Teacher Li Yongle speaks fractal geometry
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- Опубліковано 5 вер 2024
- Some students have asked me such a strange question.
He asked how long is the circumference of a snowflake? Which one is longer than the diameter of the Earth?
The question he asked is actually related to the problem of fractal geometry. So let’s study it today.
The main points of knowledge in fractal geometry video:
How long is the coastline of the UK?
What does Koch Snowflake look like?
What is Shelbinski carpet?
How is the Howst dimension calculated?
If you want to know it, just open the video and have a look!
有简繁两种字幕！
关于海岸线，要是每次量的尺度趋近无穷小，要量无穷多次。为什么无穷多个无穷小相加是无穷大啊老师。为什么不会收敛呢？
@@linwang2304 去掉的线段和新增加的线段构成了三角形，每次都在去一边换成两个边，两边和大于第三边，因此周长越来越大
老師 能用國高中數學證明為何速度越大質量就越大嗎？
这个和测度理论有关系吗
要是在地球直径上放一片雪花呢🙄
尺寸越小，量出來就會越大，這樣我懂了
（好啦我說笑的，還是感謝老師精闢的解析）
我怀疑你是在开车，而我却没有证据
是星期天欸
不 你只是把單位從公分變成奈米而已
你给我住口！
太小了叫，臣妾坐不到啊，太大了叫，扎心了哇
我一个人住，所以基本都一个人吃饭，以前我喜欢边看电视剧边吃饭。现在，我用李老师的视频下饭，看着看着连饭都忘吃的程度。
妳倆湊一對，結婚吧，祝福你們
同感！
在一起！在一起！在一起！
Voyager 你好可爱啊
基 本一个人吃饭，后来看着李老师吃饭，现在已忘记吃饭？嗯。。。
李老师做出来的每一期视频都没有一个字的废话，全是干货, 真是太厉害了。欣赏加崇拜。👍
小朋友问题真是不错，俗称问题儿童！！！！！
我笑了
我笑了 no.2
以后不看李老师的视频了，没意思~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~看多了容易飘🤣
哈哈哈
万一这个小盆友不是儿童了呢？那应该称为问题**？
老师视频做的不长，可是讲的很到位。看过一些类似老师的科普视频不是讲的很深就是重点不突出。老师加油
Intelligence Injection 好期待你的作品
Intelligence Injection 同期待
@Intelligence Injection 嗯嗯你很厉害哦
Intelligence Injection 期待
Intelligence Injection 语速加快一倍？
李老师真正启发了我对数学的兴趣。
hhi tck 激发吧
幸好看了李老师的视频，居然在笔试的时候考的题目和李老师之前讲的一模一样。
那可能是出题老师也看了李老师的视频!😅
分形几何让我突然理解了为什么崎岖的人生仿佛数倍于线性的人生。
这样你就能多活几年
这个联想太有智慧了。
没错，分形几何也适用于人生，尺度不同结果也不一样，尺度越大结果越小，比如用辈来计算人生，人人都是一辈子（1），如果用年/月/天/小时/秒来计算人生就显得漫长了，另外还可以用财富权力学历等等来衡量人生，但这些都是有形可见的可测量可计算可比较可攀比的尺子，终其一生所能获得的都是有限的，有形的东西越多未必一定是好事，并且生不带来死不带走。但如果用无形尺子（意识consciousness，精神spiritual）来衡量人生，那就和海岸线一样是不可测的，因为人内在变化可以是跳跃的，量子的，放下屠刀立地成佛的，天堂的，地狱的，无限的······，崎岖坎坷人生是对人内在那片无限区域的考验和淬炼。不好意思，班门弄斧了。
我就是传说中的文科生，加减法我都能算错，看李老师的视频一直有种自虐的感觉。
但是这种快感停不下来😊
开字幕，有简繁；可分享，勿盗版。
謝謝李老師很讚分享，分形幾何是很有意思的數學，我一直在研究一張鈔票如何把它變得無限大
S H C 看了好多留言你的最好笑
这个视频其实偷换了概念，对于一个固定周长的测量，当选取一个无穷小作为单位长度的时候无数个无穷小之和一定是收敛于周长值的，一个非常好的例子就是用多边形来逼近圆的周长，当变数为无穷大的时候得到的就是圆的周长的准确值。分形的构建则不是测量的过程，它直接改变了待测的长度值--科赫雪花的周长是无穷大是因为它被刻意地构建成了无穷大，而不是因为所有二维图形的周长都无穷大。
毕睿克 英国海岸线有「固定」周长吗？
@@clemensschneeweiss8407 选定某一个时刻的话，有
明白人
不不不，海岸线也是可以被分成无穷份儿的，比如是用分子尺度来测量还是原子尺度，亦或是更小的尺度，尽管更小的尺度在物理学上可能不存在，但是数学上确实是无穷大的
@@enquanha1862 物理上来看周长是一个很宏观的概念，根本都不需要小到什么普朗克长度，考虑到原子尺度上的空旷程度根本没法良好的定义“边界”这个概念，也就无所谓周长了。
最近老是失眠，自从看了李老师的视频，全好了😺😺
李老师要再配个英文字幕，感觉就要成为最赞的科技youtuber了
Wang Xiaorui youtube 有自动加字幕的
hi
李老师很好，但称为最赞科普up比较合适
@@chichen2211 自动加的字幕不准确，比如公兔子翻译成public rabbit 😅
海岸线不可测量讲解的很通俗易懂，精彩，👍🙏
唉，太长见识了，谢谢老师的授课
我和老公都是文科生 怀孕26周 天天给宝宝听李老师的课当胎教 😄 虽然很多都听不懂 可是就是喜欢听
家由
用雪花周長的尺度看地球周長，那地球周長應該也是無限大，細菌病毒爬過的高山深谷不可記量啊！李老師的說明是很清楚的，謝謝
地球应该算表面积
致敬爱的李老师，
看李老师的视频，我们特别有好奇心，有童真，有活力，有精力，而且特热爱学习。
为啥？
因为，其他老师那，我们是 “各位同学”........
李老师这儿，我们是“小朋友” 。
我们很愿意，永远当您的 “四有小朋友”！！
希望您继续带我们探索，带我们嗨！
非常感谢！
给我一片雪花，献给满脑子葛立恒数的那个她！
Kuen Lee 现在是tree3啦
小狼 tree3和其它几个大数比起来零头都不到
TREE(3)≠tree(3)喔
@@CF_81 醉雞好吃嗎？
感谢李永乐老师~ 讲得太好了，之前看分形的一些知识没看明白，听您一讲，豁然开朗！么么哒~哈哈
我认为不是无限大，因为雪花毕竟是物理的，不是一个数学上的纯理论，最多细分到普朗克常数就不能再细分了，所以结果一定还是有限值。
我这个杠精在这开玩笑了，非常喜欢李老师。
Huaisheng Kuang 愿意多面化考虑问题的不是杠精，是真正的智者
雙擊放大再放大
可是這邊的雪花只是做一個假設
不考慮他得物理量
挺有意思的观点～不过这应该是纯数学上的考虑，暂时不介入物理观点，普朗克常数虽说是最小，但不过也只是人为定义的，你还是可以继续细分的比普朗克常数更小，所以在无限分割下，测量结果是无限的
@@STING7 为什么你能发语音
在物理的定義上是沒有無限小的，粒子層面的情況下，他的周長就有限了。
但數學可怕的地方就是接納無限。
台灣叫做碎形，我研究表面粗糙度有接觸到
李老师您老真的是上知天文下知地理👍
有人可以告訴這個曼德布羅,質子的史瓦西半徑是2.5x10^-54m嗎?用這個作量度單位,去量度一下英國的海岸線長度,應該會很有趣吧
最后答案应该是希尔伯特曲线吧？但是从每个结点拆开还是一条条直线，所以老师问的是“用什么样的直线填满平面”？
这期的内容跟我小时候看马路上的公交车的轮胎而想到的问题有点像。
我当时想“公交车静止或者行走慢的时候轮圈能看得很清楚，开快了就看不清，那是不是如果我眼睛转的更快一些，公交车开得再快我也能看清轮圈或者某一刻能看到停止的轮胎”
后来才知道高速摄影，再也不乱转眼睛了~
不過僅僅是以數學來說無限長吧?
實際操作中尺子不能小於普朗克長度
所以不會是無限
不過確實已經非常長了
当然仅限数学中啊 这些都是大学纯数学会讲到的内容 而且讲得很细 李老师相当于做一个简单的总结
所以有個概念叫無窮
數學沒有普朗克長度阿，就算你給定一個普朗克長度，他就跟你說1/2普朗克長度，繼續做下去
我覺得不僅僅是數學理論上無限長，就像股市的走勢圖那樣，一小時內的大起大落 在10年線圖裡只看到一個點，因為短時間的大浮動在宏觀角度是可以被忽略的。同樣的，秒線圖的大波動在日線圖裡也是一個點。而這些被忽略的波動線細分化至毫秒可以達到無窮大，恰恰可以用於解釋二元期權/槓桿外匯風險係數在極短期的走勢裡趨近於無窮大。維度的計算，可以用於測量投機的槓桿強度大小，風險承擔，所需的儲備資金多寡等等。
為什麼是無限長而不是逼近海岸線長度的真實值？
直观的理解是，有限面积内能容纳的线段长度本来就是无限的，只是我们观察的尺度是有限而已
感觉很多电影的开头就有点这种概念，无限缩放视角
假設一條長度趨近無限的直線
分成兩份時，相似比1:1，份數1:2
同樣可以分成三份，相似比1:1，份數1:3
所以可以填滿所有維度，包括平面
請問這樣是對的嗎
不对。分成两份时，相似比是2:1，要用原来的比分下来的。再结合份数2，维度n=log2(2)=1,直线还是一维
要想填满整个平面，应该要从相似比和分数的公式来入手，平面的维度是2，所以应该要找相似比是2，份数是4之类可以得出维度是2的曲线，皮亚诺曲线可以帮到你
我们的大神李老师，你如果出现在八十年代每天傍晚六点钟的电视节目，半个小时看你，半个小时看动画片，那我们的童年将会有两种期盼，也会有更多七零八零后不再为了考试而学习。。。
房奴太多 是出題不夠狠
综上所述，某个形状的周长、面积，某个物体的体积，只是我们为了方便用于生产生活而做的虚设
而芥子纳须弥，一沙一世界，是可以存在的
作为数学系的学生，李老师讲的还是不错的。。相关的概念基本上没有错
有点“一尺之杆日取其半万世不竭”的悖论感
你应该读点微积分
@@learnfromdata3660 你么说的是一个意思, 无限趋近无法到达
取到最后几个量子的时候搞不好就坍缩了。。。
李老师总是充满热情的样子，很帅👍
可能有点迟了！这期的答案是： 希尔伯特曲线 一个无限迭代曲折的线。这样无尽迭代下去就可以填满一个面积！
可是如果一條線的寬度嚴格定義成0，0X無窮=0
无穷不是数字，0*无穷≠0，例子：点是没有长度的，而线的定义是由无穷的点组成的，而线是有长度的，而面也是由无穷的线组成的。所以0*无穷≠0
原來如此 謝指點
@@fromfareast3070 你這樣一解說 讓我覺得我們看到的都不是現實 因為所有能看到有限的東西都是由無限連繫（組成）的 無限就像道家的道生一 一生二 二生萬物 那麼究竟是無限是存在於現實 還是現實存在於無限呢？又類似於佛學上所說 色即是空 空即是色 以我理解就是所有物質是既存在又是不存在的,即我們人類本身也是既存在又不存在...
維理何 因为通常人的理解范围就是语言的范围（维特根斯坦），但数学却能提供自然语言表达范围之外的东西。
比如，什么是“存在”？这一命题或许在自然语言意义上永远找不出答案。这就是科学的意义所在了。
令直線上的第一個點為X1,第二個點為Y1,第三個點為X2,第四個點為Y2,以此類推;
X跟Y都有無限個,每個X都可以對應任何一個Y,
可以構成整個平面上的所有點
看完影片的三個月後, 終於想出來拉, 感動
其實答案在李老師無限大跟無限大+1那一期
康托證明的結論，所有n維連續統都有相同的基數(阿列夫1)
视频禁止搬运
有字幕
Should I call you Randy Marsh or Lorde?
@@skyacaniadev2229 Dick man
每次问你的小朋友提的问题好高端啊，现在的小朋友好厉害啊
老师忘记了一个客观事实，雪花图形和真正雪花是两个东西，雪花不可能小于水分子(忽略晶体的最低构成分子数)。所以说真正的雪花不是无限的。
分子的周长能测量吗？会不会也是不规则的。
@@qinfeng8455 那你觉得英国的海岸线要从每一粒沙子算下来吗？
而且我说了，这还是在忽略最小晶体结构的情况下。如果按冰的最小晶体结构，这个大小就更不可能无限。
@@LeanBackNplay 为何要忽略最小晶体结构和分子表面的不规则可能呢？
@@qinfeng8455 因为测量的是两点的距离，老师也说了，两点之间是可以测量的。好比你测量地名的时候你不可能测量每一个沙粒吧，你只测量两点直线距离。当你讨论晶体大小的时候你只能说他的两点距离，要不然一切大小都没意义了。
老师开始留课后题目了，看视频的成本无限增大了
李老师都开始留作业了，我的天。。。
在阿基米德螺线中：r=a+bθ，当a=0、b＝无穷小时，一条螺线（在无穷小线段上看就是直线）就可以填满整个平面。
无穷小线段也是线段好不好？直线本身就没有大小
李永乐老师，能不能讲一讲“三体”里面说的维度是怎么理解？
平面是无厚度的，平面上的任意一条直线，沿平面上垂直于直线的方向看过去，直线都覆盖了整个平面。
专业开场白，有个小朋友跟我提了这样的一个问题...........
@@17k_app 李老师说的地球是一个几何的定义，如果按照类似于分形的方式无限小化然后再积分也应该是无穷大。我个人的理解
刘云 ，是直径
无中生小朋友
@@user-ye1ci5dg6b 直徑肯定是圓的 所以就不會有地球表面用分形去計算的問題了 我能這樣理解嗎？
@@kaicheng863 地球直径是经过地心的两个地表点之间的距离，是个有限值。地表之间任意两点之间的直线距离都是有限值。但地球两点之间沿地表划线形成的连线长度是个无限值。
每次都很期待李永樂老師的視頻!!
刚听还有点不信，听完后恍然大悟
当说地球直径是有限，雪花周长是无限的时候。应该认为直径是理论化的一维线段，没有平面延展方向。而雪花的周长是在二维平面里多了延展方向的线
有個疑問：這種測量問題應該類似積分的概念吧，切割成無限多塊小長方形再把他們加起來，不會是一個定值嗎(或者說逼近一個值)?
积分是在可连续的基础上做的
如果说变小到极致达到粒子的情况下周长这个概念就更成谜了。本身粒子就带有方位速度不固定性，想要测量粒子份的物质的总长就是不可解命题。这从物理层次上就说明周长是一个数学模型而且只在宏观世界里有一定意义。
这个小朋友提的问题很有水平啊！
本视频看完之后，很多同学一头雾水，感觉严重违背常识。我也一样，经过仔细查阅资料，才弄明白。不得不说，视频太短，很多地方李老师说得不严谨，甚至可以说是有错漏。在这里我跟大家分享一下我的见解。
1）现实生活中，雪花的周长可能是无限的吗？当然不是，现实生活中雪花的周长是有限的，而且是很小的量，更不要说和地球比了。科赫雪花只是数学模型而已，并不是真正的雪花。
2）科赫雪花为什么周长无限大？视频中只做了几次分割，明显是有限的长度，而且是可度量的啊！那是因为数学定义的科赫雪花，指的是当做无限次分割的时候，周长发散而不收敛。当分割次数n趋向于无限大的时候，周长趋向于无穷大。重点是：无限次分割，周长才无穷大。无限次分割才是无穷大的原因。这也解释了为什么现实世界的雪花周长有限的原因，因为现实世界雪花不可能无限分形，对于一个确定雪花，总有一个固定数值的。
3）总结一下就是：科赫雪花只是借用雪花这个名词，科赫雪花不是雪花，他是数学极限概念！他形容的是一个有限空间内无限长度的数学曲线！不要把数学概念同物理概念混为一谈。
4）第一节说因为尺子无限小，所以海岸线长度就应该无限长，这也是错误的，或者说偷懒的解释。因为同样的操作，割圆术也是这么做的，难道说圆周也是无限的吗？根本的原因在于，圆周是光滑的，什么意思呢，就是“几何上可切，数学上可导”，而科赫曲线，描述的是一种任意一处都“几何上不可切，数学上不可导”的曲线，所以周长才会发散。大家可以在脑海中，把科赫雪花无限次分割，每一个点都不光滑，就明白了。海岸线你也可以同样道理去假想。
5）最终结论：现实世界中，英国海岸线的长度是有限的，并不是无限的。雪花的周长不仅有限，而且非常小，更别提跟地球直径比了。数学中的科赫曲线以及其中的特例科赫雪花，只是数学模型，不可以当成真的雪花。
我说的只是我的个人见解，并不一定就完全正确。但我希望大家看视频，要有自己独立的思考，不要不敢思辨，将老师的话奉为神明，人云亦云，束缚了自己的思维，那就违背了科普最核心的精神：破除权威、启发民智！
你说的内容，其实以能看到这个视频能理解这个视频内容的观众的文化素质也都能明白你的意思，李永乐老师确实解释的不够严谨，但是不过分，有丶偷懒了😂😂
谢谢，两种观点都呈现出来才能提供客观的视角，而不是人云亦云
厉害
这可能就要用到无穷小的概念，比如一棵树新芽的芽苞里有多少小叶，答案是无穷，雪花也一样，他一定是凹凸的，甚至在原子结构上，它也是凹凸的，如果地球周长是定值，它就比地球大。
richie san 这么说，你的头也比地球大，有什么实际意义？
李老师的小盆友和罗老师的张三，永远是个谜
我都毕业了还给我布置作业？
看到最后给我留了作业我居然微微感觉到不安
數理經濟學家一直試圖由分形(台灣翻譯是碎形)去分析金融價格線圖，但也找不什麼規則。
是無限粗的直線嗎？
感謝，log那邊解答了我小時候聽過的一件事情的疑問
长方形里面不能花圆吗? 只要有空间多小的图形都可以从里面割去，那还有自相似性吗?
可以用希尔伯特曲线填充，这类曲线的纬度是二维的，可以填充整个平面
他说直线
我大概只能想到用阿基米德螺旋線,把間距縮到區近於零,便可以填滿整個平面
但是這是螺旋線不是直線阿!
如果有方的螺旋線不知道要怎麼解釋
而如果可以折的話 用弓字樣的"直"線也可以填滿一個平面 也就是皮亞諾曲線
抱歉IQ限制了我的想像
再不然就是用一個長度趨近於零的直線去填滿一個面積趨近於零的平面???? 我好像成功了XD 全部降為零維吧!!哈哈哈 吃我的降維打擊
我就没有想到还可以降维，不错不错
有长度的叫线段。。直线哪有长度
杨灿 那不然就用一條直線去填滿寬度趨近於零的方形平面?
是的，斐波那契数列也是分形的体现
李老师认识的这位小朋友都能当老师
老师，作业我不会做，能不能告诉我答案啊，我头发已经掉光了
别撒谎，你哪有头发
每次睡不着都会来看李老师的视频，虽然内容很有趣，但是惯性使然，我还是会困
瞎猜个答案：莫比乌斯环上画一条两端不相交但无限接近的直线。（这算不算跨维度的平面上的直线？）
莫比烏斯帶 是曲面吧?
一直線如果分a段
a就是相似比
如果要變2維 b = 份數 = a^2
所以如果分a份 每一份往上做一個邊數為a^2 - 2 + 1=a^2 - 1
的正多邊形
是這樣嗎？ 老師
如果早点听老师的讲课，大学数学就不会这么烂了，之前还一直觉得学那东西没用😌
我高数都是在b站学的，上课就做题😂😂比我们老师讲的好多了
这是为啥呢。。老师的扪心自问法解释的确让人容易懂
我觉得海岸线是很难测量的，比如涨潮了，海岸线长度不就小了么？
按照老师本节课的内容来看 涨潮只能说英国的陆地面积变小了 海岸线的长度仍然是无限长的
漲潮也有可能變長啊
用一个三角形包围平面，以这个三角形作为分型结构的起点。不断地在里面取边长的一半作为起始点，以维度2切割三角形，直到填满整个平面。
用一条比平面粗的直线
用云南米线
直线没有宽度。。应该说用支比纸大的笔来画。
你上一条评论说”讨厌纯数学，一点都不科学“，你这才是既不数学也不科学吧
@@wilsonyang3123 哈哈哈😄
有长度没宽度的才是线吧。。。哈哈。。。
这几天开始看李老师视频，昨晚做梦，梦见我又在高考，梦里依然不会做题。 感觉又恋爱了
李老师啊你不能留问题呀，我不会作啊，会急死掉的。
李老师，有机会再拓展讲一下“多重分形”，很期待您的课程，谢谢
好的
新时代有新方法，让任天堂沿着英国海岸线洒一堆稀有的精灵宝可萌，到时候全世界的玩家蜂拥而至，然后定位他们的手机信号源，加在一起测量距离，tada！
现在最高的误差是5公分左右，还不如拿尺子量
对呀，尺子更好啊，哈哈，我真笨
老师好，我看你讲了这么多关于博弈博彩的，又有足球的，老师你数学这么好，是不是也经常参与一些博彩呢，第一次看到老师是油管，然后习惯翻出来看
老师，我想问问物理有那些现象是反直觉的？
有很多的，以后慢慢讲。相对论就是一个
@@TchLiyongle 好的谢谢老师
铁块和木块高处掉落，谁先落地。这个就是。
你掌握的经验（知识）决定你的直觉判断。
再比如说，一颗水滴从一万米以上高空坠落，能不能砸死人。 一般学者就能争吵起来，各种数学模型就出来了，但一个啥也没学过的大妈会告诉你没听过下雨会砸死人的
超流體!
真實世界是有空氣阻力的，所以鐵塊先落下
一个专注于讲数学历史的物理老师。
科赫雪花週長可以無限大，但用英國海岸線是固定的，即使用細菌去測量，每前進一點就完成了一點。
Tomy Hsieh 因为科赫雪花的尺子无限小，而细菌作为尺子有限小
可能碰到海岸線的第一個小石頭，一個無限小的尺子就要量上億萬年。如果不幸遇到可以無限分形的晶體，慘了，尺子就永遠量不完了。哈哈哈！
jim kuan 那不就是用时间作为度量单位了🤣🤣🤣
然后一粒雪花飘落在海岸线上
还有比细菌更小的尺子单位
血管不可能永遠的分下去。最細的微血管也要可以容納一顆紅血球通過才可以。
所以是近似。
生物界的結構因為都是由細胞自我組織而成的，從微觀到宏觀的基本結構規則都大致相同，因此會很接近於有自相似性
辛苦了，支持！
科赫雪花的表面积应该也是无限，一句：“一个圆把他包住，所以面积有限“，这句是不对的。比如散热器就是为了增加表面积而有很多坑坑！应该说是体积有限，而不是面积！李老师学识非常厉害，不过这里还是有点bud吖。
Hilbert曲线😄
所以说无限这个概念很奇妙 我觉得能彻底理解透的话就能知晓宇宙所有的秘密
我就想知道是哪个小朋友问的
哈哈哈哈哈哈
要打这个熊孩子吗? haha
這篇讓我想到楊憲東的 一沙一世界，剎那即永恆：自然界中的隱藏維度
也是講碎形幾何
裡面有提到微血管為了要盡量分支以接觸到每個細胞，其極度分岔的結果造成(一維)線條狀的微血管具有(二維)面的覆蓋性。
計算結果顯示微血管的Hausdorff維數等於1.67，代表微血管具有0.67的隱藏維度，就是這個多餘的維度讓微血管具有面的覆蓋效果。
在混沌理論中，這非常常見，像勞倫茲模型的蝴蝶碎形
感觉这个小朋友脑子不正常！
typhooonn some may see them as the crazy ones, we see genius
我看过英文~
哈哈哈哈😂😂😂😆
因为人家小朋友都是竞赛生。。。和普通人智商就不一样。。。
现在中午一个人吃饭都看李老师视频了😄
这个雪花的本质其实就是说的点和线在数学上的最基本的概念，他们没有体积，所以在有限的面积内能画出无穷长的线和无数多的点。感觉就是一点意义都没有的思维游戏
高中毕业再来吧弟弟
出現啦！不去動腦就說沒有意義星人！
把科赫曲线中那个三角形的夹角无限地缩小，以至于变成中间突出的一条线段，这么一直分形下去会获得D=2的分形图案，也就铺满了他所在区域范围内的整个平面。
之前在别的地方学到的，我只是知识的搬运工。
不过，换我来思考的话，这种极端情况，我可能会先考虑极端条件。
老师，像π ，e这些无理数是在十进制中是无理数而已吗？还是在一些进制可以是有理数。
你拿π去除一个整数，像二进制就除2，如果能够得到一个有理数就有可能啦😂
不会，进制不影响有无理
@@TchLiyongle 那有理数在任何进制也都就是有理数吗
进制不影响有无理，进制也不影响一个数是否为质数。性质是有根本原因的，与怎样写在纸上没有关系的。
原来如此 谢谢各位
这些最开始研究什么雪花地毯的人，我也真是服气了
@3Bule1Brown
任意一条直线上的点都是和平面上的点一一对应的。参考集合大小的比较概念，大卫希尔伯特的旅馆等问题。
现在小学生的问题都这么深奥？？？？
我就想问是哪个小朋友。。
来来来，小朋友，我们出去单练
开场白啊
這已經是非線性動力學的東西了
我师弟刚刚发的SCI涉及分形
老师，若果您能看见，我希望您考虑一下做一期有关芯片的详细讲解。从设计到制作，万分感谢
李老师你完蛋了。你画个大不列颠岛说“这就是英国”。北爱尔兰呢？这个事情简直不能多联想。
苏格兰也不是英国
越南？蒙古？朝鮮？海參崴？新加坡？馬華？？？心太大，寫不完的。
自古以來5000年，寫不完啊!
應該沒有漏了寶島的地圖嚴重吧。。。
十一段線忘了話XD
用一束激光比喻一条直线，激光不衰减，一张纸比喻一个平面，纸的四边有全反射界面，激光随机照射，反弹，最终整张纸会被激光覆盖。换成立方体的全反射密封空间同样适用。
雪花的周長比地球的直徑還要長，那地球表面上有雪花，是不是能讓地球的直徑永遠比雪花大呢?
只是個路人 所以地球周长其实也只是人类工具（比如飞机、车轮、步长）尺度上的假想值
地球表面上有雪花只會讓地球加上雪花的直徑而不是雪花的周長
所以不會讓地球的直徑永遠比雪花大
對耶@@其實我原本是要周長相比的，可是發現原來老師說的是直徑。改了直徑，卻沒發現周長相比不等於直徑比周長
直径是直的 周长是弯的
东西一弯，你就没法测量了，然后人们就搞出一堆理论来
传送门系列你在对立的两面墙上开两个传送门然后站在中间看到的也是分型结构。（或者简单点在对立的两个镜面前自拍也可以）