우선 푸앵카레의 도움 정리는 특정 조건(별꼴집합, 닫힌벡터장)을 만족하면 뭔지는 몰라도 잠재함수를 가진다는 것을 말해주는 정리입니다. 그래서 이 정리를 적용하여 잠재함수를 가진다는 것을 보일 수는 있지만, 저희는 단순히 잠재함수의 존재성이 목적이 아니라 이를 이용하여 실제 선적분의 값을 구하는 것이 목적이므로 잠재함수가 존재한다는 사실만 알아서는 값을 구하는데 도움을 받지 못하기 때문에 우선 푸앵카레 도움정리를 사용할 필요가 크게 없는 것 같습니다. 그리고 질문주신 것에 대한 좀 더 본질적인 얘기를 하자면, 아마 잠재함수의 존재성을 보이는 것의 가장 명확한 방법은 직접 잠재함수를 찾아서 보여주는 것일 것입니다. 그래서 문제를 풀기 위해 저희가 실제로 잠재함수를 명확히 찾았기 때문에 존재성이 의심의 여지 없이 이미 증명된 것이고, 굳이 푸앵카레 도움정리를 써서 잠재함수를 가진다고 중복으로 서술할 필요가 없는 것입니다! 답변이 도움이 되었길 바라며, 혹시 또 궁금하신 점이 있으시면 언제든 또 질문 주시기 바랍니다 😊
조교님 안녕하세요! 영상 너무 잘보고 있습니다! 다름이 아니라 1:16:00 부터 푸는 문제의 (1)에서, 벡터장 F가 정의되어있는 영역이 z축을 제외한 영역이므로 별꼴집합이 아니고, 따라서 푸엥카레의 도움정리를 적용할 수 없으므로 F의 잠재함수가 존재함을 보일 수 없는 것 아닌가요? (2)에서는 정의역이 단위원이 되므로 잠재함수가 존재함을 보일 수 있다는 것은 이해했습니다!
푸앵카레 도움정리는 특정 조건(별꼴집합, 닫힌벡터장)을 만족하면 뭔지는 몰라도 벡터장이 일단 잠재함수를 가진다는 것을 말해주는 정리로서, 해당 문제의 경우 말씀하신 '벡터장의 정의역이 별꼴집합이 아니여서 푸엥카레 도움정리를 적용할 수 없다' 라는 사실은 맞습니다. 하지만 푸앵카레 도움정리를 적용할 수 없다(즉, 정의역이 별꼴집합이 아니다) 라는 사실이 잠재함수가 존재하지 않는다를 imply하는 것은 전혀 아닙니다. 즉, 정의역이 별꼴집합이 아니어도 얼마든지 잠재함수는 존재할 수 있습니다. 예를들어 벡터장 (-2x/(x^2+y^2)^2, -2y/(x^2+y^2)^2)은 원점이 뚤려있어서 푸앵카레의 도움 정리를 적용할 수 없지만 잠재함수 f(x,y)=1/(x^2+y^2)를 갖는것을 직접 확인하실 수 있습니다. 그리고 아마도 잠재함수의 존재성을 보이는 가장 직접적이고 명확한 방법은 실제로 잠재함수를 찾아서 보여주는 것일 것입니다. 문제를 푸는 과정에서 저희가 실재로 잠재함수를 찾아서 보여주었기 때문에, 사실 푸앵카레의 도움정리랑 전혀 관련짓지 않고도 이미 잠재함수의 존재성이 증명이 된 것이라고 할 수 있습니다. 혹시 제가 선생님의 질문을 잘못 이해하였거나, 또 궁금하신 점이 있다면 언제든 또 말씀해주시기 바랍니다 😊
푸앵카레 정리와 관련해 질문이 있습니다! 1:47:19 부분에서 푸앵카레 도움정리를 이용하여 잠재함수가 있음을 보였는데, 이때 F는 분모가 0이면 안되므로 벡터장이 정의된 집합은 0을 제외한 2차원 평면이라고 생각했습니다. 따라서 별꼴집합이 아니므로 푸앵카레 정리를 사용할 수 있는 지 궁금합니다!
네 안녕하세요! 아마 F=F1+F2로 쪼갠 벡터장 중 F1벡터장에 대해 질문 주신 것 같아 이를 기준으로 설명드리겠습니다. F1벡터장은 말씀하신대로 원점이 특이점이어서 푸앵카레 도움정리를 적용할 수 없지만, 이 문제에서 이를 극복하는 아이디어는 반지름의 길이가 1인 원 상에서만 적분하고 있기 때문에 곡선에서 F1벡터장을 적분한 것이랑 곡선에서 새로운 벡터장 F1'=(2020^x, y^2020)을 적분한 것이랑 값이 같다는 사실을 이용하는 것입니다. 그런데 F1' 벡터장은 평면 전체에서 특이점이 없는 벡터장이므로 여기에 푸앵카레 도움정리를 적용하여 F1'이 잠재함수를 가짐을 보일 수 있고 이를 통해 곡선에서의 적분값이 0임을 보인 것입니다! 혹시 또 궁금한 점이 생기시면 언제든 질문 주시기 바랍니다 😊
네, 애초에 원래 벡터장은 원점에서 정의가 안되기 때문에 푸앵카레 도움정리를 적용할 수 없는데도 불구하고 적용하는 실수를 했기 때문에 0점인 반면, 제가 만든 (F1의 적분과 값이 같은) 벡터장 F1'은 정의역에 구멍이 없기 때문에 푸앵카레 도움 정리를 잘 적용할 수 있어 문제가 없습니다!
시험 하루 전, 최고의 야식 좋은 강의 감사합니다!! + 추가로 며칠 전에는 안 그랬는데 오늘 강의를 듣는데 광고가 계속 나왔습니다.. 중간부터 심하다고 느껴서 기록해봤는데(40, 50, 60, 65, 70, 77, 85, 96, 105, 112, 120분) 거의 8~10분 마다 계속 광고가 나와서 수업 흐름이 자주 깨졌습니다 며칠 전과 다르게 갑자기 이렇게 됐는데, 유튜브의 문제인건지ㅠㅠ 혹시 확인해주실 수 있는지 여쭤봅니다 감사합니다!!
저도 갑자기 제 영상에 광고가 떠서 알아봤더니, 예전에는 유튜버가 수익창출을 원해야 광고가 붙었던 것과 달리 지금은 제 의사에 상관 없이 유튜브 측에서 임의로 광고를 붙이더라구요... 저도 광고 없는 영상을 제공 해드리고 싶은데 유튜브에서 마음대로 광고를 붙여 본의아니게 수강생분들의 소중한 시간을 빼앗아 죄송할 따름입니다 ㅠㅠ 혹시 자기가 업로드한 영상에 광고가 안 붙도록 하는 방법을 알고계시는 분이 있다면 알려주시면 정말 감사하겠습니다
푸엥가레 도움정리에서 벡터장이 정의된 영역이 별꼴집합이라고 답안지에 서술해도 될까요? 교재에는 열린 볼록집합이라고 명시되어 있어서 교재에 없는 용어라 사용해도 되는지 궁금합니다. 또한 별꼴집합이라는 용어를 인터넷에 검색해도 딱히 정보가 나오지 않아서 더욱 의문을 가졌습니다 ㅠㅠ
음, 우선 두 집합 모두 임의의 두 점을 찍었을 때 두 점 사이에 있는 모든 점들이 다시 그 집합에 속해있으므로 볼록집합인 것은 쉽게 확인하실 수 있습니다. 다만 어떤 집합이 열린 집합인지, 닫힌 집합인지는 어떤 집합의 부분집합으로서 묻는지가 중요합니다. 예를들어 R^2의 부분집합으로써 R^2는 열린집한인데(전체집합은 항상 열린집합입니다!) R^3의 부분집합으로서 R^2(즉, xy평면)는 닫힌집합입니다. 그런데 아마 맥락상 선생님께서는 R^3의 부분집합으로서 R^3, R^2의 부분집합으로서 R^2를 물어보신 것 같으므로, 질문주신 집합은 열린 볼록집합인 것이 맞습니다!
앗, 별꼴집합이라는 용어는 교재 13장 부록에 있는 푸앵카레 도움정리의 증명 바로 뒤에 나와있습니다! 그리고 별꼴집합은 인터넷에 영어로 star shaped domain혹은 star domain이라고 검색하시면 정보를 얻으실 수 있을 것 같습니다. 아마 그렇게 자주 쓰이는 수학 용어가 아니다보니 제대로된 한국말 번역이 없어서 그런 것 같습니다 😂 답변이 도움이 되었길 바랍니다!
조교님 안녕하세요? 강의 너무 잘 보고 있습니다. 2:00:00 문제 9. (c) x>0인 (x,y)에서 정의된 각원소벡터장의 잠재함수 구하는 문제에 대해 질문 있습니다. 질문을 요약하자면, 이 문제에서 "x성분을 적분하여 잠재함수를 구해도 되나요?"입니다. 해당 문제에서 잠재함수를 구하실 때 벡터장의 y성분 x/(x^2+y^2)을 y에 대해 적분하여 \phi_1=arctan(y/x)를 유도하셨는데요. 벡터장의 x성분 -y/(x^2+y^2)를 x에 대해 적분하는 경우는 \phi_2=-arctan(x/y)이 나오며, 이 두 함수 \phi_1, \phi_2는 일반적으로 같지 않은 것 같습니다. 그런데 13장 3절 '잠재함수의 유일성'에 의하면 정의역이 연결된 집합인 경우 잠재함수는 유일하며, 문제의 벡터장의 정의역은 연결된 집합이므로 (적분상수 c를 무시하면) 잠재함수가 유일해야 한다고 알고 있습니다. 그렇다면 x성분으로 적분하는 것은 잘못된 접근으로 보이는데 그 이유가 궁금합니다. \phi_1는 정의역 전역에서 정의되는 반면, \phi_2는 y=0인 점에서는 정의되지 않는데 이게 잠재함수의 결격사유가 되는지... 아니면 상술한 내용 중에 오개념이 있고, 각원소벡터장의 잠재함수는 두 가지 이상 존재하는 것인지 궁금합니다. 읽어주셔서 감사합니다!
안녕하세요, 선생님. 강의 시청해주시고 질문주셔서 감사드립니다. 우선 x성분으로 적분하셔서 -arctan(x/y)를 얻으신다면 이는 말씀주신대로 y=0에서는 정의가 안되는 함수이기 때문에 주어진 영역 x>0에서의 잠재함수가 아닙니다. 하지만 만약 문제에서 주어진 영역이 1사분면이나 4사분면이어서 문제가 되는 y=0인 부분이 제외되었다면 말씀하신대로 x성분으로 적분하셔서 -arctan(x/y)을 잠재함수로 얻더라도 전혀 문제가 없습니다! 그러면 잠재함수의 유일성에 대해서 걱정을 하실 수도 있을 것 같은데요, 만약 정의역을 1사분면으로 제한한다면 arctan(y/x)=-arctan(x/y)+π/2, 만약 정의역을 4사분면으로 제한한다면 arctan(y/x)=-arctan(x/y)-π/2, 가 성립하게 되어 (up to constant) 잠재함수의 유일성에도 문제가 없는 것 같습니다! 답변이 도움이 되었길 바라고, 혹시 이해가 안되는 부분이 있다면 언제든 다시 질문 주시길 바랍니다!
시험 하루 전 최고의 선택
SNU 수연도우미를 알고 내 성적은 변화했다!!
너무 감사합니다ㅠㅠ
조교님 멋있어요.감사합니다.❤😂🎉
조교님 감사해요! 중간 잘 보고 올게요!
시험기간에 정말 많은 도움 받고 있습니다 감사합니다!
1:36:20 부분에서 닫힌 벡터장인걸 모두 확인시킨 후 "푸앵카레 도움정리에 의해 F는 잠재함수 ~를 가진다."는 답안지에 서술하지 않아도 되나요?
우선 푸앵카레의 도움 정리는 특정 조건(별꼴집합, 닫힌벡터장)을 만족하면 뭔지는 몰라도 잠재함수를 가진다는 것을 말해주는 정리입니다. 그래서 이 정리를 적용하여 잠재함수를 가진다는 것을 보일 수는 있지만, 저희는 단순히 잠재함수의 존재성이 목적이 아니라 이를 이용하여 실제 선적분의 값을 구하는 것이 목적이므로 잠재함수가 존재한다는 사실만 알아서는 값을 구하는데 도움을 받지 못하기 때문에 우선 푸앵카레 도움정리를 사용할 필요가 크게 없는 것 같습니다.
그리고 질문주신 것에 대한 좀 더 본질적인 얘기를 하자면, 아마 잠재함수의 존재성을 보이는 것의 가장 명확한 방법은 직접 잠재함수를 찾아서 보여주는 것일 것입니다. 그래서 문제를 풀기 위해 저희가 실제로 잠재함수를 명확히 찾았기 때문에 존재성이 의심의 여지 없이 이미 증명된 것이고, 굳이 푸앵카레 도움정리를 써서 잠재함수를 가진다고 중복으로 서술할 필요가 없는 것입니다!
답변이 도움이 되었길 바라며, 혹시 또 궁금하신 점이 있으시면 언제든 또 질문 주시기 바랍니다 😊
조교님 안녕하세요! 영상 너무 잘보고 있습니다! 다름이 아니라 1:16:00 부터 푸는 문제의 (1)에서, 벡터장 F가 정의되어있는 영역이 z축을 제외한 영역이므로 별꼴집합이 아니고, 따라서 푸엥카레의 도움정리를 적용할 수 없으므로 F의 잠재함수가 존재함을 보일 수 없는 것 아닌가요? (2)에서는 정의역이 단위원이 되므로 잠재함수가 존재함을 보일 수 있다는 것은 이해했습니다!
푸앵카레 도움정리는 특정 조건(별꼴집합, 닫힌벡터장)을 만족하면 뭔지는 몰라도 벡터장이 일단 잠재함수를 가진다는 것을 말해주는 정리로서, 해당 문제의 경우 말씀하신 '벡터장의 정의역이 별꼴집합이 아니여서 푸엥카레 도움정리를 적용할 수 없다' 라는 사실은 맞습니다.
하지만 푸앵카레 도움정리를 적용할 수 없다(즉, 정의역이 별꼴집합이 아니다) 라는 사실이 잠재함수가 존재하지 않는다를 imply하는 것은 전혀 아닙니다. 즉, 정의역이 별꼴집합이 아니어도 얼마든지 잠재함수는 존재할 수 있습니다. 예를들어 벡터장 (-2x/(x^2+y^2)^2, -2y/(x^2+y^2)^2)은 원점이 뚤려있어서 푸앵카레의 도움 정리를 적용할 수 없지만 잠재함수 f(x,y)=1/(x^2+y^2)를 갖는것을 직접 확인하실 수 있습니다.
그리고 아마도 잠재함수의 존재성을 보이는 가장 직접적이고 명확한 방법은 실제로 잠재함수를 찾아서 보여주는 것일 것입니다. 문제를 푸는 과정에서 저희가 실재로 잠재함수를 찾아서 보여주었기 때문에, 사실 푸앵카레의 도움정리랑 전혀 관련짓지 않고도 이미 잠재함수의 존재성이 증명이 된 것이라고 할 수 있습니다.
혹시 제가 선생님의 질문을 잘못 이해하였거나, 또 궁금하신 점이 있다면 언제든 또 말씀해주시기 바랍니다 😊
푸앵카레 정리와 관련해 질문이 있습니다!
1:47:19 부분에서 푸앵카레 도움정리를 이용하여 잠재함수가 있음을 보였는데, 이때 F는 분모가 0이면 안되므로 벡터장이 정의된 집합은 0을 제외한 2차원 평면이라고 생각했습니다. 따라서 별꼴집합이 아니므로 푸앵카레 정리를 사용할 수 있는 지 궁금합니다!
네 안녕하세요! 아마 F=F1+F2로 쪼갠 벡터장 중 F1벡터장에 대해 질문 주신 것 같아 이를 기준으로 설명드리겠습니다.
F1벡터장은 말씀하신대로 원점이 특이점이어서 푸앵카레 도움정리를 적용할 수 없지만, 이 문제에서 이를 극복하는 아이디어는 반지름의 길이가 1인 원 상에서만 적분하고 있기 때문에 곡선에서 F1벡터장을 적분한 것이랑 곡선에서 새로운 벡터장 F1'=(2020^x, y^2020)을 적분한 것이랑 값이 같다는 사실을 이용하는 것입니다. 그런데 F1' 벡터장은 평면 전체에서 특이점이 없는 벡터장이므로 여기에 푸앵카레 도움정리를 적용하여 F1'이 잠재함수를 가짐을 보일 수 있고 이를 통해 곡선에서의 적분값이 0임을 보인 것입니다!
혹시 또 궁금한 점이 생기시면 언제든 질문 주시기 바랍니다 😊
@@snu7244기출문제 풀이에서는 새로운 함수를 정의하기 전에 잠재함수를 정의히면 0점이라고 되어있는데 새로운 f1프라임을 적용하면 상관없는 건가요??
네, 애초에 원래 벡터장은 원점에서 정의가 안되기 때문에 푸앵카레 도움정리를 적용할 수 없는데도 불구하고 적용하는 실수를 했기 때문에 0점인 반면,
제가 만든 (F1의 적분과 값이 같은) 벡터장 F1'은 정의역에 구멍이 없기 때문에 푸앵카레 도움 정리를 잘 적용할 수 있어 문제가 없습니다!
이번 영상도 잘 먹고 중간고사도 잘 먹고 오겠습니다 감사해요!!
시험 하루 전, 최고의 야식
좋은 강의 감사합니다!!
+ 추가로 며칠 전에는 안 그랬는데 오늘 강의를 듣는데 광고가 계속 나왔습니다..
중간부터 심하다고 느껴서 기록해봤는데(40, 50, 60, 65, 70, 77, 85, 96, 105, 112, 120분) 거의 8~10분 마다 계속 광고가 나와서 수업 흐름이 자주 깨졌습니다
며칠 전과 다르게 갑자기 이렇게 됐는데, 유튜브의 문제인건지ㅠㅠ 혹시 확인해주실 수 있는지 여쭤봅니다
감사합니다!!
저도 갑자기 제 영상에 광고가 떠서 알아봤더니, 예전에는 유튜버가 수익창출을 원해야 광고가 붙었던 것과 달리 지금은 제 의사에 상관 없이 유튜브 측에서 임의로 광고를 붙이더라구요...
저도 광고 없는 영상을 제공 해드리고 싶은데 유튜브에서 마음대로 광고를 붙여 본의아니게 수강생분들의 소중한 시간을 빼앗아 죄송할 따름입니다 ㅠㅠ
혹시 자기가 업로드한 영상에 광고가 안 붙도록 하는 방법을 알고계시는 분이 있다면 알려주시면 정말 감사하겠습니다
@@snu7244 답변 감사합니다!
유튜브 문제일 것 같았는데 역시 유튜브였네요..
그래도 광고 넘기면서 계속 볼 만큼 좋은 강의여서 다 봤습니다 맛있는 강의 감사합니다ㅎㅎ
안녕하세요 조교님 항상 영상 감사드립니다. 혹시 이번 주 영상은 내일 저녁에 올라올까요?
네 맞습니다. 내일 저녁에 공개될 예정입니다!
저도 영상에 관심 가져주셔서 감사드립니다😊
@@snu7244 네 감사합니다!
푸엥가레 도움정리에서 벡터장이 정의된 영역이 별꼴집합이라고 답안지에 서술해도 될까요? 교재에는 열린 볼록집합이라고 명시되어 있어서 교재에 없는 용어라 사용해도 되는지 궁금합니다. 또한 별꼴집합이라는 용어를 인터넷에 검색해도 딱히 정보가 나오지 않아서 더욱 의문을 가졌습니다 ㅠㅠ
추가로 R^3, R^2는 열린 볼록집합인가요?
음, 우선 두 집합 모두 임의의 두 점을 찍었을 때 두 점 사이에 있는 모든 점들이 다시 그 집합에 속해있으므로 볼록집합인 것은 쉽게 확인하실 수 있습니다.
다만 어떤 집합이 열린 집합인지, 닫힌 집합인지는 어떤 집합의 부분집합으로서 묻는지가 중요합니다.
예를들어 R^2의 부분집합으로써 R^2는 열린집한인데(전체집합은 항상 열린집합입니다!) R^3의 부분집합으로서 R^2(즉, xy평면)는 닫힌집합입니다.
그런데 아마 맥락상 선생님께서는 R^3의 부분집합으로서 R^3, R^2의 부분집합으로서 R^2를 물어보신 것 같으므로, 질문주신 집합은 열린 볼록집합인 것이 맞습니다!
앗, 별꼴집합이라는 용어는 교재 13장 부록에 있는 푸앵카레 도움정리의 증명 바로 뒤에 나와있습니다!
그리고 별꼴집합은 인터넷에 영어로 star shaped domain혹은 star domain이라고 검색하시면 정보를 얻으실 수 있을 것 같습니다. 아마 그렇게 자주 쓰이는 수학 용어가 아니다보니 제대로된 한국말 번역이 없어서 그런 것 같습니다 😂
답변이 도움이 되었길 바랍니다!
@@snu7244 항상 감사드립니다🫡🫡
조교님 안녕하세요? 강의 너무 잘 보고 있습니다.
2:00:00 문제 9. (c) x>0인 (x,y)에서 정의된 각원소벡터장의 잠재함수 구하는 문제에 대해 질문 있습니다.
질문을 요약하자면, 이 문제에서 "x성분을 적분하여 잠재함수를 구해도 되나요?"입니다.
해당 문제에서 잠재함수를 구하실 때 벡터장의 y성분 x/(x^2+y^2)을 y에 대해 적분하여 \phi_1=arctan(y/x)를 유도하셨는데요.
벡터장의 x성분 -y/(x^2+y^2)를 x에 대해 적분하는 경우는 \phi_2=-arctan(x/y)이 나오며, 이 두 함수 \phi_1, \phi_2는 일반적으로 같지 않은 것 같습니다.
그런데 13장 3절 '잠재함수의 유일성'에 의하면 정의역이 연결된 집합인 경우 잠재함수는 유일하며, 문제의 벡터장의 정의역은 연결된 집합이므로 (적분상수 c를 무시하면) 잠재함수가 유일해야 한다고 알고 있습니다.
그렇다면 x성분으로 적분하는 것은 잘못된 접근으로 보이는데 그 이유가 궁금합니다.
\phi_1는 정의역 전역에서 정의되는 반면, \phi_2는 y=0인 점에서는 정의되지 않는데 이게 잠재함수의 결격사유가 되는지...
아니면 상술한 내용 중에 오개념이 있고, 각원소벡터장의 잠재함수는 두 가지 이상 존재하는 것인지 궁금합니다.
읽어주셔서 감사합니다!
안녕하세요, 선생님. 강의 시청해주시고 질문주셔서 감사드립니다.
우선 x성분으로 적분하셔서 -arctan(x/y)를 얻으신다면 이는 말씀주신대로 y=0에서는 정의가 안되는 함수이기 때문에 주어진 영역 x>0에서의 잠재함수가 아닙니다.
하지만 만약 문제에서 주어진 영역이 1사분면이나 4사분면이어서 문제가 되는 y=0인 부분이 제외되었다면 말씀하신대로 x성분으로 적분하셔서 -arctan(x/y)을 잠재함수로 얻더라도 전혀 문제가 없습니다!
그러면 잠재함수의 유일성에 대해서 걱정을 하실 수도 있을 것 같은데요,
만약 정의역을 1사분면으로 제한한다면 arctan(y/x)=-arctan(x/y)+π/2,
만약 정의역을 4사분면으로 제한한다면 arctan(y/x)=-arctan(x/y)-π/2,
가 성립하게 되어 (up to constant) 잠재함수의 유일성에도 문제가 없는 것 같습니다!
답변이 도움이 되었길 바라고, 혹시 이해가 안되는 부분이 있다면 언제든 다시 질문 주시길 바랍니다!
와 이해되었습니다. 답변 정말 감사드립니다!
arctan(y/x)와 -arctan(x/y) 사이의 관계를 못찾고 있었는데 정의역을 1사분면 또는 4사분면으로 제한하니 잘 보이네요!
행복한 명절 연휴 보내시길 바랍니다!!
감사합니다. 선생님도 즐거운 추석 연휴 보내시길 바라겠습니다 😊