Je n'aurai pas su faire la démo, je sais pas si j'aurai su la faire il y a 20 ans, mais il est certain que je n'ai plus cette gymnastique. Il n'empêche que je trouve toujours ça magnifique de pouvoir prouver quelque chose en mathématiques "juste avec des lettres", une preuve irréfutable car générale et non juste quelques exemples qui montrent que ça marche sans que ça ne prouve l'énoncé. Merci pour cette distraction méthamatique :)
Toujours aussi pédagogue dans votre manière de nous transmettre votre savoir ! J'adore personnellement le fait de traiter deux méthodes, l'une où l'on réfléchit vraiment, et l'autre où l'on a une approche scolaire et rigoureuse. :) Continuez !
Merci Iman pour cette vidéo qui est une petite perle quant à son sujet (et à votre explication !). Pour démontrer que le carré s'un nombre impair auquel on retranche 1 est un multiple de 8 on découvre, une fois encore, la subtilité si passionnante des mathématiques. Merci de consacrer de votre temps à nous OFFRIR de si bons moments !
Sinon, on aurait pu s'amuser un peu avec la congruence aussi : Si n est impair, alors il est congru à 1, 3, 5 ou 7 modulo 8 (les nombres impairs avant 8, au delà il suffit de faire -8*k, avec k€N, pour se ramener à l'un de ces cas). Alors, par disjonction de cas, quand on va élever au carré et retirer 1, on aura toujours n²-1 ≡ 0 [8], ie n²-1 est divisible par 8. Pour ceux pas convaincus, on fait les calculs : * n ≡ 1 [8] => n² ≡ 1²≡ 1 [8] => n²-1 ≡ 1-1 ≡ 0 [8] * n ≡ 3 [8] => n² ≡ 3² ≡ 9 ≡ 9-8×1 ≡1 [8] => n²-1 ≡ 0 [8] * n ≡ 5 [8] => n² ≡ 25 ≡ 25-8*3 ≡ 1 [8] => n²-1 ≡ 0 [8] * n ≡ 7 [8] => n² ≡ 49 ≡ 49-8×6 ≡1 [8] => n²-1 ≡ 0 [8]
euhhhh, on apprends ça en quelle année la congruence dit moi?🥲(je suis en début de seconde du coup je m'imagine que c'est pour ça que je ne connais pas)
Tu as juste plus simple concernant le calcul. Tu as dis n^2-1 = (n-1)(n+1). Ok donc maintenant remplace n par 2k+1. Tu tombes immédiatement sur n^2-1 = 2k (2k+2) = 4k(k+1). Sinon toujours autant d’enthousiasme. Bravo !
Pour distinguer les cas, c'est plus élégant de dire que k est soit pair soit impair (donc s'écrit 2m ou 2m+1). De là, n²-1 = 4k(k+1) ce qui vaut soit 4*2m(2m+1) = 8m(2m+1) soit 4*(2m+1)(2m+2) = 4*(2m+1)*2(m+1) = 8(2m+1)(m+1).
Super vidéo comme d'habitude !! Pour le coup, je me suis arrêté à la ligne : n² - 1 = 4 * (k² + k). En réfléchissant sur les nombres (pairs et impairs) et leurs carrés on se rend compte que le carré d'un nombre pair est pair et le carré d'un nombre impair est impair. Du coup le carré d'un nombre additionné à lui même est obligatoirement pair donc (k² + k) est pair. Je ne sais pas si c'est clair mais ça m'a plu comme raisonnement ! :)
@@lemokolyon Et pourquoi ça ? J'ai prouvé que n² - 1 = 4 * (k² + k) et que (k² + k) est pair donc on peut exprimer (k² + k) comme un multiple de 2 donc (k² + k) = 2x. Donc on a n² - 1 = 4 * 2x. Donc, pour finir, n² - 1 = 8x. Je ne suis pas allé jusqu'à la fin du raisonnement parce que la vidéo décrit cette partie.
@@Douwab Oui, c'est bon. Par contre si tu souhaites formaliser ton résultat sur les carrés de nombres (im)paires, tu retombes sur la démonstration de la vidéo.
Ho, j'avais trouvé 9, direct avant votre explication. Oui, déjà dit dans une précédente vidéo, que pour dire qu'un nombre est impair, se dit 2n+1 puisque 2n est pair. Et 9 est une des réponses possibles, 9²=81 et 81-1=8x10=80 👍
n impair donc n=2k+1 (k entier relatif) n²-1 = 4k² + 4k + 1 - 1 = 4 × k × (k+1) k ou k+1 est pair, donc k×(k+1) est multiple de 2 donc n²-1 est multiple de 8
Super vidéo ! Attention à 1:16 "Pour être dans la table de 8 il faut du 2 et du 4" c'est faux, 12 est divisible par 2 : 12 = 2*6 et 12 est divisible par 4 : 12 = 4*3. Pour autant 12 n'est pas dans la table de 8. Pour être dans la table de 8 il faut avoir du 2 au cube. Mais sinon la vidéo est géniale comme d'habitude !!
Les deux peuvent coexister ensemble, c'est à dire que tout nombre dans la table de 8 l'est aussi dans celles de 2 et 4 mais tout nombre dans la table de 2 et de 4 n'est pas forcément dans celle de 8, je dirais que tu as tout simplement mal compris la signification de "pour être dans la table de 8 il faut du 2 et du 4", mais bien sûre le commentaire porte sur un fond de vérité, parfois la manière de le prononcer la phrase peut beaucoup changer sa signification, tout comme la compréhension peut être difficile et confuse sur certaine manière de montré les choses.
4:48 au lieu de développer puis refactoriser on peut remplacer n par 2k+1 dans (n-1)*(n+1) Du coup on trouve n^2 -1 = (n-1)*(n+1) = (2k+1 -1) * (2k+1 +1) = (2k) * (2k+2) = 4 * k * (k+1) et on a rejoint 6:04
Pour une démonstration plus rigoureuse, on peut prouver la dernière partie par récurrence sur k. En effet, il est démontré que n^2 - 1 est équivalent à p(k)=4*k^2 + 4*k On peut vérifier que cette expression est bien divisible par 8 pour k=0 (avec p(k)=0), k=1 (avec p(k)=8) ou k=2 (avec p(k)=24) (Phase d’initialisation) Supposons, par récurrence, que p(k)=4*k^2 + 4*k est divisible par 8. Montrons alors que c’est également le cas pour p(k+1) En effet, p(k+1) = 4*(k+1)^2 + 4*(k+1) = 4*(k^2 + 2*k +1) + 4*k + 4 Ainsi, p(k+1) = 4*k^2 + 8*k +4 + 4*k + 4 = (4*k^2 + 4*k) + 8*(k+1) Par l’hypothèse de récurrence, le premier terme entre parenthèses est divisible par 8. Et le deuxième terme est un multiple de 8. Par conséquent, p(k+1) est divisible par 8. Ce qui complète la démonstration.
@@furrane Je ne suis pas de cet avis ! Il suffit juste de remarquer que: n^2 = (-n)^2 (n étant un entier naturel) Le résultat est donc bien valide sur tout l'ensemble des entiers relatifs.
@@javanuwamungu5824 Non mais la proposition est vraie pour tout entier n, ça on est d'accord. Simplement dans ta démonstration initiale tu ne la démontres vraie que pour n>=1. Et, effectivement, en précisant que n^2=(-n)^2, tu peux élargir ta démonstration pour arriver au bon résultat. En passant, tu peux aussi le faire par récurrence en ajoutant une étape : prouver que si p(k) est vraie pour un k quelconque, alors p(k-1) est vraie aussi. C'est plus long, mais c'est l'occasion de faire une petite variation amusante de la démonstration de récurrence.
On peut même pousser l'exercice en utilisant le principe de récurrence. (n²-1) = (2p +1)² -1. Au rang 0... C'est vrai 0=8x0 Supposons au rang n : (2p+1)² - 1 = 8k Le rang n suivant c'est 2p+3 (2p+3)² = 4p² + 12p +9 = (4p² +4p +1) + 8p + 8 (2p+3)² = (2p+1)² + 8 (p+1) (2p+3)² -1 = (2p+1)² - 1 +8(p+1) (2p+3)² -1 = 8k + 8(p+1) (2p+1)² -1 = 8(k+p+1) = 8h Ce qu'on remarque c'est que le coefficient h par rapport au rang précédent, c'est p+1 Donc on ajoute au coefficient du rang suivant (h), la valeur de l'entité suivant (p+1) Au coefficient du rang 0 (h(0) = 0) on ajoute 1 pour avoir le coefficient 1 (h(1) = 1) Au coefficient du rang 1 (h(1) = 1) on ajoute 2 pour avoir le coefficient 2 (h(2) = 3)... Ainsi de suite. On reconnaît la somme des entier positifs Ainsi, on peut même dire que Pour tout entier n positifs, ((2n+1)² - 1 )/8 = somme(i, pour i allant de 0 à n)
Personnellement j'ai pris: n^2 - 1 = (2k+1)² - 1 = 4k² + 4k + 1 - 1 = 4(k²+k) Deux cas: k pair et k impair. k = 2m (pair) 4((2m)²+2m) = 4(4m²+2m) = 8(2m²+m) Le cas pair est vérifié. Et le cas impair; k = 2m+1 4((2m+1)²+2m+1) = 4(4m² + 4m +1 + 2m +1) = 4(4m² + 6m + 2) = 8(2m² + 3m + 1) Le cas impair est vérifié ! Donc pour tout n impair non nul, n² - 1 est divisible par 8 (est un multiple de 8). C'était tout pour ma technique. PS: J'avais pas vu encore la vidéo lol, mais c'est pratiquement la même chose pour le coup.
Merci. T'as parfaitement raison. Juste qu'il est redondant de dire tout n impair NON NUL, car tout naturel impair est d'office non nul(0 est pair et ne peut être en même temps impair)
Je l'ai resolu en faisait de la congruence. J'ai testé n^2-1 de 0 à 9 modulo [8] et j'ai bien un multiple de 8 pour chaque nombre impair, donc ils sont congrus à 0 donc je peux en conclure qu'ils sont divisibles par 8. C'est peut etre pas la démonstration la + rigoureuse (littéralement c'est juste un tableau sur ma feuille) mais ça marche quand même. Mtn je regarde la vidéo :)
@@julieng.4375 Ouais c'est clair que c'est assez simple de cette façon, mais en terminale j'avais mes profs qui voulaient qu'on accompagne le tableau d'une récurrence histoire que ce soit vraiment rigoureux tsais
C'est très souvent une bonne idée de commencer en remplaçant les variables par des petits nombres pour se donner une idée du problème. Par contre, quand on te demande de démontrer pour un ensemble infini, il te faudra systématiquement passer à une autre méthode, sinon, t'as pas finit de remplir ton tableau ^^
@@furrane désolé je reponds que maintenant j'avais pas vu ton message avant. Jsuis d'accord avec toi hein, le truc c'est que l'intérêt de la congruence il est là en fait. En mettant tout mon raisonnement "modulo 8" je crée une "égalité" entre les nombres par rapport à leur emplacement dans |N si tu veux (je suppose qu'on est dans |N pour l'exercice) ainsi on va dire du nombre 9 qu'il est en réalité congru à 1 (on note "congru" avec un égale qui ne possède non pas 2 mais 3 barres) du coup on s'en fiche un peu du nombre qu'on prend. Même 8008 (j'ai pas cherché loin) bah 800 c'est congru à 0 (8x100) puis re 8 donc t'inquietes là, la preuve marche. C'est juste que c'est pas aussi rigoureux qu'une recurrence tsais Apres si j'ai mal compris ton propos et que tu disais ça par rapport au nombre du modulo (genre modulo 124 ) bon c'est clair qu'on va pas s'amuser à résoudre de 1 à 123 mdrrr meme si ya une technique pour aller + vite (genre quand t'as un resultat dans la ligne des congruences tu le multiplies juste par la case d'apres et re modulo m ça te donne le resultat et ainsi de suite ) apres dans tous les cas c'est mieux de faire une récurrence quand ça devient trop gros je pense
Démo plus rapide aussi utilisant directement les congruences : en regardant la congruence modulo 4 ça marche direct car dans tous les cas car l'un est multiple de 4 et l'autre part (la même que celle du prof mais les congruences allègent peut-être la rédaction)
@@mehdibaccour2120 c'est des congruences : on étudie les restes dans la division euclidienne par un entier, et ça permet d'en déduire des propriétés sur tes nombres.
J'ai toujours eu des problèmes avec les énoncés de maths ce qui m'a valu de toujours avoir de sales notes 😅 Pour n²-1 divisible par 8, n devant être un chiffre impair, montrer que cela est possible. N'ayant rien compris à l'énoncé, je suis allé chercher tout fier en 2sec le 3 pour n soit n²-1 = 3x3-1 = 8 et donc 8/8 =1.
avant de regarder: n est impair il exist un entier k tel que n=2k+1 n²-1=(n-1)(n+1)=(2k+1-1)(2k+1+1)=2k(2k+2)=4k(k+1) le produit d'un nombre pair par un nombre impair est pair, et sachant que si k est pair, k+1 est impair et vice-versa, k(k+1) est toujours pair 2 divise k(k+1) 8 divise 4k(k+1)=n²-1
Je suis plutôt parti sur une démonstration par récurrence. Initialisation : 3²-1=8 Le nombre impair suivant n est n+2 ce qui donne pour l'hérédité (n+2)²-1= n² + 4n + 4 - 1 =n² - 1 + 4n + 4 n² - 1 est divisible par 8 selon l'hypothèse de départ Il faut donc prouver 4n + 4 est également divisible par 8, soit montrer que (4n + 4)/8 est un nombre entier (4n + 4)/8 = (n+1)/2 n est impair donc n+1 est pair. (4n + 4)/8 est donc un nombre entier donc si n²-1 est divisible par 8, (n+2)²-1 l'est aussi ce qui conclut la récurrence
L'un de mes souvenirs de fac inoubliables. Cette question était la 1) sur je ne sais combien d'un exo d'algèbre ou d'arithmétique en 1ère année de Master. Un type passe corriger ça, il commence par décomposer en (p-1)(p+1) et conclue que c'est divisible par 4 car p était premier impair et donc les deux termes sont divisibles par 2. Puis il dit que l'un des deux termes doit être divisible par 4 et que donc le tout est divisible par 8. Le prof demande lequel des deux termes, et là... Le gars sort un splendide "je crois que c'est p-1". J'ai un fou rire, je me retiens pour pas exploser. Le prof lui dit "Euh non". Et il répond "ah c'était p+1". J'ai du quitter la classe j'en pouvais plus.
Je n'ai pas vu la vidéo en entier mais j'avais remplacé *n* par *2a+1* avec *a* nombre entier réel dont tous les nombres impairs sont. J'obtiens alors : (2a+1)² - 1 = (4a²+4a+1) - 1 = 4a² + 4a = 4a(a+1) Or si *a* est pair, *a+1* est impair et vice versa. La multiplication de *a* par *a+1* donne un résultat pair vu qu'au moins l'un d'entre eux est pair. Que je remplace par *2b* avec *b* un nombre entier réel. Résultat: (2a+1)²-1 = 4a(a+1) = 4 x 2b = 8b Quels que soient *n impair* , *a* et *b* seront des entiers réels et *n²-1* sera divisible par *8*.
Un relatif positif c'est un entier naturel en fait ^^ Quand on ne précise pas entier naturel ou relatif, il faut comprendre entier relatif. Et donc, ici, le résultat est vrai pour tout entier (relatif).
Sur la forme, utilises k plutôt que N, c'est une convention relativement répandue qui t'aidera à te faire comprendre. Également sur la troisième ligne on comprends ce que tu veux dire mais ta rédaction est erronée. Sur le fond, sur la dernière ligne tu ne démontres jamais que N(N-1) est pair.
@@furrane Mais c'est évident. L'un des deux doit être pair. Si N est impair, N-1 est pair. Si N-1 est impair, N est pair. De toute façon, N(N-1) est pair parce que " (un nombre pair) x (un nombre impair) = un nombre pair "
Tres bonne vidéo mais j'aurai aimé que la démonstration aille jusqu'au bout. On m'a toujours reproché de ne pas assez explicité mes résultats qui me paraissaient évidents.
Superbe vidéo ! Ton contenu nous pousse à réfléchir différemment et avec recul ! Chapeau J'ai eu tout le raisonnement mais je me suis arrêter à 4k(k+1)
Autre méthode Si n est impaire,alors on peut trouver k entier naturel tel que n=2k+1 de ce fait,n^2-1=(2k+1)^2-1=4k^2+4k+1-1=4k^2+4k=4k(k+1) Ce nombre est un multiple de 4 De deux choses l'une : soit k est paire et k+1 impaire ou bien k est impaire et k+1 paire. Dans les deux cas le nombre n^2-1 est aussi un multiple de 2. Il est donc multiple de 4 et de 2, alors il est multiple de 8.
Facile n²-1=(2k+1)²-1=2k(2k+2)=4k, forcément parce que si k est pair, c'est 2k qui est multiple de 4 et si k est impair, c'est 2k+2 qui est multiple de 4. J'ai tendance à m'écouter lol, je peux écrire 2k(2k+2)=((4-2)k)((4-2)k+2)=(4k-2k)(4k-2k+2)=16k²-16k²+4k²+8k-4k=4(k²+k)=4k(k+1)=8K lol, je voulais parler de ça à part mais c'est bon, en fait k et k² sont de même parité en plus ça se voit que k(k+1) est un multiple de 2. Ok, je vais voir si je peux suivre la vidéo.
Autre façon de faire, dire que n^2 - 1 est divisible par 8 si n est impair revient à dire que n^2-1 n'est pas divisible par 8 si n est pair, on remplace n par l'écriture d'un nombre pair soit : 2k donc n^2 - 1 = 4k^2 - 1 = 2*(2k^2) - 1 et c'est impair. Or pour être dans la table de 8 il faut être un nombre pair. On vient de démontrer que : si n est pair alors n^2 - 1 n'est pas un multiple de 8 ce qui est équivalent à : si n est impair alors n^2 - 1 est un multiple de 8. C'est une proposition, dites moi si je me trompe, l'erreur est humaine :)
Il y a malheureusement une erreur. La preuve par contraposée consiste à voir que A -> B est équivalent à non B -> non A. Dans cet exemple, A c'est n impair (et donc non A c'est n pair) et B c'est n²-1 divisible par 8 (et donc non B c'est n²-1 n'est pas un multiple de 8). Et du coup, pour démontrer l'énoncé, il faudrait montrer que si n²-1 n'est pas divisible par 8 alors n est pair. (Ce qui est sans doute faisable par disjonction de cas en prenant n = 8k + i (avec i allant de 1 à 7). Mais on se complique la vie pour pas grand chose :)
@@obiwanroro1446 C'est plutôt de montrer que k²/2 + k/2 est un entier. Il est évident que n² - 1 est entier dès que n l'est :) Ce qui se fait aussi assez facilement par disjonction de cas : k impair -> k² impair et donc k² + k pair (somme de deux impairs est impair), k pair alors k² + k pair (somme de deux pairs est pair). :)
@@elpaloma2909 En écrivant 8*(k*(k+1))/2, on a k*(k+1)/2 qui sort, et si mes souvenirs sont bon c'est la formule donnant la somme des k premiers entiers, donc un entier. On a donc bien 8*j (où j est un entier), donc un multiple de huit ! Dites moi si j'ai fait une erreur, la dernière fois que j'ai fait des maths remonte à assez loin !
Soit n un nombre impair : Avec k E |N n = 2k+1 ------------ (2k+1)^2 - 1 = (2k+1-1)(2k+1+1) = 2k(2k+2) =4k^2+4k =4k(k+1) k pair : Avec k = 2m 4(2m(2m+1)) =16m^2+8m =8(m(2m+1)) k impair Avec k = 2m+1 4(2m+1(2m+1+1)) =4(2m+1(2m+2)) =16m^2+16m+8m+8 =16m^2+24m+8 =8(m(2m+3)+1)
Salut Question pour toi Il y a maintenant plusieurs mois voir années, via des amis géomètres et architectes, j’ai découvert une super formule pour calculer les aires de triangles et par corrélation de toutes formes géométriques composées de triangles. La formule en question est la formule de héron. Depuis dans mon travail (je suis programmeur), je me suis mis à l’utiliser dans mes devs pour des calculs de surface et par corrélation de volume. Maintenant ma question, ayant pourtant fait un bac S (1999), je n’avais jusqu’à lors jamais entendu parlé de cette formule, y a t’il une raison particulière pour qu’elle ne soit pas présentée aux élèves français ?
La réponse la plus simple : il y a *énormément* de formules en mathématiques, et il sera contre-productif de tenter de toutes les apprendre aux enfants. Il en découle qu'on doit faire une sélection et que la formule de Héron n'a pas survécu à cette sélection. Quand à savoir pourquoi cette formule n'a pas été sélectionnée, je doute que quiconque pourrait te répondre aujourd'hui. On peut imaginer, par exemple, que la formule B*h/2 est restée parce que facilement démontrable graphiquement à l'aide de rectangles (renforçant par la même la connaissance de l'aire d'un rectangle).
Ouch .... alors là ! C'est un peu tiré par les cheveux, mais c'est juste. Et incroyable. (Pour le "... tiré par les cheveux", ce n'est pas une attaque sur ta coiffure 😄)
n = 2k + 1 car impair n² - 1 = (2k + 1) ² - 1 = 4k² + 4k + 1 -1 = 4k (k + 1) le résultat est mutiple de 4 et si k est impair k + 1 est pair donc le produit de k et k+1 est forcement multiple de 2 résultat mutiple de 4 ainsi que de 2 donc multiple de 4 * 2 donc 8
Bon alors pour ne pas galérer comme le monsieur, voilà comment on torche ça en 2 minutes chrono : n²-1=(n-1)(n+1)=4.[(n-1)/2][(n+1)/2] Puisque n est impair, (n-1)/2 et (n+1)/2 sont tous les deux entiers. Et comme ils sont en plus consécutifs, il y en a forcément un des deux qui est pair. Voilà j'ai fini et lui il rame encore.
Bien d'accord avec toi sauf pour un petit truc le chiffre 1 fonctionne pas. Car 1 au carre -1 =0 et 8/0 est indéfini dans les réels. De plus, la démarche faites ne fonctionne pas avec le chiffre 1, mais sinon tout est correct. Tu as pt juste passer trop vite ou oublié de mentionné si n est impair sauf 1. En tout cas beau travail je te suis sur toutes tes vidéos et j'aime ton travail!
Soit n€N avec n=2k+1 On a donc (2k+1)²-1=4k²+4k Supposons que 4k²+4k=8o avec o€Z Montrons que (2k+3)²-1=8h avec h€Z (2k+3)²-1=4k²+12k+8 =8o+8k+8 =8(o+k+1) =8h , h€Z
Yep, généralement on le remarque pas parce que c'est trivial, mais bien sûr, étant donné que 0 est un entier, il parait naturel de faire apparaître 0*z = 0 dans la table de tout entier z 👍
N impair -1 /8 = 2 et N étant un nombre 1er impair . Soit . 17 -1 16/8 = 2 . Puisque n² = k * k = 16 k . Alors N impair = 16 k +1 . donc n impair = 17 .
Excellente vidéo comme d'habitude. Problème très semblable à celui posé par @Matazart dans cette vidéo : ua-cam.com/video/KUOAVxd9PqE/v-deo.html (mais j'avais oublié la solution et j'ai bloqué juste après l'identité remarquable ^^).
Si on donne l'énoncé sous cette forme : le nombre précédent du carré d'un nombre impair est toujours divisible par 8. C'est encore plus contre intuitif 😉
Je n'aurai pas su faire la démo, je sais pas si j'aurai su la faire il y a 20 ans, mais il est certain que je n'ai plus cette gymnastique. Il n'empêche que je trouve toujours ça magnifique de pouvoir prouver quelque chose en mathématiques "juste avec des lettres", une preuve irréfutable car générale et non juste quelques exemples qui montrent que ça marche sans que ça ne prouve l'énoncé.
Merci pour cette distraction méthamatique :)
C'est toute la beauté des maths
Bonne vidéo, comme d'hab. Merci pour votre boulot, votre pédagogie est super.
Toujours aussi pédagogue dans votre manière de nous transmettre votre savoir ! J'adore personnellement le fait de traiter deux méthodes, l'une où l'on réfléchit vraiment, et l'autre où l'on a une approche scolaire et rigoureuse. :)
Continuez !
Merci Iman pour cette vidéo qui est une petite perle quant à son sujet (et à votre explication !). Pour démontrer que le carré s'un nombre impair auquel on retranche 1 est un multiple de 8 on découvre, une fois encore, la subtilité si passionnante des mathématiques. Merci de consacrer de votre temps à nous OFFRIR de si bons moments !
Auquel on retranche 1 ;)
@@fabienal-kazzi1507 Je viens de corriger. Merci beaucoup !!!
اللهم صل و سلم و بارك على سيدنا و شفيعنا و مولانا وقرة أعيننا حبيبنا محمد عليه أفضل الصلاة و أزكى السلام و على آله و صحبه أجمعين
Sinon, on aurait pu s'amuser un peu avec la congruence aussi :
Si n est impair, alors il est congru à 1, 3, 5 ou 7 modulo 8 (les nombres impairs avant 8, au delà il suffit de faire -8*k, avec k€N, pour se ramener à l'un de ces cas).
Alors, par disjonction de cas, quand on va élever au carré et retirer 1, on aura toujours n²-1 ≡ 0 [8], ie n²-1 est divisible par 8.
Pour ceux pas convaincus, on fait les calculs :
* n ≡ 1 [8] => n² ≡ 1²≡ 1 [8] => n²-1 ≡ 1-1 ≡ 0 [8]
* n ≡ 3 [8] => n² ≡ 3² ≡ 9 ≡ 9-8×1 ≡1 [8] => n²-1 ≡ 0 [8]
* n ≡ 5 [8] => n² ≡ 25 ≡ 25-8*3 ≡ 1 [8] => n²-1 ≡ 0 [8]
* n ≡ 7 [8] => n² ≡ 49 ≡ 49-8×6 ≡1 [8] => n²-1 ≡ 0 [8]
euhhhh, on apprends ça en quelle année la congruence dit moi?🥲(je suis en début de seconde du coup je m'imagine que c'est pour ça que je ne connais pas)
@@defuzwolfeix3952 C'est au programme de maths expertes, en terminale, dans le chapitre sur la divisibilité.
Tu as juste plus simple concernant le calcul.
Tu as dis n^2-1 = (n-1)(n+1).
Ok donc maintenant remplace n par 2k+1.
Tu tombes immédiatement sur
n^2-1 = 2k (2k+2) = 4k(k+1).
Sinon toujours autant d’enthousiasme. Bravo !
Pour distinguer les cas, c'est plus élégant de dire que k est soit pair soit impair (donc s'écrit 2m ou 2m+1). De là, n²-1 = 4k(k+1) ce qui vaut soit 4*2m(2m+1) = 8m(2m+1) soit 4*(2m+1)(2m+2) = 4*(2m+1)*2(m+1) = 8(2m+1)(m+1).
excellente vidéo: le sujet et la pédagogie. merci beaucoup pour tous ces efforts.
Super vidéo comme d'habitude !! Pour le coup, je me suis arrêté à la ligne : n² - 1 = 4 * (k² + k). En réfléchissant sur les nombres (pairs et impairs) et leurs carrés on se rend compte que le carré d'un nombre pair est pair et le carré d'un nombre impair est impair. Du coup le carré d'un nombre additionné à lui même est obligatoirement pair donc (k² + k) est pair. Je ne sais pas si c'est clair mais ça m'a plu comme raisonnement ! :)
Joli !
Bravo
Oui, mais ça ne le définit pas comme multiple de 8. Mais bien joué.
@@lemokolyon Et pourquoi ça ? J'ai prouvé que n² - 1 = 4 * (k² + k) et que (k² + k) est pair donc on peut exprimer (k² + k) comme un multiple de 2 donc (k² + k) = 2x. Donc on a n² - 1 = 4 * 2x. Donc, pour finir, n² - 1 = 8x. Je ne suis pas allé jusqu'à la fin du raisonnement parce que la vidéo décrit cette partie.
@@Douwab Oui, c'est bon. Par contre si tu souhaites formaliser ton résultat sur les carrés de nombres (im)paires, tu retombes sur la démonstration de la vidéo.
@@Douwab❤
Ho, j'avais trouvé 9, direct avant votre explication. Oui, déjà dit dans une précédente vidéo, que pour dire qu'un nombre est impair, se dit 2n+1 puisque 2n est pair. Et 9 est une des réponses possibles, 9²=81 et 81-1=8x10=80 👍
Le calcul m'a toujours fait pleurer.
Mais votre démonstration et votre vocabulaire, expressions me font rire !!!
Merci beaucoup.
Merci beaucoup pour apprendre tant de notions en de ci petites vidéo ❤
T'es fort, bravo! Eh un vrai spectacle pour la présentation !!!
n impair donc n=2k+1 (k entier relatif)
n²-1 = 4k² + 4k + 1 - 1 = 4 × k × (k+1)
k ou k+1 est pair, donc k×(k+1) est multiple de 2
donc n²-1 est multiple de 8
Arithmétique rimera toujours avec logique ! Merci pour ce petit voyage dans ton cerveau 😃
Merci de faire le programme de maths expertes, ça m'aide beaucoup !
L'explication est magnifique merciiiiiiii
Super vidéo ! Attention à 1:16 "Pour être dans la table de 8 il faut du 2 et du 4" c'est faux, 12 est divisible par 2 : 12 = 2*6 et 12 est divisible par 4 : 12 = 4*3. Pour autant 12 n'est pas dans la table de 8. Pour être dans la table de 8 il faut avoir du 2 au cube. Mais sinon la vidéo est géniale comme d'habitude !!
Les deux peuvent coexister ensemble, c'est à dire que tout nombre dans la table de 8 l'est aussi dans celles de 2 et 4 mais tout nombre dans la table de 2 et de 4 n'est pas forcément dans celle de 8, je dirais que tu as tout simplement mal compris la signification de "pour être dans la table de 8 il faut du 2 et du 4", mais bien sûre le commentaire porte sur un fond de vérité, parfois la manière de le prononcer la phrase peut beaucoup changer sa signification, tout comme la compréhension peut être difficile et confuse sur certaine manière de montré les choses.
4:48 au lieu de développer puis refactoriser on peut remplacer n par 2k+1 dans (n-1)*(n+1)
Du coup on trouve n^2 -1 = (n-1)*(n+1) = (2k+1 -1) * (2k+1 +1) = (2k) * (2k+2) = 4 * k * (k+1) et on a rejoint 6:04
Pour une démonstration plus rigoureuse, on peut prouver la dernière partie par récurrence sur k.
En effet, il est démontré que n^2 - 1 est équivalent à p(k)=4*k^2 + 4*k
On peut vérifier que cette expression est bien divisible par 8 pour k=0 (avec p(k)=0), k=1 (avec p(k)=8) ou k=2 (avec p(k)=24) (Phase d’initialisation)
Supposons, par récurrence, que p(k)=4*k^2 + 4*k est divisible par 8.
Montrons alors que c’est également le cas pour p(k+1)
En effet, p(k+1) = 4*(k+1)^2 + 4*(k+1) = 4*(k^2 + 2*k +1) + 4*k + 4
Ainsi, p(k+1) = 4*k^2 + 8*k +4 + 4*k + 4 = (4*k^2 + 4*k) + 8*(k+1)
Par l’hypothèse de récurrence, le premier terme entre parenthèses est divisible par 8. Et le deuxième terme est un multiple de 8.
Par conséquent, p(k+1) est divisible par 8. Ce qui complète la démonstration.
C'est pas plus rigoureux, puisqu'en l'état tu ne vérifies la proposition que pour n entier *naturel*.
Tu arrives donc a un résultat moins fort.
@@furrane Je ne suis pas de cet avis ! Il suffit juste de remarquer que: n^2 = (-n)^2 (n étant un entier naturel) Le résultat est donc bien valide sur tout l'ensemble des entiers relatifs.
@@javanuwamungu5824 Non mais la proposition est vraie pour tout entier n, ça on est d'accord.
Simplement dans ta démonstration initiale tu ne la démontres vraie que pour n>=1.
Et, effectivement, en précisant que n^2=(-n)^2, tu peux élargir ta démonstration pour arriver au bon résultat.
En passant, tu peux aussi le faire par récurrence en ajoutant une étape : prouver que si p(k) est vraie pour un k quelconque, alors p(k-1) est vraie aussi. C'est plus long, mais c'est l'occasion de faire une petite variation amusante de la démonstration de récurrence.
On peut même pousser l'exercice en utilisant le principe de récurrence.
(n²-1) = (2p +1)² -1.
Au rang 0... C'est vrai 0=8x0
Supposons au rang n :
(2p+1)² - 1 = 8k
Le rang n suivant c'est 2p+3
(2p+3)² = 4p² + 12p +9 = (4p² +4p +1) + 8p + 8
(2p+3)² = (2p+1)² + 8 (p+1)
(2p+3)² -1 = (2p+1)² - 1 +8(p+1)
(2p+3)² -1 = 8k + 8(p+1)
(2p+1)² -1 = 8(k+p+1) = 8h
Ce qu'on remarque c'est que le coefficient h par rapport au rang précédent, c'est p+1
Donc on ajoute au coefficient du rang suivant (h), la valeur de l'entité suivant (p+1)
Au coefficient du rang 0 (h(0) = 0) on ajoute 1 pour avoir le coefficient 1 (h(1) = 1)
Au coefficient du rang 1 (h(1) = 1) on ajoute 2 pour avoir le coefficient 2 (h(2) = 3)... Ainsi de suite.
On reconnaît la somme des entier positifs
Ainsi, on peut même dire que
Pour tout entier n positifs,
((2n+1)² - 1 )/8 = somme(i, pour i allant de 0 à n)
C'est génial votre démonstration
On peut aussi voir qu'une fois développée, n^2-1 = 4k(k+1) est divisible par 4 et 2 donc par 8
Je pense Qu'on ne peut pas faire ça si le produit est premier entre eux. par exemple 6 = 3*2
Mais le contraire avec 8 = 4*2 .
Salut
Pourrais tu mettre systématiquement le niveau scolaire nécessaire pour ces vidéos ?
Merci pour ces démos🙂
Je suis moi même prof de maths. J'admire votre méthode d'enseigner.
Bravo 🤠 vu le niveau du Capes Maths cette année tu vas aider BCP d'élèves !
Personnellement j'ai pris:
n^2 - 1 = (2k+1)² - 1 = 4k² + 4k + 1 - 1
= 4(k²+k)
Deux cas: k pair et k impair.
k = 2m (pair)
4((2m)²+2m) = 4(4m²+2m) = 8(2m²+m)
Le cas pair est vérifié.
Et le cas impair; k = 2m+1
4((2m+1)²+2m+1) = 4(4m² + 4m +1 + 2m +1)
= 4(4m² + 6m + 2) = 8(2m² + 3m + 1)
Le cas impair est vérifié !
Donc pour tout n impair non nul, n² - 1 est divisible par 8 (est un multiple de 8).
C'était tout pour ma technique.
PS: J'avais pas vu encore la vidéo lol, mais c'est pratiquement la même chose pour le coup.
Merci. T'as parfaitement raison. Juste qu'il est redondant de dire tout n impair NON NUL, car tout naturel impair est d'office non nul(0 est pair et ne peut être en même temps impair)
Je l'ai resolu en faisait de la congruence. J'ai testé n^2-1 de 0 à 9 modulo [8] et j'ai bien un multiple de 8 pour chaque nombre impair, donc ils sont congrus à 0 donc je peux en conclure qu'ils sont divisibles par 8. C'est peut etre pas la démonstration la + rigoureuse (littéralement c'est juste un tableau sur ma feuille) mais ça marche quand même. Mtn je regarde la vidéo :)
Les congruences, c'est ce qu'il y a de mieux je trouve pour résoudre ce type de problème
@@julieng.4375 Ouais c'est clair que c'est assez simple de cette façon, mais en terminale j'avais mes profs qui voulaient qu'on accompagne le tableau d'une récurrence histoire que ce soit vraiment rigoureux tsais
@@meldyluova3340 oui mais il faut faire une disjonction des cas
C'est très souvent une bonne idée de commencer en remplaçant les variables par des petits nombres pour se donner une idée du problème.
Par contre, quand on te demande de démontrer pour un ensemble infini, il te faudra systématiquement passer à une autre méthode, sinon, t'as pas finit de remplir ton tableau ^^
@@furrane désolé je reponds que maintenant j'avais pas vu ton message avant. Jsuis d'accord avec toi hein, le truc c'est que l'intérêt de la congruence il est là en fait. En mettant tout mon raisonnement "modulo 8" je crée une "égalité" entre les nombres par rapport à leur emplacement dans |N si tu veux (je suppose qu'on est dans |N pour l'exercice) ainsi on va dire du nombre 9 qu'il est en réalité congru à 1 (on note "congru" avec un égale qui ne possède non pas 2 mais 3 barres) du coup on s'en fiche un peu du nombre qu'on prend. Même 8008 (j'ai pas cherché loin) bah 800 c'est congru à 0 (8x100) puis re 8 donc t'inquietes là, la preuve marche. C'est juste que c'est pas aussi rigoureux qu'une recurrence tsais
Apres si j'ai mal compris ton propos et que tu disais ça par rapport au nombre du modulo (genre modulo 124 ) bon c'est clair qu'on va pas s'amuser à résoudre de 1 à 123 mdrrr meme si ya une technique pour aller + vite (genre quand t'as un resultat dans la ligne des congruences tu le multiplies juste par la case d'apres et re modulo m ça te donne le resultat et ainsi de suite ) apres dans tous les cas c'est mieux de faire une récurrence quand ça devient trop gros je pense
Et merci beaucoup pour votre effort 🥰 ❤️
Perso, j'étais passé par la récurence mais je suis content de voir deux nouvelles manières de voir le problème, c'est toujours très intérressant
Démo plus rapide aussi utilisant directement les congruences : en regardant la congruence modulo 4 ça marche direct car dans tous les cas car l'un est multiple de 4 et l'autre part (la même que celle du prof mais les congruences allègent peut-être la rédaction)
On peut faire avec les congruences aussi : 1² = 3² = 5² = 7² = 1[8]. En retirant 1, on a bien que si n impair, n² - 1 = 0[8]
C'est quoi ça??
@@mehdibaccour2120 c'est des congruences : on étudie les restes dans la division euclidienne par un entier, et ça permet d'en déduire des propriétés sur tes nombres.
@@wasselbousmaha9705 C'est très bien, mais à aucun moment tu ne démontres que n impaire => n^2 = 1 mod 8
@@furrane Il a fait une disjonction de cas donc c'est bon?
@@furrane bah si : n impair ça implique forcément n=1 ou n=3 ou n=5 ou n=7[8]
tellement merci
Merci, tu es le prof que j’aimerais être
Merci beaucoup
Vous pourriez simplement faire :
n²-1=8(1/2k²+1/2)
Et donc n²-1=8p avec p=1/2k²+1/2 et c'est facile du coup. Merci pour la vidéo
On est en arithmétique, pas de fraction !
Merci j'ai bien compris ❤
J'ai toujours eu des problèmes avec les énoncés de maths ce qui m'a valu de toujours avoir de sales notes 😅 Pour n²-1 divisible par 8, n devant être un chiffre impair, montrer que cela est possible. N'ayant rien compris à l'énoncé, je suis allé chercher tout fier en 2sec le 3 pour n soit n²-1 = 3x3-1 = 8 et donc 8/8 =1.
avant de regarder:
n est impair il exist un entier k tel que n=2k+1
n²-1=(n-1)(n+1)=(2k+1-1)(2k+1+1)=2k(2k+2)=4k(k+1)
le produit d'un nombre pair par un nombre impair est pair, et sachant que si k est pair, k+1 est impair et vice-versa, k(k+1) est toujours pair 2 divise k(k+1) 8 divise 4k(k+1)=n²-1
Très bien 👏👏👏👏
Belle démonstration
Je suis plutôt parti sur une démonstration par récurrence.
Initialisation :
3²-1=8
Le nombre impair suivant n est n+2 ce qui donne pour l'hérédité
(n+2)²-1= n² + 4n + 4 - 1
=n² - 1 + 4n + 4
n² - 1 est divisible par 8 selon l'hypothèse de départ
Il faut donc prouver 4n + 4 est également divisible par 8, soit montrer que (4n + 4)/8 est un nombre entier
(4n + 4)/8 = (n+1)/2
n est impair donc n+1 est pair.
(4n + 4)/8 est donc un nombre entier donc si n²-1 est divisible par 8, (n+2)²-1 l'est aussi ce qui conclut la récurrence
très bonne vidéo comme d’hab. j’aimerai simplement ajouter que n doit être plus grand que 1 donc Df : N-{0,1}
Plus grand que 2
J'ai trouvé la solution de la même façon que ta démonstration formelle.
Pour les plus balèzes, on aurait pas pu faire ça graphiquement ?
C’est morteeeeeeeeel! J’adore…
J'avais trouvé mais super vidéo.
on peut proceder par le remplacement de K dans l'expression 4K(K+1) par: 0,1,2,......et verifier que c'est divisible par 8 .
Superbe vidéo !
L'un de mes souvenirs de fac inoubliables.
Cette question était la 1) sur je ne sais combien d'un exo d'algèbre ou d'arithmétique en 1ère année de Master.
Un type passe corriger ça, il commence par décomposer en (p-1)(p+1) et conclue que c'est divisible par 4 car p était premier impair et donc les deux termes sont divisibles par 2.
Puis il dit que l'un des deux termes doit être divisible par 4 et que donc le tout est divisible par 8.
Le prof demande lequel des deux termes, et là...
Le gars sort un splendide "je crois que c'est p-1".
J'ai un fou rire, je me retiens pour pas exploser.
Le prof lui dit "Euh non".
Et il répond "ah c'était p+1".
J'ai du quitter la classe j'en pouvais plus.
Excellent*! ... (et ça me montre, 30 ans après mes études, que je suis un peu rouillé en math!)
Je n'ai pas vu la vidéo en entier mais j'avais remplacé *n* par *2a+1* avec *a* nombre entier réel dont tous les nombres impairs sont. J'obtiens alors :
(2a+1)² - 1 = (4a²+4a+1) - 1 = 4a² + 4a = 4a(a+1)
Or si *a* est pair, *a+1* est impair et vice versa. La multiplication de *a* par *a+1* donne un résultat pair vu qu'au moins l'un d'entre eux est pair. Que je remplace par *2b* avec *b* un nombre entier réel.
Résultat: (2a+1)²-1 = 4a(a+1) = 4 x 2b = 8b
Quels que soient *n impair* , *a* et *b* seront des entiers réels et *n²-1* sera divisible par *8*.
Pour la 2e méthode, c'est encore plus rapide d'utiliser l'identité remarquable (n-1)(n+1)
Démonstration par absurde est possible aussi !
Super!! Il faudrait signaler au passage que k est un relatif positif !!
Un relatif positif c'est un entier naturel en fait ^^
Quand on ne précise pas entier naturel ou relatif, il faut comprendre entier relatif. Et donc, ici, le résultat est vrai pour tout entier (relatif).
Mec t es tellement fort qu’à 3:15 (j ai été clair
ou pas ? ) je réponds oui en rigolant. 👍
si n est impair, alors n = 2N -1
n^2 - 1 = (2N -1) (2N - 1) -1 = (4N^2 - 4N + 1) - 1 = 4N^2 - 4N = 4N (N - 1)
8 divise 4N (N - 1) = 4N (N - 1)/8 = N (N - 1)/2
puisque N (N-1) est pair => 2 divise N(N-1) => 8 divise 4N (N - 1) => 8 divise n^2 - 1
Sur la forme, utilises k plutôt que N, c'est une convention relativement répandue qui t'aidera à te faire comprendre. Également sur la troisième ligne on comprends ce que tu veux dire mais ta rédaction est erronée.
Sur le fond, sur la dernière ligne tu ne démontres jamais que N(N-1) est pair.
@@furrane Mais c'est évident. L'un des deux doit être pair. Si N est impair, N-1 est pair. Si N-1 est impair, N est pair. De toute façon, N(N-1) est pair parce que " (un nombre pair) x (un nombre impair) = un nombre pair "
@@cyruschang1904 _Mais c'est évident_
Sans doute, mais "c'est évident" n'est pas une démonstration mathématique.
(2k+1)^2-1= 4 (k^2+k) +1-1
Si k est impair/pair k^2 aussi donc la somme est toujours paire et donc 4x un nombre pair est un multiple de 8.
Tres bonne vidéo mais j'aurai aimé que la démonstration aille jusqu'au bout. On m'a toujours reproché de ne pas assez explicité mes résultats qui me paraissaient évidents.
n2-1 = (n-1)(n+1) = (2k)*(2k+2) = 2*k*2*(k+1) = 4k(k+1) et le produit de 2 nombres consécutifs est forcement pair
Superbe vidéo ! Ton contenu nous pousse à réfléchir différemment et avec recul ! Chapeau
J'ai eu tout le raisonnement mais je me suis arrêter à 4k(k+1)
Autre méthode
Si n est impaire,alors on peut trouver k entier naturel tel que n=2k+1 de ce fait,n^2-1=(2k+1)^2-1=4k^2+4k+1-1=4k^2+4k=4k(k+1)
Ce nombre est un multiple de 4
De deux choses l'une : soit k est paire et k+1 impaire ou bien k est impaire et k+1 paire. Dans les deux cas le nombre n^2-1 est aussi un multiple de 2.
Il est donc multiple de 4 et de 2, alors il est multiple de 8.
Si n impair, alors n = 2k + 1
n² - 1
=(2k + 1)² - 1
=(2k + 1)*(2k + 1) - 1 =
=4k² + 4k + 1 - 1
= 4k² + 4k
démontrer que 4k² + 4k divise 8
4k + 4k² = 4(k + k²)
si k est pair k² aussi, 2 nombre pairs additionnés sont pair
si k est impair k² aussi, 2 nombre impairs additionnés sont pair
donc k + k² forcément pair
k + k² = 2j
4(k + k²) = 4*2*j = 8j
8j divise 8
Pareil si n = 2k - 1 =>
n² - 1
=(2k - 1)² - 1
=(2k - 1)*(2k - 1) - 1
=4k² -2k -2k + 1 - 1
=4k² -4k
=8j
Facile n²-1=(2k+1)²-1=2k(2k+2)=4k, forcément parce que si k est pair, c'est 2k qui est multiple de 4 et si k est impair, c'est 2k+2 qui est multiple de 4. J'ai tendance à m'écouter lol, je peux écrire 2k(2k+2)=((4-2)k)((4-2)k+2)=(4k-2k)(4k-2k+2)=16k²-16k²+4k²+8k-4k=4(k²+k)=4k(k+1)=8K lol, je voulais parler de ça à part mais c'est bon, en fait k et k² sont de même parité en plus ça se voit que k(k+1) est un multiple de 2. Ok, je vais voir si je peux suivre la vidéo.
Magnifique
Autre façon de faire, dire que n^2 - 1 est divisible par 8 si n est impair revient à dire que n^2-1 n'est pas divisible par 8 si n est pair, on remplace n par l'écriture d'un nombre pair soit : 2k donc n^2 - 1 = 4k^2 - 1 = 2*(2k^2) - 1 et c'est impair. Or pour être dans la table de 8 il faut être un nombre pair.
On vient de démontrer que : si n est pair alors n^2 - 1 n'est pas un multiple de 8 ce qui est équivalent à : si n est impair alors n^2 - 1 est un multiple de 8.
C'est une proposition, dites moi si je me trompe, l'erreur est humaine :)
Il y a malheureusement une erreur. La preuve par contraposée consiste à voir que A -> B est équivalent à non B -> non A. Dans cet exemple, A c'est n impair (et donc non A c'est n pair) et B c'est n²-1 divisible par 8 (et donc non B c'est n²-1 n'est pas un multiple de 8). Et du coup, pour démontrer l'énoncé, il faudrait montrer que si n²-1 n'est pas divisible par 8 alors n est pair. (Ce qui est sans doute faisable par disjonction de cas en prenant n = 8k + i (avec i allant de 1 à 7). Mais on se complique la vie pour pas grand chose :)
Oui c'est une bonne idée
n^2-1=(n+1)(n-1)=(2k+1+1)(2k+1-1)=(2k+2)(2k)=4(k+1)(k)=8K avec K entier (k+1)(k)=2K donc (k+1)(k) est un multiple de 2
Super
J'ai pas trouvé tout seul la fin de la demo écrite. Bien joue. J'ai été battu cette fois ci
trop bien, je vais pouvoir flex devant mon prof de math hahaha
Ca peut se démontrer aussi avec une table de congruences si je ne m'abuse
Perso je factoriserai par 8 direct. n²-1=8(k²/2+k/2), on a bien 8 x qqchose, et pas besoin de disjonction. En tous cas super boulot les vidéos.
nan car il faut montrer que le facteur de droite est un entier ce qui est pas évident
@@elpaloma2909 si n est entier, n²-1 l'es aussi, mais oui ça se discute effectivement :).
@@obiwanroro1446 C'est plutôt de montrer que k²/2 + k/2 est un entier. Il est évident que n² - 1 est entier dès que n l'est :)
Ce qui se fait aussi assez facilement par disjonction de cas : k impair -> k² impair et donc k² + k pair (somme de deux impairs est impair), k pair alors k² + k pair (somme de deux pairs est pair). :)
@@elpaloma2909 En écrivant 8*(k*(k+1))/2, on a k*(k+1)/2 qui sort, et si mes souvenirs sont bon c'est la formule donnant la somme des k premiers entiers, donc un entier. On a donc bien 8*j (où j est un entier), donc un multiple de huit !
Dites moi si j'ai fait une erreur, la dernière fois que j'ai fait des maths remonte à assez loin !
en ecrivant que n²-1 =8k alors si n =2p+1 alors (2p+1)²-1 soit 4p²+4p=4p(p+1) or p(p+1) est pair et p(p+1)=2j donc 4p(p+1) =8j ce qu'on veut montrer
Soit n un nombre impair :
Avec k E |N
n = 2k+1
------------
(2k+1)^2 - 1
= (2k+1-1)(2k+1+1)
= 2k(2k+2)
=4k^2+4k
=4k(k+1)
k pair :
Avec k = 2m
4(2m(2m+1))
=16m^2+8m
=8(m(2m+1))
k impair
Avec k = 2m+1
4(2m+1(2m+1+1))
=4(2m+1(2m+2))
=16m^2+16m+8m+8
=16m^2+24m+8
=8(m(2m+3)+1)
Salut
Question pour toi
Il y a maintenant plusieurs mois voir années, via des amis géomètres et architectes, j’ai découvert une super formule pour calculer les aires de triangles et par corrélation de toutes formes géométriques composées de triangles. La formule en question est la formule de héron. Depuis dans mon travail (je suis programmeur), je me suis mis à l’utiliser dans mes devs pour des calculs de surface et par corrélation de volume. Maintenant ma question, ayant pourtant fait un bac S (1999), je n’avais jusqu’à lors jamais entendu parlé de cette formule, y a t’il une raison particulière pour qu’elle ne soit pas présentée aux élèves français ?
La réponse la plus simple : il y a *énormément* de formules en mathématiques, et il sera contre-productif de tenter de toutes les apprendre aux enfants. Il en découle qu'on doit faire une sélection et que la formule de Héron n'a pas survécu à cette sélection.
Quand à savoir pourquoi cette formule n'a pas été sélectionnée, je doute que quiconque pourrait te répondre aujourd'hui.
On peut imaginer, par exemple, que la formule B*h/2 est restée parce que facilement démontrable graphiquement à l'aide de rectangles (renforçant par la même la connaissance de l'aire d'un rectangle).
Il suffit de mettre n=2k+1 on aura n*2-1=4k(k+1)=4*2h=8h
Ouais c'est chaud quand même.
Ouch .... alors là !
C'est un peu tiré par les cheveux, mais c'est juste.
Et incroyable.
(Pour le "... tiré par les cheveux", ce n'est pas une attaque sur ta coiffure 😄)
@H A J'en ai bien conscience, tu n'as pas l'air de bien comprendre la plaisanterie... 😐
@H A Tu insistes. Évidemment que la grande majorité de la population connaît cette expression !!!!
Comprends pas où tu veux en venir.🧐
On peut même généraliser ça: si p>4 est un nombre premier, alors p^2-1 est divisible par 24.
C'est un autre résultat, pas une généralisation, puisque tu prends un ensemble de nombres différent.
0 et 1 , aucun n’est pair. Il faut ajouter non nul.
Merci beaucoup
n = 2k + 1 car impair
n² - 1 = (2k + 1) ² - 1
= 4k² + 4k + 1 -1
= 4k (k + 1)
le résultat est mutiple de 4
et si k est impair k + 1 est pair donc le produit de k et k+1 est forcement multiple de 2
résultat mutiple de 4 ainsi que de 2 donc multiple de 4 * 2 donc 8
Bon alors pour ne pas galérer comme le monsieur, voilà comment on torche ça en 2 minutes chrono :
n²-1=(n-1)(n+1)=4.[(n-1)/2][(n+1)/2]
Puisque n est impair, (n-1)/2 et (n+1)/2 sont tous les deux entiers. Et comme ils sont en plus consécutifs, il y en a forcément un des deux qui est pair.
Voilà j'ai fini et lui il rame encore.
Un véritable génie. T'as la médaille Fields toi non ?
Bien d'accord avec toi sauf pour un petit truc le chiffre 1 fonctionne pas. Car 1 au carre -1 =0 et 8/0 est indéfini dans les réels. De plus, la démarche faites ne fonctionne pas avec le chiffre 1, mais sinon tout est correct. Tu as pt juste passer trop vite ou oublié de mentionné si n est impair sauf 1. En tout cas beau travail je te suis sur toutes tes vidéos et j'aime ton travail!
Bonjour, pour n=1 ça marche bien aussi car on dit 8 divise.
Donc si N=1 on a 1x1-1=0 et 0/8=0.
Donc c'est pas l'inverse.
Je viens de relire j'ai lu trop vite, en effet ca fonctionne, my bad😅. Merci de me reprendre de mon erreur!
Le produit de deux nombres consécutifs😊 est pair
gymnastique cérébrale😀
Bien joué mais attention de ne pas faire d'impair
Commentaire sous-coté 😂
👏👏👏👏👏😀👍
Limpide !
Soit n€N avec n=2k+1
On a donc (2k+1)²-1=4k²+4k
Supposons que 4k²+4k=8o avec o€Z
Montrons que (2k+3)²-1=8h avec h€Z
(2k+3)²-1=4k²+12k+8
=8o+8k+8
=8(o+k+1)
=8h , h€Z
Donc on considère que 0 est dans la table de 8 ? (et donc dans toutes les tables)
Yep, généralement on le remarque pas parce que c'est trivial, mais bien sûr, étant donné que 0 est un entier, il parait naturel de faire apparaître 0*z = 0 dans la table de tout entier z 👍
Meme si on demontre par 4K + 1 et 4K + 3 (nbr impairs), on obtient le result par le calcul
super !
N impair -1 /8 = 2 et N étant un nombre 1er impair . Soit . 17 -1
16/8 = 2 . Puisque n² = k * k = 16 k .
Alors N impair = 16 k +1 . donc n impair = 17 .
Oula ... Oulala ...
c'est plus facile à démontrer avec des congruences
17 secondes :(
La prochaine fois 💪
Première comontair
Excellente vidéo comme d'habitude. Problème très semblable à celui posé par @Matazart dans cette vidéo : ua-cam.com/video/KUOAVxd9PqE/v-deo.html (mais j'avais oublié la solution et j'ai bloqué juste après l'identité remarquable ^^).
Je savais pas que 8 divisait 3 (2^2-1)
Si on donne l'énoncé sous cette forme : le nombre précédent du carré d'un nombre impair est toujours divisible par 8.
C'est encore plus contre intuitif 😉
Perso si tu me dit ça, la première chose que je fais c'est de remettre sous forme d'équation.