Olá, posso sim! Vou escrever minha análise por aqui ok, espero poder ajudar. O teorema de existência e unicidade apresentado nessa aula (no vídeo) é destinado a PVIs em que a EDO associada seja linear. No exemplo solicitado a EDO não é linear devido ao expoente 2/3 na função desconhecida y. Logo, ele não pode ser aplicado para o PVI sugerido. Nesse caso, pode-se utilizar o Teorema de Existência e Unicidade de Picard, que afirma que (aqui escrevo de forma bem resumida) para o PVI y'=f(t,y), y(x_0)=y_0, existirá solução única desde que a função f(t,y) e sua derivada parcial em relação a y sejam contínuas em uma mesma região do plano ty que contenha o ponto (x_0, y_0). Então, observe que para o PVI apresentado a função f(t,y) é dada por f(t,y)=3y^{2/3} e que, então, sua derivada parcial em relação a y é igual a 2y^{-1/3}. Logo, tem-se que f é contínua em qualquer parte, mas a sua derivada parcial não é contínua em y=0. Portanto, para que exista solução única, é necessário que o ponto (x_0, y_0), determinado pela condição inicial genérica do PVI, NÃO tenha o valor y_0=0. Existem vários outros resultados da Teoria das Equações Diferenciais que também poderiam ser aplicados para analisar mais detalhadamente as restrições e condições de existência. Foquei apenas no Teorema de Picard, mas espero ter conseguido ajudar pelo menos um pouco meu caro Marcos.
Olá! Professor! O senhor pode aplicar a teoria da existência e unicidade na EDO: y' = 3y^(2/3), y(x0) = y0?
Olá, posso sim! Vou escrever minha análise por aqui ok, espero poder ajudar.
O teorema de existência e unicidade apresentado nessa aula (no vídeo) é destinado a PVIs em que a EDO associada seja linear. No exemplo solicitado a EDO não é linear devido ao expoente 2/3 na função desconhecida y. Logo, ele não pode ser aplicado para o PVI sugerido. Nesse caso, pode-se utilizar o Teorema de Existência e Unicidade de Picard, que afirma que (aqui escrevo de forma bem resumida) para o PVI y'=f(t,y), y(x_0)=y_0, existirá solução única desde que a função f(t,y) e sua derivada parcial em relação a y sejam contínuas em uma mesma região do plano ty que contenha o ponto (x_0, y_0).
Então, observe que para o PVI apresentado a função f(t,y) é dada por f(t,y)=3y^{2/3} e que, então, sua derivada parcial em relação a y é igual a 2y^{-1/3}. Logo, tem-se que f é contínua em qualquer parte, mas a sua derivada parcial não é contínua em y=0. Portanto, para que exista solução única, é necessário que o ponto (x_0, y_0), determinado pela condição inicial genérica do PVI, NÃO tenha o valor y_0=0.
Existem vários outros resultados da Teoria das Equações Diferenciais que também poderiam ser aplicados para analisar mais detalhadamente as restrições e condições de existência. Foquei apenas no Teorema de Picard, mas espero ter conseguido ajudar pelo menos um pouco meu caro Marcos.
@@josesergiomatsolve Muito obrigado mesmo. Sua análise vai me ajudar muito a entender esse assunto. Atenciosamente, MARCOS CESAR.