8:08-nál azon gondolkoztam, azért sem külön művelet a nyújtás, mert pl. a 2-vel szorzás ugyanaz, mintha saját magával adtam volna össze a mátrixot. Lehet úgy értelmezni ezt a mátrix nyújtást, mint összeadást?
Jó gondolat: ha csak természetes számokkal dolgoznánk, akkor igen, lehetne. A gond az, hogy tetszőleges valós számaink vannak, és így már nem. A helyzet ugyanaz, mint a hatványozásnál: általános iskolában azt tanuljuk, hogy a hatványozás önmagával való szorzást jelent, pl. 5^3=5-ször 5-ször 5. Na igen, csak amikor bejön a 0, negatív, vagy tört kitevők, már kicsit trükkösebb a dolog, de még azokat is megoldjuk. Viszont amikor azt mondjuk, tetszőleges valós (nem racionális) kitevőt megengedünk, megáll a tudomány: mi a fene mondjuk 2 a pi-ediken? (Nyilván pi-szer nem szorozhatjuk össze önmagával, az hülyeség, és "gyökösen" se tudjuk értelmezni.) Valami teljesen új definíció kell, ami működik minden valós számra, és az ismert dolgokra visszaadja az elemi definíciókat. Ez után a kitérő után vissza a példához: ha csak pozitív egész számokkal nyújtanánk, mondhatnánk, hogy a nyújtás csak ismételt összeadást jelent. (Még a nullával nyújtás is világos, mit jelent.) Ha már bejönnek a negatív számok, még akkor is mondhatjuk, hogy értelmezzük egy mátrix ellentettjét (-1-szeresét), és akkor a megfelelő számban összeadjuk önmagával. De itt már racionális nyújtófaktorok esetén se tudjuk megmenteni a helyzetet: az 1/2-del való szorzást soha nem tudjuk úgy eladni, mint összeadás, és akkor még nem beszéltünk egy e-szeresről vagy pi-szeresről.
Egyébként ez (mátrixműveletek, legalábbis összeadás és nyújtás) a vektorterek elméletének egy pici szelete (halmazok, melyek elemeit összeadni és tetszőleges valós számmal nyújtani lehet). Van egy hasonló fogalom, a modulusok, ahol az összeadás mellett általában csak egész számokkal való nyújtást engedünk meg, ott tényleg az a helyzet, hogy a nyújtás csak egyszerű összeadás. Minden azon múlik, milyen nyújtófaktorokat engedünk meg.
Szuper és szemléletes! Fel is iratkoztam!
8:08-nál azon gondolkoztam, azért sem külön művelet a nyújtás, mert pl. a 2-vel szorzás ugyanaz, mintha saját magával adtam volna össze a mátrixot. Lehet úgy értelmezni ezt a mátrix nyújtást, mint összeadást?
Jó gondolat: ha csak természetes számokkal dolgoznánk, akkor igen, lehetne. A gond az, hogy tetszőleges valós számaink vannak, és így már nem.
A helyzet ugyanaz, mint a hatványozásnál: általános iskolában azt tanuljuk, hogy a hatványozás önmagával való szorzást jelent, pl. 5^3=5-ször 5-ször 5. Na igen, csak amikor bejön a 0, negatív, vagy tört kitevők, már kicsit trükkösebb a dolog, de még azokat is megoldjuk. Viszont amikor azt mondjuk, tetszőleges valós (nem racionális) kitevőt megengedünk, megáll a tudomány: mi a fene mondjuk 2 a pi-ediken? (Nyilván pi-szer nem szorozhatjuk össze önmagával, az hülyeség, és "gyökösen" se tudjuk értelmezni.) Valami teljesen új definíció kell, ami működik minden valós számra, és az ismert dolgokra visszaadja az elemi definíciókat.
Ez után a kitérő után vissza a példához: ha csak pozitív egész számokkal nyújtanánk, mondhatnánk, hogy a nyújtás csak ismételt összeadást jelent. (Még a nullával nyújtás is világos, mit jelent.) Ha már bejönnek a negatív számok, még akkor is mondhatjuk, hogy értelmezzük egy mátrix ellentettjét (-1-szeresét), és akkor a megfelelő számban összeadjuk önmagával. De itt már racionális nyújtófaktorok esetén se tudjuk megmenteni a helyzetet: az 1/2-del való szorzást soha nem tudjuk úgy eladni, mint összeadás, és akkor még nem beszéltünk egy e-szeresről vagy pi-szeresről.
Egyébként ez (mátrixműveletek, legalábbis összeadás és nyújtás) a vektorterek elméletének egy pici szelete (halmazok, melyek elemeit összeadni és tetszőleges valós számmal nyújtani lehet). Van egy hasonló fogalom, a modulusok, ahol az összeadás mellett általában csak egész számokkal való nyújtást engedünk meg, ott tényleg az a helyzet, hogy a nyújtás csak egyszerű összeadás. Minden azon múlik, milyen nyújtófaktorokat engedünk meg.