Lêe j'ai découvert ta chaine de mathématique durant mes année de 3eme et je n'y comprenais pas grand chose mais j'ai tout de même tout regarder et tout apprécier car cela me plaisait bien que je n'était pas très bon . Maintenant je suis en prépa deuxieme année en partie grâce à toi et peu enfin comprendre au mieux la beauté des mathematique . Merci
Donc, le jour où j'aurai -1/12 euros sur mon compte, je dis à mon banquier de pas s'inquiéter. S'il me croit pas, je lui dit d'intégrer la fonction zêta ;-)
Notre interprétation de la super sommation linéaires de n'importe quelle valeur jusqu'à l'infini ne peut être approché de cette manière . Donc -1/12 euros ne signifie pas que ton compte bancaire tend vers +∞ euros (car ce n'est pas vrai et impossible) car cette équation est vraie dans le domaine graphique' Je ne sais pas si j'ai bien souligné la subtilité ...
@@shahinhedayat8425 Tout cela reste très subtil en effet, mais comme je ne suis pas matheux je pouvais me permettre cette petite blague foireuse. Ps : mon compte est créditeur :-)
@@LouisErwin En vrai cette blague n'est pas si foireuse que cela , car les mathématiciens pensait également que cette somme sera infini . Mais non ! , cela peut sembler fou mais c'est vrai , la beauté des mathématiques , c'est cette domaine des mathématiques qui peuvent expliquer la mécanique quantique et les trous noirs , tout ce qui est reliée a l'infini.
La bonne blague de matheux. Je me suis senti un peu seul quand je l'ai sorti en soirée mais bon ça a lancé un débat sur les sommes infinies dans un milieu littéraire. ça valait tout l'or du monde merci pour la blague :D
Que du bonheur ces vidéos ! En plus ça nous donne une semaine de boulot pour les revoir et les comprendre. Tu devrais, si je puis me permettre, nous faire une série sur le grand théorème de Fermat, l'histoire d'Andrew Wiles, les formes modulaires et la conjecture associée.
The golden rules to be adhered to when dealing with divergent series are: 1) Do not use brackets 2) Do not remove any zero 3) Do not shuffle around more than a finite number of terms
He is not doing any of theses, don't just go on every video that talks about that to say no sens ahah He say at the start of the video that everyone who does that is wrong
@@Edward23409 Not really. His others comments (yes, i read them all too) are just pointing out the formulae of these series in respect with the shift rule.
@@Edward23409 If you are interested to learn more about divergent series and want to understand why and how 1+2+3+4+5+6+... = -1/12, I recommend the online course “Introduction to Divergent Series of Integers” on the Thinkific online learning platform.
Dans les théories qui acceptent l'association d'une valeur à une série divergente, l'addition infinie telle que tu l'as écrite n'est plus associative, par conséquent, 1+(1+1)+(1+1+1)+(1+1+1+1)+...=1+1+1+1+1+... est faux. De plus, si l'on admettait que l'addition était associative sur ces séries, on pourrait attribuer n'importe quelle valeur à n'importe quelle série (je crois que quelqu'un l'a prouvé).
Ça pose qd mm un autre problème cette addition à gauche de l'égalité , si la supersommation finale de 1 ( dernière parenthèse avec points pas mise ici ) est invalide l'infini lui-même est inconsistant donc l'égalité ne trouve pas de solution , donc -1/12 non-plus .
Pour la première explication, il y a quand même quelque chose qu'on oublie. Certes, le -1/12 apparaît. Mais quid du 1/x^2 juste devant, qui quand x tend vers 0, tend vers + l'infini ? La somme nous donne donc un infini positif et non le -1/12 non ?
En revenant sur le paradoxe de 1 = 0,99... ne peut-on pas citer un théorème du style : "2 nombres sont égaux si l'on ne peut pas intercaler 1 nombre entre eux" ? Merci pour ces vidéos
Pour moi il y a une erreur dans la preuve de début de vidéo. Quand tu dis -2S = -2 -4 -6 -8 -10... S = 1 +2 +3 +4 +5... Tu écris en fait -2S = 0 -2 -4 -6 -8 -10... S = 0 +0 +1 +2 +3... J'ai bien étudié les sommes infinies et pour moi l'une caractéristiques principales à absolument respecter est l'ordre de calcul. Donc S-2S-S = (1-2+1)+(2-4+2)+(3-6+3)... = 0 + 0 + 0 + 0 + 0... = 0 Je suis entièrement d'accord sur le fait que les vidéo que l'on voit souvent sur les sommes infinies sont très fausse, mais la démonstration de début de vidéo l'est tout autant pour moi. C'est juste que de notre point de vue, l'infini semble très instable, c'est pourquoi la moindre erreur peut nous amener à faire n'importe quoi, sans même s'en rendre compte car c'est un domaine qui va au-delà de notre perception.
Mais en fait c'est justement cet argument qui est utilisé. Comme, en faisant ça on trouve n'importe quoi, c'est que la démonstration est fausse. C'est un raisonnement par l'absurde. Lesdites démonstration de Micmaths et Science Étonnante utilisaient ce principe à tort et à travers. C'est pour ça que ce mathématicien l'a utilisé à son tour pour faire ce qu'il voulait.
D'ailleurs je ne suis pas sûr que cette règle tienne réellement, puisque je pense que 0 + 0 + S = S, donc 0 + 0 + 1 + 2 + 3... = 1 + 2 + 3... Pareil pour -2S : 0 -2S = -2S. Donc on peut quand même faire nos sommes sans faire d'entorse à cette règle, et faire (à la place de faire S-2S+S) : S + (0-2S) + (0+0+S) Selon moi, cette règle laisse cette façon de sommer inconsistante.
@@bobing1752 Honnêtement je ne suis pas du tout en mesure de te répondre quelque chose de concret. Mais c'est normal, c'est un sujet qui nous dépasse tous les deux. Mais mon intuition me dit que les résultats de ces sommes infinies n'est pas un simple nombre d'arithmétique comme on a l'habitude de les voir. Pour moi c'est comme si le résultat était un nombre en deux dimensions. Il s'agit d'un nombre qui évolue en fonction d'une variable. Le résultat de ces sommes ne nous montre donc pas un nombre mais une direction. On peut comparer ça à un jeu de fléchettes. La trajectoire de la flèche étant la suite et son point d'impact la valeur de la somme infinie. Si on retire un zéro c'est comme si on effectue exactement le même lancée mais décalé de un mètre par rapport à la cible. Voilà, je suis désolé, je ne me suis pas assez intéressé au sujet pour être en mesure de sortir des exemples concrets, je suis donc contraint de me rabattre sur des métaphores, mais j'espère que ça t'aidera à voir ma vision des choses même si je doute fort que ça suffise pour changer une opinion.
@@RubiCrash En fait, dans les hypothèses qu'il utilise pour l'opération, il y a le fait que la somme soit invariante par décalage (insertion ou retrait de 0): c'est la propriété de stabilité. Donc si on suppose que l'opérateur est stable, cela signifie qu'on peut décaler en insérant (ou retirant des 0) et la somme de chaque suite est définie, et elles sont égales. Son raisonnement est donc correct. Si une telle opération existe (sous-entendu possède toutes ces propriétés), alors il y a absurdité.
Donc si j'ai bien compris la somme des entiers c'est l'infini - 1/12 ? Sinon un truc sympa que je viens de découvrir : vu que la somme des n premiers entiers naturels est n(n+1)/2, je me suis amusé à plotter x(x+1)/2 sur Wolfram, et il me donne que l'intégrale entre les deux racines (-1 et 0) est -1/12
Il était une fois, un groupe de français qui n'avaient toujours vécu qu'à Paris. Ils n'avaient strictement rien vu d'autre. Un beau jour, leur vint l'idée de formaliser ce que pourrait être un humain. Ils regardèrent donc les humains directement à leur portée, et listèrent différentes propriétés pour essayer de les caractériser. Vu qu'ils avaient des exemples vivants sous les yeux d'humains satisfaisants toutes ces propriétés, il étaient clair que leurs propriétés caractérisaient bien les humains de Paris. Ce qui signifiait dans leurs têtes, les humains tout court (n'ayant rien vu d'autre). L'une de ces propriétés était "Un humain aime nécessairement le fromage". Tous les humains de Paris la satisfaisaient. Mais un scientifique clairvoyant se dit que cette propriété ne semblait pas nécessairement attachée à la notion intrinsèque d'humain même, et que le choix de cette propriété de caractérisation d'un humain paraissait arbitraire. Il essaya donc une nouvelle liste de propriétés en ôtant cette propriété ("aimer le fromage"). Il déroula les implications, et constata avec surprise que rien dans ses calculs ne s'opposait à l'existence de tels "objets" (des humains n'aimant pas le fromage donc). Cependant, les parisiens choqués, clamèrent haut et fort que c'était "absurde", qu'on avait jamais vu "quelqu'un ne pas aimer le fromage", et "que ces gens ne pouvaient pas exister". On entendait aussi "que ce ne pouvait pas vraiment être des humains". On proposa alors l'idée de mettre le scientifique au bûcher. Pour sauver sa vie, celui-ci dû s'enfuir de sa ville natale pour s'établir ailleurs. Du temps passa, et notre scientifique rencontra finalement dans des contrées lointaines, des humains qui n'aimaient pas le fromage. Il avait donc trouvé un exemple d'objets existants, satisfaisants les propriétés qu'il avait posé. Il revint dans sa ville, et les présenta aux parisiens. Le scepticisme était palpable. On les regarda bien fixement. Puis après plusieurs jours d'observations, ceux-ci durent finalement se rendre à l'évidence: il existait bel et bien de véritables humains qui n'aimaient pas le fromage. Bien que cette propriété leur eut paru intuitive et naturelle, les faits semblaient montrer que leur intuition (probablement conditionnée par leur environnement) s'était trompée. Il paraissait désormais très déraisonnable de redéfinir la notion d'humain, pour en exclure ceux qui n'aimaient pas le fromage. Parce qu'en eux, tout fonctionnaient quasiment comme les humains dont ils avaient l'habitude. Le temps passa, et on accepta finalement l'idée que ces individus étaient bien des humains. Ceux-ci s'installèrent et finirent par s'établir à Paris. Avec encore plus de temps, il se trouva même que ces humains apportèrent une contribution citoyenne importante (de part leur travaux, connaissances et savoirs-faire, ...) à cette nouvelle, et plus riche, belle ville de Paris.
Bonjour Lê, j'ai une question qui concerne le contre exemple S - 2S + S = 1 : en effet quand on écrit ce calcul ( je note Q=S-2S+S), Q est une série divergente et pour obtenir 1, on se permet, si j'ai bien compris, de regrouper certain termes de Q en les déplaçant pour obtenir des "paquets" qui au final seront tous nul. Mais j'ai un problème avec ce procédé, bien que l'addition soit commutative, c'est un procédé que l'on ne peux pas faire pour toutes les séries convergentes, pourquoi aurait-on le droit de le faire pour des séries divergentes ? Pour illustrer mon argument je prend la série harmonique alterné : HA=1-1/2+1/3-1/4+... Cette série converge vers Ln(2) (Pour le voir on utilise la formule de Taylor Lagrange pour Ln(2) ) Mais en revanche, si on change l'ordre des termes, en prenant un terme positif suivi de deux termes négatifs pris dans l'ordre on obtient : HA=(1-1/2)-1/4+(1/3-1/6)-1/8+(1/5-1/10).... HA=1/2-1/4+1/6-1/8+1/10..... HA=1/2 * HA=1/2*ln(2) Ce qui est absurde car 1/2*ln(2) est bien sur différent de ln(2), donc je n'ai pas le droit de changer l'ordre des termes dans cette série. Alors ici je le montre sur un contre exemple ce n'est peut être pas le cas tout le temps, néanmoins je pense qu'il y a quelque chose à dire quand on fait ce genre de manipulation ? Merci en tout cas pour tes vidéos :)
Dans le formalisme classique des séries numériques cette série diverge en alternant les valeurs positives et négatives, on ne peut même pas dire que ça tend vers plus ou moins l'infini. :)
@@neloka4313 faux on ne peut pas passer des somme de suite en passant par des itteration car on n'aditionne pas des suite par homeomorhisme cette suite tend clairement vers l'infini positif (je parle de la suite de la video)
2:41 Bim ! Bim ! Bim ! Bim !!!!! J'aurais pas aimé... Pour le 1+1+1+1+1+..., je pensais que l'on devait s'interdire de mettre des parenthèses dans des sommes infinis (on perd l'associativité) : 1+1+1+1+1+... = 1+(1+1)+(1+1+1)+(1+1+1+1)+... = 1+2+3+4+5+... Or la première est égal à -1/2 et l'autre à -1/12. En faîte, 1+1+1+1+1+... peut remplacer n'importe quelle somme infini en addition continue, si on accepte l'associativité, car n'importe quelle nombre entier peut être décomposé en somme de 1. Du coup à 13:42 , je pense que l'on a une contradiction à cause du faîte que l'on a appliqué l'associativité à cette super somme. Je n'ai pas d'arguments mathématiques qui tienne bien la route, mais je pense qu'il est mieux de ne pas utiliser l'associativité dans cette super somme ou dans d'autre somme du même style si on arrive à une contradiction à la fin. En tous cas, j'ai adoré cette vidéo ! J'en apprends de plus en plus, et je peux surtout avoir un meilleur esprit critique sur certaines chose. Continue comme ça, et un jour tu auras 44 444 abonnés ! Ou 444 444, même si je trouve que c'est un peu gros pour l'instant, je ne me doute pas que tu vas y arriver ! PS : Est-ce que je peux te tutoyer ou ça te dérange ?
Je ne suis pas sûr qu'il avait en tête l'associativité quand il a écrit sa preuve à 13:42. Il me semble qu'il a juste sauté une étape intermédiaire entre la première et la deuxième ligne, qui est : x = (1+0+0+0+...) + (0+1+1+1+...) Et là, pas d'associativité, on passe bien de la première ligne à l'étape intermédiaire par linéarité, et de l'étape intermédiaire à la deuxième ligne par régularité et stabilité.
Mais une différence de suites de ce genre peut avoir différents résultats : x=1+2+3+4... 2(1+2+3+4...)=2+4+6+8... Donc 1+2+3+4...-(2+4+6+8...) peut être égal à 1+0+1+2+3...=2+2+3+4... ce qui est 1+x et cela veut dire que x-2x=1+x ce qui n'a aucun sens
Ah, ça risque d'être trop avancé en effet :D En gros il y caractérise exactement les séries auxquelles tu peux donner une somme unique. Le début est peut-être regardable, remarque, je crois qu'il fait des calculs de ton genre pour montrer qu'on peut pas donner un sens à la série des entiers naturels
la forme +infini-infini est une forme indefini et le fait de sommer deux series divergentes de la façon dont il a été expliquer sur la vidéo est incorrecte...et c'est normale q'on trouve des absurdités.
@@enfienz9458serieeuuux? c pas vrai ça! c une forme indéterminée. linfini n'est pas un NOMBRE PARTICULIER. c pas comme quand tu dis trois ou un ou moins un ou..etc. l'infini represente n'importe quel nombre très très grand (cest ce que je pense), mais pas un nbre en particulier.
bjr, je suis très loin d'être un mathématicien mais je trouve cette idée de l'inf=-1/12 très belle et son résultat 0,083333 me fait penser a une valeur approx de la taille du neutron il me semble 0.84 femtom . -1/12 serait-il la clef du passage entre le point mathématique sans dimension à une de ses concrétisations dans notre univers a 3 dim? cela me fait penser a une video de Micmaths sur les fractales ou il calcul et compare la longueur d'une ligne brisée qui tend vers une surface, "un passage entre deux dimensions"...
tout ce qui existe résulte de l'agencement de ces 12 particules ou de leurs antiparticules : les fermions forment la matière ....tiens pourquoi 12??? nannn ce serait trop simple!!?
Sum of series of 2-gonal numbers (i.e. natural numbers) = -1/12 (= Riemann zeta function at -1) Sum of series of 3-gonal numbers (i.e. triangular numbers) = -1/24 Sum of series of 4-gonal numbers (i.e. square numbers) = 0 (= trivial zero of Riemann zeta function at -2) Sum of series of 5-gonal numbers (i.e. pentagonal numbers) = +1/24 Sum of series of 6-gonal numbers (i.e. hexagonal numbers) = +1/12 etc.
Salut, j'ai pas encore vu les intégrales, mais en déduisant dans ta vidéo, ce serait l'aire de la fonction en x tend vers l'infini f(x)>0 ? (Comme tu le dis, la somme de l'histogramme de la fonction (en chaque naturel?) fois les dérivées aux sommets fois la marge d'erreur) ? Ça a l'air passionnant !
2 choses : - il semble que la démonstration en passant par des exponentielles donne à la fin un terme (1/x^2) qui tend vers l'infini quand x tend vers 0...on est loin donc de trouver "-1/12" (quand bien même ce nombre apparaisse aussi dans la formule) - et finalement, dire que 1+2+3+.... = -1/12 n'est pas moins absurde que d'affirmer 1= 0
La supersomme c'est l'opération qui à la série (avec des exponentielles ou n'importe quelle autre fonction "lisse") associe le terme constant du développement asymptotique (et non la limite, puisqu'elle n'existe pas...). Donc si, *la* réponse est bien -1/12. Voir: terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/ Et donc du coup si, c'est beaucoup beaucoup moins absurde qu'affirmer que 1 = 0...
Salut Pour ce qui est du problème des maisons : On pose c : le numéro de la maison pour laquelle la somme des numéros de maisons à gauche est égale à la somme des numéros de maisons a droite Et m le nombre de maisons maximum En utilisant la somme des suites arithmétiques on trouve que : Somme des maisons à gauche (de 1 à c-1) : ((c-1)-1+1)(c)/2 = c(c-1)/2 Somme des maisons à gauche (de c+1 à m) : (m-(c+1)+1)(m+c+1)/2 = (m-c)(m+c+1)/2 c(c-1)/2 = (m-c)(m+c+1)/2 c(c-1) = (m-c)(m+c+1) c²-c = m²+mc+m-mc-c²-c Donc : 2c² = m²+m c = sqrt((m²+m)/2) Il faut alors que m²+m/2 soit un carré, on cherche avec un traceur et on trouve : m=8 et c=6 : (1+2+3+4+5 = 7+8), et m=49 et c=35 : (1+2+...+34 = 36+...+49), et m=288 et c=204 : (1+2+...+203 = 205+...+288) voila :) PS : Ramanujan est mort en 1920
j'ai de vague notion de mathematique mais j'ai l'impression que dans le cas de cette somme infini, si on considere les chiffres comme des frequences qui se superposent, cette valeur de -1/12 a quelque chose a voir avec les harmoniques. un peu comme pour les probabilités infini, tu peux lancer 100 fois une piece a pile ou face, la probabilité pour que ca tombe 100 fois sur pile est moins grande qu'une combinaison aleatoire, comme si le hasard ou l'infini tend vers une valeur.
Les opérations sur les nombres transfinis nous offrent beaucoup de surprises. Sujet à considérer avec entre-autres l'Hotel infini de Hilbert, le paradoxe de Banach-Tarski etc...
Et pourquoi ne pourrait-on pas tout simplement remplacer dans ce cas dans les équations l'infini par -1/12 et voir ce que ca fait? (Je sais mon esprit est simplet mais pourquoi pas?)
Je ne comprends pas la régularisation par lexponentielle. Il manque le premier terme en 0 pour obtenir le résultat de la convergence de la série géométrique. Non ?
Merci pour cette vidéo ! C'est l'une des rares choses qui m'aident à trouver le sommeil... C'est un travail démesuré que de rendre toutes ces connaissances accessibles à tous et j'admire la clarté du résultat... Au plaisir de découvrir tes prochaines vidéos 😊
Bonjour La démonstration de ton Remy Paire concernant l'égalité 1=0 n'est pas à la hauteur de la démonstration faites dans Micmath à propos de la somme des entiers n =- 1/12. Les rang de la sommes S-2S+S ne sont pas respectés et sont organisés de telle sorte que l'on arrive à cette absurdité. La question est qu'est ce qui est faut dans la démonstration de Micmath ? Et en deux pourquoi es tu si médisant à ce sujet ?
12:20 et 12:35 Cette fois je ne vais pas dire que c'est faux car ces notions me dépassent, mais suis-je le seul qui trouve que oublier la petite différence dans son intégrale et supprimer l'infinie est une erreur dans sa formule !?
Apres avoir vus cette épisode je me pose la question suivante : esque tout les infinie ce valle ? 1+1+1+1+1+......=-1/2 1+2+3+....=-1/12 mais si j’écris cette somme sous forme 1+(1+1)+(1+1+1)+..... =- 1/2 ou -1/12 donc d’après cela les ces somme infini ne ce valerais pas ?
Les sommes infinies divergentes ne sont pas "associatives". Ça veut dire que t'as pas le droit de mettre des parenthèse en plein milieu. Sinon, on aurait (1-1)+(1-1)+... = 1+(-1+1)+(-1+1)+..., et du coup 0 = 1.
Les nouveaux vulgarisateurs arrivent à rendre les sciences sucrées, qu'on en à toujours soif ;) Par contre, petite question : T'aurai des livres de références à conseiller pour qqn qui veut apprendre plus de maths ? Genre partir d'un niveau L1 à un niveau L3 ou plus si t'as vraiment un excellent bouquin, je sais que les maths c'est un univers vraiment vaste, mais je demande toujours pour ne pas passer à côté d'une perle ^^ (les viewers n'hésitez pas à répondre ! )
Perso, je lis beaucoup de livres de cours qui sont accessibles en ligne. Je lis davantage en anglais toutefois, où les bonnes ressources sont plus faciles à trouver. Au niveau vulgarisation math avec des trucs assez poussés, il y a : - "Amour et maths" d'Edward Frenkel, qui parle un peu du programme de Langland mais pas mal d'autobiographie (il était juif en URSS antisémite) - "L'univers élégant" de Brian Greene (théorie des cordes) - "Fearless Symmetry: Exposing the Hidden Patterns of Numbers" d'Avner Ash et Robert Gross (théorie des nombres, Fermat, Galois, un peu Langland, probablement plus L3 que L1) - "Chaos" de James Gleick (théorie du chaos) Dans le genre plus historique / biographique, il y a : - "Logicomix" (BD sur l'Histoire de la logique au début du 20ème) - Men of Mathematics (biographies des plus grands mathématiciens de l'Histoire) - A Beautiful Mind (biographie de John Nash) Je suis tout excité d'avoir récemment découvert le livre en trois volumes "Mathematical Thought: From Ancient to Modern Times" de Morris Kline. Y a plus de 1000 pages d'explorations des grandes idées. Et je suis aussi en train d'écouter "Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World" qui est intéressant pour l'aspect historique (et qu'il va me falloir finir vite car l'épisode Science4All sur les infinitésimaux approche dangereusement...) Les autres, des suggestions de livres ? Ça m'intéresse beaucoup :P
vous connaissez "Principia Mathematica" de Whitehead et Russell ? bon ce livre est plus pour les docteurs en mathématiques car cela requiert énormément de niveau
J'ai pas compris un truc : quand on obtient le DL en 0 (dans la bonne raison n°1), pourquoi tu dis que ça tend vers -1/12 ? Si x tend vers 0, peu importe la constante du dl, l'expression tend vers + l'infini non ?
J'ai pas compris grand-chose (ce qui est sans doute normal, je suis en début de 3e, mon niveau est assez basique). Mais ce que je pense comprendre est que quel que soit le raisonnement qu'on adopte pour le démontrer, 1+2+3+4+... est égal à -1/12, c'est ça ? J'espère une réponse, s,il vous plaît ... ^^ Enfin, bien que je ne comprenne pas tout, je tâcherai de me renseigner sur le vocabulaire utilisé qui me laisse perplexe, et mon point de vue actuel me laisse dire que cette vidéo est VRAIMENT BIEN.
C'est à peu près ça. En gros, on a essayé plusieurs approches (pas toutes les approches possibles, mais plusieurs). À chaque fois, on tombe sur -1/12...
Parce qu'on peut uniquement ensuite ajouter les termes colonne par colonne. Je te renvoie à l'épisode 4 pour en savoir plus : ua-cam.com/video/Ap10Gb2_wcc/v-deo.html
j'arrive peut-être un peu tard, j'ai juste un Bac S donc je ne me prétend pas du tout fort en maths. Mais je me pose une question à propos du début de la video vers 3 min. La suite S tend vers +infini. Et faire +infini -infini c'est pas une forme indeterminée ?
En effet, mais le raisonnement reste bon, et on peut le voir de 2 manières : - soit on indexe la somme pour n allant de 0 à infini au début (en rajoutant un terme qui vaut 0). - soit on garde l'indexation de la vidéo, et on obtient (e^-x)/(1-e^-x), mais qui va donner le même résultat que le sien quand on dérive.
En physique aussi, la régularisation est l'approche "moderne". L'infini qui apparaît dans la somme de Casimir est un problème plus général dans la théorie quantique de l'électromagnétisme. Cette théorie est ce que l'on appelle une théorie des champs quantique, et pour n'importe quelle observable physique, ce type de théorie donne des résultats infinis (en général, ce sont plutôt des intégrales divergentes que des sommes divergentes). Ce que font les physiciens, c'est d'abord de régulariser les calculs pour éviter les infinis. Il y a de nombreuses méthodes, la plus populaire étant sans doute de faire les calculs en dimension 4+epsilon au lieu des 4 dimensions d'espace-temps, puis de faire tendre epsilon vers 0. Ensuite, on pousse les termes divergents sous le tapis, et le premier terme fini est la réponse! Pour que ceci soit valide, il faut bien entendu s'assurer que le résultat ne dépende pas de la régularisation choisie. Donc l'analye de Lê est très pertinente pour la physique moderne aussi.
mais 1/x^2 -1/12 quand x tend vers 0 ca tend vers l'infini car 1/x^2 tend vers l'infini et 0(1) tend vers 0 quand x tend vers 0. Pourrais tu m'expliquer si je fais une erreur
2:37 Je ne comprends pas pourquoi les séries sont décalées les unes par rapport aux autres. Soit S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 Alors -2S =-2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 et S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 S-2S+S = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 donc tout va bien, et je pense qu'on ne peux pas se permettre des décalages randomisés.
Elles sont décalées les unes par rapport aux autres par qu'on rajoute un 0 au début de -2S et deux 0 au début du deuxième S. Après tout, -2S = 0 - 2S et S=0+0+S.
@@DanielBWilliams je ne trouve pas ça juste de procéder ainsi. Ce nest pas une addition "classique ". D'après moi les paramètres qui comptent sont d'où part l'addition et sa manière d'évoluer. Alors que dans une addition "classique" les paramètres qui comptent sont les nombres eux même..
Concernant cette suite j'ai remarqué une possible explication du -1/12: Cette valeur (semble) correspondre à la différence moyenne entre la somme des entiers et la somme des réels. En prenant la fonction reliant la somme des entiers (en abscisse: 0,1,2,3,4,5... et en ordonnée 0,1,3,6,10,...) et en faisant la même chose avec la #somme# des réels (en utilisant la formule de Gauss 'g(n)=n.(n+1)/2' pour des valeurs réelles) -->on aura par exemple en abscisse pour x=1.5, g(1.5)=1.5 x (1.5+1)/2=1.875. Tandis que pour la #courbes# des entiers, on aura en x=1.5 en interpolant linéairement entre g(1)=1 et g(2)=3 une valeur de g(1.5)=2. Soit une différence de 0.125 en x=1.5 (il s'agit (je pense) du maximum de différence). La différence étant nulle pour tout x entier. Je ne sais bien sur pas prouver cette valeur, mais j'ai fait une simulation informatique et il semble que la valeur converge vers 0.83333... lorsque l'on prend suffisamment d'intervalles entre deux entiers (et la valeur est quel que soit les deux entiers) Il me semble que cette explication pourrait également convenir pour la suite 1-1+1-1+.... et probablement d'autres...? Ça expliquerait aussi par exemple que l'ajout de termes dans une suite divergentes modifient sa valeur...
après réflexion il n'est pas nécessaire d'utiliser les nombres réel: Si on pose g(n)=n(n+1)/2 alors somme(pour n=0-->A) de (g(n)-n.g(A)/A) /n tend vers -1/12 quand A tend vers l'infini
pituit LeChat , hello! Les interprétations, graphiques par exemple, sont une saine "hygiène" mathématiques je trouve. Pourrais tu détailler le calcul? Je n'aboutis pas lorsque je fais le calcul... sinon sur quoi la différence est-elle moyennée dans le calcul proposé? car l'indice n varie dans la sommation donc cela fait comme une moyenne pondérée? bye bye, Nino.
L'explication que j'avais donnée ne fonctionne malheureusement que pour la somme des entiers (pas pour les autres sommes de puissance positives). Cette remarque était du au fait que en posant f(x)=x(x+1)/2 et d(x)=(f(b)/b)x (équation d'une droite passant par (0,0) et (b,(f(b)) Alors l'intégrale de 0 à b de f(x)-d(x)=-1/12b³ Par contre, pour toutes les sommes de puissances 'p' positive, en posant f(x)= fonction analytique donné par la formule de Faulhaber (x(x+1)/2 pour p =1; x³/3+x²/2+x/6 pour p=2....) on peut montrer que l'intégrale de f(x) entre -1 à 0 = zeta(-p) Egalement par "décalage de f(x)", l’intégrale de f(x-a) entre a-1 et a = zeta(-p) (avec par exemple si a = 1: f(x-1)=f(x)-x^p et Intégrale (f(x)-x^p)) de 0 à 1 =zeta(-p) Et avec tout ca on remarque que lorsque zeta s'annule (pour les f(x) impair (soit les p pair)) c'est parce que la surface de -1 à -1/2 est égale mais de signe opposée à celle entre -1/2 et 0. En d'autres termes, toutes les fonctions f(x) pour les puissance pair >0 s'annulent en x=-1/2... Hum, hum,... y aurait-il un lien avec la partie réel des zero de la fonction zeta?
La fonction analytique correspondant à la somme des entiers est f(x)=x^2/2 + x/2 (plus souvent exprimé sous la forme x(x+1)/2. 1) Le calcul de la surface entre -1 et 0 de cette fonction est égale à -1/12. Cette relation correspond à zeta(-p) pour f(x) = fonction analytique correspondant à la sommes des autres puissances 'p' d'entiers (cf. formule de Faulhaber (fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Faulhaber) que l'on 'intègre' de -1 à 0) 2) Le calcul de la surface entre 0 et 1 de f(x)-x est égale à -1/12 (cette relation est aussi valable pour pour les autres puissance p en prenant f(x)-x^p) 3) plus généralement, le calcul entre (a-1) et a de f(x-a) = -1/12 (cette valeur est aussi valable pour les autres puissances p) 4) pour la somme des entiers uniquement la surface entre 0 et b>0 = -b^3 /12 =zeta(-1) x b^3 (cette relation correspond à l'erreur commise dans l'intégrale de f(x) entre 0 et b en utilisant la formule des trapèzes (fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_des_trap%C3%A8zes)
Je suis un blaireau en math, mais je me demande une chose. La somme des entiers positifs ne correspond t'il pas graphiquement à l'équation y=x+1 ? Si c'est le cas, vous pensez vraiment que ce type de courbe peut chuter brutalement à -1/12. Si oui à quel valeur de x peut on observer cette chute ? x=+ infini ? Ce n'est que ma croyance, mais dès qu'on touche aux séries infinies, je crois que nos math s'avèrent buguées.
Si mon organisme avait + infini de cellules et que le volume de l'univers était égal à +infini, dans quel espace pourriez vous vous trouver ? LOL, ce genre de math c'est mort.
Bonjour, Si nous oublions le concept de la droite reelle, c'est a dire si nous changeons de point de vue: Considerons le ''Cercle Reel'' PLus explicitement considerons que les nombres reels sont des points d'un cercle de rayons gamma par exemple avec gamma infiniment grand mais plus petit que l'infini. Nous comprenons alors que l'infini est tres proche de 0 pour ne pas dire qu'il est egal a zero. Ainsi il devient tres aise de comprendre que plus on additione des nombres de plus en plus grand oubien que plus on se rapproche de l'infini,PLUS ON SE RAPPROCHE DE ZERO , MAIS DE ZERO A GAUCHE. CAR D'APRES LE THEOREME D'ARCHIMEDE IL EXISTE TOUJOURS PLUS GRAND QUE SOIT. IL N'EST DONC PAS SURPRENANT DE TROUVER QUE LA SOMME DE NOMBRES DE PLUS EN PLUS GRAND SOIT EN EFFET ASSOCIABLE POUR NE PAS DIRE A UN NOMBRE NEGATIF. Sur ce, le carctere absurde d'avoir ces egalites fausses _somme des entiers egale -1/12 , somme des 2 puissance n egale -1_ prend tout son sens.
Je suis loin d'être un spécialiste, mais je m'interroge... Si la somme des entiers naturels (notons la N) vaut -1/12 et que la somme des puissances de 2 (notée P) vaut -1, a-t-on le droit d'en déduire que P = 12*N ? Ou encore que N - P = 11/12 ? (intuitivement, oui, mais l'intuition est visiblement mauvaise conseillère sur ces suites) Question subsidiaire : existe-t-il un résultat aussi "mindfuck-esque" avec 0+0+0+0+... ? (on n'est plus à une surprise près ! :p)
Oui, on a bien P=12*N et N-P = 11/12, puisque N et P sont des nombres réels. On peut donc les multiplier et les ajouter. Ce qui est intéressant, c'est qu'on peut utiliser la linéairité des supersommations, qui nous dit alors que (1+1)+(2+2)+(3+4)+(4+8)+(5+16)+... = -13/12. (les parenthèses de ce calcul sont indispensables !). Enfin, pour ta question mindfuck-esque, la réponse est oui => Épisode 12 : ua-cam.com/video/WG8H5zAfxow/v-deo.html
Merci pour cette réponse ! Donc Z = 0+0+0+0+... =... n'importe quoi sauf 0, si j'ai bien compris. Si l'on reste sur l'épisode 12 et l'exemple du segment, on aurait même Z > 0. Ou peut-être seulement Z différent de 0. Du coup, sauf erreur de ma part, on peut écrire n'importe quel nombre réel (positif ?) comme n'étant qu'une somme infinie de 0. Ils seraient donc tous égaux à Z... et donc tous égaux entre eux ? (à l'exception de 0) Je ne sais plus qui voulait prouver que 1=0, mais il me semble qu'on n'en est pas très loin. Du moins, là, on aurait 1 = 2 = -378 = on jette les maths à la poubelle ! (ce serait dommage :( ) Or, comme ce n'est pas censé se produire, je présume qu'il y a une faille dans mon raisonnement. Reste à savoir laquelle... --- Sinon, super chaîne ! Je n'ai découvert qu'avant-hier, et c'est vraiment excellent !
C'est vraiment très bon... J’ai appris beaucoup grâce à toi et tu me confirme ma vision... Tu à dû croiser certain profs de Maths parlant de ‘LA MATHÉMATIQUE’… Comme toi ils ne savaient peut être même pas de quoi ils parlaient… ;) De nos jours ( au jours d’aujourd’hui ;) ) Nombreux sont ceusses qui créent… inventent de la musique… avec ou sans logiciel… Qu’ils soient plus ou moins critiqué dans les médias n’en change pas moins leurs statuts… Ils font la musique alors que la plupart ne savent ni la lire ou l’écrire… Sauf que… N’y a t’il qu’une seul manière d’écrire la musique ??????? N’y a t’il qu’une seul manière d’écrire ??? N’y à t’il qu’un seul langage ? Et sans fautes d’orthographe ou de grammaire ne peut on point écrire : « La terre est bleu comme une orange » ???? ;)
Salut tous le monde, y a des choses qui me déranges quelqu'un pourrait m'expliquer svp.. Déjà à 2:30, pour -2S et S il décale la suite, Mais même si ça va jusqu'à l'infini, cela ne devient il pas faux ? Car dans ce cas là 0= ce que l'on veut... En suite à 12:45, je ne comprends pas tous les calculs^^ mais (1/6)/(2!)*1 =1/12 et pas -1/12... non ? :/ Et à 14:48 il nous dit que puisque 2+3+4+...=-7/12 0+2+3+4+...=-13/12 Alors qu'on a que rajouté 0.. Du coup je suis un peut perdu là, merci de m'éclairer
12:45, c'est une coquille. J'ai oublié un - qui traînait. Merci de souligner l'erreur. Pour 2:30 et 14:48, je te suggérerais de (re?)voir l'épisode 4 : ua-cam.com/video/Ap10Gb2_wcc/v-deo.html Chaque opération correspond à des hypothèses très précises qu'on s'autorise ou on s'interdit de faire. Il se trouve que ce qu'il est possible de s'autoriser pour certaines sommes infinies est interdit pour d'autres...
Science4All (français) merci beaucoup, je vais regarder cette épisode, sinon bravo pour cette vidéo qui a dû te demander beaucoup de travail ! Continue
Donc si je comprends bien Remy Pair (père ?) a démontré qu'une méthode de calcul était fausse alors qu'elle conduit à un résultat qui semble correct puisque -1/12 est bien vérifié par d'autres méthodes...c'est assez déroutant.
Remy n'a pas démontré que la méthode est fausse mais que la méthode supposée avoir ces propriétés n'existe pas. Cela veut donc dire que la méthode ne satisfait pas les hypothèses supposées (si elle existe)
Une question : S-2S peut il être aussi égale à 1+3+5+7+9+... si les supersommations régulières, stables et linéaires de S sont autorisées ? Je passerais peut-être pour un idiot mais je ne suis pas très fort et je connais très peu ce domaine voir pas du tout. Merci d'avance
Si je comprends bien, tu veux écrire S-2S = 1+2+3+4+5+... - 2*(0+1+0+2+0+...) = 1+0+3+0+5+... Il faut faire super gaffe aux zéros quand on joue avec les séries divergentes. Tu vois là que tu as du utilisé l'insertion d'un nombre infini de zéros entre les termes de la somme. Cette opération n'est pas autorisée par les supersommations régulières, stables et linéaires. Ceci dit, tu peux créer une nouvelle supersommation où tu autorises cette insertion de zéros. Dr Apeiron a écrit dessus : dr-apeiron.net/doku.php/fr:vulgarisation:series-divergentes Ça marche pas super bien...
Je n'arrive vraiment pas à comprendre en quoi l'insertion d'une infinité de zéro dans une addition peut poser problème. Zéro n'est-il pas l'élément neutre de l'addition ?
Parce qu'il ne s'agit plus de l'addition au sens classique, mais d'une autre opération plus générale (qu'on appelle encore "addition", par "abus" de langage, car elle en conserve plusieurs propriétés et présente avec elle une analogie évidente). Qui dit plus général dit perte de propriétés. Et l'insertion des zéros est une propriété qui se perd. D'autant plus que la notion "d'élément neutre" n'a pas ici de sens, car une loi "+" d'un groupe se définit entre deux (ou un nombre finis d') éléments. Ici on "+" ensemble une quantité infinie de nombres (Si on considère cette opération comme une "addition"). Du coup cette opération ne se représente pas par un groupe avec sa loi.
Je réagis à la réponse aux commentaires sur la somme des puissances de 2 dans un espace à topologie 2-adique ; j'ai un peu développé sur la vidéo Hardcore 3 pourquoi j'avais un problème avec l'égalité à -1, mais ça me confirme maintenant que tout est question de rigueur et de définition. En effet, si on considère Q muni de la topologie d'espace 2-adique et de la valeur absolue 2-adique (qui, notons-le, est bien une norme), alors en effet la suite (s_n) des sommes partielles des puissances de 2 tend DANS CET ESPACE (j'insiste lourdement, là on n'est pas dans R) vers -1 selon la norme 2-adique, par simple définition de celle-ci : pour tout a un rationnel, ||a|| = 2^(-p), où p est l'exposant de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de a. En effet, pour tout entier n, la distance 2-adique entre (s_n) et -1 définie par ||s_n - (-1)|| est égale à 1 / (n + 1), ce qui tend vers 0. Ainsi, la série des puissances de 2 converge dans Q 2-adique et sa somme vaut -1. Ce qu'il faut retenir de cela, c'est qu'il est dangereux de dire des trucs du style "c'est vrai" ou "c'est faux" sans préciser dans quel contexte on se place, et même si je sais que c'est pas évident de parler de convergence ou de topologie p-adique dans une vidéo de vulgarisation, c'est encore plus risqué d'aborder des trucs qui en nécessite la compréhension.
il aurait du pas parler de ça dans cette partie de vidéo l'idéale c'était de faire une suite avec cette vidéo pour ne pas être trop lourd au début il parle lentement puis son débit à la fin augmente sans que ça n'apporte un plus ...
Comme je suis en première je n'ai effectivement pas compris les démonstrations mais j'aimerai quand même savoir que signifie o(1) que tu prononce "petit o de 1". merci d'avance et très bonne vidéo comme d'hab.
Ça veut qu'il y a une erreur qui tend vers 0 quand x tend vers 0. Plus précisément, on a (Somme régularisée(x)) = 1/x^2 -1/12 + Erreur(x), avec Erreur(x) -> 0 quand x tend vers 0. Autrement dit, on a (Somme régularisée(x)) - 1/x^2 -> -1/12.
Bonsoir, en regardant cette vidéo alors que j'ai toujours été une bille en math. je me pose une question comment un raisonnement logique fondé sur des connaissances exact dont l'exactitude n'est pas à verifier peut-il être correcte ou faux selon l'outils mathématique utilisé ??
Contrairement à ce qu'on vous martèle, les mathématiques ne sont pas tout à fait des "connaissances exactes" ;) Ou plutôt, et c'est là où je veux en venir dans cette série sur l'infini, il y a en fait "plusieurs" mathématiques, et ce qui est vrai dans certaines mathématiques ne l'est pas dans d'autres...
Je demande si on somme des chiffres négatifs ?donc le resultat doit etre 1/12? Donc seula veut dire que la somme des positifs a tendance a virer vers - donc la somme négative elle a tendance a virer vers le positif donc il y a une courbure ? Donc au final elle vont surement se rejoindre sur un point le Zero négatif
Interessant dans le mesure où l'on est amené à se poser des questions qui sortent des sentiers battus.....mais ne risque t'on pas de sortir du domaine mathématiques.....?Etant à la retraite depuis 16 ans je ne suis plus vraiment dans le coup........mais cette notation1+2+3+.....ça ne m'inspire pas trop confiance, c'est un truc à se cracher dans une demonstration En tous cas tout cela est beaucoup plus passionnant que je ne le pensais
@@DanielBWilliams Merci Certes! En tant qu'ancien matheux cette réponse me convient, en tant qu'individu lambda elle me laisse sur ma faim.....mais ne suis je pas en train de sortir du cadre mathématique....ce questionement nest il pas hors sujet? Je vous remercie en tous les cas pour toutes ces vidéos.
C'est formidable, mais je reste septique malgré les démo car c'est intriguent de trouver -1/12 idem pour les autres ps: il manque un - à 8:15 que l'on retrouve à 8:47
Il y a pas de -, ou plutôt il y en a 4 qui s'annulent, celui avant la parenthèse, celui devant e(-x) au dénominateur, celui qui apparaît en dérivant e(-x) et celui devant u' dans la formule (1/u)'=-u'/u^2
Bonjour , j'espère que vous allez bien , j'aime beaucoup vos vidéos et je ne sais pas qu'est ce qui empêche de dire que : 1+2+3+4+......+n=-1/12 soit égale à i²/12=e (i*pi)/12 ?
Selon vous (2:26 minutes) S-2S+S=1 et donc 0=1 Mais si l'on calcule d'abord S-2S on obtient S-2S= -1-2-3-4-5-6... Et donc S-2S = -S ce qui est logique Et donc S-2S+S= 0 puisque S-2S= -1-2-3-4-5-6... et que S= 1+2+3+4+5+6... Les valeurs de la somme s'annulent et donc S-2S+S=0 2S-2S=0 Ainsi 0=0 Je ne sais pas si ça invalide l'argument. Mais cela montre probablement que cette méthode de super sommation n'est pas bonne. Si je me trompe, veuillez me le signaler. Merci
Bonjour, je suis un passionné des maths mais je n'y connais plus rien pour avoir laissé le lycée depuis plus de 25 ans et j'ai fait entre temps des études de sociologie et de droit. Maintenant, je veux ouvrir une entreprise de production de chèvres 🐐 et je veux une modélisation et des applications me permettant de prévoir la progression. Comment vous pouvez m'aider? Je vous en remercie déjà.
Bah, normal ? Comme quasiment tous les concepts en maths en fait, un concept n'est a priori pas un outil, c'est simplement un objet dont on souhaite étudier les propriétés. C'est comme dire que les fonctions continues non-différentiables posent plus de problèmes qu'elles n'en résolvent. :)
Hello, en lisant les commentaires je me rends compte que beaucoup n'ont rien compris à la vidéo, c'est un peu de la faute de Science4All : Les mathématiques ne disent pas que 1+2+3+4 .. converge vers -1/12. L'écriture 1+2+3+ ..=-1/12 (R) a pour objectif de représenter une propriété de la somme 1+2+3+4 qui diverge vers +infini et la façon dont cette somme diverge vers l'infini, je vous laisse lire l'article wiki : fr.wikipedia.org/wiki/Sommation_de_Ramanujan Science4All a bien expliqué cela, mais il fallait le clarifier dès le début, un peu de suspens est bon, les mathématiques sont fabuleuses .. pas la peine d'en rajouter.
C'est incohérent, si on ajoute à l'infini des nombres positifs toujours plus grands entre eux, on est obligé de trouver un nombre positif immensément grand. Ces démonstrations tendraient à prouver que + l'infini = -1/12, or on ne peut pas quantifier l'infini, de même que l'on ne peut pas diviser un nombre par 0.
Le fait que vous trouvez incohérent s'appuie sur une règle algébrique qui n'est pas vérifiée par cette addition: la positivité. Votre raisonnement n'est vrai que pour les operations (la limite des sommes partielles en fait partie) qui la vérifie. Et ce n'est pas le cas de ce dont on parle ici.
@@fredyfredo2724 Tu n'as pas compris ce que j'ai dit (je n'ai jamais contredit le fait qu'il y avait un moins ici 🤦♂️). Relis calmement et réfléchis y. Tu as le droit de poser des questions précises si ce n'est pas clair
Le problème est l'infini Nous ne pouvons pas connaître l'infini ,ainsi nous pensons que le seul a être infini est l'univers et l'univers est fini. Ainsi avec les chiffres de la base octale nous pouvons avoir une mince idée sur l'infini. Les chiffres de la base octale sont 0 ;1;2;3;4;5;6;7 en réalité c'est une disposition de couples complémentaires comme suit:(0;1)(2;3)(4;5)(5;7). Le choix de 0 à 7 n'est pas arbitraire (les 7 jours de la semaine ). Avec les couples complémentaires (0;1)(2;3)(4;5)(6;7) un seul rapport de chiffre impair sur paire (imp/pair) tant vers l'infini ,c'est le couple (0;1) ou le rapport 1/0= infini . C'est a dire si les religions révélées énoncent la création des cieux et de la terre en six jours ,il y a un jour ou Dieu n'a rien créé c'est le couple (0;1) ce jour est dédié à son nom yawm-ul Ahad et Ahad est un attribut de Dieu qui veut dire unique .Ce jour correspond au dimanche ou jour du Seigneur. Le couple (0;1) nous montre la situation des début de l'univers Quand il y avait pas de créatures (0), il y avait un Dieu(1) et quand il cré Il le fait par couples ainsi vient les couples (2;3)(4;5)(5;7). L'infini est unique et c'est Dieu
@@DanielBWilliams je veux bien discuter ou même échanger mais avec des bases claires pour te montrer que l'infini n'est pas bien connu par le monde. Les Mathématiques ont permis la découverte de l'informatique et tout bon informaticien est bon mathematicien. Et si je te dis que les 7 jours de la semaine représente un octet. Tu vas me dire que je délire et si tu comprends pas cela me ferai un grand plaisir de partager cette nouvelle découverte.
@@DanielBWilliams c'est de l'ésotérisme .Et pour faciliter la compréhension ,nous allons toujours travailler avec la base octale sous forme de couples complémentaires comme suit:(0;1)(2;3)(4;5(6;7) et cette représentation est très symbolique car pour chaque couple respectif nous remarquons le chiffre paire à gauche et le chiffre impair à droite .Ainsi cette base peut se repartir en deux parties : Les chiffres pairs à gauche et les chiffres impairs à droite comme suit: 0 2 4 6 1 3 5 7 Cela va prendre du temps pour comprendre mais avec une bonne analyse du lien joint peut être tu vas comprendre incha Allah. ua-cam.com/video/6ftraEVr5yk/v-deo.html Si 0 est a l'extrémité gauche sont complément 1 sera à l'extrémité droite et nous aurons: 0 2463571 Le lien est la base de la compréhension de cette découverte.
Bonjour, si je ne me trompe pas, de 8:42 à 9:08, il y a une coquille. En effet l'égalité 1e^(-1x) + 2e^(-2x) + 3e^(-3x) + 4e^(-4x) + 5e^(-5x) + ... = - e(-x)/(1-e(-x))² est écrite or il a été démontré plus tôt que 1e^(-1x) + 2e^(-2x) + 3e^(-3x) + 4e^(-4x) + 5e^(-5x) + ... = e(-x)/(1-e(-x))² (sans le moins) ce qui semble plus cohérent avec le reste de la preuve. Très bonne vidéo sinon :)
La formule que vous avez affichée est fausse, parce que -1/12 est la valeur, en s=-1, de la fonction qui prolonge analytiquement la somme de Riemann (la fonction zeta en l'occurrence). Cette fonction, pour Re(s)
bonjour, je dois dire que je me suis un peu pris la tête avec le calcul de la normalisation par l'exponentielle car malgré une différence entre mon calcul et celui qui est présenté (8:15) - et donc une expression finale différente - j'obtiens des tracés identiques pour la somme de la suite. L'erreur que je crois détecter tiens au fait que l'expression 1/(1-exp(-x)) - apparaissant au début de la 3ème ligne - considère que le premier terme de la suite géométrique est 1 (exp(0)), alors qu'il s'agit en fait de "exp(-x)", d'où mon résultat intermédiaire (avant d'appliquer l'opérateur de dérivation) : 1/(exp(x) - 1), en lieu et place de : 1/(1 - exp(-x)). Alors bien sûr, ces deux expressions ayant pour différence la constante 1, cette dernière est supprimée par la dérivation, et je retombe sur une fonction dont le tracé semble identique au résultat final proposé, et où seule l'expression change : exp(x)/(exp(x) - 1)². Comme cela me paraît être une erreur assez grossière et qu'elle ne me paraît pas non plus simplifier les calculs (j'avoue ne pas avoir poursuivi avec la série de Taylor), je me demandais ce que cela pouvais bien cacher. À moins que je sois fidèle à ma réputation : le roi de l'erreur de calcul ...
J'ai un problème avec ton DL (oui, je sais, je déterre la vidéo) : comment tu peux avoir un terme en 1/(x^2) avec un o(1) ? et de plus, 1/(x^2) -> 0 pour x -> \infty... j'ai un gros doute sur ta démonstration, d'un coup...
Je dis peut-être une connerie (les cours de sup/spé sont partis loin...) mais quand tu as un DL, le terme en +o( X^n) correspond à négliger les termes de degrés supérieurs à n (par exemple quand tu fais le DL de l'exponentielle à l'ordre 2 tu as: exp(X)= 1+X/2+ X^2/6+o(X^2), tu viens donc de négliger les termes de degrés >2 ). Ainsi si tu avait juste le terme en 1/X^2, tu aurais un +o(X^-2) . Je pense donc qu'il faut voir le +o(1) comme un +o(X^0), il est donc cohérent ici avec la définition du +o(X^n)
Par contre je suis d'accord avec toi sur le second point,on cherche à calculer la valeur de la série pour x->0 (pour que les exponentielles valent 1 et revenir sur la série des entiers naturels) or ici on a le terme 1/(x^2) devant qui tend vers l'infini pour x->0. Je vois assez mal comment on peut ne pas se soucier du 1er terme et juste du second quand x ne tend pas vers l'infini( ce qui est assez étrange étant donné que l'on fait le DL de l'exponentielle au voisinage de 0)
La formule générale est: 0 + 0 + ... + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = -1/12 + k^2/2 où k est le nombre de zéros au début de cette série qui n'est pas stable.
Peut on écrire A = 1+1+1+1+.. avec S = 1+2+3+4 et S' = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 comme A = S - S' . On a donc un joli A = 0, si on s accorde à dire que S = S' (donc si S suit la propriété de stabilité). Ca remet peut être juste encore plus en question la supersommation sur S, mais j'aimais bien mon exemple, et je voulais des avis de mathématiciens plus aptes que je ne le suis.
Mais pour quoi par après tout ? Je veux dire, ça peut donner un pan de recherche nouveau des mathématiques non ? À creuser je pense, que l'on mette au moins au clair tout ça pour savoir si ce n'est que pure affabulation ou qu'il y a vraiment quelque chose derrière tout ça.
Salut Lê ! J'ai beaucoup aimé ta vidéo qui traite de ce problème de somme infini en prennant en compte l'écriture mathématique sous forme d'une somme et le fait que tu prends le temps de développer les calculs de façon rigoureuse, chose que je n'ai pas trouvé sur les autres vidéos traitants de ce sujet. Cependant j'ai refait les calculs de la 8ème minute de la vidéo et je ne trouve pas exactement la même chose que toi... Aurais - tu fait une erreur sur la somme infinie d'exponentiels? Car la somme géométrique qui en découle n'est pas censée avoir d'exponentiel au numérateur selon moi ... Peux tu m'éclairer ? :D
Tu as dû oublier le fait que la somme géométrique part de n=1 et non de n=0. Quand la somme part de 0 effectivement on s'attend à avoir un 1 au numérateur. Mais quand elle part de 1 c'est différent....:)
pour la fonction zeta de riemann l'ennui cest quelle est definie de 2 manieres une simple sur ] 1 ; +inf [ l'autre plus compliquée qui est son "prolongement" et définie sur tous les nombres complexes sauf 1 et si vous calculez zeta(-1) avec la formule simple vous obtenez la somme des nombres entiers ( jusquà l'infini) et il se trouve que zeta(-1) = -1/12 ... sauf que les gens utilisent la fonction simple et l'évalue en -1 ce qui n'a pas de sens car la version simple n'est valable que sur ] 1 ; +inf [ zeta(-1) a une expression complexe (qui est egale à -1/12) mais cest n'est certainement pas la somme infinie des entiers naturels
j'ai pas bien compris la, tu nous dit que l'equation est fausse en citant un calcul pas claire (pour un novice comme moi), j'ai pas compris pourquoi decaller les suites dans s-2s+s, jme suis renseigné a la va vite en gros t'as juste raajouté 0+0 en debut de suite ce qui ok ne change rien a la suite ! mais apres tu demontre, avec preuve physique que c'est vrai.. Donc c'est vrai ou faux ??????
super boulot, merci beaucoup pour cette vidéo, juste un petit truc: sur le tableau, pour la régularisation par l'exponentielle il me semble qu'il manque un signe - dans la dernière égalité : -(1/(1-e^-x))' = e^-x/(1-e^-x)² devrait s'écrire -(1/(1-e^-x))' = - e^-x/(1-e^-x)² non ?
Ce qu'on nous avait tout de suite dit en première année de fac, c'est qu'il est "illégal", mathématiquement, de permuter, regrouper, etc, des termes de séries divergentes. Cette prétendue égalité (et non équation) est le fruit vénéneux d'une telle faute grossière.
Et là patatra, vous découvrez en fait qu'il ne s'agit pas de séries. Incroyable non ? Regardez à nouveau la vidéo en gardant cette information en tête :)
@@DanielBWilliams Mais oui, la manip qui aguiche les masses populaires montre bien une somme infinie à gauche, et le prétendu résultat à droite. Et la prétendue "démonstration" en manipule les termes. C'est anti-pédagogique et démago. Je vois bien où vous voulez en venir, mais c'est tout de même une confusion. Vous avez aussi des gens qui se font un nom en clamant que i^2 = -1 est extraordinaire, paradoxal, etc.
@@AlainNaigeon "C'est anti-pédagogique et démago." Non je ne crois pas, le but étant de montrer comment on fait des mathématiques: en expérimentant, en transgressant (au moins temporairement) les règles pour voir si l'on peut obtenir des résultats intéressants. Ce fut le cas de i à l'origine justement. Surtout que cette vidéo et la vidéo "hardcore" associée expliquent bien le cadre formel et rigoureux dans lequel on peut se placer pour faire ça sans problème. " i² = -1 est extraordinaire" Après tout ce temps, je trouve toujours i²=-1 assez extraordinaire. Je pense que c'est une bonne chose de s'émerveiller de ce genre de choses. Disposer d'un corps avec tout un tas de bonnes propriétés dans lequel on a des racines carrées de -1, c'est assez formidable je trouve
@@DanielBWilliams Finalement on n'est pas en grand désaccord. Simplement le côté un peu bling bling auquel je faisais allusion, c'est quand on dit aux gens, vous vous rendez compte, un carré négatif, hou la la. Sauf que le carré en question est celui d'un nombre de type nouveau, et que le résultat -1 + 0i est donc en bijection avec le réel -1, sans lui être identique.
@@AlainNaigeon Oui je vois ce que vous voulez dire, ça peut être frustrant parfois haha Quand à savoir si i² est vraiment égal à -1, ce n'est pas qu'une question de bijection. Il est tout à fait possible de construire ℂ à partir de ℝ de manière à ce que ℝ soit factuellement inclus dans ℂ, et que donc i² soit vraiment égal au -1 usuel.
Il y a (à mon avis) un os dans l'effet Casimir. Je n'ai pas tout compris des calculs qu'il a fait sur la question (ça pique), mais voilà où est l'os : Il s'agit de vibrations électromagnétiques entre deux plaques (ce qu'on connait habituellement sous le nom de résonnateur de Fabry-Pérot) Le calcul indique bien que les modes de vibration s'étabissent par valeurs entières, les valeurs intermédiaires donnant des ondes évanescentes (qui se détruisent mutuellement). Ce calcul suppose donc 1 + 2 + 3 +... jusqu'à l'infini. Or, l'infini est un concept mathématique qui n'a pas de réalité en physique. Concrètement, les photons qui se promènent entre les plaques ne peuvent pas avoir une énergie infinie. En plus, s'agissant de plaques de métal, leur coefficient de réflexion n'est pas toujours de 1 (ou voisin) mais plus la fréquence est élevée, plus l'énergie des photons est élevée, et il arrive un niveau auquel les plaques deviennent transparentes ! (les photons gamma très énergiques traversent les plaques, comme on le sait, et même les rayons X durs) Donc la suite 1 + 2 + 3 + ... ne peut pas physiquement s'étendre à l'infini, mais jusqu'à une valeur finie, d'autant que statistiquement les photons sont de moins en moins nombreux à être réflechis quand la fréquence augmente (même si on ignore l'absorption qui n'est sûrement pas négligeable) Dans ces conditions, il me parait justifié qu'on vire des calculs les infinis qui n'ont pas de réalité physique, mais je ne vois pas du tout pourquoi il resterait une valeur négative, et précisément - 1/12. En un mot, pour moi ça n'a pas de sens (physiquement). La seule chose sensée, c'est que le niveau de pression de radiation sur les plaques côté intérieur doit être inférieur à celui qui existe à l'extérieur, et donc que les plaques s'attirent. Ce qui est confirmé par l'expérience, Mais les calculs sont délirants, pour les raisons que j'ai exposées. Je serais très heureux d'avoir des avis sur cette question. ..
Il y a en effet une façon de contourner l'égalité 1+2+3+... = -1/12, comme le fait Science Étonnante (dans la section "pour aller plus loin") : sciencetonnante.wordpress.com/2015/09/11/leffet-casimir-et-le-retour-de-12345-112/
Je me permets d'insister très lourdement sur le fait que passé une certaine fréquence, les photons (qui sont alors des rayons gamma) traversent purement et simplement les plaques (quelle que soit leur nature) et il n'y a donc aucun régime stationnaire possible pour ces photons. Ainsi la somme 1 + 2 + 3 + ... ne s'étend pas à l'infini, mais est bornée, ce qui fait qu'elle ne peut pas valoir - 1/12. Ceci dit, j'admets qu'elle est bornée aussi en dehors des plaques, donc finalement le calcul est faux, mais le résultat est juste.
Lêe j'ai découvert ta chaine de mathématique durant mes année de 3eme et je n'y comprenais pas grand chose mais j'ai tout de même tout regarder et tout apprécier car cela me plaisait bien que je n'était pas très bon .
Maintenant je suis en prépa deuxieme année en partie grâce à toi et peu enfin comprendre au mieux la beauté des mathematique .
Merci
Quand on pense que Casimir a terminé sa vie sur l'île aux enfants à manger du gloubiboulga, cela relativise ses succès antérieurs!
Donc, le jour où j'aurai -1/12 euros sur mon compte, je dis à mon banquier de pas s'inquiéter. S'il me croit pas, je lui dit d'intégrer la fonction zêta ;-)
Tu viens de démontré que le temps c'est de l'argent !
Notre interprétation de la super sommation linéaires de n'importe quelle valeur jusqu'à l'infini ne peut être approché de cette manière . Donc -1/12 euros ne signifie pas que ton compte bancaire tend vers +∞ euros (car ce n'est pas vrai et impossible) car cette équation est vraie dans le domaine graphique' Je ne sais pas si j'ai bien souligné la subtilité ...
@@shahinhedayat8425 Tout cela reste très subtil en effet, mais comme je ne suis pas matheux je pouvais me permettre cette petite blague foireuse. Ps : mon compte est créditeur :-)
@@LouisErwin En vrai cette blague n'est pas si foireuse que cela , car les mathématiciens pensait également que cette somme sera infini . Mais non ! , cela peut sembler fou mais c'est vrai , la beauté des mathématiques , c'est cette domaine des mathématiques qui peuvent expliquer la mécanique quantique et les trous noirs , tout ce qui est reliée a l'infini.
La bonne blague de matheux. Je me suis senti un peu seul quand je l'ai sorti en soirée mais bon ça a lancé un débat sur les sommes infinies dans un milieu littéraire. ça valait tout l'or du monde merci pour la blague :D
Le guide du voyageur galactique s'est trompé, la réponse à "La grande question sur la vie, l'univers et le reste" c'est pas 42, c'est -1/12 ...
Christophe André en tappant" la reponse de la vie" sur google on obtient 42!
@@etrysetrys5965 raison de plus que ce n'est pas 42
Que du bonheur ces vidéos ! En plus ça nous donne une semaine de boulot pour les revoir et les comprendre. Tu devrais, si je puis me permettre, nous faire une série sur le grand théorème de Fermat, l'histoire d'Andrew Wiles, les formes modulaires et la conjecture associée.
c'est dingue la beauté des maths, tes vidéos m'emerveillent de plus en plus
C'est pas vrai , les maths sont harmonieuses mais pas du tout belles.
The golden rules to be adhered to when dealing with divergent series are:
1) Do not use brackets
2) Do not remove any zero
3) Do not shuffle around more than a finite number of terms
He is not doing any of theses, don't just go on every video that talks about that to say no sens ahah
He say at the start of the video that everyone who does that is wrong
@@Edward23409 Don't think he's saying that Lê is doing one of these. He's just saying what's prohibited with divergent sums. And he's perfectly right!
@@manun7105 i think he is cause he copy past this comment on 4 differents french video about that.
@@Edward23409 Not really. His others comments (yes, i read them all too) are just pointing out the formulae of these series in respect with the shift rule.
@@Edward23409 If you are interested to learn more about divergent series and want to understand why and how 1+2+3+4+5+6+... = -1/12,
I recommend the online course “Introduction to Divergent Series of Integers” on the Thinkific online learning platform.
on l'attendait cette vidéo sur cette fameuse égalité !
Comme d'habitude excellente video :)
NON
Mais 1+2+3+4+... C'est pas egal a 1+(1+1)+(1+1+1)+(1+1+1+1)+...=1+1+1+1+1+... ?
Dans les théories qui acceptent l'association d'une valeur à une série divergente, l'addition infinie telle que tu l'as écrite n'est plus associative, par conséquent, 1+(1+1)+(1+1+1)+(1+1+1+1)+...=1+1+1+1+1+... est faux. De plus, si l'on admettait que l'addition était associative sur ces séries, on pourrait attribuer n'importe quelle valeur à n'importe quelle série (je crois que quelqu'un l'a prouvé).
respect. (seul mot qui me vient à l’esprit, simple et rapide à la fois).
as pas bien écouté la vidéo le monsieur ...
Jean de la Boustifaille-Ailée il en parlait dans une de ces vidéos, c'est le théorème de ré-arrangement de Riemann
Ça pose qd mm un autre problème cette addition à gauche de l'égalité , si la supersommation finale de 1 ( dernière parenthèse avec points pas mise ici ) est invalide l'infini lui-même est inconsistant donc l'égalité ne trouve pas de solution , donc -1/12 non-plus .
At 8:13 what is the first term of your geometric sequence? Shouldn't you have e^-x on the numerator (before doing the derivative)?
It seems you're right. But the final derivative is the same 🙂
Pour la première explication, il y a quand même quelque chose qu'on oublie. Certes, le -1/12 apparaît. Mais quid du 1/x^2 juste devant, qui quand x tend vers 0, tend vers + l'infini ? La somme nous donne donc un infini positif et non le -1/12 non ?
J'aime vraiment cette chaine pour la clarté et surtout par son coté, je vais un peu plus loin pour comprendre le pourquoi.
En revenant sur le paradoxe de 1 = 0,99... ne peut-on pas citer un théorème du style : "2 nombres sont égaux si l'on ne peut pas intercaler 1 nombre entre eux" ?
Merci pour ces vidéos
Oui c'est un théorème vrai.
@@le_science4all Un théorème est toujours vrai, sinon ce sont des axiomes ;)
Spirit Tenrec On peut intercaler 0,01 et c’est un nombre ;)
Pourquoi paradoxe ? C'est pas un paradoxe
@@mmoDiablommoFR2 parce que pour quelqu'un de lambda 1#0,99....
Pour moi il y a une erreur dans la preuve de début de vidéo. Quand tu dis
-2S = -2 -4 -6 -8 -10...
S = 1 +2 +3 +4 +5...
Tu écris en fait
-2S = 0 -2 -4 -6 -8 -10...
S = 0 +0 +1 +2 +3...
J'ai bien étudié les sommes infinies et pour moi l'une caractéristiques principales à absolument respecter est l'ordre de calcul. Donc
S-2S-S = (1-2+1)+(2-4+2)+(3-6+3)...
= 0 + 0 + 0 + 0 + 0... = 0
Je suis entièrement d'accord sur le fait que les vidéo que l'on voit souvent sur les sommes infinies sont très fausse, mais la démonstration de début de vidéo l'est tout autant pour moi. C'est juste que de notre point de vue, l'infini semble très instable, c'est pourquoi la moindre erreur peut nous amener à faire n'importe quoi, sans même s'en rendre compte car c'est un domaine qui va au-delà de notre perception.
Et pourtant, l'effet Casimir est là, depuis ce matin, je me tape la tronche contre le mur de la cuisine...
Mais en fait c'est justement cet argument qui est utilisé. Comme, en faisant ça on trouve n'importe quoi, c'est que la démonstration est fausse. C'est un raisonnement par l'absurde. Lesdites démonstration de Micmaths et Science Étonnante utilisaient ce principe à tort et à travers. C'est pour ça que ce mathématicien l'a utilisé à son tour pour faire ce qu'il voulait.
D'ailleurs je ne suis pas sûr que cette règle tienne réellement, puisque je pense que 0 + 0 + S = S, donc 0 + 0 + 1 + 2 + 3... = 1 + 2 + 3...
Pareil pour -2S :
0 -2S = -2S.
Donc on peut quand même faire nos sommes sans faire d'entorse à cette règle, et faire (à la place de faire S-2S+S) : S + (0-2S) + (0+0+S)
Selon moi, cette règle laisse cette façon de sommer inconsistante.
@@bobing1752 Honnêtement je ne suis pas du tout en mesure de te répondre quelque chose de concret. Mais c'est normal, c'est un sujet qui nous dépasse tous les deux. Mais mon intuition me dit que les résultats de ces sommes infinies n'est pas un simple nombre d'arithmétique comme on a l'habitude de les voir. Pour moi c'est comme si le résultat était un nombre en deux dimensions. Il s'agit d'un nombre qui évolue en fonction d'une variable. Le résultat de ces sommes ne nous montre donc pas un nombre mais une direction. On peut comparer ça à un jeu de fléchettes. La trajectoire de la flèche étant la suite et son point d'impact la valeur de la somme infinie. Si on retire un zéro c'est comme si on effectue exactement le même lancée mais décalé de un mètre par rapport à la cible. Voilà, je suis désolé, je ne me suis pas assez intéressé au sujet pour être en mesure de sortir des exemples concrets, je suis donc contraint de me rabattre sur des métaphores, mais j'espère que ça t'aidera à voir ma vision des choses même si je doute fort que ça suffise pour changer une opinion.
@@RubiCrash En fait, dans les hypothèses qu'il utilise pour l'opération, il y a le fait que la somme soit invariante par décalage (insertion ou retrait de 0): c'est la propriété de stabilité.
Donc si on suppose que l'opérateur est stable, cela signifie qu'on peut décaler en insérant (ou retirant des 0) et la somme de chaque suite est définie, et elles sont égales.
Son raisonnement est donc correct. Si une telle opération existe (sous-entendu possède toutes ces propriétés), alors il y a absurdité.
Donc si j'ai bien compris la somme des entiers c'est l'infini - 1/12 ?
Sinon un truc sympa que je viens de découvrir : vu que la somme des n premiers entiers naturels est n(n+1)/2, je me suis amusé à plotter x(x+1)/2 sur Wolfram, et il me donne que l'intégrale entre les deux racines (-1 et 0) est -1/12
Il était une fois, un groupe de français qui n'avaient toujours vécu qu'à Paris. Ils n'avaient strictement rien vu d'autre. Un beau jour, leur vint l'idée de formaliser ce que pourrait être un humain. Ils regardèrent donc les humains directement à leur portée, et listèrent différentes propriétés pour essayer de les caractériser. Vu qu'ils avaient des exemples vivants sous les yeux d'humains satisfaisants toutes ces propriétés, il étaient clair que leurs propriétés caractérisaient bien les humains de Paris. Ce qui signifiait dans leurs têtes, les humains tout court (n'ayant rien vu d'autre). L'une de ces propriétés était "Un humain aime nécessairement le fromage". Tous les humains de Paris la satisfaisaient. Mais un scientifique clairvoyant se dit que cette propriété ne semblait pas nécessairement attachée à la notion intrinsèque d'humain même, et que le choix de cette propriété de caractérisation d'un humain paraissait arbitraire. Il essaya donc une nouvelle liste de propriétés en ôtant cette propriété ("aimer le fromage"). Il déroula les implications, et constata avec surprise que rien dans ses calculs ne s'opposait à l'existence de tels "objets" (des humains n'aimant pas le fromage donc). Cependant, les parisiens choqués, clamèrent haut et fort que c'était "absurde", qu'on avait jamais vu "quelqu'un ne pas aimer le fromage", et "que ces gens ne pouvaient pas exister". On entendait aussi "que ce ne pouvait pas vraiment être des humains". On proposa alors l'idée de mettre le scientifique au bûcher. Pour sauver sa vie, celui-ci dû s'enfuir de sa ville natale pour s'établir ailleurs.
Du temps passa, et notre scientifique rencontra finalement dans des contrées lointaines, des humains qui n'aimaient pas le fromage. Il avait donc trouvé un exemple d'objets existants, satisfaisants les propriétés qu'il avait posé. Il revint dans sa ville, et les présenta aux parisiens. Le scepticisme était palpable. On les regarda bien fixement. Puis après plusieurs jours d'observations, ceux-ci durent finalement se rendre à l'évidence: il existait bel et bien de véritables humains qui n'aimaient pas le fromage. Bien que cette propriété leur eut paru intuitive et naturelle, les faits semblaient montrer que leur intuition (probablement conditionnée par leur environnement) s'était trompée. Il paraissait désormais très déraisonnable de redéfinir la notion d'humain, pour en exclure ceux qui n'aimaient pas le fromage. Parce qu'en eux, tout fonctionnaient quasiment comme les humains dont ils avaient l'habitude. Le temps passa, et on accepta finalement l'idée que ces individus étaient bien des humains. Ceux-ci s'installèrent et finirent par s'établir à Paris. Avec encore plus de temps, il se trouva même que ces humains apportèrent une contribution citoyenne importante (de part leur travaux, connaissances et savoirs-faire, ...) à cette nouvelle, et plus riche, belle ville de Paris.
Bonjour Lê, j'ai une question qui concerne le contre exemple S - 2S + S = 1 : en effet quand on écrit ce calcul ( je note Q=S-2S+S), Q est une série divergente et pour obtenir 1, on se permet, si j'ai bien compris, de regrouper certain termes de Q en les déplaçant pour obtenir des "paquets" qui au final seront tous nul. Mais j'ai un problème avec ce procédé, bien que l'addition soit commutative, c'est un procédé que l'on ne peux pas faire pour toutes les séries convergentes, pourquoi aurait-on le droit de le faire pour des séries divergentes ?
Pour illustrer mon argument je prend la série harmonique alterné :
HA=1-1/2+1/3-1/4+...
Cette série converge vers Ln(2) (Pour le voir on utilise la formule de Taylor Lagrange pour Ln(2) )
Mais en revanche, si on change l'ordre des termes, en prenant un terme positif suivi de deux termes négatifs pris dans l'ordre on obtient :
HA=(1-1/2)-1/4+(1/3-1/6)-1/8+(1/5-1/10)....
HA=1/2-1/4+1/6-1/8+1/10.....
HA=1/2 * HA=1/2*ln(2)
Ce qui est absurde car 1/2*ln(2) est bien sur différent de ln(2), donc je n'ai pas le droit de changer l'ordre des termes dans cette série. Alors ici je le montre sur un contre exemple ce n'est peut être pas le cas tout le temps, néanmoins je pense qu'il y a quelque chose à dire quand on fait ce genre de manipulation ?
Merci en tout cas pour tes vidéos :)
passionnant!
votre réalisation de clips s'est considerablement améliorée...
J'ai une question:
Combien fait 1-2+3-4+5...=?
J'ai trouvé 1/4 mais je ne pense pas que ça soit ça
je dirais -1 (xn/2) dc - infini
Si
Dans le formalisme classique des séries numériques cette série diverge en alternant les valeurs positives et négatives, on ne peut même pas dire que ça tend vers plus ou moins l'infini. :)
@@morphilou si tu as raison
@@neloka4313 faux
on ne peut pas passer des somme de suite en passant par des itteration car on n'aditionne pas des suite par homeomorhisme
cette suite tend clairement vers l'infini positif (je parle de la suite de la video)
2:41 Bim ! Bim ! Bim ! Bim !!!!! J'aurais pas aimé... Pour le 1+1+1+1+1+..., je pensais que l'on devait s'interdire de mettre des parenthèses dans des sommes infinis (on perd l'associativité) : 1+1+1+1+1+... = 1+(1+1)+(1+1+1)+(1+1+1+1)+... = 1+2+3+4+5+... Or la première est égal à -1/2 et l'autre à -1/12. En faîte, 1+1+1+1+1+... peut remplacer n'importe quelle somme infini en addition continue, si on accepte l'associativité, car n'importe quelle nombre entier peut être décomposé en somme de 1. Du coup à 13:42 , je pense que l'on a une contradiction à cause du faîte que l'on a appliqué l'associativité à cette super somme. Je n'ai pas d'arguments mathématiques qui tienne bien la route, mais je pense qu'il est mieux de ne pas utiliser l'associativité dans cette super somme ou dans d'autre somme du même style si on arrive à une contradiction à la fin. En tous cas, j'ai adoré cette vidéo ! J'en apprends de plus en plus, et je peux surtout avoir un meilleur esprit critique sur certaines chose. Continue comme ça, et un jour tu auras 44 444 abonnés ! Ou 444 444, même si je trouve que c'est un peu gros pour l'instant, je ne me doute pas que tu vas y arriver !
PS : Est-ce que je peux te tutoyer ou ça te dérange ?
Je ne suis pas sûr qu'il avait en tête l'associativité quand il a écrit sa preuve à 13:42. Il me semble qu'il a juste sauté une étape intermédiaire entre la première et la deuxième ligne, qui est :
x = (1+0+0+0+...) + (0+1+1+1+...)
Et là, pas d'associativité, on passe bien de la première ligne à l'étape intermédiaire par linéarité, et de l'étape intermédiaire à la deuxième ligne par régularité et stabilité.
Aurelien Perdriaud
Mais une différence de suites de ce genre peut avoir différents résultats :
x=1+2+3+4...
2(1+2+3+4...)=2+4+6+8...
Donc 1+2+3+4...-(2+4+6+8...) peut être égal à 1+0+1+2+3...=2+2+3+4... ce qui est 1+x et cela veut dire que x-2x=1+x ce qui n'a aucun sens
Va voir sa vidéo hardcore sur les sommations, en effet on ne peut pas donner de valeur à cette série par un procédé stable, régulier et linéaire!
@@cryme5 je suis en seconde, tu crois que je peux voir une vidéo hardcore ?
Ah, ça risque d'être trop avancé en effet :D En gros il y caractérise exactement les séries auxquelles tu peux donner une somme unique. Le début est peut-être regardable, remarque, je crois qu'il fait des calculs de ton genre pour montrer qu'on peut pas donner un sens à la série des entiers naturels
@@cryme5 je nai pas de probleme avec les ensembles
@@cryme5 les seuls truc qui me posent problème sont les symboles
But at 2:39 you can't write that because you acually compute S_(n)-2S(n-1)+S_(n-2) no?
la forme +infini-infini est une forme indefini et le fait de sommer deux series divergentes de la façon dont il a été expliquer sur la vidéo est incorrecte...et c'est normale q'on trouve des absurdités.
Karim Ait Oujmid c'est un peu plus compliqué que "absurde". Sinon allez m'expliquer à Euler ;)
On essaie d'apprendre les maths à un polytechnicien et on se sent MALIN. :)
+infini-infini =0 parce si tu fais +1-1=0 alors arrêtez de vous compliquée la tête
@@enfienz9458serieeuuux? c pas vrai ça! c une forme indéterminée. linfini n'est pas un NOMBRE PARTICULIER. c pas comme quand tu dis trois ou un ou moins un ou..etc. l'infini represente n'importe quel nombre très très grand (cest ce que je pense), mais pas un nbre en particulier.
bjr, je suis très loin d'être un mathématicien mais je trouve cette idée de l'inf=-1/12 très belle et son résultat 0,083333 me fait penser a une valeur approx de la taille du neutron il me semble 0.84 femtom . -1/12 serait-il la clef du passage entre le point mathématique sans dimension à une de ses concrétisations dans notre univers a 3 dim? cela me fait penser a une video de Micmaths sur les fractales ou il calcul et compare la longueur d'une ligne brisée qui tend vers une surface, "un passage entre deux dimensions"...
tout ce qui existe résulte de l'agencement de ces 12 particules ou de leurs antiparticules : les fermions forment la matière ....tiens pourquoi 12??? nannn ce serait trop simple!!?
Ah la naiveté humaine.
Sum of series of 2-gonal numbers (i.e. natural numbers) = -1/12 (= Riemann zeta function at -1)
Sum of series of 3-gonal numbers (i.e. triangular numbers) = -1/24
Sum of series of 4-gonal numbers (i.e. square numbers) = 0 (= trivial zero of Riemann zeta function at -2)
Sum of series of 5-gonal numbers (i.e. pentagonal numbers) = +1/24
Sum of series of 6-gonal numbers (i.e. hexagonal numbers) = +1/12
etc.
Salut, j'ai pas encore vu les intégrales, mais en déduisant dans ta vidéo, ce serait l'aire de la fonction en x tend vers l'infini f(x)>0 ? (Comme tu le dis, la somme de l'histogramme de la fonction (en chaque naturel?) fois les dérivées aux sommets fois la marge d'erreur) ?
Ça a l'air passionnant !
2 choses :
- il semble que la démonstration en passant par des exponentielles donne à la fin un terme (1/x^2) qui tend vers l'infini quand x tend vers 0...on est loin donc de trouver "-1/12" (quand bien même ce nombre apparaisse aussi dans la formule)
- et finalement, dire que 1+2+3+.... = -1/12 n'est pas moins absurde que d'affirmer 1= 0
La supersomme c'est l'opération qui à la série (avec des exponentielles ou n'importe quelle autre fonction "lisse") associe le terme constant du développement asymptotique (et non la limite, puisqu'elle n'existe pas...). Donc si, *la* réponse est bien -1/12.
Voir: terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/
Et donc du coup si, c'est beaucoup beaucoup moins absurde qu'affirmer que 1 = 0...
Salut
Pour ce qui est du problème des maisons :
On pose c : le numéro de la maison pour laquelle la somme des numéros de maisons à gauche est égale à la somme des numéros de maisons a droite
Et m le nombre de maisons maximum
En utilisant la somme des suites arithmétiques on trouve que :
Somme des maisons à gauche (de 1 à c-1) : ((c-1)-1+1)(c)/2 = c(c-1)/2
Somme des maisons à gauche (de c+1 à m) : (m-(c+1)+1)(m+c+1)/2 = (m-c)(m+c+1)/2
c(c-1)/2 = (m-c)(m+c+1)/2 c(c-1) = (m-c)(m+c+1) c²-c = m²+mc+m-mc-c²-c
Donc : 2c² = m²+m c = sqrt((m²+m)/2)
Il faut alors que m²+m/2 soit un carré, on cherche avec un traceur et on trouve :
m=8 et c=6 : (1+2+3+4+5 = 7+8), et
m=49 et c=35 : (1+2+...+34 = 36+...+49), et
m=288 et c=204 : (1+2+...+203 = 205+...+288)
voila :)
PS : Ramanujan est mort en 1920
Nice ! Et merci pour la correction de l'année de la mort de Ramanujan :)
De rien ^^
J'espère que ce ne sont pas les maths qui l'ont tué....
j'ai de vague notion de mathematique mais j'ai l'impression que dans le cas de cette somme infini, si on considere les chiffres comme des frequences qui se superposent, cette valeur de -1/12 a quelque chose a voir avec les harmoniques.
un peu comme pour les probabilités infini, tu peux lancer 100 fois une piece a pile ou face, la probabilité pour que ca tombe 100 fois sur pile est moins grande qu'une combinaison aleatoire, comme si le hasard ou l'infini tend vers une valeur.
Les opérations sur les nombres transfinis nous offrent beaucoup de surprises.
Sujet à considérer avec entre-autres l'Hotel infini de Hilbert, le paradoxe de Banach-Tarski etc...
Et pourquoi ne pourrait-on pas tout simplement remplacer dans ce cas dans les équations l'infini par -1/12 et voir ce que ca fait?
(Je sais mon esprit est simplet mais pourquoi pas?)
Quelle chaîne !! merci !
Décidément, les séries divergentes c'est un sujet qui déboite !
La dérivée d'une énergie est une force ? C'est pas plutôt une puissance ? 5:28
Je ne comprends pas la régularisation par lexponentielle. Il manque le premier terme en 0 pour obtenir le résultat de la convergence de la série géométrique. Non ?
Merci pour cette vidéo !
C'est l'une des rares choses qui m'aident à trouver le sommeil...
C'est un travail démesuré que de rendre toutes ces connaissances accessibles à tous et j'admire la clarté du résultat...
Au plaisir de découvrir tes prochaines vidéos 😊
Bonjour
La démonstration de ton Remy Paire concernant l'égalité 1=0 n'est pas à la hauteur de la démonstration faites dans Micmath à propos de la somme des entiers n =- 1/12.
Les rang de la sommes S-2S+S ne sont pas respectés et sont organisés de telle sorte que l'on arrive à cette absurdité.
La question est qu'est ce qui est faut dans la démonstration de Micmath ?
Et en deux pourquoi es tu si médisant à ce sujet ?
La démo de Rémy est impeccable et imparable.
Mais le calcul de Micmaths n'est pas faux pour autant...
12:20 et 12:35 Cette fois je ne vais pas dire que c'est faux car ces notions me dépassent, mais suis-je le seul qui trouve que oublier la petite différence dans son intégrale et supprimer l'infinie est une erreur dans sa formule !?
Apres avoir vus cette épisode je me pose la question suivante : esque tout les infinie ce valle ?
1+1+1+1+1+......=-1/2
1+2+3+....=-1/12
mais si j’écris cette somme sous forme
1+(1+1)+(1+1+1)+..... =- 1/2 ou -1/12
donc d’après cela les ces somme infini ne ce valerais pas ?
Les sommes infinies divergentes ne sont pas "associatives". Ça veut dire que t'as pas le droit de mettre des parenthèse en plein milieu. Sinon, on aurait (1-1)+(1-1)+... = 1+(-1+1)+(-1+1)+..., et du coup 0 = 1.
Les nouveaux vulgarisateurs arrivent à rendre les sciences sucrées, qu'on en à toujours soif ;)
Par contre, petite question : T'aurai des livres de références à conseiller pour qqn qui veut apprendre plus de maths ? Genre partir d'un niveau L1 à un niveau L3 ou plus si t'as vraiment un excellent bouquin, je sais que les maths c'est un univers vraiment vaste, mais je demande toujours pour ne pas passer à côté d'une perle ^^ (les viewers n'hésitez pas à répondre ! )
Perso, je lis beaucoup de livres de cours qui sont accessibles en ligne. Je lis davantage en anglais toutefois, où les bonnes ressources sont plus faciles à trouver.
Au niveau vulgarisation math avec des trucs assez poussés, il y a :
- "Amour et maths" d'Edward Frenkel, qui parle un peu du programme de Langland mais pas mal d'autobiographie (il était juif en URSS antisémite)
- "L'univers élégant" de Brian Greene (théorie des cordes)
- "Fearless Symmetry: Exposing the Hidden Patterns of Numbers" d'Avner Ash et Robert Gross (théorie des nombres, Fermat, Galois, un peu Langland, probablement plus L3 que L1)
- "Chaos" de James Gleick (théorie du chaos)
Dans le genre plus historique / biographique, il y a :
- "Logicomix" (BD sur l'Histoire de la logique au début du 20ème)
- Men of Mathematics (biographies des plus grands mathématiciens de l'Histoire)
- A Beautiful Mind (biographie de John Nash)
Je suis tout excité d'avoir récemment découvert le livre en trois volumes "Mathematical Thought: From Ancient to Modern Times" de Morris Kline. Y a plus de 1000 pages d'explorations des grandes idées. Et je suis aussi en train d'écouter "Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World" qui est intéressant pour l'aspect historique (et qu'il va me falloir finir vite car l'épisode Science4All sur les infinitésimaux approche dangereusement...)
Les autres, des suggestions de livres ? Ça m'intéresse beaucoup :P
Si tu veux apprendre les maths en autodidacte, il faut déjà un bon bagage, et il va vraiment falloir s'accrocher.
T'as de l'expérience dans le domaine ?
vous connaissez "Principia Mathematica" de Whitehead et Russell ? bon ce livre est plus pour les docteurs en mathématiques car cela requiert énormément de niveau
à 8:12 pourquoi la somme des -exp(-nx) ne part pas de 0 ?
Parce que si la somme partait de 0, on aurait un terme e^0 soit 1....(le premier terme est e^(-x) )....
Une question svp :y'a t'il une infinité de nombres entre 0 et dx où x est une inconnue variante
J'ai pas compris un truc : quand on obtient le DL en 0 (dans la bonne raison n°1), pourquoi tu dis que ça tend vers -1/12 ? Si x tend vers 0, peu importe la constante du dl, l'expression tend vers + l'infini non ?
J'ai pas compris grand-chose (ce qui est sans doute normal, je suis en début de 3e, mon niveau est assez basique). Mais ce que je pense comprendre est que quel que soit le raisonnement qu'on adopte pour le démontrer, 1+2+3+4+... est égal à -1/12, c'est ça ? J'espère une réponse, s,il vous plaît ... ^^
Enfin, bien que je ne comprenne pas tout, je tâcherai de me renseigner sur le vocabulaire utilisé qui me laisse perplexe, et mon point de vue actuel me laisse dire que cette vidéo est VRAIMENT BIEN.
C'est à peu près ça. En gros, on a essayé plusieurs approches (pas toutes les approches possibles, mais plusieurs). À chaque fois, on tombe sur -1/12...
13:37 Euh... x=infini donc x=infini+1 ? À t-on le droit de "rajouter" un terme à cette suite, quand bien même ça serait égal à la même chose ?
Oui on a le droit.
c'est le premier à l'avoir démontré ? Et si oui il était connu avant ?
Bonjour
Question con, pourquoi quand tu fait S-2S+S tu décale les chiffres et ne les met pas les un au dessus des autres ?
Parce qu'on peut uniquement ensuite ajouter les termes colonne par colonne.
Je te renvoie à l'épisode 4 pour en savoir plus : ua-cam.com/video/Ap10Gb2_wcc/v-deo.html
j'arrive peut-être un peu tard, j'ai juste un Bac S donc je ne me prétend pas du tout fort en maths. Mais je me pose une question à propos du début de la video vers 3 min. La suite S tend vers +infini. Et faire +infini -infini c'est pas une forme indeterminée ?
Excusez moi, 8min12, la valeur de la somme géométrique ce n’est pas plutôt (e^-1)/(1-e^-1)?
En effet, mais le raisonnement reste bon, et on peut le voir de 2 manières :
- soit on indexe la somme pour n allant de 0 à infini au début (en rajoutant un terme qui vaut 0).
- soit on garde l'indexation de la vidéo, et on obtient (e^-x)/(1-e^-x), mais qui va donner le même résultat que le sien quand on dérive.
Bonjour, je comprend pas pourquoi à 2:40 2S et S se décalle d'un cran par rapport au premier S, pck si on décalle pas ça fait bien 0
En physique aussi, la régularisation est l'approche "moderne". L'infini qui apparaît dans la somme de Casimir est un problème plus général dans la théorie quantique de l'électromagnétisme. Cette théorie est ce que l'on appelle une théorie des champs quantique, et pour n'importe quelle observable physique, ce type de théorie donne des résultats infinis (en général, ce sont plutôt des intégrales divergentes que des sommes divergentes).
Ce que font les physiciens, c'est d'abord de régulariser les calculs pour éviter les infinis. Il y a de nombreuses méthodes, la plus populaire étant sans doute de faire les calculs en dimension 4+epsilon au lieu des 4 dimensions d'espace-temps, puis de faire tendre epsilon vers 0. Ensuite, on pousse les termes divergents sous le tapis, et le premier terme fini est la réponse! Pour que ceci soit valide, il faut bien entendu s'assurer que le résultat ne dépende pas de la régularisation choisie. Donc l'analye de Lê est très pertinente pour la physique moderne aussi.
A quelle puissance il faut élever 0, 083333333333....pour obtenir 12 ?
mais 1/x^2 -1/12 quand x tend vers 0 ca tend vers l'infini car 1/x^2 tend vers l'infini et 0(1) tend vers 0 quand x tend vers 0. Pourrais tu m'expliquer si je fais une erreur
2:37 Je ne comprends pas pourquoi les séries sont décalées les unes par rapport aux autres.
Soit S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8
Alors -2S =-2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16
et S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8
S-2S+S = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0
donc tout va bien, et je pense qu'on ne peux pas se permettre des décalages randomisés.
Elles sont décalées les unes par rapport aux autres par qu'on rajoute un 0 au début de -2S et deux 0 au début du deuxième S.
Après tout, -2S = 0 - 2S et S=0+0+S.
@@DanielBWilliams je ne trouve pas ça juste de procéder ainsi. Ce nest pas une addition "classique ". D'après moi les paramètres qui comptent sont d'où part l'addition et sa manière d'évoluer. Alors que dans une addition "classique" les paramètres qui comptent sont les nombres eux même..
Concernant cette suite j'ai remarqué une possible explication du -1/12:
Cette valeur (semble) correspondre à la différence moyenne entre la somme des entiers et la somme des réels.
En prenant la fonction reliant la somme des entiers (en abscisse: 0,1,2,3,4,5... et en ordonnée 0,1,3,6,10,...) et en faisant la même chose avec la #somme# des réels (en utilisant la formule de Gauss 'g(n)=n.(n+1)/2' pour des valeurs réelles)
-->on aura par exemple en abscisse pour x=1.5, g(1.5)=1.5 x (1.5+1)/2=1.875.
Tandis que pour la #courbes# des entiers, on aura en x=1.5 en interpolant linéairement entre g(1)=1 et g(2)=3 une valeur de g(1.5)=2.
Soit une différence de 0.125 en x=1.5 (il s'agit (je pense) du maximum de différence).
La différence étant nulle pour tout x entier.
Je ne sais bien sur pas prouver cette valeur, mais j'ai fait une simulation informatique et il semble que la valeur converge vers 0.83333... lorsque l'on prend suffisamment d'intervalles entre deux entiers (et la valeur est quel que soit les deux entiers)
Il me semble que cette explication pourrait également convenir pour la suite 1-1+1-1+.... et probablement d'autres...?
Ça expliquerait aussi par exemple que l'ajout de termes dans une suite divergentes modifient sa valeur...
après réflexion il n'est pas nécessaire d'utiliser les nombres réel:
Si on pose g(n)=n(n+1)/2 alors
somme(pour n=0-->A) de (g(n)-n.g(A)/A) /n tend vers -1/12 quand A tend vers l'infini
pituit LeChat , hello! Les interprétations, graphiques par exemple, sont une saine "hygiène" mathématiques je trouve. Pourrais tu détailler le calcul? Je n'aboutis pas lorsque je fais le calcul... sinon sur quoi la différence est-elle moyennée dans le calcul proposé? car l'indice n varie dans la sommation donc cela fait comme une moyenne pondérée?
bye bye, Nino.
L'explication que j'avais donnée ne fonctionne malheureusement que pour la somme des entiers (pas pour les autres sommes de puissance positives). Cette remarque était du au fait que en posant f(x)=x(x+1)/2 et d(x)=(f(b)/b)x (équation d'une droite passant par (0,0) et (b,(f(b))
Alors l'intégrale de 0 à b de f(x)-d(x)=-1/12b³
Par contre, pour toutes les sommes de puissances 'p' positive, en posant f(x)= fonction analytique donné par la formule de Faulhaber (x(x+1)/2 pour p =1; x³/3+x²/2+x/6 pour p=2....) on peut montrer que l'intégrale de f(x) entre -1 à 0 = zeta(-p)
Egalement par "décalage de f(x)", l’intégrale de f(x-a) entre a-1 et a = zeta(-p)
(avec par exemple si a = 1: f(x-1)=f(x)-x^p et Intégrale (f(x)-x^p)) de 0 à 1 =zeta(-p)
Et avec tout ca on remarque que lorsque zeta s'annule (pour les f(x) impair (soit les p pair)) c'est parce que la surface de -1 à -1/2 est égale mais de signe opposée à celle entre -1/2 et 0. En d'autres termes, toutes les fonctions f(x) pour les puissance pair >0 s'annulent en x=-1/2... Hum, hum,... y aurait-il un lien avec la partie réel des zero de la fonction zeta?
La fonction analytique correspondant à la somme des entiers est f(x)=x^2/2 + x/2 (plus souvent exprimé sous la forme x(x+1)/2.
1) Le calcul de la surface entre -1 et 0 de cette fonction est égale à -1/12. Cette relation correspond à zeta(-p) pour f(x) = fonction analytique correspondant à la sommes des autres puissances 'p' d'entiers (cf. formule de Faulhaber (fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Faulhaber) que l'on 'intègre' de -1 à 0)
2) Le calcul de la surface entre 0 et 1 de f(x)-x est égale à -1/12 (cette relation est aussi valable pour pour les autres puissance p en prenant f(x)-x^p)
3) plus généralement, le calcul entre (a-1) et a de f(x-a) = -1/12 (cette valeur est aussi valable pour les autres puissances p)
4) pour la somme des entiers uniquement la surface entre 0 et b>0 = -b^3 /12 =zeta(-1) x b^3 (cette relation correspond à l'erreur commise dans l'intégrale de f(x) entre 0 et b en utilisant la formule des trapèzes (fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_des_trap%C3%A8zes)
Je suis un blaireau en math, mais je me demande une chose. La somme des entiers positifs ne correspond t'il pas graphiquement à l'équation y=x+1 ? Si c'est le cas, vous pensez vraiment que ce type de courbe peut chuter brutalement à -1/12. Si oui à quel valeur de x peut on observer cette chute ? x=+ infini ? Ce n'est que ma croyance, mais dès qu'on touche aux séries infinies, je crois que nos math s'avèrent buguées.
Lol, combien fait + infini -0.5 ?
-0.5 + (1+1+1+1+1+1+1+1+1.....) = 1+1+1+1+1+1+1+1+......?
Si mon organisme avait + infini de cellules et que le volume de l'univers était égal à +infini, dans quel espace pourriez vous vous trouver ? LOL, ce genre de math c'est mort.
Bonjour,
Si nous oublions le concept de la droite reelle, c'est a dire si nous changeons de point de vue: Considerons le ''Cercle Reel''
PLus explicitement considerons que les nombres reels sont des points d'un cercle de rayons gamma par exemple avec gamma infiniment grand mais plus petit que l'infini. Nous comprenons alors que l'infini est tres proche de 0 pour ne pas dire qu'il est egal a zero. Ainsi il devient tres aise de comprendre que plus on additione des nombres de plus en plus grand oubien que plus on se rapproche de l'infini,PLUS ON SE RAPPROCHE DE ZERO , MAIS DE ZERO A GAUCHE. CAR D'APRES LE THEOREME D'ARCHIMEDE IL EXISTE TOUJOURS PLUS GRAND QUE SOIT. IL N'EST DONC PAS SURPRENANT DE TROUVER QUE LA SOMME DE NOMBRES DE PLUS EN PLUS GRAND SOIT EN EFFET ASSOCIABLE POUR NE PAS DIRE A UN NOMBRE NEGATIF.
Sur ce, le carctere absurde d'avoir ces egalites fausses _somme des entiers egale -1/12 , somme des 2 puissance n egale -1_ prend tout son sens.
Et meme , c'est vrai car une droite est un arc de cercle de rayon tres tres grand.
Je suis loin d'être un spécialiste, mais je m'interroge...
Si la somme des entiers naturels (notons la N) vaut -1/12 et que la somme des puissances de 2 (notée P) vaut -1, a-t-on le droit d'en déduire que P = 12*N ? Ou encore que N - P = 11/12 ? (intuitivement, oui, mais l'intuition est visiblement mauvaise conseillère sur ces suites)
Question subsidiaire : existe-t-il un résultat aussi "mindfuck-esque" avec 0+0+0+0+... ? (on n'est plus à une surprise près ! :p)
Oui, on a bien P=12*N et N-P = 11/12, puisque N et P sont des nombres réels. On peut donc les multiplier et les ajouter.
Ce qui est intéressant, c'est qu'on peut utiliser la linéairité des supersommations, qui nous dit alors que (1+1)+(2+2)+(3+4)+(4+8)+(5+16)+... = -13/12. (les parenthèses de ce calcul sont indispensables !).
Enfin, pour ta question mindfuck-esque, la réponse est oui => Épisode 12 : ua-cam.com/video/WG8H5zAfxow/v-deo.html
Merci pour cette réponse !
Donc Z = 0+0+0+0+... =... n'importe quoi sauf 0, si j'ai bien compris.
Si l'on reste sur l'épisode 12 et l'exemple du segment, on aurait même Z > 0. Ou peut-être seulement Z différent de 0.
Du coup, sauf erreur de ma part, on peut écrire n'importe quel nombre réel (positif ?) comme n'étant qu'une somme infinie de 0.
Ils seraient donc tous égaux à Z... et donc tous égaux entre eux ? (à l'exception de 0)
Je ne sais plus qui voulait prouver que 1=0, mais il me semble qu'on n'en est pas très loin. Du moins, là, on aurait 1 = 2 = -378 = on jette les maths à la poubelle ! (ce serait dommage :( )
Or, comme ce n'est pas censé se produire, je présume qu'il y a une faille dans mon raisonnement. Reste à savoir laquelle...
---
Sinon, super chaîne ! Je n'ai découvert qu'avant-hier, et c'est vraiment excellent !
C'est vraiment très bon...
J’ai appris beaucoup grâce à toi et tu me confirme ma vision...
Tu à dû croiser certain profs de Maths parlant de ‘LA MATHÉMATIQUE’…
Comme toi ils ne savaient peut être même pas de quoi ils parlaient… ;)
De nos jours ( au jours d’aujourd’hui ;) )
Nombreux sont ceusses qui créent… inventent de la musique… avec ou sans logiciel…
Qu’ils soient plus ou moins critiqué dans les médias n’en change pas moins leurs statuts…
Ils font la musique alors que la plupart ne savent ni la lire ou l’écrire…
Sauf que…
N’y a t’il qu’une seul manière d’écrire la musique ???????
N’y a t’il qu’une seul manière d’écrire ???
N’y à t’il qu’un seul langage ?
Et sans fautes d’orthographe ou de grammaire ne peut on point écrire :
« La terre est bleu comme une orange » ????
;)
The general formula for the sum of the series of r-gonal numbers is (r - 4)/24
Salut tous le monde, y a des choses qui me déranges quelqu'un pourrait m'expliquer svp..
Déjà à 2:30, pour -2S et S il décale la suite, Mais même si ça va jusqu'à l'infini, cela ne devient il pas faux ? Car dans ce cas là 0= ce que l'on veut...
En suite à 12:45, je ne comprends pas tous les calculs^^ mais (1/6)/(2!)*1 =1/12 et pas -1/12... non ? :/
Et à 14:48 il nous dit que puisque
2+3+4+...=-7/12
0+2+3+4+...=-13/12
Alors qu'on a que rajouté 0..
Du coup je suis un peut perdu là, merci de m'éclairer
12:45, c'est une coquille. J'ai oublié un - qui traînait. Merci de souligner l'erreur.
Pour 2:30 et 14:48, je te suggérerais de (re?)voir l'épisode 4 : ua-cam.com/video/Ap10Gb2_wcc/v-deo.html
Chaque opération correspond à des hypothèses très précises qu'on s'autorise ou on s'interdit de faire. Il se trouve que ce qu'il est possible de s'autoriser pour certaines sommes infinies est interdit pour d'autres...
Science4All (français) merci beaucoup, je vais regarder cette épisode, sinon bravo pour cette vidéo qui a dû te demander beaucoup de travail ! Continue
Donc si je comprends bien Remy Pair (père ?) a démontré qu'une méthode de calcul était fausse alors qu'elle conduit à un résultat qui semble correct puisque -1/12 est bien vérifié par d'autres méthodes...c'est assez déroutant.
Remy n'a pas démontré que la méthode est fausse mais que la méthode supposée avoir ces propriétés n'existe pas. Cela veut donc dire que la méthode ne satisfait pas les hypothèses supposées (si elle existe)
Une question :
S-2S peut il être aussi égale à 1+3+5+7+9+... si les supersommations régulières, stables et linéaires de S sont autorisées ?
Je passerais peut-être pour un idiot mais je ne suis pas très fort et je connais très peu ce domaine voir pas du tout.
Merci d'avance
Si je comprends bien, tu veux écrire S-2S = 1+2+3+4+5+... - 2*(0+1+0+2+0+...) = 1+0+3+0+5+...
Il faut faire super gaffe aux zéros quand on joue avec les séries divergentes. Tu vois là que tu as du utilisé l'insertion d'un nombre infini de zéros entre les termes de la somme. Cette opération n'est pas autorisée par les supersommations régulières, stables et linéaires.
Ceci dit, tu peux créer une nouvelle supersommation où tu autorises cette insertion de zéros.
Dr Apeiron a écrit dessus : dr-apeiron.net/doku.php/fr:vulgarisation:series-divergentes
Ça marche pas super bien...
+Science4All (français) Metci pour la réponse !
Je n'arrive vraiment pas à comprendre en quoi l'insertion d'une infinité de zéro dans une addition peut poser problème. Zéro n'est-il pas l'élément neutre de l'addition ?
Parce qu'il ne s'agit plus de l'addition au sens classique, mais d'une autre opération plus générale (qu'on appelle encore "addition", par "abus" de langage, car elle en conserve plusieurs propriétés et présente avec elle une analogie évidente). Qui dit plus général dit perte de propriétés. Et l'insertion des zéros est une propriété qui se perd.
D'autant plus que la notion "d'élément neutre" n'a pas ici de sens, car une loi "+" d'un groupe se définit entre deux (ou un nombre finis d') éléments. Ici on "+" ensemble une quantité infinie de nombres (Si on considère cette opération comme une "addition"). Du coup cette opération ne se représente pas par un groupe avec sa loi.
Je réagis à la réponse aux commentaires sur la somme des puissances de 2 dans un espace à topologie 2-adique ; j'ai un peu développé sur la vidéo Hardcore 3 pourquoi j'avais un problème avec l'égalité à -1, mais ça me confirme maintenant que tout est question de rigueur et de définition. En effet, si on considère Q muni de la topologie d'espace 2-adique et de la valeur absolue 2-adique (qui, notons-le, est bien une norme), alors en effet la suite (s_n) des sommes partielles des puissances de 2 tend DANS CET ESPACE (j'insiste lourdement, là on n'est pas dans R) vers -1 selon la norme 2-adique, par simple définition de celle-ci : pour tout a un rationnel, ||a|| = 2^(-p), où p est l'exposant de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de a. En effet, pour tout entier n, la distance 2-adique entre (s_n) et -1 définie par ||s_n - (-1)|| est égale à 1 / (n + 1), ce qui tend vers 0. Ainsi, la série des puissances de 2 converge dans Q 2-adique et sa somme vaut -1. Ce qu'il faut retenir de cela, c'est qu'il est dangereux de dire des trucs du style "c'est vrai" ou "c'est faux" sans préciser dans quel contexte on se place, et même si je sais que c'est pas évident de parler de convergence ou de topologie p-adique dans une vidéo de vulgarisation, c'est encore plus risqué d'aborder des trucs qui en nécessite la compréhension.
il aurait du pas parler de ça dans cette partie de vidéo
l'idéale c'était de faire une suite avec cette vidéo pour ne pas être trop lourd
au début il parle lentement puis son débit à la fin augmente sans que ça n'apporte un plus ...
Comme je suis en première je n'ai effectivement pas compris les démonstrations mais j'aimerai quand même savoir que signifie o(1) que tu prononce "petit o de 1".
merci d'avance et très bonne vidéo comme d'hab.
Ça veut qu'il y a une erreur qui tend vers 0 quand x tend vers 0. Plus précisément, on a (Somme régularisée(x)) = 1/x^2 -1/12 + Erreur(x), avec Erreur(x) -> 0 quand x tend vers 0. Autrement dit, on a (Somme régularisée(x)) - 1/x^2 -> -1/12.
+Science4All (français) ok bon c compliqué mais je crois que j'ai saisi.
Merci
Vidéo très intéressante, avec une petite mise en scène sympa. Tu as gagné un sub ;)
Bonsoir, en regardant cette vidéo alors que j'ai toujours été une bille en math. je me pose une question comment un raisonnement logique fondé sur des connaissances exact dont l'exactitude n'est pas à verifier peut-il être correcte ou faux selon l'outils mathématique utilisé ??
Contrairement à ce qu'on vous martèle, les mathématiques ne sont pas tout à fait des "connaissances exactes" ;)
Ou plutôt, et c'est là où je veux en venir dans cette série sur l'infini, il y a en fait "plusieurs" mathématiques, et ce qui est vrai dans certaines mathématiques ne l'est pas dans d'autres...
merci de m'avoir répondu je comprend mieux alors ^^, alala les prof alors tout à refaire ^^ .
comment tu fait pour faire un développement limité en +infini ?
Ch de variable tu te ramène en 0
Je demande si on somme des chiffres négatifs ?donc le resultat doit etre 1/12? Donc seula veut dire que la somme des positifs a tendance a virer vers - donc la somme négative elle a tendance a virer vers le positif donc il y a une courbure ? Donc au final elle vont surement se rejoindre sur un point le Zero négatif
Interessant dans le mesure où l'on est amené à se poser des questions qui sortent des sentiers battus.....mais ne risque t'on pas de sortir du domaine mathématiques.....?Etant à la retraite depuis 16 ans je ne suis plus vraiment dans le coup........mais cette notation1+2+3+.....ça ne m'inspire pas trop confiance, c'est un truc à se cracher dans une demonstration
En tous cas tout cela est beaucoup plus passionnant que je ne le pensais
Si ça peut vous rassurer, on est capable de construire un cadre rigoureux dans lequel tout ceci a un sens ;)
@@DanielBWilliams Merci
Certes! En tant qu'ancien matheux cette réponse me convient, en tant qu'individu lambda elle me laisse sur ma faim.....mais ne suis je pas en train de sortir du cadre mathématique....ce questionement nest il pas hors sujet?
Je vous remercie en tous les cas pour toutes ces vidéos.
SVP c'est quoi la musique de fond a 11:55???? Genre la musique un peux japonaise. SVP merci et bone soiree
et a 12:50 svp mr
Juste génial ! Hyper accessible et hyper passionnant. Mérite un enooorme succès !
C'est formidable, mais je reste septique malgré les démo car c'est intriguent de trouver -1/12 idem pour les autres
ps: il manque un - à 8:15 que l'on retrouve à 8:47
Il y a pas de -, ou plutôt il y en a 4 qui s'annulent, celui avant la parenthèse, celui devant e(-x) au dénominateur, celui qui apparaît en dérivant e(-x) et celui devant u' dans la formule (1/u)'=-u'/u^2
Bonjour , j'espère que vous allez bien , j'aime beaucoup vos vidéos et je ne sais pas qu'est ce qui empêche de dire que : 1+2+3+4+......+n=-1/12 soit égale à i²/12=e (i*pi)/12 ?
Rien ne l'empêche du coup.
Attention la somme ne s'arrête pas à n....
Avoir beaucoup de zéro à droite du 1 en base 10, ne tient plus en une autre base.
Que doit-on en conclure?
Selon vous (2:26 minutes) S-2S+S=1 et donc 0=1
Mais si l'on calcule d'abord S-2S on obtient S-2S= -1-2-3-4-5-6...
Et donc S-2S = -S ce qui est logique
Et donc S-2S+S= 0
puisque S-2S= -1-2-3-4-5-6...
et que S= 1+2+3+4+5+6...
Les valeurs de la somme s'annulent et donc S-2S+S=0
2S-2S=0
Ainsi 0=0
Je ne sais pas si ça invalide l'argument. Mais cela montre probablement que cette méthode de super sommation n'est pas bonne. Si je me trompe, veuillez me le signaler. Merci
Bonjour, je suis un passionné des maths mais je n'y connais plus rien pour avoir laissé le lycée depuis plus de 25 ans et j'ai fait entre temps des études de sociologie et de droit. Maintenant, je veux ouvrir une entreprise de production de chèvres 🐐 et je veux une modélisation et des applications me permettant de prévoir la progression. Comment vous pouvez m'aider? Je vous en remercie déjà.
En regardant tes vidéos, j'ai plus l'impression que l'infini pose plus de problème qu'ils n'en résout.
Oui, c'est pour cela que je préfère ne prendre qu'un bout de l'infini...disons le milliardième...
Moi aussi, je prends pi infini et je fais tout...
Bah, normal ? Comme quasiment tous les concepts en maths en fait, un concept n'est a priori pas un outil, c'est simplement un objet dont on souhaite étudier les propriétés. C'est comme dire que les fonctions continues non-différentiables posent plus de problèmes qu'elles n'en résolvent. :)
Hello, en lisant les commentaires je me rends compte que beaucoup n'ont rien compris à la vidéo, c'est un peu de la faute de Science4All : Les mathématiques ne disent pas que 1+2+3+4 .. converge vers -1/12.
L'écriture 1+2+3+ ..=-1/12 (R) a pour objectif de représenter une propriété de la somme 1+2+3+4 qui diverge vers +infini et la façon dont cette somme diverge vers l'infini, je vous laisse lire l'article wiki : fr.wikipedia.org/wiki/Sommation_de_Ramanujan
Science4All a bien expliqué cela, mais il fallait le clarifier dès le début, un peu de suspens est bon, les mathématiques sont fabuleuses .. pas la peine d'en rajouter.
Continue ce que tu fais, garde le cap !
Mais le physicien s'est peut être juste tromper sur le rapport de proportionnalité pour les différents ordre de résonance non ?
C'est incohérent, si on ajoute à l'infini des nombres positifs toujours plus grands entre eux, on est obligé de trouver un nombre positif immensément grand.
Ces démonstrations tendraient à prouver que + l'infini = -1/12, or on ne peut pas quantifier l'infini, de même que l'on ne peut pas diviser un nombre par 0.
Le fait que vous trouvez incohérent s'appuie sur une règle algébrique qui n'est pas vérifiée par cette addition: la positivité.
Votre raisonnement n'est vrai que pour les operations (la limite des sommes partielles en fait partie) qui la vérifie. Et ce n'est pas le cas de ce dont on parle ici.
@@manun7105 ca signifie quoi posotif pour le signe egal dans ce cas ?
@@fredyfredo2724 peux tu reformuler plus clairement ta question stp? Je ne comprends pas ce que tu veux dire...🙂
@@manun7105 ce qui importe in fine c'est la signification du signe egal. La positivité n'apparait pas ici, c'est bien un - qui est signifié.
@@fredyfredo2724 Tu n'as pas compris ce que j'ai dit (je n'ai jamais contredit le fait qu'il y avait un moins ici 🤦♂️). Relis calmement et réfléchis y. Tu as le droit de poser des questions précises si ce n'est pas clair
Le problème est l'infini
Nous ne pouvons pas connaître l'infini ,ainsi nous pensons que le seul a être infini est l'univers et l'univers est fini.
Ainsi avec les chiffres de la base octale nous pouvons avoir une mince idée sur l'infini.
Les chiffres de la base octale sont 0 ;1;2;3;4;5;6;7 en réalité c'est une disposition de couples complémentaires comme suit:(0;1)(2;3)(4;5)(5;7).
Le choix de 0 à 7 n'est pas arbitraire (les 7 jours de la semaine ).
Avec les couples complémentaires (0;1)(2;3)(4;5)(6;7) un seul rapport de chiffre impair sur paire (imp/pair) tant vers l'infini ,c'est le couple (0;1) ou le rapport 1/0= infini .
C'est a dire si les religions révélées énoncent la création des cieux et de la terre en six jours ,il y a un jour ou Dieu n'a rien créé c'est le couple (0;1) ce jour est dédié à son nom yawm-ul Ahad et Ahad est un attribut de Dieu qui veut dire unique .Ce jour correspond au dimanche ou jour du Seigneur.
Le couple (0;1) nous montre la situation des début de l'univers
Quand il y avait pas de créatures (0), il y avait un Dieu(1) et quand il cré Il le fait par couples ainsi vient les couples (2;3)(4;5)(5;7).
L'infini est unique et c'est Dieu
Vous partez dans des considérations qui n'ont rien de mathématiques. L'infini est très bien connu en mathématiques.
@@DanielBWilliams je veux bien discuter ou même échanger mais avec des bases claires pour te montrer que l'infini n'est pas bien connu par le monde.
Les Mathématiques ont permis la découverte de l'informatique et tout bon informaticien est bon mathematicien.
Et si je te dis que les 7 jours de la semaine représente un octet.
Tu vas me dire que je délire et si tu comprends pas cela me ferai un grand plaisir de partager cette nouvelle découverte.
@@coran-informatique_255 Comment ça "les 7 jours de la semaine représentent un octet" ?
@@DanielBWilliams c'est de l'ésotérisme .Et pour faciliter la compréhension ,nous allons toujours travailler avec la base octale sous forme de couples complémentaires comme suit:(0;1)(2;3)(4;5(6;7) et cette représentation est très symbolique car pour chaque couple respectif nous remarquons le chiffre paire à gauche et le chiffre impair à droite .Ainsi cette base peut se repartir en deux parties :
Les chiffres pairs à gauche et les chiffres impairs à droite comme suit:
0 2 4 6 1 3 5 7
Cela va prendre du temps pour comprendre mais avec une bonne analyse du lien joint peut être tu vas comprendre incha Allah.
ua-cam.com/video/6ftraEVr5yk/v-deo.html
Si 0 est a l'extrémité gauche sont complément 1 sera à l'extrémité droite et nous aurons:
0 2463571
Le lien est la base de la compréhension de cette découverte.
Tu as raison
C'était ce genre de vidéo qui faisait que j'adorais Science4All... maintenant il ne fait plus de maths, c'est dommage...
Plus de maths pures disons 🙃
Il manque pas un moins en bas à gauche à 12:47
Bonjour, si je ne me trompe pas, de 8:42 à 9:08, il y a une coquille. En effet l'égalité 1e^(-1x) + 2e^(-2x) + 3e^(-3x) + 4e^(-4x) + 5e^(-5x) + ... = - e(-x)/(1-e(-x))² est écrite or il a été démontré plus tôt que 1e^(-1x) + 2e^(-2x) + 3e^(-3x) + 4e^(-4x) + 5e^(-5x) + ... = e(-x)/(1-e(-x))² (sans le moins) ce qui semble plus cohérent avec le reste de la preuve.
Très bonne vidéo sinon :)
La formule que vous avez affichée est fausse, parce que -1/12 est la valeur, en s=-1, de la fonction qui prolonge analytiquement la somme de Riemann (la fonction zeta en l'occurrence). Cette fonction, pour Re(s)
bonjour,
je dois dire que je me suis un peu pris la tête avec le calcul de la normalisation par l'exponentielle car malgré une différence entre mon calcul et celui qui est présenté (8:15) - et donc une expression finale différente - j'obtiens des tracés identiques pour la somme de la suite. L'erreur que je crois détecter tiens au fait que l'expression 1/(1-exp(-x)) - apparaissant au début de la 3ème ligne - considère que le premier terme de la suite géométrique est 1 (exp(0)), alors qu'il s'agit en fait de "exp(-x)", d'où mon résultat intermédiaire (avant d'appliquer l'opérateur de dérivation) : 1/(exp(x) - 1), en lieu et place de : 1/(1 - exp(-x)). Alors bien sûr, ces deux expressions ayant pour différence la constante 1, cette dernière est supprimée par la dérivation, et je retombe sur une fonction dont le tracé semble identique au résultat final proposé, et où seule l'expression change : exp(x)/(exp(x) - 1)². Comme cela me paraît être une erreur assez grossière et qu'elle ne me paraît pas non plus simplifier les calculs (j'avoue ne pas avoir poursuivi avec la série de Taylor), je me demandais ce que cela pouvais bien cacher. À moins que je sois fidèle à ma réputation : le roi de l'erreur de calcul ...
J'ai un problème avec ton DL (oui, je sais, je déterre la vidéo) : comment tu peux avoir un terme en 1/(x^2) avec un o(1) ? et de plus, 1/(x^2) -> 0 pour x -> \infty... j'ai un gros doute sur ta démonstration, d'un coup...
Je dis peut-être une connerie (les cours de sup/spé sont partis loin...) mais quand tu as un DL, le terme en +o( X^n) correspond à négliger les termes de degrés supérieurs à n (par exemple quand tu fais le DL de l'exponentielle à l'ordre 2 tu as: exp(X)= 1+X/2+ X^2/6+o(X^2), tu viens donc de négliger les termes de degrés >2 ).
Ainsi si tu avait juste le terme en 1/X^2, tu aurais un +o(X^-2) .
Je pense donc qu'il faut voir le +o(1) comme un +o(X^0), il est donc cohérent ici avec la définition du +o(X^n)
Par contre je suis d'accord avec toi sur le second point,on cherche à calculer la valeur de la série pour x->0 (pour que les exponentielles valent 1 et revenir sur la série des entiers naturels) or ici on a le terme 1/(x^2) devant qui tend vers l'infini pour x->0.
Je vois assez mal comment on peut ne pas se soucier du 1er terme et juste du second quand x ne tend pas vers l'infini( ce qui est assez étrange étant donné que l'on fait le DL de l'exponentielle au voisinage de 0)
Safure non, effectivement, je n'ai pas fait gaffe, 1 = o(1/x^2) en 0, donc cette partie de la preuve est valide.
Je crois qu'un "-" est apparue comme par magie entre 8:37 et 8:42... Pourrait-on m'expliquer pourquoi ?
En fait c'est pas grave car le "-" disparaît à la ligne d'en dessous.
Ouais, il avait fait une erreur de signe dans son premier calcul qu'il a corrigé ensuite.
je ne comprend pas pourquoi lors du résultat par la méthode des DL on effectue pas une limite en 0 ce qui redonnerait alors + inf au résultat
La formule générale est:
0 + 0 + ... + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = -1/12 + k^2/2
où k est le nombre de zéros au début de cette série qui n'est pas stable.
Peut on écrire A = 1+1+1+1+.. avec S = 1+2+3+4 et S' = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 comme A = S - S' . On a donc un joli A = 0, si on s accorde à dire que S = S' (donc si S suit la propriété de stabilité). Ca remet peut être juste encore plus en question la supersommation sur S, mais j'aimais bien mon exemple, et je voulais des avis de mathématiciens plus aptes que je ne le suis.
Mais pour quoi par après tout ? Je veux dire, ça peut donner un pan de recherche nouveau des mathématiques non ? À creuser je pense, que l'on mette au moins au clair tout ça pour savoir si ce n'est que pure affabulation ou qu'il y a vraiment quelque chose derrière tout ça.
Salut Lê ! J'ai beaucoup aimé ta vidéo qui traite de ce problème de somme infini en prennant en compte l'écriture mathématique sous forme d'une somme et le fait que tu prends le temps de développer les calculs de façon rigoureuse, chose que je n'ai pas trouvé sur les autres vidéos traitants de ce sujet. Cependant j'ai refait les calculs de la 8ème minute de la vidéo et je ne trouve pas exactement la même chose que toi... Aurais - tu fait une erreur sur la somme infinie d'exponentiels? Car la somme géométrique qui en découle n'est pas censée avoir d'exponentiel au numérateur selon moi ... Peux tu m'éclairer ? :D
Tu as dû oublier le fait que la somme géométrique part de n=1 et non de n=0. Quand la somme part de 0 effectivement on s'attend à avoir un 1 au numérateur. Mais quand elle part de 1 c'est différent....:)
pour la fonction zeta de riemann
l'ennui cest quelle est definie de 2 manieres une simple sur ] 1 ; +inf [ l'autre plus compliquée qui est son "prolongement" et définie sur tous les nombres complexes sauf 1
et si vous calculez zeta(-1) avec la formule simple vous obtenez la somme des nombres entiers ( jusquà l'infini)
et il se trouve que zeta(-1) = -1/12 ... sauf que les gens utilisent la fonction simple et l'évalue en -1 ce qui n'a pas de sens car la version simple n'est valable que sur ] 1 ; +inf [
zeta(-1) a une expression complexe (qui est egale à -1/12) mais cest n'est certainement pas la somme infinie des entiers naturels
j'ai pas bien compris la, tu nous dit que l'equation est fausse en citant un calcul pas claire (pour un novice comme moi), j'ai pas compris pourquoi decaller les suites dans s-2s+s, jme suis renseigné a la va vite en gros t'as juste raajouté 0+0 en debut de suite ce qui ok ne change rien a la suite ! mais apres tu demontre, avec preuve physique que c'est vrai..
Donc c'est vrai ou faux ??????
Elle est difficile ta question... Et c'est ça qui la rend fascinante !
super boulot, merci beaucoup pour cette vidéo, juste un petit truc: sur le tableau, pour la régularisation par l'exponentielle il me semble qu'il manque un signe - dans la dernière égalité : -(1/(1-e^-x))' = e^-x/(1-e^-x)² devrait s'écrire -(1/(1-e^-x))' = - e^-x/(1-e^-x)² non ?
Ce qu'on nous avait tout de suite dit en première année de fac, c'est qu'il est "illégal", mathématiquement, de permuter, regrouper, etc, des termes de séries divergentes.
Cette prétendue égalité (et non équation) est le fruit vénéneux d'une telle faute grossière.
Et là patatra, vous découvrez en fait qu'il ne s'agit pas de séries. Incroyable non ? Regardez à nouveau la vidéo en gardant cette information en tête :)
@@DanielBWilliams Mais oui, la manip qui aguiche les masses populaires montre bien une somme infinie à gauche, et le prétendu résultat à droite. Et la prétendue "démonstration" en manipule les termes.
C'est anti-pédagogique et démago.
Je vois bien où vous voulez en venir, mais c'est tout de même une confusion.
Vous avez aussi des gens qui se font un nom en clamant que i^2 = -1 est extraordinaire, paradoxal, etc.
@@AlainNaigeon "C'est anti-pédagogique et démago."
Non je ne crois pas, le but étant de montrer comment on fait des mathématiques: en expérimentant, en transgressant (au moins temporairement) les règles pour voir si l'on peut obtenir des résultats intéressants.
Ce fut le cas de i à l'origine justement.
Surtout que cette vidéo et la vidéo "hardcore" associée expliquent bien le cadre formel et rigoureux dans lequel on peut se placer pour faire ça sans problème.
" i² = -1 est extraordinaire"
Après tout ce temps, je trouve toujours i²=-1 assez extraordinaire. Je pense que c'est une bonne chose de s'émerveiller de ce genre de choses. Disposer d'un corps avec tout un tas de bonnes propriétés dans lequel on a des racines carrées de -1, c'est assez formidable je trouve
@@DanielBWilliams Finalement on n'est pas en grand désaccord. Simplement le côté un peu bling bling auquel je faisais allusion, c'est quand on dit aux gens, vous vous rendez compte, un carré négatif, hou la la. Sauf que le carré en question est celui d'un nombre de type nouveau, et que le résultat -1 + 0i est donc en bijection avec le réel -1, sans lui être identique.
@@AlainNaigeon Oui je vois ce que vous voulez dire, ça peut être frustrant parfois haha
Quand à savoir si i² est vraiment égal à -1, ce n'est pas qu'une question de bijection.
Il est tout à fait possible de construire ℂ à partir de ℝ de manière à ce que ℝ soit factuellement inclus dans ℂ, et que donc i² soit vraiment égal au -1 usuel.
si seulement tu refaisais ce genre de vidéos...
Il y a (à mon avis) un os dans l'effet Casimir. Je n'ai pas tout compris des calculs qu'il a fait sur la question (ça pique), mais voilà où est l'os :
Il s'agit de vibrations électromagnétiques entre deux plaques (ce qu'on connait habituellement sous le nom de résonnateur de Fabry-Pérot) Le calcul indique bien que les modes de vibration s'étabissent par valeurs entières, les valeurs intermédiaires donnant des ondes évanescentes (qui se détruisent mutuellement).
Ce calcul suppose donc 1 + 2 + 3 +... jusqu'à l'infini. Or, l'infini est un concept mathématique qui n'a pas de réalité en physique. Concrètement, les photons qui se promènent entre les plaques ne peuvent pas avoir une énergie infinie.
En plus, s'agissant de plaques de métal, leur coefficient de réflexion n'est pas toujours de 1 (ou voisin) mais plus la fréquence est élevée, plus l'énergie des photons est élevée, et il arrive un niveau auquel les plaques deviennent transparentes ! (les photons gamma très énergiques traversent les plaques, comme on le sait, et même les rayons X durs)
Donc la suite 1 + 2 + 3 + ... ne peut pas physiquement s'étendre à l'infini, mais jusqu'à une valeur finie, d'autant que statistiquement les photons sont de moins en moins nombreux à être réflechis quand la fréquence augmente (même si on ignore l'absorption qui n'est sûrement pas négligeable)
Dans ces conditions, il me parait justifié qu'on vire des calculs les infinis qui n'ont pas de réalité physique, mais je ne vois pas du tout pourquoi il resterait une valeur négative, et précisément - 1/12.
En un mot, pour moi ça n'a pas de sens (physiquement). La seule chose sensée, c'est que le niveau de pression de radiation sur les plaques côté intérieur doit être inférieur à celui qui existe à l'extérieur, et donc que les plaques s'attirent. Ce qui est confirmé par l'expérience, Mais les calculs sont délirants, pour les raisons que j'ai exposées.
Je serais très heureux d'avoir des avis sur cette question. ..
Il y a en effet une façon de contourner l'égalité 1+2+3+... = -1/12, comme le fait Science Étonnante (dans la section "pour aller plus loin") : sciencetonnante.wordpress.com/2015/09/11/leffet-casimir-et-le-retour-de-12345-112/
Oui. Mais ça n'explique pas pourquoi le -1/12 ça marche, alors que ça ne devrait pas !
Alors je divise l'infini par 0, 083333 et je suis content.
Je me permets d'insister très lourdement sur le fait que passé une certaine fréquence, les photons (qui sont alors des rayons gamma) traversent purement et simplement les plaques (quelle que soit leur nature) et il n'y a donc aucun régime stationnaire possible pour ces photons. Ainsi la somme 1 + 2 + 3 + ... ne s'étend pas à l'infini, mais est bornée, ce qui fait qu'elle ne peut pas valoir - 1/12. Ceci dit, j'admets qu'elle est bornée aussi en dehors des plaques, donc finalement le calcul est faux, mais le résultat est juste.