We also need to define the appropriate space for which (I+M+M^2+...) converges. The idea of using geometric sum as inverse is a basic concept in C*-algebra. Bottom line is that you want convergence in the case of exp(x) pointwisely at least.
For the purpose of anti-clockwise 45 degree rotation as well as squeeze vector length to sqrt(2)/2, in matrix P, should column vector 1 be (1/2, 1/2) and column vector 2 be (-1/2, 1/2)?
@@manshi_math 👍是的，我的视频下面有一个叫MooImABunny的后来也讲了这个思路： you're "inverting" a singular operator and applying it to 0. you can get any result you want when you do this. since 0 = a•0, you can also get e^x = ae^x for any a of your choice, which is nonsense. Also, the integration operator itself is poorly defined, you need to choose the lower bound and constant added before doing this calculation, otherwise you can't really say it's the same operator in each of your uses. In order to say \int 0 = 1, the constant needs to be 1, then if you want \int e^x = e^x you need the lower bound to be x=0. ”D（微分）的代数“是一个很有意思的话题，如果你有兴趣可以考虑做一做。
你这样积分算符就不是线性的了，因为作用在 0 上等于了非 0，所以不能这样做几何级数展开。实际上有更好的做法。记 M[f](x) 为 f 在 0 到 x 的积分，那么M[exp(x)]= exp(x) - 1。那么 1 = (I-M) exp(x)，所以 (I+M+M^2+...)[1] = exp(x)，得到正常的泰勒展开，也不用纠结 C 什么的。视频里的方法有效只是巧了。
是的，这样的确是更严谨的
吼哟，行家啊
We also need to define the appropriate space for which (I+M+M^2+...) converges. The idea of using geometric sum as inverse is a basic concept in C*-algebra. Bottom line is that you want convergence in the case of exp(x) pointwisely at least.
作用在0得到的exp（0），不能理解为0向量吗？好久没碰大学数学了，不过我感觉视频里的方法和您这边所展示的方法，本质上是一样的。
@@PsiPurvaisa exp(0) 不是 0 呢。0 加在所有东西上都是不变的。
我不是數學人，這集的內容有好幾處讓我有被詐騙的感覺，不是說真的騙，而是內容一下子超出我能理解的範圍，使自己反射動作去懷疑我在哪、我是誰。 anyways, 能知道數學背後是巧妙的通用邏輯也算讓我長見識了。謝謝分享
看完想要催更🎉
希望可以講講碎形，謝謝
这一期太牛了！
覺得這個概念好棒，我的精神昇華了😇
我有一个疑问，在一开始等比数列的求和通项中，视频先假设0
最後這個證明幾年前在臉書上的數學社團看過了，那時自己想了一下，改寫成定積分就嚴謹了
只要算子P符合线性且P^inf -> 0 那抽象等比求和公式成立的原因就跟你一开始用代数推导的一样吧？ 而且P^inf ->0也是公式成立的必要条件吧，否则求和不收敛。
是的
那个螺旋应该是等比螺旋吧 阿基米德螺旋是等距螺旋
你说得对，我疏忽了
For the purpose of anti-clockwise 45 degree rotation as well as squeeze vector length to sqrt(2)/2, in matrix P, should column vector 1 be (1/2, 1/2) and column vector 2 be (-1/2, 1/2)?
you're right, animation teamate's carelessness
I am so flattered by your attention,
thanks for your precise mathematical explanation
🤓💝👍💯
請問您的影片是怎麼製作的？看起來好酷
这个叫算子代数啊，难怪有种函数式编程的感觉。
At 2:58, 假定 a=1, x=2, 结果是-1， 整正数的和是负数？
和函数式编程思想很像了
以前老師在說複數平面時，我也在想能不能再加一Z軸, 搞成複數空間，我也有數學思維^^
事實証明聽得懂跟理解是兩回事
講的都能聽懂，可還是不知道他想跟我說什麼
應該是想表達一個數學公式可以用很多方式呈現出來
那就是没听懂，而且不知道自己没听懂
数学思维 就和我打游戏一样，玩的越多越是发现很多游戏都是换皮怪，背后本质都是一样的😂
如果不是用積分而是用微分 e^x- d/dx(e^x) =0, 照你的方式對0微分會得到泰勒展開嗎？雖然常數確實是C^inf啦
求导运算逆映射不唯一
前面的Geometric progression sum 前n项的求和不是应该加到 ax^(n-1)吗?
0:10 Area=7
逆時針旋轉矩陣中的（1, 2), (2, 1)項不是應該分別為負的跟正的嗎
是45°
Thanks!
有意思👍
我们小学老师就一直说数学的本质是抽象，但我直到大学学了计算机才大概理解究竟什么是抽象。
给ms沙发沙发！
把標題改為對數學的概念比數學思微更合適
12:21 有趣的错别字
最后那个逆操作得到泰勒展开太美妙了！
他这是乘法分配律呀，没有证据表明这个积分可以使用乘法分配律，最后的结果正确，可能只是巧合，除非有更多的例子验证其正确性。
@@余余那邪 严谨的证明估计要去看线性代数的书了。如果只是定性分析的话，我觉得大概可以这么思考。
等比级数是求和，所以相对应的作用是线性的。积分的本质也是无限求和，所以积分作用也可以视作线性作用。而由线性作用所构成的空间，乘法分配律是成立的。因此，最后的结果可以认为拥有一般性。
你还记得之前讲过GPT原理吗? 语言的顺序好比是思维的展开，那么有办法不展开就传递思维逻辑呢，显然......你懂的
問一個，視覺化概念不是算具象嗎，那數學好的人想的東西到底抽象還是具象
抽象的東西大多是在腦內，但會很亂，所有大多都靠在紙上整理。整理不僅可以整理、簡化腦內的東西，還可以分享給別人一起討論，在紙上所做的行為也會被記錄下來。總結：視覺化是抽象轉具像，概念是抽像；一個人寫在紙上也是抽象轉具像，想的東西自然也是抽象的❤
抽象，不論怎麼視覺化，只要不是直接具體地描述，那都是往抽象層次去思考。
抽象的本意是抽取共同特徵，也就是找不同事物背後的共通點或規律，跟理解時有沒有透過視覺化其實沒有太大關係
你是怎麼做這些數學動畫的阿?
用manim
为什么是抽象不是结构啊?
兩位科學家都沒有講到數學跟本質的關係，建議頻道主也不要以為數學找到不同事物之間的相同性質，就是找到它們共有的抽象「本質」，這樣會造成很大的誤解。
剛好前幾天跟另一位朋友聊到科學方面的話題，朋友是研究生物的，會去做田野調查等工作收集數據，之後進一步分析研究，伴隨著物理興起，其他各科系不是變成統計系，就是變成無法使用數學工具的邊緣系，生物也是變成統計系的一員。我就說，每次科學家都說科學是客觀的，他們如果不是搞不清楚客觀和主觀，就是在說謊，科學是超主觀的。當然朋友立刻反駁我，說科學研究是很客觀的，然後就說他們要怎樣抽樣才能得到客觀的數據等，我就反問他，為什麼你覺得這些不同的生物個體可以被放到同一個項目裡面進行計算，比方說這裡有吉娃娃、黃金，暹羅，三隻外型性格差別極大的動物，為什麼進行統計時能分成兩隻狗一隻貓，明明吉娃娃看起來和暹羅還比較接近。
我進一步解釋，比方我跟他，我們長相不同、身高體重不同、年紀不同、學歷不同、工作不同、個性不同......，任何人看到我們，都不會以為我們是同一個人，但是如果科學家要做性別普查，規定染色體xx就是女的，染色體xy就是男的，其他染色體情況都放到其他類，至於性別認同、主觀想法、成長背景、政治立場......等全部不管。這時原本各方面都有顯著不同的我們，不由分說的被扔到同一個統計選項下面，變成兩個一模一樣的數據。分類標準是刻學家訂的，他只取了他想要的、有用的數據，其他可能更重要的個人信息全部都被永遠捨棄了，而目的就是為了方便計算。這也正是頻道主所說數學最厲害的地方，數學可以將事物抽象化，變成無意義的數據，再由科學家決定他需要計算的參數，這樣就可以方便快速的算出科學家想要的答案。科學家很快的得到性別普查的結果，知道有多少男人多少女人，但是每一個人如何認同自己的性別，都是不同的，跟科學家一開始的定義可能也不一樣，對每一個人更有不同的意義，只是這些巨大的個體差異都被視為無用，然後在數學工具強大的抽象化威能前被消解意義成為虛無。
我反問他，這個過程到底哪裡客觀了？有些方法得到的數據的確會更正確或是更接近事實，但是依然只是一群主觀中相對比較客觀的（還不見得真的客觀，或許換個思路就變得更加主觀）。科學家架構出的根本是他們主觀的想像世界，這個想像世界中如果有客觀的成分，也只能是因為非常簡潔純粹到沒有意義的緣故。因為沒有意義，所以科學家可以重新賦予意義，比方E=MC^2，因為和實驗相符，就被賦予了質能等價的意義，如果和實驗不相符，那它就只是個算式，這在科學史上屢見不鮮，以致於很多人產生每個公式或許都跟現實中的什麼互相對應，只是還沒被發現的幻覺。物理學之所以跟數學如此麻吉，就是因為物質世界跟數學一樣，沒有意義，只有形式。
龐大神說的沒錯，數學給不同事物取同一個名字，這正是我上述的過程，利用抽象化把不同事物間的差異消解去除，只留下相同的部分，方便計算。但是這可不是什麼「本質」，連名字都給人家換掉了，新的名字哪可能會代表本質啦，不同事物其所獨具的本質意義，早就在數學將之抽象化的過程中徹底消解了。
『道可道，非常道』我想這句話比較接近取名藝術的說法。
確實，在抽象化的過程中，可能把本質給丟了，但是種想法也會產生一個問題，原先認為是本質的東西，真的是本質嗎？或者是因為我們有『主觀』的定義，所以才可以見到『客觀』的本質呢？那麼這個本質真的是『本質』嗎？
就拿你說的吉娃娃、羅傑、黃金來說吧，正是因為有『主觀』的貓和狗定義，我們才可以『客觀』的說有兩狗一貓，但問題是，吉娃娃和黃金的『本質』就是狗嗎？很顯然並不是，只是因為有『狗』的定義存在，所以他們才是狗，不然了話，你是無法客觀的說吉娃娃和黃金是同一類，你甚至沒辦法說吉娃娃是『一』隻。
而數學正式這個道理，沒有主觀的定義，那麼一切客觀也都是妄臆，只是數學或是所以科學有趣的地方，在於他們回去思考自己下的定義有沒有什麼相似的結構，如果有，那麼可不可以進一步簡化定義，用更簡單的方法去看這個世界。
另外，真正的統計學不是把兩個不一樣的東西變成兩個一樣的數據，而是在於能不能用最少的數據，去區別兩個乍看一樣的東西，這才是統計學的精華，否則幹嘛去區分平均數和中位數。
科学是提出的理论可重复,可验证,并且理论可以预测解释现象,排除差异化找相同规律,这是一套经过实践认证可行方法论,事物发展简单到复杂,共有核心规律是一样
數學思維的抽象，而這抽象是在講述什麼
這搬了ron&math吧
后面的例子用了，但前面不是~
这样的创作不算“搬运”，有很多新内容。他做得很好👍。
@@ron-math 我想明白到底为什么求导不行了，这个严格的做法应该是定义算子为从0到x的定积分，右边是1不是0。这套操作要求 P是一个线性压缩映射、且逆唯一。求导操作在L2空间里既不压缩，逆也不唯一
@@manshi_math 👍是的，我的视频下面有一个叫MooImABunny的后来也讲了这个思路：
you're "inverting" a singular operator and applying it to 0. you can get any result you want when you do this.
since 0 = a•0, you can also get
e^x = ae^x for any a of your choice, which is nonsense.
Also, the integration operator itself is poorly defined, you need to choose the lower bound and constant added before doing this calculation, otherwise you can't really say it's the same operator in each of your uses.
In order to say \int 0 = 1, the constant needs to be 1, then if you want \int e^x = e^x you need the lower bound to be x=0.
”D（微分）的代数“是一个很有意思的话题，如果你有兴趣可以考虑做一做。
积分可以像这样无限递归吗，好像不太严谨吧
絕對是不嚴謹的，但這就是數學的開拓之旅常有的事，數學研究往往是離開嚴謹的範疇，嘗試把新奇的方式套用在原本的事物上，直到發現這種新東西存在一定的規律，有足夠的研究了，才會去把裡面的邏輯整理出來，化成嚴謹的公式
可能是大膽的想法先有 再慢慢處理嚴謹的細節吧
要嚴謹的討論的話，需要先把積分視為linear function，再去用比較進階的線性代數進行討論
@@not_vinkami 這樣我想到國中化學，雖然老師沒有教只叫我們用背的，但化學變化是吸熱還是放熱反應重點是在化學鍵，我在算化學反應的時候自己發現到了這點，的確研究這過程往往都會發現規律，這就像影片中所說的抽象思維吧。
數學想要有突破性的發展，本來就需要試錯，自然不夠嚴謹，嚴謹只是為了理論建構的完整性跟教學而已（數學之所以嚴謹，是因為每次發現問題就採用更嚴謹的定義）
Neumann series 🤣
不好意思 前三分鐘的數字表現是怎麼做的？
manim
不然为什么向量可以活着😂
有一套
本是同根生的概念嗎😂
太强了
啊美zing
不明觉厉
神奇哉，数学也
你是在講數學還是在講思維?
是在講數學思維。
數學本質就是思維
做數學研究的方法屬於抽象思維，跟國高中數學應用公式解題大不相同
数学归纳法
美
對0積分不該是0嗎
常數微分是什麼？ 所以反過來對0（不定）積分又是什麼呢？
積分完再減去原來的自己就不是0了
@@cluedohere這裡的積分是定積分，不然不是算子。所以核心不在於可以變的常數項。對於算子，我們要限制積分的域，且如果要讓I-int可逆，積分的區間必須長度小於1。
@@MH-sf6jz嗯嗯，受教，感謝。
窑班是烧瓷器的吗