Du hast mir den Hintern gerettet!!! Vielen Dank für Dein Video :D Aber wenn A jetzt schon von sich aus eine symmetrische Matrix ist, muss ich keine Wurzel mehr für die Singulärwerte ziehen, oder? Da A*A^T=A^2. Und müsste es nicht V^T in der Grundgleichung heißen statt V? Bei deinem Beispiel ist es zwar egal, aber allgemein halt.
@@algebraba2911 Supi vielen Dank :) Dementsprechend bilden die Eigenvektoren die Spalten der Matrix V bzw. die Zeilen vom V^T, oder? Die Frage ist vielleicht dumm, aber ich will in meiner Prüfung alles richtig machen, und die Lehrveranstaltung zu dem Thema war nicht sehr hilfreich.
@@algebraba2911 eine frage aus meinem ersten kommentar hast du leider nicht beantwortet fällt mir grad auf. Und wurde gesagt dass die Matrix Sigma mit den Singulärwerten gebaut wird, außer A ist symmetrisch, dann werden direkt die Eigenwerten genutzt. Ist das bei dem Verfahren auch so?
@@Hiita95able Ja, das ist hier auch so. Genau genommen ist das immer so, aber bei symmetrischen Matrizen sind Singulär und Eigenwerte das gleiche. Singulärwerte sind sogesehen eine Verallgemeinerung von Eigenwerten.
Genau deshalb machen wir es ja. Wir wählen normierte Eigenvektoren aus, und diese bekommen wir, indem wir den ermittelten Eigenvektor mit dem Kehrwert seiner Norm multiplizieren.
Mir ist nicht klar, wie du darauf kommst. Die Schreibweise (A|0) steht ja für Ax=0, jede Gleichung entspricht also einer Zeile von A im Skalarprodukt mit x und wird dann gleich 0 gesetzt. Die obere Zeile ist also -8x_1-4x_2=0 und die untere -4x_1-2x_2=0. Die sind offensichtlich linear abhängig. Beide haben Lösungen, die identisch zu den Lösungen von -2x_1-x_2=0 sind und addieren von x_2 liefert dann -2x_1=x_2.
Mir ist nicht ganz klar, was du mit deiner Aussage meinst. Eigenvektoren sind Vektoren, also Zahlentupel, wieso sollten diese irgendetwas auf die 0 abbilden? Meinst du, dass man Eigenvektoren durch das Lösen von (A-lambda I)x=0 für einen Eigenwert lambda gewinnen kann? Ja, das ist richtig, aber hier nicht notwendig. Bei einer Diagonalmatrix kannst du die Eigenwerte und Eigenvektoren direkt ablesen und das geht hier auch, weil der Eintrag (3,3) gewissermaßen isoliert auftritt, da (3,i) und (j,3) null sind, sofern i,j nicht 3 sind. Somit lässt sich hier direkt der Eigenwert 2 mit Eigenvektor (0,0,1)^T ablesen. Das kannst du durch dran multiplizieren auch einfach prüfen ( es sollte dann ja (0,0,2)^T rauskommen).
@@algebraba2911 Danke für die ausführliche Erklärung ! Ja ich habe da etwas verwechselt (genau das was du beschrieben hast :D) mir war einfach nicht bewusst, dass wenn bei einem Wert der Matrix (in diesem Fall die 2) in der gleichen Zeile und Spalte sonst nur Nullen vorkommen, man neben dem Eigenwert auch gleich den Eigenvektor ablesen kann aber es macht auch irgendwie Sinn :D
Hallo und danke für das Video - gut verständlich erklärt! Hättest Du noch einen Hinweis, wie man dieses Vorzeichen-Problem ALLGEMEIN GÜLTIG in den Griff kriegt? Wie gehen Algorithmen zur SVD-Dekomposition damit um? Danke für Hinweise...
Du könntest die Determinante von U und V bestimmen. Beide müssen 1 sein. Wenn du -1 bei einem der beiden rauskriegst kannst du eine Spalte der jeweilgen Matrix mal -1 nehmen.
@@kirillolkhovsky9160 Sorry, aber das ist viel zu leicht gedacht. Selbst das Beispiel aus dem Video zeigt, dass das so nicht funktionieren wird. Die Anpassung im Videobeispiel ändert zwei Vorzeichen von Vektoren, d.h. das Vorzeichen der Determinanten wurde gar nicht verändert.
@@Scotti.Q Ganz so leicht wie beschrieben funktioniert es dann leider doch nicht. Tatsächlich ist es in der Praxis ein vieldiskutiertes Problem, da es nicht nur darum geht, passende Sign-Switches zu finden, sondern (da potentiell mehrere Möglichkeiten existieren), auch die Frage im Raum steht, welcher Sign-Switch der Richtige für die konkrete Anwendung ist. Eine vollständige Antwort kann ich dir leider auch nicht liefern. Hier wurde das Problem beispielsweise mal andiskutiert: math.stackexchange.com/questions/2828430/what-constraints-are-needed-to-make-singular-value-decomposition-a-unique-transf und in diesem Paper findest du ein Beispiel für eine Sign-Switch-Funktion auf Seite 13: www.researchgate.net/publication/227677444_Resolving_the_sign_ambiguity_in_the_singular_value_decomposition#fullTextFileContent
@@Canoooo46 Das Minus wird hier nicht quadriert, sonst hätte ich (-4)^2 geschrieben. Das liegt an der Determinante. Um diese für eine 2x2 Matrix zu bilden rechnen wir ad-bc und hier sind b=c=4.
Du kannst es dir so vorstellen, wenn wir den Kern der matrix bestimmen kommen wie auf die folgende Gleichung, nämlich (x1=x2,x2=x2), da x2 eine freie Variable und x1=x2 ist. Dies können wir weiterhin vereinfacht so schreiben: x2(1,1).
Du hast mir den Hintern gerettet!!! Vielen Dank für Dein Video :D
Aber wenn A jetzt schon von sich aus eine symmetrische Matrix ist, muss ich keine Wurzel mehr für die Singulärwerte ziehen, oder? Da A*A^T=A^2.
Und müsste es nicht V^T in der Grundgleichung heißen statt V? Bei deinem Beispiel ist es zwar egal, aber allgemein halt.
Sehr gerne. Ja, da müsste V^T stehen. Das ist auch im Thumbnail, aber fehlt am Anfang leider, sorry.
@@algebraba2911 Supi vielen Dank :) Dementsprechend bilden die Eigenvektoren die Spalten der Matrix V bzw. die Zeilen vom V^T, oder? Die Frage ist vielleicht dumm, aber ich will in meiner Prüfung alles richtig machen, und die Lehrveranstaltung zu dem Thema war nicht sehr hilfreich.
@@Hiita95able Ja genau. V und W bestehen aus den Eigenvektoren der Matrizen A^T und AA^T.
@@algebraba2911 eine frage aus meinem ersten kommentar hast du leider nicht beantwortet fällt mir grad auf. Und wurde gesagt dass die Matrix Sigma mit den Singulärwerten gebaut wird, außer A ist symmetrisch, dann werden direkt die Eigenwerten genutzt. Ist das bei dem Verfahren auch so?
@@Hiita95able Ja, das ist hier auch so. Genau genommen ist das immer so, aber bei symmetrischen Matrizen sind Singulär und Eigenwerte das gleiche. Singulärwerte sind sogesehen eine Verallgemeinerung von Eigenwerten.
09:50 warum schreibt man 1/Wurzel 5´mal dem EV wenn doch die Norm nur Wurzel 5 ist?
Genau deshalb machen wir es ja. Wir wählen normierte Eigenvektoren aus, und diese bekommen wir, indem wir den ermittelten Eigenvektor mit dem Kehrwert seiner Norm multiplizieren.
Frage: Müsste es bei 08:30 nicht x1 = -2*x2 heißen? Sonst wird die Zeile doch nie 0 oder?
Mir ist nicht klar, wie du darauf kommst. Die Schreibweise (A|0) steht ja für Ax=0, jede Gleichung entspricht also einer Zeile von A im Skalarprodukt mit x und wird dann gleich 0 gesetzt. Die obere Zeile ist also -8x_1-4x_2=0 und die untere -4x_1-2x_2=0. Die sind offensichtlich linear abhängig. Beide haben Lösungen, die identisch zu den Lösungen von -2x_1-x_2=0 sind und addieren von x_2 liefert dann -2x_1=x_2.
Bei 5:48 müssen die Eigenvektoren nicht immer auf die 0 abbilden ? somit wäre der Vektor (0 0 1)' doch falsch oder ?
Mir ist nicht ganz klar, was du mit deiner Aussage meinst. Eigenvektoren sind Vektoren, also Zahlentupel, wieso sollten diese irgendetwas auf die 0 abbilden? Meinst du, dass man Eigenvektoren durch das Lösen von (A-lambda I)x=0 für einen Eigenwert lambda gewinnen kann? Ja, das ist richtig, aber hier nicht notwendig. Bei einer Diagonalmatrix kannst du die Eigenwerte und Eigenvektoren direkt ablesen und das geht hier auch, weil der Eintrag (3,3) gewissermaßen isoliert auftritt, da (3,i) und (j,3) null sind, sofern i,j nicht 3 sind. Somit lässt sich hier direkt der Eigenwert 2 mit Eigenvektor (0,0,1)^T ablesen. Das kannst du durch dran multiplizieren auch einfach prüfen ( es sollte dann ja (0,0,2)^T rauskommen).
@@algebraba2911 Danke für die ausführliche Erklärung ! Ja ich habe da etwas verwechselt (genau das was du beschrieben hast :D) mir war einfach nicht bewusst, dass wenn bei einem Wert der Matrix (in diesem Fall die 2) in der gleichen Zeile und Spalte sonst nur Nullen vorkommen, man neben dem Eigenwert auch gleich den Eigenvektor ablesen kann aber es macht auch irgendwie Sinn :D
Hallo und danke für das Video - gut verständlich erklärt! Hättest Du noch einen Hinweis, wie man dieses Vorzeichen-Problem ALLGEMEIN GÜLTIG in den Griff kriegt? Wie gehen Algorithmen zur SVD-Dekomposition damit um? Danke für Hinweise...
Du könntest die Determinante von U und V bestimmen. Beide müssen 1 sein. Wenn du -1 bei einem der beiden rauskriegst kannst du eine Spalte der jeweilgen Matrix mal -1 nehmen.
@@kirillolkhovsky9160 Danke für den Hinweis. Das wäre ja niederschwelllig vom Aufwand.
@@kirillolkhovsky9160 Sorry, aber das ist viel zu leicht gedacht. Selbst das Beispiel aus dem Video zeigt, dass das so nicht funktionieren wird. Die Anpassung im Videobeispiel ändert zwei Vorzeichen von Vektoren, d.h. das Vorzeichen der Determinanten wurde gar nicht verändert.
@@Scotti.Q Ganz so leicht wie beschrieben funktioniert es dann leider doch nicht. Tatsächlich ist es in der Praxis ein vieldiskutiertes Problem, da es nicht nur darum geht, passende Sign-Switches zu finden, sondern (da potentiell mehrere Möglichkeiten existieren), auch die Frage im Raum steht, welcher Sign-Switch der Richtige für die konkrete Anwendung ist. Eine vollständige Antwort kann ich dir leider auch nicht liefern. Hier wurde das Problem beispielsweise mal andiskutiert:
math.stackexchange.com/questions/2828430/what-constraints-are-needed-to-make-singular-value-decomposition-a-unique-transf
und in diesem Paper findest du ein Beispiel für eine Sign-Switch-Funktion auf Seite 13:
www.researchgate.net/publication/227677444_Resolving_the_sign_ambiguity_in_the_singular_value_decomposition#fullTextFileContent
bei 2:52 muss da nicht + 16 stehen ?
Wieso? 36-16=20.
@@algebraba2911 -4^2 = +16 meine die Zeile über +20
@@algebraba2911 meine bei 2:44
@@Canoooo46 Das Minus wird hier nicht quadriert, sonst hätte ich (-4)^2 geschrieben. Das liegt an der Determinante. Um diese für eine 2x2 Matrix zu bilden rechnen wir ad-bc und hier sind b=c=4.
kann jemand ausführlich erklären wieso der Eigenvektor (1,1) ich versteh den Schritt noch nicht ganz
Du kannst es dir so vorstellen, wenn wir den Kern der matrix bestimmen kommen wie auf die folgende Gleichung, nämlich (x1=x2,x2=x2), da x2 eine freie Variable und x1=x2 ist. Dies können wir weiterhin vereinfacht so schreiben: x2(1,1).