = 1 + na
Juste pour s'assurer qu'on a pas de problème, on peut traiter les cas n = 0 et n = 1 (même si n = 1 ne pose pas problème, on aura juste égalité vu que la somme restante est nulle) a part car la somme restante n'est pas forcement bien définie)
Oui, cela fonctionne parfaitement et offre en effet une remarque pertinente : « 1 » et « na » sont les deux premiers termes du développement de (1+a)^n au moyen de la formule du binôme. La critique principale que l'on pourra faire à cette démonstration est que la formule du binôme peut « coûter cher » à établir, mais son intérêt est néanmoins très présent : on crée du lien entre les notions du cours de mathématiques, et cela va dans le bon sens 😇.
@@oljenmaths on peut la démontrer en faisant 2 récurrences (une pour les coefficient binomiaux, puis une pour la formule du binôme), comme ça la preuve fait 2 récurrences au lieu d’une seule !
Il y a beaucoup plus rapide et c'est instantanée avec l'inégalité arithmetico géométrique, qui dit que (X1.X2...Xn)^(1/n)
Juste. Cela dit, il faudrait à présent démontrer l'inégalité arithmético-géométrique… 🤷🏻♂️.
@@oljenmaths pas daccord du tout , cette inégalité est deja connue , ce que vous me dites là revient à demontrer le théorème de pythagore pour calculer l'hypothènuse d'un triangle rectangle
Est-ce que ça a un lien avec la formule de Développement Limité ?
Oui, complètement 👍🏻 ! L'idée de Taylor, c'est d'approximer une fonction par une fonction polynomiale. Ici, on parle d'une équation de tangente, c'est-à-dire d'une équation polynomiale de degré 1. Si on voulait établir cette inégalité, toutefois, on utiliserait plutôt Taylor avec reste intégral, par exemple, le développement limité n'étant valable qu'au voisinage d'un point.
Pour plus de détails à ce sujet, avec cette idée d'approximation:
🎥 ua-cam.com/video/yHflvAua-U0/v-deo.html
J'interviens largement après la bataille, oups :)
Pour le raisonnement par récurrence, je suppose sans doute que tu essaies d'instaurer un certain systématisme. Ainsi, on me demande de vérifier une inégalité, je checke le signe de la différence des deux termes. Mais pour le coup, là y'avait je pense un truc de totalement plus simple que de devoir penser à la minoration.
(2) HÉRÉDITÉ : Soit n un entier naturel tel que HR(n) est vraie.
Comme 1+a > 0, on a en multipliant par (1+a) les deux côtés de l'inégalité, vérifiée par hypothèse de récurrence, que :
(1+a)^[n+1] >= (1+na) * (1+a)
>= 1 + a + na + na²
>= 1 + (n+1)a + na²
Or na² > 0, ainsi (1+a)^[n+1] >= 1 + (n+1)a. On a donc HR(n+1) qui est vérifiée.
Bref, je ne suis pas contre le systématisme, ça sauve à beaucoup d'égard, mais quelques fois un peu d'intuition, de simplicité, et de finesse (haha) font obtenir de belles solutions.
Oui, j'ai choisi de procéder de cette manière afin de suggérer que de se ramener à une inégalité du type a > 0 est en général une bonne idée, dans la mesure où on peut parler de signe et de factorisation. C'est une stratégie très classique qui n'est pourtant pas acquise par la plupart de mes élèves en deuxième année de classes préparatoires, donc je n'ai pas hésité une seule seconde à la mettre en œuvre ici 👍🏻.
J'ai justement eu un exo sur ça cet aprem en DS de maths mdrrr
Est-il nécessaire d'utiliser les termes de "il ne nous reste plus qu'à prier..." et "enquiller"? Personnellement, les deux me choquent...
Nécessaire, absolument pas. Cela dit, si je me base sur le retour de mes étudiants en classe, ainsi que sur ceux que j'ai obtenus à partir du petit million de vues sur ma chaîne, il semblerait que l'emploi d'un langage légèrement décalé soit un remède diablement efficace contre le syndrome de la paupière lourde. N'ayant pas eu un seul retour négatif à ce propos, je continue, donc.
@@oljenmaths Et je confirme c'es sympa ! Ça casse un peu l'image du prof bien strict, pénible à écouter