[해석학1] 해석학 준비 (1/2) - quantifiers (for all, there exist)

#해석학 #quantifiers #stoll
교재는 Manfred Stoll 의 Introduction to Mathematical Analysis (2nd edition) 입니다.
해석학을 시작하기 전에 두 번의 준비 내용 강의를 합니다.
이번 강의에서는 for all 과 there exists 를 설명합니다.
for all을 부정하면 there exists 이고, 반대로 there exists 를 부정하면 for all이 됩니다.
(본 강의는 2024년 1학기 경희대학교 수학과 해석학1 과목입니다)

[@김영지-p1z]

작년에 교수님께 부정 빨리 못 만든다고 단체로 구박 받았던 기억이.. 주마등처럼 스쳐 가네요 😂😂😂 명확하게 정리 됐어요 감사합니다!!!

[@kh_math]

그런것까지 구박하는 교수님이면 정말 훌륭하신 분이네요. 즐거운 공부가 되길~

[@smh8336-]

친절한 설명 감사합니다.

[@kh_math]

저도 감사합니다

[@윱-f7o]

선생님 안녕하세요. 저는 수학교육과 이제 3학년 재학생입니다. 선생님께서 이렇게 좋은 강의를 올려주셔서 감사히 생각하며 공부를 하고 있습니다 정말 감사합니다.
다름이 아니라 제가 선생님께서 하시는 교재와 달라서 어려움이 있는데 pdf 파일을 받을 수 있을까요? 저 혼자 보고 공부하는 것에만 사용하겠습니다. 답변주시면 메일 드리거나 남기겠습니다. 좋은 강의 항상 감사드리며 좋은 한 해 되셨으면 좋겠습니다.

[@Louis-g2g5q]

4:38에 shorter than 200cm의 부정은 taller than 200cm가 아니라, 200cm보다 크거나 “같다”라는 문장이 되어야 하지 않나요?

[@kh_math]

맞습니다. 부정하면 크다 작다가 바뀐다는것을 강조하기 위해 등호는 빼고 얘기했습니다.

[@ssimjm87]

교수님 안녕하세요, 졸업생입니다. 학부생때 교수님 강의를 들어본 적은 없지만 이렇게 10년이 더 지난 시간 뒤에 인터넷으로 교수님 강의를 접할 수 있게 되어 영광입니다. 틈틈이 챙겨보겠습니다. 감사합니다.

[@kh_math]

안녕하세요, 졸업생을 여기에서 만나서 반갑네요. 하는 일 다 잘 되길 바랍니다~

[@qjk-28ja2hp]

좋은 강의 감사합니다. 마지막 Example에서, "∀x,"와 "∃y s.t."을 각각 한 덩어리의 대상으로 생각하면 된다는 느낌을 받았습니다. 이러한 quantifier표현들은 그것이 포함된 명제의 진리값을 결정하는 관점에서, 순서를 바꿔도 상관없나요? 즉 교환가능한가요? [∀x, ∃y s.t. P(x,y) is true] ≡ [∃y s.t. ∀x, P(x,y) is true] 인가요? 만약 된다면, 더 일반적으로 "∀x,"와 "∀y,"의 교환, "∃x s.t."와 "∃y s.t."의 교환, "∀x,"와 "∃y s.t."의 교환 이렇게 3가지 경우 모두 교환가능한 건가요?

[@박상은-j3y]

한글로 번역을 해보시면 좀 이해가 수월하실 겁니다.
1. [ P(x,y)가 참이 되는 y가 존재한다]는 모든 x에 대해 참이다.
2. [ 모든 x에 대해 P(x,y)가 참이 되는 y]가 존재한다.
둘은 다릅니다.
예를 들자면, x+y=1 이라는 등식에 대하여
1. x+y=1이 참이 되는 y 는 (1-x)의 값으로 존재하며,
이는 모든 x에 대해 항상 참입니다.
(x=1 이면 y=0, x=2면 y=-1 ...)
2. x+y=1이 모든 x에 대해 항상 참이 되도록하는 특정한 y값은 존재하지 않으므로 거짓입니다.
같은 이유로 아래 예시들도 모두 교환 불가능합니다!

[@qjk-28ja2hp]

@@박상은-j3y 감사합니다.3경우 중 3번째는 교환안되는 것은 이해했는데, 1,2는 같은 종류의 quantifier인데도 교환 불가능인가요? 해석해봐도 교환가능한 거 같아요

[@박상은-j3y]

@@qjk-28ja2hp 네, ∀x와 ∀y 사이에 별다른 게 없으면 가능합니다!

[@qjk-28ja2hp]

@@박상은-j3y 답변 감사합니다.

[@kh_math]

안녕하세요,
∀x∀y ≡ ∀y∀x 이고, ∃x∃y ≡ ∃y∃x 는 성립하지만, ∀x∃y ≡ ∃y∀x 는 성립하지 않습니다.
이유는 상은님께서 잘 설명해주신것 같습니다.
질문하신분, 답변해주신분 모두 감사합니다.

[@박상은-j3y]

해석학도 기대되네요 잘 보고 갑니다~

[@kh_math]

즐거운 시간이 되길 바랍니다~

[@아르헨5김]

정말 감사합니다.

[@kh_math]

즐거운 공부가 되길 바랍니다~

[@busbug5457]

such that은 문장을 자연스럽게 만드는 수식어인가요? 생략해도 된다는걸 보면 For all 의 쉼표와 같은 역할인지 궁금합니다

[@kh_math]

정확합니다. 책에 따라서는 쉼표로 쓰는 경우도 있습니다만 영어문장으로 변환해보면 such that 이 가장 자연스럽습니다.

[@논리학-w4t]

정신이 어질어질