Ótima resolução Mestre! Uma sugestão, resolva provas completas de concursos e vestibulares e algumas vezes esse tipo de questão que resolveu nesse vídeo.
Eu entendi professor! Obrigado! Tem um erro no final. Vc colocou 1/1206 ao invés de 1026, por acidente. Repara p vc ver. A propósito, gostaria de lhe perguntar se é possível resolver uma equação q eu inventei: b^5 + b^3 = 7. Eu conheço muitos tipos de resoluções mas nenhuma se aplicou. 😞
Boa resolução, Cristiano, mas penso que uma solução mais fácil seria por MMC no primeiro membro e radicais duplos no segundo. Parabéns pelo canal! Abração!
Colegas que acompanham o canal, quero ir na contramão da solução do prof. Cristiano e dos demais que apresentaram soluções, e afirmar, com a devida e respeitosa vênia, que todas elas estão incompletas. 0 (zero) é apenas 1 das 5 possibilidades que a soma x^1026 + 1/x^1026 pode assumir, pois estamos no domínio dos complexos. Por exemplo, na solução apresentada pelo prof. Cristiano, ele afirma que, se x^60 = -1 = i^10, então x^6 =i. De cara já vemos que (-i)^10 também é -1, então por que x^6 não pode ser também igual a -i? A questão é, sim, pode, como pode ser também outras 8 soluções. Para x😮^6 = -i a resposta final também é igual a 0; mas para as outras 8 poderá ser 4 outros valores diferentes. Voltando ao início do problema: x^5 + 1/x^5 = sqr(2-sqr(3)) = (sqr(6) - sqr(2))/2 = 2 cos 75⁰. Resolvendo a eq. do 2⁰ grau em x^5 => x^5 = cis(±75⁰) = cis (±75⁰ + 360⁰k), onde k pode ser QUALQUER NÚMERO INTEIRO. Assim: x = cis (±15⁰ + 72k), onde k é um número inteiro. Existem então 10 valores possíveis de x, e 5 possíveis para x^n + 1/x^n, qualquer que seja n inteiro, pois cis (-theta) = 1/cis (theta). Sem perda de generalidade, então, pegarei apenas os valores positivos de ângulos, para simplificar: x^1026 + 1/x^1026 = cis((1026×(15⁰ + 72k)) + cis((-1026x(15⁰ + 72k)). Tirando os "excessos de voltas": 1026 × 15 = 513 x 30 =(504 +9) × 30 = múltiplo de 360⁰ + 270⁰ 1026 x 72 = (1025 + 1) x 72 = múltiplo de 360⁰ + 72⁰ => => x^1026 + 1/x^1026 = cis(270⁰ +72⁰k) + cis(-270⁰-72⁰k) = 2 cos (270⁰+72⁰k), k =0, 1, 2, 3, 4 Pata k=0, a resposta é 2 cos(270⁰) = 0. Mas para os outros valores de k, todos eles satisfazendo a premissa inicial, a resposta é diferente de zero. Vamos testar? Vamos pegar como exemplo k=1. Então x = cis (15⁰+72⁰) = cis 87⁰ x^5 = cis (87⁰×5) = cis (435⁰) = cis (360⁰ + 75⁰) = cis (75⁰) => x^5 + 1/x^5 = cis 75⁰ + cis -75⁰ = 2 cos 75⁰, portanto satisfaz a premissa x^1026 + 1/x^1026 = 2 cos (270⁰ + 72⁰) = 2 cos (342⁰) = 2 cos 18⁰, diferente de zero. É um bom lembrete que, no domínio dos complexos, não podemos simplificar as radiciações.
PROFESSOR, NO DECORRER DA RESOLUÇÃO, DEPARAMOS COM: X^10 + 1/X^10 = - RAIZ 3 POR FAVOR, TIRE-ME UMA DÚVIDA, ENTÃO: COMO DOIS NÚMEROS ELEVADOS A DEZ (EXPOENTE PAR) SOMADOS DÃO UM NÚMERO NEGATIVO (MENOS RAIZ DE TRÊS)? AGRADEÇO.
Boa tarde. Se me permite um comentário, esse se-então aqui x⁵ = e^(±i5π/12)→ x=e^(±iπ/12) não está preciso, já que x^5 = cis (±5π/12+2kπ) para qualquer k inteiro, portanto x = cis (±π/12 +2kπ/5), k=0, 1, 2, 3, 4 (outros valores de k geram valores repetidos). x^1026 + 1/x^1026 = 0 apenas para k = 0, mas ainda há outras 4 possibilidades de valor para essa conta.
@@carlosbismarck9212 na verdade x⁵ = e^(±i5π/12) pela fórmula de Euler, sem os múltiplos ± 5π/12. Aqui não estamos usando a fórmula de Moivre e, sim, a fórmula de Euler para números complexos! x⁵ = cos 75° ± i sen 75° Por Euler, x⁵ = e^( ±i5π/12). Você pode verificar na internet, tem muito coisa falando sobre a fórmula de Euler para os números complexos. Você está confundindo as outras raízes! x= e^[i(±π/12 + 2kπ)] seria mais preciso. x¹⁰²⁶ = e^[1026i(±π/12 + 2kπ)] x¹⁰²⁶ = e^[i(±3π/2 + 2kπ)] = e^[i(±3π/2] Abraços
Como sempre muito bom.
Gostaria de ver uma explicação sobre números complexos.
Obrigado.
Que questão fantástica.
Muito obrigado!!!
Ótima resolução Mestre! Uma sugestão, resolva provas completas de concursos e vestibulares e algumas vezes esse tipo de questão que resolveu nesse vídeo.
Valeu a dica!
Muito bom
Obrigado
Muito bom 👏🏽👏🏽👏🏽
Excelente!
Tem muita questão boa com números complexos, excelente resolução
Uma questão bem difícil, porém muito interessante!
Vc nem imagina professor, estou no variáveis complexo do 6 período. Tô querendo 🎉🎉🎉
Pode deixar
Por que x^6 = i?
Potência de i
Eu entendi professor! Obrigado! Tem um erro no final. Vc colocou 1/1206 ao invés de 1026, por acidente. Repara p vc ver. A propósito, gostaria de lhe perguntar se é possível resolver uma equação q eu inventei: b^5 + b^3 = 7. Eu conheço muitos tipos de resoluções mas nenhuma se aplicou. 😞
Boa noite, Cris. Não tinha visto você de óculos. Bem vindo ao clube dos 4 olhos, ao qual faço parte desde meus 6 anos!
Idade chegando
Boa resolução, Cristiano, mas penso que uma solução mais fácil seria por MMC no primeiro membro e radicais duplos no segundo.
Parabéns pelo canal!
Abração!
Que legal! Obrigado pela dica!
Colegas que acompanham o canal, quero ir na contramão da solução do prof. Cristiano e dos demais que apresentaram soluções, e afirmar, com a devida e respeitosa vênia, que todas elas estão incompletas. 0 (zero) é apenas 1 das 5 possibilidades que a soma x^1026 + 1/x^1026 pode assumir, pois estamos no domínio dos complexos.
Por exemplo, na solução apresentada pelo prof. Cristiano, ele afirma que, se x^60 = -1 = i^10, então x^6 =i. De cara já vemos que (-i)^10 também é -1, então por que x^6 não pode ser também igual a -i? A questão é, sim, pode, como pode ser também outras 8 soluções. Para x😮^6 = -i a resposta final também é igual a 0; mas para as outras 8 poderá ser 4 outros valores diferentes.
Voltando ao início do problema:
x^5 + 1/x^5 = sqr(2-sqr(3)) = (sqr(6) - sqr(2))/2 = 2 cos 75⁰.
Resolvendo a eq. do 2⁰ grau em x^5 => x^5 = cis(±75⁰) = cis (±75⁰ + 360⁰k), onde k pode ser QUALQUER NÚMERO INTEIRO. Assim:
x = cis (±15⁰ + 72k), onde k é um número inteiro. Existem então 10 valores possíveis de x, e 5 possíveis para x^n + 1/x^n, qualquer que seja n inteiro, pois cis (-theta) = 1/cis (theta). Sem perda de generalidade, então, pegarei apenas os valores positivos de ângulos, para simplificar:
x^1026 + 1/x^1026 = cis((1026×(15⁰ + 72k)) + cis((-1026x(15⁰ + 72k)). Tirando os "excessos de voltas":
1026 × 15 = 513 x 30 =(504 +9) × 30 = múltiplo de 360⁰ + 270⁰
1026 x 72 = (1025 + 1) x 72 = múltiplo de 360⁰ + 72⁰ =>
=> x^1026 + 1/x^1026 = cis(270⁰ +72⁰k) + cis(-270⁰-72⁰k) = 2 cos (270⁰+72⁰k), k =0, 1, 2, 3, 4
Pata k=0, a resposta é 2 cos(270⁰) = 0. Mas para os outros valores de k, todos eles satisfazendo a premissa inicial, a resposta é diferente de zero.
Vamos testar? Vamos pegar como exemplo k=1. Então x = cis (15⁰+72⁰) = cis 87⁰
x^5 = cis (87⁰×5) = cis (435⁰) = cis (360⁰ + 75⁰) = cis (75⁰) =>
x^5 + 1/x^5 = cis 75⁰ + cis -75⁰ = 2 cos 75⁰, portanto satisfaz a premissa
x^1026 + 1/x^1026 = 2 cos (270⁰ + 72⁰) = 2 cos (342⁰) = 2 cos 18⁰, diferente de zero.
É um bom lembrete que, no domínio dos complexos, não podemos simplificar as radiciações.
Ok
*Apontamento na solução:*
(±i)¹⁰ = -1. Logo,
(x⁶)¹⁰ = (±i)¹⁰ → x⁶ = ±i.
Não apenas, esse é o ponto. Há 10 possíveis valores para x^6, não apenas i e -i. Para todos os outros 8 a resposta do problema é diferente de zero.
PROFESSOR, NO DECORRER DA RESOLUÇÃO, DEPARAMOS COM:
X^10 + 1/X^10 = - RAIZ 3
POR FAVOR, TIRE-ME UMA DÚVIDA, ENTÃO: COMO DOIS NÚMEROS ELEVADOS A DEZ (EXPOENTE PAR) SOMADOS DÃO UM NÚMERO NEGATIVO (MENOS RAIZ DE TRÊS)? AGRADEÇO.
@@parkisonwork3246 estava pensando a mesma coisa, se teria como haver isso, acho que por conta dessa situação, cai em números complexos!
Justamente por ser um número negativo a partir de duas potências positivas somadas que se deve pensar em número complexo.
Soa números complexos
👍👍👍👍👍
Números complexos
*Solução:*
Seja x⁵ = y. Daí,
y + 1/y = (2 - √3)½
y² - (2 - √3)½y + 1 = 0.
∆= 2 - √3 - 4 = - (2 + √3)
y = [(2 - √3)½ ±i(2 + √3)½]/2
Note que:
(2 - √3)½ = [(√3 -1)²/2]½
e
(2 + √3)½ = [(√3 +1)²/2]½
Logo,
y = [(√3 - 1) ± i(√3 +1)]/2√2
Tg θ = (√3 +1)/(√3 -1) = √3 + 2
θ = 75° e |y| = 1. Daí,
y = cos 75° ± i sen 75°. Assim,
x⁵ = cos 75° ± i sen 75°. Pela fórmula de Euler:
x⁵ = e^(±i5π/12)→ *x=e^(±iπ/12)* logo
x¹⁰²⁶ = e^(±iπ1026/12)
x¹⁰²⁶ = e^(±i3π/2)
x¹⁰²⁶ = cos 270° ± i sen 270°
x¹⁰²⁶ = ∓i → 1/x¹⁰²⁶ = ±i. Portanto,
*x¹⁰²⁶ + 1/x¹⁰²⁶ = 0.*
Q solução interessante e MT boa
Boa tarde. Se me permite um comentário, esse se-então aqui
x⁵ = e^(±i5π/12)→ x=e^(±iπ/12)
não está preciso, já que x^5 = cis (±5π/12+2kπ) para qualquer k inteiro, portanto x = cis (±π/12 +2kπ/5), k=0, 1, 2, 3, 4 (outros valores de k geram valores repetidos). x^1026 + 1/x^1026 = 0 apenas para k = 0, mas ainda há outras 4 possibilidades de valor para essa conta.
@@carlosbismarck9212 na verdade
x⁵ = e^(±i5π/12) pela fórmula de Euler, sem os múltiplos ± 5π/12. Aqui não estamos usando a fórmula de Moivre e, sim, a fórmula de Euler para números complexos!
x⁵ = cos 75° ± i sen 75°
Por Euler,
x⁵ = e^( ±i5π/12). Você pode verificar na internet, tem muito coisa falando sobre a fórmula de Euler para os números complexos.
Você está confundindo as outras raízes!
x= e^[i(±π/12 + 2kπ)] seria mais preciso.
x¹⁰²⁶ = e^[1026i(±π/12 + 2kπ)]
x¹⁰²⁶ = e^[i(±3π/2 + 2kπ)] = e^[i(±3π/2]
Abraços
Casca grossíssima!
Obrigado
Questao que nao leva a lugar nenhum...frustante...so pra concurso mesmo
👍