O máximo divisor comum em ℤ e valor absoluto em ℚ | Aula 13 | Teoria do Número

O máximo divisor comum em ℤ, valor absoluto em ℚ
Definição:
O valor absoluto de um número racional x é definido mesmo x se ele é não negativo, e definido como -x se x é não positivo. Nessa está encapsulado que o valor absoluto do número zero é zero.
Definição:
Relembramos que se 𝑎,𝑏∈ℤ e 𝑏≠0 dizemos que b divide a se, e somente se, exite um único número inteiro c tal que a=bc=cb. Agora desconsiderando os sinais dos números (positivo ou negativo) temos que o valor absoluto |b| também divide a e |a|. Por isso podemos definir que o máximo divisor comum de dois números inteiros a e b é dada pela
[𝑎,𝑏]=[𝑏,𝑎]=[|𝑎|,|𝑏|]
Proposição:
Sejam '𝑎,𝑏∈ℤ. Se 𝑚∈𝐷𝑖𝑣(𝑎)∩𝐷𝑖𝑣(𝑏) então 𝑚∈𝐷𝑖𝑣(𝑎+𝑏), 𝑚∈𝐷𝑖𝑣(𝑎−𝑏), 𝑚∈𝐷𝑖𝑣(𝑎.𝑏), e 𝑚∈𝐷𝑖𝑣(𝑥𝑎+𝑦𝑏) para todo número inteiro x e número inteiro y.
Proposição:
Para todos os números inteiros não nulos a e b valem as seguintes:
"[a,b] ∣ ∣a∣, [a,b] ∣ ∣b∣"
"[a,b] "≤"∣a∣, [a,b] "≤" ∣b∣"
"[a,a] = ∣a∣"
"[a,b] "é o maior inteiro que satisfaz item (1)
"[a+b,b]=[a,b]=[a, a+b]"
"[a-b,b]=[a,b]=[a, a-b]"
Em geral para todos os números inteiros não nulos x e y vale:
["a+yb,b]=[a,b]=[a, ax+b]"