Wzór Rekurencyjny Dla Całki z Sinus do n-tej potęgi.

0:35 Wyprowadzenie wzoru na całkę z sin^n x
6:45 Obliczanie całki z sin^4 x cos^2 x
12:52 Przekształcenie wyniku
Link do poprzedniego filmu:
• [Studia] Całka Trygono...
Mateusz Kowalski
Autor Wideo Bloga Matematycznego
www.kowalskimateusz.pl
muzyka:
Machinimasound.com - September Sky

[@adamromanowicz7221]

Genialne. Ratuje życie zaraz przed sesją

[@holyshit922]

Jeśli chodzi o całki to ostatnio na pewnym forum widziałem całkę
Int(arctan((x^2-5x+6)/(x^3-6x^2+12x-7)))+arctan(1/(x^2-4x+4)),x=1..3)
I typy na forum chciały liczyć ją z wykorzystaniem wzoru na sumę arcusów jednak błędnie go użyli
Gdy im napisałem że wzór na sumę arcusów jest zdefiniowany kawałkami i trzeba podzielić przedział całkowania
to nie chcieli mi uwierzyć tylko upierali się przy swoim błędnym rozwiązaniu
Całkę którą tu podalem można też liczyć przez części wtedy otrzymamy poprawny wynik a całka która nam zostanie całkiem ładnie się nam uprości
Typy z tego forum z którego wziąłem tę całkę chciały te arcusy dodać i dlatego podział przedziału całkowania był konieczny
gdybyśmy jednak chcieli jeden z tych arcusów rozłożyć na różnicę arcusów to nie musielibyśmy dzielić przedziału całkowania

[@holyshit922]

Zainspirowany filmikiem pewnego Brytyjczyka spróbowałem wyrazić cos^n(x) za pomocą sumy cosinusów wielokrotności kąta ale chyba coś poszło nie tak
1. Ze wzorów na cosinus sumy oraz cosinus różnicy wyprowadziłem wzór rekurencyjny na wielomiany Czebyszowa
2. Zdefiniowałem wykładniczą funkcję tworzącą dla wielomianów Czebyszowa
3. Wstawiłem tę wykładniczą funkcję tworzącą do równania rekurencyjnego
4. Rozwiązałem równanie liniowe niejednorodne drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami oraz warunkami początkowymi (tzw zagadnienie Cauchyego)
(Tutaj wg mnie najwygodniejszym sposobem rozwiązania tego równania jest przekształcenie Laplace)
5. Obliczyłem drugą pochodną całki ogólnej równania różniczkowego z kroku 4
6. Skorzystałem z wzoru Leibniza na pochodną iloczynu aby obliczyć pochodną n. rzędu funkcji tworzącej wielomianów Czebyszowa a następnie obliczyłem wartość tej n. pochodnej w zerze
Tutaj zauważyłem że łatwo policzyć n. pochodną każdego z czynników wykładniczej funkcji tworzącej stąd pomysł aby skorzystać ze wzoru Leibniza
7. Dla każdego naturalnego k nie większego od n takiego że daje tą samą resztę z dzielenia przez 2 co n
obliczyłem niezerowe współczynniki wielomianu Czebyszowa i umieściłem je w kolumnach macierzy dajmy na to A
(Tutaj oczywiście te k uporządkowałem)
8. Odwróciłem macierz A
Tzn taki miałem pomysł ale udało mi się go zrealizować jednak tylko dla konkretnych wartości n np dla n=10
Jednak nie wiem jak zrealizować ten pomysł w ogólności

[@marcinmarcin6459]

Jest mały błąd w tytule - powinien być wzór rekurencyjny zamiast redukcyjny ;)

[@superluki5]

Za mało widoczna ta czcionka

[@kowalskimateusz]

Masz na myśli w miniaturce?