Espacios Vectoriales | Propiedades 📘 Curso completo de ÁLGEBRA lineal #3
Вставка
- Опубліковано 3 жов 2024
- En un vídeo anterior ( • Espacios Vectoriales |... ) vimos la definición de espacio vectorial, que era un conjunto de vectores con una suma que lo hacía un grupo Abeliano, un conjunto de números, que llamamos escalares, con una suma y producto que lo convierten en un cuerpo y una operación extra entre escalares y vectores que daba como resultado un vector y satisfacía 4 axiomas.
En ese vídeo vimos también ejemplos de espacios vectoriales y hoy nos centraremos en propiedades que se deducen de estos 4 axiomas.
Da igual si hablamos de vectores del espacio euclídeo, de matrices o de polinomios con coeficientes en un cuerpo si se trata de un espacio vectorial, siempre va a cumplir las propiedades que veremos ya que son consecuencia de los mismos axiomas de espacio vectorial.
Todo lo que vamos a ver en este vídeo se deduce directamente de estos 4 axiomas.
Como os decía, ahora nos centraremos en probar algunas propiedades.
PROPIEDAD I
Si operamos el número 0 con el vector v el resultado será siempre el vector 0, y esto se tiene para cualquier vector v.
PROPIEDAD II
Si multiplicamos un escalar λ por el vector nulo el resultado es el vector nulo, y esto se tiene para cualquier escalar del cuerpo.
PROPIEDAD III
Si λ operado con v es el vector nulo ha de ser forzosamente λ= 0 o bien v = 0.
PROPIEDAD IV
Si tenemos un escalar y un vector cualquiera, la siguientes tres operaciones son iguales:
→ Operar el opuesto del escalar con el vector.
→ Operar el escalar con el vector y tomar el opuesto de este vector.
→ Operar el escalar con el opuesto del vector en V.
📚 Libros de Matemáticas ➡️ www.amazon.es/....
No dudes en dejarnos comentarios con tus preguntas. Y si el vídeo te ha gustado, like y suscríbete! :D bit.ly/ArchiSub
📸 ¡Síguemos en Instagram! bit.ly/InstaSub 😃
🐦Twitter: / archimedestub
📘 Facebook: / archimedestub
esta muy infravalorado este canal, es lo mejorrrrrrr
¡Muchas gracias Luis Eduardo! 😊
Justo hoy empezamos ese tema en mi curso de álgebra lineal de la universidad, gracias :D
¡Que oportuno! Yo también he explicado esto hoy en clase.
es el video mas bello que he visto....
Me encanta el ritmo al que desarrollaste las demostraciones. Le da el suficiente espacio a la mente para reflexionar y no terminar abrumado con un montón de información que no ha podido ser correctamente digerida.
¡Muchas gracias migfed!
Intentamos hacer la demostración de la forma más clara posible, manteniendo visible los elementos que se usan en la demostración y resaltando con algún tipo de color a recuadro el elemento en particular que se esté utilizando en cada paso.
¡Nos alegra mucho de que te haya gustado el ritmo conseguido!
Que buen canal. Es breve, didáctico y prolijo. Siga adelante, éxitos lml
¡Muchas gracias Fenz! Estamos preparando nuevo material que publicaremos en breve ¡Saludos!
Gracias por tan bella exposición. Maestría en el contenido y e la pedagogía.
¡Muchas gracias Jairo!
Felicidades por el canal!! He visto ya varios vídeos y me parecen todos geniales. Le doy gracias a shurprofe por mencionarte en uno de sus videos y poder conoceros. Aquí un suscriptor.
¡Muchas gracias Jesús!
Demasiada calidad para que Este contenido sea gratis en verdad
MUCHAS GRACIAS
¡Muchas gracias por tu comentario Isaac! 😊
gracias a Dios existen, me hacen querer las demostraciones después de odiarlas por tanto tiempo.
¡Muchas gracias por tu comentario Juan David!
Muchas gracias por el video
¡Gracias!
Excelente explicación. Muy didáctica 👍
¡Gracias! 😊
Es muy interesante comprender, como se derivan en realidad todas esas propiedades que usamos comunmente (de forma tan descuidada) en algabra básica de vectores de esos axiomas y de la estructura de grupo.
Exacto. Son propiedades tan comunes que no nos paramos a pensar cómo se deducen.
Pero los axiomas son (o deben ser) lo mínimo exigible para poder deducir la teoría. Y estas propiedades ya forman parte de la teoría a pesar de ser tan "obvios" como puedan serlo los axiomas.
Recientemente me compré un libro muy interesante que se llamaba "Reverse Mathematics" que trata de, en vez de deducir teoremas a partir de axiomas, buscar los axiomas precisos necesarios para demostrar un teorema.
@@ArchimedesTube Eso de buscar los axiomas necesarios para demostrar un teorema es un problema muy interesante, es algo así como una demostración inversa. Gracias por la referencia del libro.
Excelente video, muy claras las demostraciones!
¡Muchas gracias Tino! 😃
Magistral. Excelente video. Saludos.
Gracias! 😊 Estamos preparando nuevos vídeos para seguir ampliando este curso de Álgebra Lineal
¡Que gran canal! , de verdad me encantan sus videos
Mil gracias!
Muy buena explicacion muchas gracias
¡Gracias!
Buen día profesor, una pregunta de su vídeo: ¿solo con la demostración de las 4 propiedades, podemos demostrar que tenemos un espacio vectorial? o es necesario demostrar los 10 axiomas que marcan muchos libros del tema. Gracias y excelente su trabajo.
Excelente video! 👌🏾
Gracias! A ver si este año podemos añadir algunos vídeos más a este curso de Álgebra Lineal
Muchas gracias por los videos me están ayudando muchísimo ... mas temas universitarios porfa :)
¡Muchas gracias Alex!
En breve quiero retomar esta serie pues es la asignatura que imparto en la Universidad y cada año intento ir ampliando este curso en formato vídeo.
Saludos
Grasias por gastar tu tiempo en contestarnos
Gran canal, mereces mas subs :)
¡Muchas gracias Sara!
Geniales explicaciones. Soy profesor y me gustaria saber cuáles son los programas que usas para hacer los vídeos porque con las clases en la situacón actual me gustaría renovar un poco mis clases.
un saludo
Muchas gracias José María,
La parte matemática de muchos vídeos como este de Espacios vectoriales están hecha en PowerPoint. Grabamos el audio utilizando programas como Audacity y lo sincronizamos generando un mp4 a partir del Powerpoint (en la opción crear un video). Los archivos .wav o .mp3 del audio y el archivo vídeo .mp4 los juntamos con el programa de edición de vídeo, que en nuestro caso es Adobe Premiere pero hay muchos otros. En la parte de edición se edita también el audio de voz y se le añaden los efectos sonoros y música si se quiere. Los sonidos se pueden sacra de librerias o bases de datos. UA-cam creo que tiene una gratuita pero hay otras por suscripción como Epidemic Sound.
Otros vídeos requieren algún tipo de animaciones más complejas o en 3d y utilizamos After Effects o llegado el caso Cinema4d.
Un saludo
Excelente. como siempre . Gracias por su duro trabajo.
no te olvides continuar con los fundamentos , por ejemplo el axioma de elección y el lema de zorn. Saludos
¡Hola!
Estamos en ello. De hecho tenemos prevista hacer la continuación de nuestro vídeo sobre la paradoja de Russell hablando de los teoremas de incompletitud de Gödel. Después de ese dedicaremos un vídeo al axioma de elección.
¡Saludos!
@@ArchimedesTube por fa has un video de primo o compuesto
Mis felicitaciones al Chef.
A la orden
Espectáculo!...
¡Gracias!
Buen canal, no entendí, pero buen canal
¡Muchas gracias! Algunos vídeos son un poco más técnicos que otros
¡Magníficas animaciones! Y muy buen vídeo.
Muchas gracias!
buen video mis amigos sigan asi
gracias me ayudan a entender mejor
Muchas gracias Diego!
muy buenos videos, hay un curso de teoria de graficas??
Muy interesante la hometecua
Has un video de primo o compuesto q lo necesito por favor saludo desde Argentina
En mis primeros años de facultad nunca entendí bien que significado tiene saber sobre Grupo Abeliano, cuerpo y todo eso... por que solo conocía uno: el que aprendí en la escuela. No entendí muy bien por que se estudia la relación entre sus elementos y sus operaciones, pues solo conocía 4 operaciones y solo conocia los numeros normales jaja .. puede ser un video sobre Grupos, cuerpos y todo eso? sobre todo ¿Qué importancia tiene?
Hola Juan,
Tenemos una serie sobre estructuras algebraicas en la que en particular hablamos de grupos. Te dejo aquí el enlace:
ua-cam.com/video/0tUyWcIhopE/v-deo.html
Nos gustaría seguir añadiendo vídeos a esta lista en breve.
¡Saludos!
@@ArchimedesTube Muchas gracias, lo voy a ver...
Hola, buenas tengo una duda, tendría sentido plantearse la cardinalidad de un espacio vectorial? Entiendo que el concepto de dimensión sería el que sustituye al de cardinalidad pero he leído también en algún texto que hablaban sobre cardinalidad y no lo entiendo
Hola David,
Tiene sentido. Es cierto que la dimensión es al álgebra lineal lo que la cardinalidad a la teoría de conjuntos en muchos sentidos. Por ejemplo, el principio de inclusión-exclusión para conjuntos
| A U B | = | A | + | B | - | A ∩ B |
tiene su análogo en la fórmula de Grassman
dim (U + W) = dim U + dim W - dim U ∩ W
(donde a su vez la suma de subespacios juega el papel de la unión ya que la unión de subespacios no es subespacio y la suma es el menor subespacio que contiene a U y W ).
Pero, por ejemplo si V es un espacio vectorial sobre K = Z_2 de dimensión 5 por ejemplo. Su cardinal será 2^5= 32.
El cuerpo Z_2 ={ [0] , [1] } tiene dos elementos. V tiene una base con cinco vectores B = { x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 }
y todo vector de V se escribe de forma única como combinación lineal de estos cinco vectores por tanto existen exactamente 2^5 combinaciones lineales ( cada vector puede estar multiplicado por el escalar [0] ó [1] ).
Si V es un espacio vectorial finitamente generado sobre el cuerpo ℚ de los números racionales. Entonces V tiene una base finita de, digamos n vectores. y todas las posibles combinaciones lineales están en biyección con el conjunto producto cartesiano de ℚ n veces:
ℚ×ℚ×...×ℚ
Este conjunto tiene cardinal aleph_0, el cardinal de ℕ, asi que el cardinal de V es aleph sub cero.
Cualquier espacio vectorial finitamente generado sobre el cuerpo de los números reales ℝ tendrá de este modo cardinal aleph_1.
Un saludo
@@ArchimedesTube muchas gracias!
Buen video profe!! Tengo dos preguntitas.
Primero, en el 6:14 en la cuarta propiedad, no es un caso particular del tercer axioma?? (propiedad pseudoasociativa), ya que ese "-" (menos) es simplemente multiplicar por el numero -1, entonces porque se debe demostrar si es axioma? (o al menos eso creo)
Segundo, que hay de la propiedad conmutativa? no es axioma ni propiedad?
Hola Juan Carlos,
Es cierto que (-1) λ = - λ en el cuerpo. También es cierto que ((-1) λ ) v = (-1) (λ v) por la propiedad pseudoasociativa, pero lo que no es inmediato es que
(-1) (λ v) = -λ v.
O en general no es inmediato que (-1) v = - v
En el miembro derecho tienes -1 (el opuesto de 1 en el cuerpo) operado con el vector v. En el miembro derecho tienes el opuesto de v en el cuerpo. Esta igualdad es cierta en el cuerpo (por ejemplo en los números reales (-1) λ = - λ ), pero cuando se trata de la operación de escalares por vectores hay que probarla.
De hecho se trata precisamente de la primera igualdad de la propiedad iv) tomando λ=1 (y usando la propiedad modular para ver que - 1v = - v ).
Un saludo
@@ArchimedesTube Genia, gracias.
Y que hay de la conmutatividad? no es ni axioma ni teorema?
@@JA-eg8vo No vi esta pregunta. Perdón por el retraso de 5 meses! Las dos operaciones del cuerpo son conmutativas por definición de cuerpo. También por definición V es un espacio vectorial si la suma de vectores lo convierte en un grupo conmutativo lo que hace que la conmutatividad sea un axioma (parte de la definición).
@@ArchimedesTube Muchas gracias profe :D
Hermoso
Gracias..!
De nada!
Muy bueno , muy bueno ...¿ Urtzi es vasco , supongo?
El nombre es vasco si. Y el apellido Buijs es holandés
Por que ya no haces PDF si son tan útiles?
No sabía que no tenía PDF este vídeo. Buscaré a ver que ha pasado. ¡Gracias por avisar!
¿ no sera bilbaino Urtzi ?
Según tengo entendido es una antigua deidad mitológica relacionado con el agua 'Ur'. Pero no tengo familia vasca. Madre madrileña y padre holandés.
@@ArchimedesTube curioso, porque urtzi es nombre vasco( yo soy vasco , bilbaino ) , ur es agua efectivamente en euskera...
Esperaba tu pdf de este tema..
igual que todos los profesores de clase,leer y leer y leer.... no aportan ningun don de saber explicar las cosas bien. y facilitar el mensaje. gracias pero sinceramente no me resulto util.
mono