【数の話】自然数から複素数まで
Вставка
- Опубліковано 2 жов 2024
- ★書籍「難しくない物理学」★ご購入はこちら↓↓
www.amazon.co....
books.rakuten....
物理のここがたまらない！と思うことを存分に書いています。
※オマケ動画ついています
★動画内容
・１って？
・自然数、整数、有理数、実数、複素数
・n次方程式
★Ｔシャツとか作っています。
www.binloji.com
★Instagram ＠binloji
物理のこと、日常のことなど投稿しています。
/ binloji
★note書いています。
note.com/binlo...
★Twitter @binloji
たまにつぶやいています。 - Наука та технологія
林檎１個と猫１匹で２とは、現実世界では、そう言う認識をすることはないかな？少なくても、同じ者や同じ性質のモノ間の足し算でしかない様な？でも、複素数は、凄い発想ですよね。二乗して－になる虚数なんて発想が凄い！！！ その虚数に自然数を加えた数が複素数だよね。そして、それが、素粒子の世界に存在してるなんて異次元の存在を推察させる。。
以前、小さな女子短大で「数学基礎」の集中講義をした事があります。その初日に、「数は次々に発見された・・・」と語ると、学生たちは「え～、嘘～」と受け止められ、私の実力の無さを痛感させられました。ああ、その時、この「数の話」の動画があればな～と思いました。のもと先生、また教えてください！！私は「のもと愛」です！！
この動画すごいです。非常にわかりやすくまとまってます。
職場の数学が苦手な部下にも理系の資格を取らせなくては
いけないので、活用させていただきます。
アマチュア無線をやっていると、虚数は本当に存在することがわかります。無視してアンテナから送信すると、送信機が壊れる。
ペアノの公理で定義される自然数に四則演算を導入するところや、代数的数以外の数として超越数の話もあるともっと面白いのではないかと思います。
話題からずれるんですが、最新のsuper computerで円周率やピタゴラス数などを計算したらどうなるんですかね？無限に出るんだったら何か動力と結びつけたり、法則性がなかったら逆にすごいですよね。法則性が無い法則になるんですかね。調べたら2022年でも100兆桁しかできなかったらしいです。
「制限を外す」ってのがキーワードなんだ。
とすると、全ての制限を外した数ってあるんだろうか？
iは二乗すると-1で複素平面を構成することが出来て、物理法則にしばしば登場しますが、三乗すると-1になる平面は複素平面とは別のディメンションを構成出来ないだろうか？同様に素数、5,7,11,13〜ではどうでしょうか。その場合、量子論的11次元の素数17？19？17乗すると-1になる数字とは如何なる数字で何故11次元迄なのか？みたいな思考実験をしたくなりませんか。量子論的な11のディメンションが素数回掛け合わせたら-1になる既知のあらゆるディメンションに直交する次元とは限りませんが。少なくともiは物理法則と関係がありましたよね。
確かカシミール効果はもう動画にされましたよね？どうせなら解析接続から繰り込みの話しをいつかお願いします😊
応援してます❣
このあと群の話になり対称性の話に展開して物理学につなげて解説するつもりですね？
わおー★鋭いですね！それができたら理想なのですが。。
もう一つ答えがあります。
循環小数も無理数も・・・「気にしなければイイじゃないか！」
つまり、「気にしなければイイ物理現象」が存在するとゆー「予測」ですｗ
ほっほー今日は数学ですか？可也上の学者さんに数学が必要なのは何気に理解しますが．．．私程度の人間は大学まで別教科扱いだった気が
（-_-;）う～む…頭が痛い…ついでにお腹も痛くなっちゃいました😢
1 は「ある」って事なのか〜！
新鮮な気持ちになります。
数学者の岡潔さんの言葉も素敵ですね。
数学的に厳密な定義ではないのですが・・新鮮な気持ちになってくださりありがとうございます。
物理のための数学の授業もしてください
これがまた難しいんですよね・・
ですよね。皆さんの関心を惹く構成、動画は難しいや。
だけど、文系のオイラがWikipediaを見ていたら、相対物理性理論が 古典論 になっちゃう理屈とか、量子力学のヤバさ(我らには理解不能な理屈)を、将来のネタにしてほしいです😂
古典論はベクトル解析からパート分けしたら時間かかるし…
いつも楽しい動画ありがとうございます
誤解のないように補足しますが、平方根(√)などで表されるものは無理数の中でもごく一部の特殊なものです
たとえば 0.1011010001...(0と1がランダムに並ぶ)なども無理数です
どうもありがとうございます！！
ユークリッド幾何であり、リーマン幾何学であり、幾何学を勉強したらカラビヤウ多様体が論理破綻してる事が解るかと🤔🖌️
AIが生活に組み込まれて行く世界で物理的に説明する機会が増えますよね。
確率論を生活に組み込むとどの様に生活感が変わるかを説明して頂きたいです。😊
数の拡張は、物を際限なく切り刻んで最終的に行き着くものはいったい何なのかっていう素粒子の話に似てるなぁとも思いました。
自然数から整数と有理数を作るところまでは、その通りです。しかしながら、有理数から実数を作るとき、代数方程式が解を持つようにしたときにできるのは代数的数であり、実数ではありません。実数を定義するためには、有理数体の完備化など集合の概念が本質的に必要になり、集合論をどのように定義するかという難しさがあります。
複素数を定義するためには、勝手にiを定義できないので、2乗すると−1になる数を定義しても矛盾が生じないことを示す必要があります。すなわち、Ｒ∪{i}の無矛盾性を証明する必要があります。
いずれにしても、一つの数を定義するためには本を一冊書く覚悟がないと出来ないことです。
大切なお話をありがとうございます！！
図書館で整数論という本を見つけたのです。
訳の分からないめちゃくちゃ難しい事が書いてありました。
整数、恐るべし。
恐るべし。。
数の分類と包含関係についての話を「集合」から始めるのであれば、実数を「有理数と無理数」で分けるだけでなく、「代数的数と超越数」で分類することも可能であることにも言及すべきではないでしょうか。ちなみに、有理数⊂代数的数⊂実数であり、実数のうちで有理数でないものが無理数、代数的数でないものが超越数です。この動画の説明だと、まるで「実数や複素数の全てが代数方程式の解で表し得る」かのように誤解される恐れがあると思います。そうではなくて、無理数の中には、πやeのようにいかなる代数方程式の解にもならないような数（超越数）も含まれるというのが正しいのですから。
確かにそう区切ると超越数の方が広大に思える. しかも, 完全に超越数と証明されたのも少ない…😢
あともう１点、有理数から代数的数を飛ばして複素数（or実数）へ拡大してしまうことの問題点として。有理数と代数的数は、「可付番集合」であるということが上げられます。これに対して複素数（or実数）は連続体集合であり、可付番集合ではない。つまりこの可付番集合と連続体集合とのギャップを構成する要素こそが、超越数そのものです。
数の種類を分類するみたいな話。
面白かったです。
数の捉え方が私の中で、
整理できた気になりました。🎉
ありがとうございます。
ありがとうございます！
最初、物を数える事から始まった数が、複素数と言う摩訶不思議な数にまで拡張された歴史。でも、この摩訶不思議な数が現在の量子力学等で使われていると考えると、数の歴史は自然科学発展の歴史に通ずると感じました。
でも、数の拡張(この先の四元数、八元数…)に限界がないとすると、物理のゴールにも限界がないのかなとも思ってしまいました😅
iがあると物理がめちゃくちゃ表現できるってすごいですよね！
複素数をeの肩に乗せた時が便利過ぎて、これは便宜上の取り決めじゃなくて何かの真理なんだなと感じます
そうですね！★
『自然数→整数→有理数→無理数→実数→虚数→複素数』のカスケード構造を、私は、髪を梳く櫛としてイメージしますね。
櫛の筋にある幅が、どんどん小さくなって無限に細かくなって行くイメージですね。
でも、虚数のイメージって結構難しいですね。
虚数のイメージって、水中に沈んだ氷の部分のイメージですね。
何か、冷たく時間の止まったイメージでとらえている感じがしますね。
おぉ★素敵なイメージですね。
@@nomoto-binloji
(^^♪
最後に 四元数に 触れていただき ありがとうございました
シンプルに面白いですね。
のもとさんの数学苦手と私の苦手は次元が違いすぎます💧数学コンプレックスです。 それでも、数年前に たまたまフェルマーの最終定理を読んで、感動したのを思い出しました。数の話しとてもわかりやすく面白かったです。こういう話し学校でしないから、結局どんどんわからなくなるのよねー💧現在、すばらしい動画がたくさんあって、良い時代になりましたね😃
数学コンプレックスめちゃくちゃわかります。。フェルマーすごそうですね✨
@@nomoto-binloji さん
えっ、いやいや。アンドリュー•ワイルズ氏が証明したミレニアム問題のフェルマーの最終定理の論文はネットで拾えるけど、知らない数学の記号ばかりで何が書いてあるのか殆ど解らんですよ😓
いやいや、アンドリュー•ワイルズ氏が証明したミレニアム問題のフェルマーの最終定理の論文はネットで拾えるけど、知らない数学の記号ばかりで何が書いてあるのか、アクチュアリーホルダーでも殆ど解らんですよ😓
フェルマーの最終定理証明の論文なんぞチンプンカンプン😮本当にフェルマーは当時証明出来てたとは思えんなぁ
素晴らしい講義でした🎉。
ありがとうございます！！
この世は三次元プラス時間の四次元であることと、ｎ次方程式の根の公式の存在はなにか関係あるのかなあ？
どうなんでしょう・・・おもしろいですね。
数の系統的に説明、感心しました。
良い話ですね～代数学の基本定理. カルダノ, フェラリ, アーベルの定理, クロネッカー, ガウスが3,4度目(?)の挑戦でとどめを刺している. 数学苦手なお方の話とは思えないほど分かりやすいです. まさに17~18世紀数学界の一大成果ですよね.
16世紀の数学はギャンブル, 勝負師のような世界で タルタリア,勝手に出版したカルダノ,弟子フェラーリあたりのごたごたは映画にでもして欲しいくらいのドラマ感があるような.
実はクロネッカー数論の関りは知らなかったです...ヒルベルトが継承したとか.
ライプニッツは惜しいが, ベルヌーイ, オイラーがぐっと進めて, ダランベールの貢献, ラグランジュ, ラプラス, コーシーら挑戦の数々, ガロアの証明, リウビル定理による証明
個人的に好きな四元数, ハミルトンが取りつかれてメタボの原因になったとか. 現在では役に立っておりますね.今回の動画とても楽しめました. 応援してます!
四則演算と代数方程式で数を拡大していくと、実は複素数全体ではなく「代数的な」複素数で止まってしまいます。
その"外側"にネイピア数や円周率のような、超越的な数があるのです！
おぉー★どうもありがとうございます！！
コープランド・エルデシュ定数も超越数ですね。
いかにも物理の人がする数学の話かなあ。
「基本だから数の話をしよう」って...
数学では、「基礎」=「何だか難しいこと」、「応用」=「ともかく計算すること」
ってのはそれこそ基本的な感覚だ。
厳密に公理的に定義した自然数と、日常的な感覚としての個数が
同じなのか？ということは、エジソンの逸話をひくまでもなく、
数学の理論ではなく、我々の感覚を解明して理解するしかない事項だ。
数(すう)は数学理論の中にしかない。それと我々の感じる「かず」や「量」は、
感覚や直感を通してしか関連していない。
認識論は、計算では解決できない。
今回も面白かったです！
数字は単純なようで奥が深いですね。
7:13の「5/7」違ってました。
なんとー！ご指摘くださりありがとうございます。１が抜けてますね。。
君の早口は僕には計算機のように理解できるが、数学の苦手感はこの半世紀以上付いてくる😆❗️…それでも気の遠くなるような魅力的なものだと思います❗️ひょっとして、半世紀前にもそんな気がしていた瞬間があった事を微かに記憶している❗️😆ありがとうございました❤
次のネタとして
ノーベル物理学賞を受けた人の一覧。その理由と中身を紹介してほしいです。アインシュタインが一般相対性理論じゃなくて、それよりもショボい(失礼 ので受賞した背景とか、朝永や江崎や南部など、文系無知の我らに、日本人の多くの受賞歴を紹介してほしいです。
大学の過去問で一番最初にあった問題です。
「Log(i)」
「え“〜っ！」 (￣▽￣;)
え゛～っ！！
問題：「log(i)」
”数Ⅰ”を選択したことがある方なら、
その意味は分かるでしょう。
問題：「√(i)」
これと同じで、
「”a+bi”と表しなさい」と言うことです。
解き方は簡単で、
複素平面に極座標の概念を使うだけです。
それを知っているかどうかだけの問題です。
（だと思います）
一応、式も添えますが、恐らく弾かれますので、
興味のある方は『Log(i)』で検索して下さい。
大学入試じゃないですよね？
大学授業の過去問？
sin(z)=2 のzを解けとか
東大過去問にそんな鬼問題あったりしないか…
多項式の解をいつでも求めようと数を拡張してきた。だから、多項式はいつでも求められ、その解は複素数の数の範囲で必ず求められる。
で、逆に複素数までの数は必ず、多項式になるのかなあ。全ての複素数までの数の範囲では多項式の解でないものが存在するのかな？。
とても面白かったです！
素数のお話も聞いてみたいです！
数の世界が広がってゆく様子は大海に流れ込んでいく小川のようで、面白いです。
複素数が世界のあり方に深く関わっているのはほんとに不思議ですね。。。
本当ですね。。
宇宙のはるちゃんってチャンネルがあるのですが、その方と気が合いそう。彼女の宇宙愛もすごい。なんであんな可愛い子がマニアックな宇宙の話しているか判らないけれど。
整数の、ブラス マイナスは、物質の 物質と反物質のと同じ世界ですか。 ゼロは、境界面ですか？ 😅☕️
数学は和の概念の数字以外の文字が出てきてからつまずいた記憶があるな。
和と差は平行移動、積と商は拡大縮小、虚数は回転
「1個の粘土と1個の粘土を合わせたら、
大きな1個の粘土なのになぜ2個なの？」
エジソンのこのエピソードですが、
これは英語の方が説明し易いです。
複数形が存在するかどうかです。
粘土は感覚的にはその中間ですが、
「粘土一個下さい」
と言うものではありません。
ロト6、ロト7は知っているけど、このナンバーズは目に鱗。のもとちゃんありがとう！
ユーチューブ、普段は倍速で聞き流すのですが、このチャンネルだけは標準スピードで画面ガン見しています。メモをとることも。内容は濃く、でも理解でき、そのうえ楽しい。ありがとうございます。
ありがとうございます！
わしもそう😅
中学の最初の数学の時間に聴いていたら、もっと好きになっていたと思います
半世紀前だけど
・・・・はやくちｍ
すみません。。
現実を説明する物理学で虚数が必要なのは、一般人からすると不思議な感覚ですね🤔
0って無ではないんですよね。後1➗1=1が解りません。
後期高齢の数学の貴重な動画です！！ボケ防止に。
ありがとうございます！笑
缶トールは発狂しました
なんかがある。おもろい考え方だなあ
2:45抽象化という凄まじい能力
3:20ここから数式が出てきて🦔
数学はとても苦手ﾃﾞｽ . ..
🔸インドのｻﾝｽｸﾘｯﾄ(語)の表現に
〈 最も小さいものより小さいものは 最も大きいものより大きい 〉。. .. と いう 意味の 表現が あるらしい oh ! って 感じ . ..
ありがとうございます。サンスクリット語、素敵ですね。ウロボロスの蛇、宇宙と素粒子みたいですね。
この中で、無理数と虚数のネーミングがネガティブなイメージがあってかわいそう。
特に有理数、無理数は"rational"の誤訳に近いネーミングだし、虚数に至ってはあまりにも「虚しい」名前で誤解されやすい。
"imaginary"ですら微妙なネーミングだが、まだマシだと思う。
仮想数でも良かったかも…。
虚構だと思ったから、『虚数』なんでしょうね…。
幻想だから『幻数』という表現でも良かったのかも…。
野本先生ってまさかとは思いますが、小田急線の江の島線沿いに住んでらっしゃいます？
いいえ～
ありがとうございます。😂
ありがとうございます！
ナンバーと言えば、エルデシュ・ナンバー？？？(^^♪
ポール・エルデシュ、万歳♬＼(^_^)／♬
■参考書籍 →放浪の天才数学者エルデシュ
ありがとうございます！！
「マイナス」掛ける「マイナス」は「プラス」 これは定義ですが「定義根拠（演算の整合性を保つ）」があります。
Ａ ーＡ ＝ ０ ですが、両辺に ーＢ を掛けます。「分配法則」を使い、式を変形させます。
Ａ＊ーＢ ーＡ＊ーＢ ＝ ０ になり、両辺に Ａ＊Ｂ を足すと 第１項が相殺されますので、
０ ーＡ＊ーＢ ＝ Ａ＊Ｂ つまり、
ーＡ＊ーＢ ＝ Ａ＊Ｂ と変形され、「マイナス」掛ける「マイナス」は「プラス」が導き出せます。
これは、 Ａ＊Ｂ ＝ーＡ＊ーＢ でも成立します。「演算の整合性」を保つためで「群論の定義」も含まれますね。
すいません、ちょっとわかりにくいかも知れませんが、
Ｘ＝ーＡ＊ーＢ とおいて、この式を変形させて Ｘ を求める形にしても（Ｘを他の式に変形させる）出来ます。
おぉー★ありがとうございます！！
最近、物理学の証明と数学の証明は全く違うものだと分かりました。😊
哲学科出身の人間としては冒頭の話は興味深かったです。かつて同じようなことを考えていたことがあるので。
ありがとうございます
「ゼロの発見」
綺麗な言葉です。
大きな発見です。
『「プラス値」＝「マイナス値」×「マイナス値」
今はともかく”そう言うものである”と思いなさい』
「随分乱暴な説明だな」とも思いましたが、
今思うと”適格”指導でした。