Bonjour monsieur ,je veux remercie pour votre vidéo , mais j'ai une petite question concernant la démonstration de l'unicité de u , vous supposez que v=u1-u2 mais dans ce cas on démontre seulement pour cette valeur de v mais pas quelque soit v. Merci en avance .
Bonjour et merci pour votre appréciation. Ce sont deux choses distinctes. On dispose d'une propriété (*) qui est vraie pour tout v dans H, à savoir : < u2 - u1, v > = 0, pour tout v dans H, (*). Or u1 et u2 appartiennent à H car est un Hilbert, donc un espace vectoriel. Autrement dit, par stabilité par combinaison linéaire, v = u2 - u1 est appartient aussi à H, et la propriété (*) doit pouvoir être écrite pour ce v particulier, d'où le résultat. J'espère que c'est plus clair à présent.
Bonjour, une petite intervention à propos de la construction du vecteur u candidat à représenter la forme linéaire L, il a fallu construire un vecteur u qui serait valable pour tous les vecteurs v de H de sorte que L(v) = < u , v >, mais si j'ai bien compris, il me parait qu'à la 22:27, la construction de tel vecteur u se fait de manière ponctuelle et pas uniforme, merci d'avance
Bonjour, c'est une très belle question mais dans la mesure où pour tout v dans H \ Kerl L, vous trouvez le même u= wL(w)/||w||^2 qui ne dépend pas de v, dès lors, il s'agit bien d'un u uniforme. Pour être plus complet, lorsqu'on écrit v1=Lambda.w, c'est le lambda qui vaut - qui n'est pas uniforme et qui est ajusté pour chaque v afin que tout v1 associé à v s'écrive v1=Lambda.w, pour un w fixé pour tous les v1.
@@MathematicsAcademy_MA Si on examine de près votre construction de u, on peut choisir au départ un certain w non nul dans l’orthogonal de K qui n’est pas réduit à {0} ( puisque L est non nulle) à fortiori L(w) est non nul, et on peut prendre L(w) = 1 ( quitte à diviser w par L(w) ), et le vecteur u = w/ || w ||^2 serait bien uniforme
@@promaths-y4t Oui cela me va également. D'ailleurs, c'est la démarche classique que l'on trouve en général dans les livres. Je voulais m'en démarquer un tout petit peu...
@@promaths-y4t Soit K le noyau de L, . Puisque L est continue,k est un sous-espace fermé de H. Si k= H alors L (v) = (v, 0) pour v dans H et le théorème est prouvé.
.SI k # H, alors il existe un vecteur unité h orthogonal à K . Puisque h n'est pas dans K, alors L (h) # 0. Pour v dans H le vecteur V - (L (v) /L (h)) h est dans K puisque L (v - (L (v) / L (h)) h) = 0 . .ona . L(V) =(L(V)(h,h) =(L (v)h/L(h), L(h)h) ==(v-L(v)h/L(h),L(h)h) +(L(v)h/L(h),L(h)h)= (v,L(h)h) donc . pour tout v dans H on L(v) = (v, g) avec g = L(h)h
Bjr intéressant les cours j'aimerais voir des chapitres sur les méthodes spectrales unicité de la solution stabilité et convergence si vous avez des documents concernant(un peu urgent) Merci
Bonjour. J'ai pas de document sur les méthodes spectrales autrement que des notes personnelles qui ne peuvent pas être transmises en l'état. Regardez sur le Net, cela doit sûrement exister. Bon courage
Bonjour. Votre question relève d'un cours complet d'analyse fonctionnelle. Vous trouverez l'essentiel pour démarrer dans l'excellent livre de Haîm Brézis. Pour répondre à votre question concernant le domaine de ces opérateurs, il faut comprendre que certains opérateurs ne sont pas définis sur l'espace X de départ tout entier. En quelque sorte, ils le sont sur un domaine de définition strictement inclus dans l'espace de départ X. C'est le propos des opérateurs non bornés. Par exemple, si vous considérer X=Y=C0([0,1] l'opérateur de dérivation défini sur le sous-espace des fonctions de classe C1 est non borné.
les suites de Cauchy c est pour démontrer qu' un sous espace fermé d'un espace complet est complet. Dans notre cas il aurait suffit de prendre une suite de KerL qui tend vers un élément v de H et de montrer que v appartient a KerL ; le résultat est immédiat en utilisant la continuité de L. Vous n avez pas besoin de la complétude de H.. Merci Monsieur .
Bonjour merci beaucoup pour ce cours. Vers 38mn je pense Comme L est continue, on peut passer la limite a l'interieur. Donc ecrivant L(v)=L(v-vn) on pass a la limite quand n--->infinite et on obtient L(v)=limL(v-vn)=L(lim(v-vn))=L(v-v)=L(0)=0 car L est linear.
Oui c'est possible mais je préfère rester dans l'esprit des majorations car elles mettent en valeur la dépendance du résultat vis-à-vis de la norme considérée.
KerL est l image réciproque de 0 qui est un fermé de R par une application continue donc c est un fermé de H. une autre manière de montrer que KerL est fermé
J'aime tous les cours que vous présentez. Merci infiniment professeur.
Merci infiniment professeur.
Pour Tous vos cours qui sont toujours très intéressantes à suivre .
Vos œuvres me servent énormément jusqu'à présent
Merci infiniment monsieur.
Ce chapitre est très important à suivre
Merciiiiiiii bq mon prof
Bonjour monsieur ,je veux remercie pour votre vidéo , mais j'ai une petite question concernant la démonstration de l'unicité de u , vous supposez que v=u1-u2 mais dans ce cas on démontre seulement pour cette valeur de v mais pas quelque soit v.
Merci en avance .
Bonjour et merci pour votre appréciation.
Ce sont deux choses distinctes. On dispose d'une propriété (*) qui est vraie pour tout v dans H, à savoir : < u2 - u1, v > = 0, pour tout v dans H, (*).
Or u1 et u2 appartiennent à H car est un Hilbert, donc un espace vectoriel. Autrement dit, par stabilité par combinaison linéaire, v = u2 - u1 est appartient aussi à H, et la propriété (*) doit pouvoir être écrite pour ce v particulier, d'où le résultat.
J'espère que c'est plus clair à présent.
Bonjour, une petite intervention à propos de la construction du vecteur u candidat à représenter la forme linéaire L, il a fallu construire un vecteur u qui serait valable pour tous les vecteurs v de H de sorte que L(v) = < u , v >, mais si j'ai bien compris, il me parait qu'à la 22:27, la construction de tel vecteur u se fait de manière ponctuelle et pas uniforme, merci d'avance
Bonjour, c'est une très belle question mais dans la mesure où pour tout v dans H \ Kerl L, vous trouvez le même
u= wL(w)/||w||^2 qui ne dépend pas de v, dès lors, il s'agit bien d'un u uniforme. Pour être plus complet, lorsqu'on écrit v1=Lambda.w, c'est le lambda qui vaut - qui n'est pas uniforme et qui est ajusté pour chaque v afin que tout v1 associé à v s'écrive v1=Lambda.w, pour un w fixé pour tous les v1.
@@MathematicsAcademy_MA Si on examine de près votre construction de u, on peut choisir au départ un certain w non nul dans l’orthogonal de K qui n’est pas réduit à {0} ( puisque L est non nulle) à fortiori L(w) est non nul, et on peut prendre L(w) = 1 ( quitte à diviser w par L(w) ), et le vecteur u = w/ || w ||^2 serait bien uniforme
@@promaths-y4t Oui cela me va également. D'ailleurs, c'est la démarche classique que l'on trouve en général dans les livres. Je voulais m'en démarquer un tout petit peu...
@@promaths-y4t Soit K le noyau de L, . Puisque L est
continue,k est un sous-espace fermé de H. Si k= H alors L (v) = (v, 0) pour v dans H et le théorème est prouvé.
.SI k # H, alors il existe un vecteur unité h orthogonal
à K . Puisque h n'est pas dans K, alors L (h) # 0.
Pour v dans H le vecteur V - (L (v) /L (h)) h est dans K puisque L (v - (L (v) / L (h)) h) = 0 . .ona . L(V) =(L(V)(h,h) =(L (v)h/L(h), L(h)h) ==(v-L(v)h/L(h),L(h)h) +(L(v)h/L(h),L(h)h)= (v,L(h)h) donc . pour tout v dans H on L(v) = (v, g) avec g = L(h)h
Bjr intéressant les cours j'aimerais voir des chapitres sur les méthodes spectrales unicité de la solution stabilité et convergence si vous avez des documents concernant(un peu urgent)
Merci
Bonjour. J'ai pas de document sur les méthodes spectrales autrement que des notes personnelles qui ne peuvent pas être transmises en l'état. Regardez sur le Net, cela doit sûrement exister. Bon courage
Professeur
S'il vous plaît
Expliquez moi , le rôle des opérateurs non bornée , de quelle domaine avons-nous besoin exactement?
Bonjour. Votre question relève d'un cours complet d'analyse fonctionnelle. Vous trouverez l'essentiel pour démarrer dans l'excellent livre de Haîm Brézis.
Pour répondre à votre question concernant le domaine de ces opérateurs, il faut comprendre que certains opérateurs ne sont pas définis sur l'espace X de départ tout entier. En quelque sorte, ils le sont sur un domaine de définition strictement inclus dans l'espace de départ X. C'est le propos des opérateurs non bornés.
Par exemple, si vous considérer X=Y=C0([0,1] l'opérateur de dérivation défini sur le sous-espace des fonctions de classe C1 est non borné.
A oui , j'ai compris bien
Merci beaucoup
Mercii bcp .
Bien fait.
les suites de Cauchy c est pour démontrer qu' un sous espace fermé d'un espace complet est complet. Dans notre cas il aurait suffit de prendre une suite de KerL qui tend vers un élément v de H et de montrer que v appartient a KerL ; le résultat est immédiat en utilisant la continuité
de L. Vous n avez pas besoin de la complétude de H.. Merci Monsieur .
Oui c'est vrai mais, de nouveau, je voulais utiliser la caractérisation des fermés dans les Banach.
j aime bien la formule donner un coup de pouce à la fonction. pour parler du taux de variation.
@@ktayeb6774 Oui c'était l'expression de mon patron de thèse le Professeur André Avez.
@@MathematicsAcademy_MA oui vous l avez dites . Il y a sur le net un pdf un livre du calcul diff de monsieur Avez
@@ktayeb6774 Oui cela doit être le sien. Excellent ouvrage !
Bonjour merci beaucoup pour ce cours.
Vers 38mn je pense
Comme L est continue, on peut passer la limite a l'interieur. Donc ecrivant L(v)=L(v-vn) on pass a la limite quand n--->infinite et on obtient L(v)=limL(v-vn)=L(lim(v-vn))=L(v-v)=L(0)=0 car L est linear.
Oui c'est possible mais je préfère rester dans l'esprit des majorations car elles mettent en valeur la dépendance du résultat vis-à-vis de la norme considérée.
Mrci beaucoup
Merci
Merci professeur. Mais pitié : c'est cauchy-schwarz et pas cauchy-schwarTTTz (à corriger aussi dans votre livre !)
J'ai pitié 😂 !
KerL est l image réciproque de 0 qui est un fermé de R par une application continue donc c est un fermé de H. une autre manière de montrer que KerL est fermé
Tout à fait ! J'ai oublié de le signaler car je tenais absolument présenter la démonstration que j'ai faite, car plus dans l'esprit des Banach
Ker L= f^{-1}{0} et l'image reciproque d'un fermé ici {0} par une application continue est un fermé.
L'opérateur est bijectif ?