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謝謝錦堂讓我在16分鐘內睡著 實用的短片!
😂😂😂
我刚好也睡不着 我也来试试
@@mypekicks 看来你睡了3天
會失眠的人應該常備的影片
你們都沒有感覺很痛苦嗎？錦堂就是天天活在這樣的痛苦中。
偏微分方程的箇中奧妙(艱難)真的只有算過才懂得，有時候解出裡面的一個積分就可以發一篇Paper，所以才會存在模擬數值分析方法謝謝錦堂分享讓更多人知道，光是一維熱傳方程式可以塞的東西就夠多了，能將把這些內容濃縮講解，真的很厲害!!!
这期讲得非常好，很有意思。希望能多点这样的视频
锦堂啊，你的这些科普还是太深了啊，真的很难跟上你，你去看看@Yuan's Multiverse科技袁人@ 的视频吧，那才真的叫科普，将理论与通俗的那个度把握的非常好，让你既觉得高科技真牛逼，又能让你觉得我好像听懂了，内心有成就感。
看到這個人充滿熱誠的講著自己熱愛的東西會莫名被感染一種很激昂的情緒www
他似乎是真的想教会我。虽然他说的每个字我都认识，可连起来我就不懂了。😿
半夜睡不着看了！直接睡觉谢谢你啊大神
對啊！
雖然我看不懂，但還是覺得很好看，謝謝拍這麼酷的視頻，讓麻瓜增廣見聞，開開眼界
稍微給點意見如果要科普向的話或許可以多解釋一下這條動量守恆式和continuity equation，這兩個方程式都有一個最大的假設是流體是incompressible flow，這裡少解釋了這塊。甚至如果要考慮compressible flow 四條方程式是解不出密度場、壓力場、三個速度場的還需要考慮state equation列出第五條方程式求解所有向量場另外如果要說PDE有多難解，或許大家看到方程式很長就會很害怕吧！但是這種線性方程式甚至還是nonhomogeneous的真的沒很難解，就是一直花時間下去一步一步小心拆成ODE然後帶入BC解就好了那個sigma是Fourier Series造成的我覺得也可以稍微解釋一下，他只是很醜但計算上非常直觀，只是為了去把函數刻意化成三角函數疊加方便計算所以弄得比較複雜而已。另外expoential項代表的物理意義是熱會散去所以會溫度隨著時間遞減，這應該也是可以跟不是念本科的人解釋的東西。只是剛好一個念熱流的研究生路過。
你讀成大航太所嗎XDD
@@邱柏森-o9t 我在台大唸研究所，不過我題目其實是做偏向熱傳的，不過NS這個方程還是稍微懂一些的。
而且稍微想發個牢騷，我當然可以理解對於複雜問題的熱血和憧憬，但真的能不要解這麼麻煩的方程，真的根本就不想碰，非線性真的太麻煩了，只要解不動那就要用模擬或實驗硬fit問題，整個就變得很麻煩。
就是1. 流體不會變大變小2. F=ma開個水龍頭就解決了 （快跑🤣）
古人從0生到現在這樣 真的XX的太猛了
喜歡這類的視頻 覺得平常上課學到的東西更有趣了
對數學很有興趣的人來說 非常需要更多這種酷東西
偏微分方程都是長這樣的呀，以前唸電磁學也是如此。需要有初始或邊界條件，利用對稱性才能簡化，而且用不同座標系的解還長很不一樣。實際生活的問題都很複雜的，人類可以手算用數學描述的大多都是相對簡單的問題。
比如算账和金融, 就相对简单些。
Navier-Stokes是假設下的方程式，要解這方程式來解析飛機受力，你還需要邊界層理論與勢流理論。
其實偏維方方程在很多地方都可以使用到呢，例如量子力學，薛定諤的方程就是偏維方方程。簡單的說，我們在一開始其實不知道這方程的解，我們只是假設有這個解(roots)，然後嘗試把PDE轉換成ODE，基本ODE一定是比較好解，特殊例子不討論，然後我們會引入boundary conditions去解這個ODE，因為如果不引入boundary conditions你是根本解不了。第三步就是引入一些初始變量(initial conditions)嘗試進一步解開ODE的那些coefficients(常數)。最後我會們例用summation把這些公式做一個總結合，如果你不利用summation的話，那些公式可以很長，你沒辦法記住。當然我省略了很多步驟，可能還需要利用Fourier series積分把那個解的常數找出來。小弟不才，有錯請指教
基本上就是指要将pde退化成若干个耦合的ode，然后本质上是找对应矩阵的特征多项式（因为不管是ode，差分方程还是积分方程等等本质上都是特征方程，代数学的角度上讲就是矩阵的特征多项式），然后进一步的递推求出来，但由于有些非线性的ode就很难找到其特征方程，pde就复杂到天际了
多半科普為了大眾化都講的十分膚淺，很久沒看到能那麼深入講解的創作者了，給讚👍
不像x高
NS方程最讨厌的地方在于其非线性。这方程是人类文明最重要的方程之一。
刚好上个学期的工程数学学了PDE，看得懂你说的heat equation XD
你上次讲到的Dan Lok😊,我已经开始关注了，我是中国人，在马来西亚留学，你很棒，加油。
一定要继续拍科普篇呀锦堂，喜欢看你的数学和物理科普篇，我是高中生
当然是没听懂但是非常支持做科普影片。个人也十分佩服锦堂所以要提小建议。如果做科普建议从实例和用途开始，比如讲韦神可以放一小段被街拍的镜头啊，讲风洞可以放一些图片啊，这些才能一上来就抓住注意力的。希望越做越好。
謝謝你 錦堂 其實這些video很珍貴 出面無同類的 希望多分享 謝謝你
谢谢锦堂的科普！！能学到新的知识很新鲜！！请出多点这类科普视频！！
你也是大神了！中间讲解那部分我竟然听睡着了，保存了以备失眠之需。
厲害呀錦堂 我對數學的興趣越來越大了 謝謝你
内容是完全没有懂😿不过了解了一点点数学研究的工作，还有吸引我看完的是主播表情与语调😹😹，辛苦了！
丫的，薛定谔方程，对最简单的氢原子，在球坐标系，是被解出了 closed format !! 再多个电子就只能近似了！
千年猜想的答案不是最重要的, 最重要的往往是解决它们后面所运用的数学思维与创造的数学工具, 因为这往往是代表了一个新的数学领域拓展
哈哈 身為數學系畢業的我 還真的有點共鳴 看到熟悉的符號
太专业了必须点赞
作为一个学acc和eco的小朋友 我不知道为什么我要看理科的东西 看完后我只能说 果然我没选错科o(^▽^)o 这东西我完全听不懂呢～anyway 这种科普片超赞的 虽然我听不懂 但就是很好的影片 请继续出！
先不說這是一維u(x,t)你還有二維 三維u(x,y,z.t)要討論 彼此跟彼此都還互相影響 嘛 就算就算你解開了⋯把平板換成球面跟球體座標的時候又是另一個層次的困難了：/
在外星人眼裡只是小兒科，他們已經再算 8 維以上維度了～ 這也就是為什麼幽浮可以瞬間移動，不需要空氣介質，而是時空的跳躍。
@@KelvinKMS 💧，你跟外星人原来还能联系
這期影片真棒 錦堂加油
雖然我是文科,聽不太懂 但是聽錦堂教理論的聲音很適合配著自己的書一起讀
这期实在太有趣了！
偏微分是partial derivative嗎？以前學習的時候那個symbol 好像是叫del對嗎？
这个symbol反过来成为“Δ"才是Delta? 那个就叫做partial derivative symbol
@@Elliot1628 不是，读作del也是对的，partial也是对的
@@Elliot1628 delta = 2nd partial derivatives in multivariable calculus
@@Kenli0807 謝謝，以前學習過的都逐漸忘記了。
@@chang1o971 非常感謝，以前學過的逐漸忘記了。所以說PDE那個符號大寫就是Delta大寫嗎？嘿嘿
完全不懂公式和数学。但还是津津有味看完视频感觉好神奇。就想请教一下读书记忆力很差，如何锻炼自己记忆力还有如何去记忆知识。
我不是业内哈哈，想问一下这个方程的解有把微扰和湍流也考虑在内吗？
可以可以，希望以后可以做多一些，这个说得好易懂。
雖然我對數學並不是特別有興趣，但我喜歡的東西也是屬於比較少人有興趣的類型，但我想說，就算再少人感興趣，也會有人懷著跟你一樣的心情看完這個影片！嗯吶所以，不要覺得很少人看，是因為看完的人都跟你一樣熱情
由實驗推算出經驗公式的數值應該稱為「參數」parameters，其中有些是變數的係數 coefficients。
所有描述科学概念的中文名词都该重新酝酿; 要顾及各概念的用途，其在相关领域内的作用，以及相关字面是否善于传达其定义。在适当时候，用词方面更当以新替旧，由此让各科概念以更加直观的方式呈现在大众面前，并以此孕育尚科研的文化。当下喜好科学的人往往会因没有足够直观且内容完整的教学资源而半途而废。同时，简单的内容时常被教成了高深莫测一般。因为共产党该有魄力动真格地带领世界抵抗"美"国及其霸权，所以，共产党人该驱动中国科研人员去从事这些教学基本功，并金山银山不足惜地让科学大众化。如此，中国乃至世界都不会再需要牛顿或爱因斯坦，因为在完整的科研环境下，发明和发现都是必然的。例，与牛顿或爱因斯坦同期的科学家完全可以做出那些令此二人成名的结果; 此二人不过是因捷足先登而扬名科学历史。呵呵，写了这么多，其实我只想说我不想再看到诸如"群"，"环"，"域"，或"理想"这类不像中文的名词。
@@aaabbb-py5xd无语
@@zenobufan965 多谢你无私的以身示范
所以我一直觉得numerical methods的存在是真的很励志，以人之力一层层的去模拟整个自然的系统，它给出来的答案不是完美的，但却是珍贵的。
锦堂真的很努力在教会我们
這種科普片超好看
大学有两门课就是partial differential eq. Final exam 五个小时就解几道题，也不知道当时为什么想不开会去拿这课。 结果毕业这么多年全忘光了 =）
希望我高中时可以看得懂，感觉很有趣，不过我看不懂😂😂
你可能大學後都還會矇矇的...😂😂
不會量子力學也是解PDE，那就是偏維放程
我好像要等我學完微積分再看推導了😅
流体力学必备N-S方程😬
都是语言，解释这个世界，不需要看得太复杂看不懂的推荐可以看看这个：ua-cam.com/video/LSxqpaCCPvY/v-deo.html
你说得对，但是有限差分法以差商代替微商，以差分方程逼近微分方程，通过求网格点上的函数值来求解偏微分(或常微分) 方程和方程组定解问题的数值解法（别问，问就是玩原玩的😂
又一个李老师哈哈😄，虽然才高二看不懂但是还是很喜欢看你分析
视频看完了，老师讲的是数学还是英语？
有趣，科普的很棒！
3:23 很像力学里面的方程组，热传导和力学本质上是一回事，都是场的分布。
當初修流體力學也是被這方程式搞到頭很痛...
同路人😂上课时候真的听懵了
喜欢这样的科普视频！
我想问这些问题是哪里来的，是他的原创者有答案 但是去世后答案消失了吗？有没有懂千禧年问题的人能科普我，我google了一下感觉信息量看不懂囧
建議可以做個PPT講解 用黑板說明這種繁雜的公式其實蠻混亂的 或者先練練板書吧 李永樂老師用板書講解是因為他的字工整又漂亮
『媽咪叔』很可惜，他的手寫更折磨人『眼見爲識』就非常不錯，他是直接用3D動畫，透過動態方式來呈現函數變化，讓公式變成視覺可以理解的現象
我聽說在中國名校偏微分方程是高中就學了,在台灣我到大二下才交wwPDE萬歲，當初考研考PDE拿分熱傳跟波方學到後面會覺得很無聊
當年我在大學學流體力學雖然沒有接觸這條PDE（偏微分方程 Partial Differential Equation），但還是對它很有興趣，尤其是能解決它就能理解turbulence的流體模型。由於它是一組非線性的PDE，如果有學過解PDE的朋友應該知道解線性的PDE的難度已經很高了，而Navier-Stokes Equation更是一組非線性的PDE，要知道非線性的ODE（常微分方程 Ordinary Differential Equation）已經很難解了，更何況是非線性的PDE？大部分想解出這條數學難題的數學家並不是希望得到100萬美金，而是解出這組方程組的解能為他帶來數學史上名留千古的榮譽。希望有生之年能看到有數學家解決了它。除了這一條外我也希望看到有數學家能解決另一條千禧年難題「黎曼猜想」，如果有人能解決「黎曼猜想」那我們就有可能找到質數的規律了。
学流体力学没有接触NS方程？
任何Fluid Dynamics/Mechanics的Course 不可能不教Navier-Stokes Equation... 不然那肯定不是Fluid Dynamics 的課程。是不是搞錯了只是Fluid Statics（就純粹高中的Bernoulli's principle那些)? 沒有教Non-linear system 跟 phase diagrams 還說得過去；這就像說我上過量子力學但沒有接觸夠Schrödinger's equation 差不多@@
@@makoto_lys 就香港的課程問題吧，Bernoulli's principle 我也是大學才讀的
还有一个东西是elliptic curves, 也是看起来很简单不过要理解起来却非常复杂, 基本上是代数，分析，几何，数论的综合体了
太棒了，我就想太这些知识，非常感谢你
录音有破音，不知道是不是recorder出了问题？看你在大学的生活学习视频，相当励志！
極限贊👍。
很酷哦，還不錯
又让我回想起偏微分方程、热传导、对流传递，以及流体力学这几门课。尤其是流体力学根本离不开这个方程，有一次课堂上教授提问，一位女同学回答得不甚满意，结果下课后就把这门课给退掉了，幸好还是在开学两周期限内。我记得读偏微分方程时，单单Boundary Condition就有一整本参考书来阐述。
👍再接再厉
可以的兄弟 工院的学生确实ode pde学的非常多 点赞！我是经济phd 我们学的differential eqn比较少 一般宏观经济学里面用discrete difference eqn，可手解的基本仅限于线性de，非线性就……只能做泰勒展式在steady state附近linearize了。另外up还提到了经验方程 听起来像calibration。anyway 这就是模型的魅力 一旦模型解出 你不用真正生产出来一个东西来知道它的性质 模型可以给你答案 告诉你一个和现实世界不一样的世界长什么样子。respect！
化工人也是會學到這個，不過只是去淺淺的，但真的難🥲
身為一個文組的數學麻瓜先點讚🤯🤯🤯
有点 @李永乐老师 的味道了。也给马来西亚粉丝推荐一下李永乐的youtube频道吧。其实年纪小的初中高中生，李永乐的youtube更合适；没有基础，你讲偏微分、量子这些，也是对牛弹琴。
3年前我看了一次，3年後學完了再看一次，感受完全不同啊🤣🤣🤣
讚讚，多拍，多拍
赞，希望有更多类似的影片
我這個人不要求只要有你一半的一半的一半的一半的一半就好😌😌
朋友👬在哪个城市生活
很有趣 但身為Cs的學生可能還是比較期待P=NP猜想被證明 因為那會讓世界進步五百年....
要是有人能解决这个问题我立刻转行研究复杂性
纯粹好奇 电脑越来越进步 运算量也蛮大的 为什么不能用电脑算出来（用手算有可能会算错）？
可以用电脑算出来的都是人类已经算出来或者是已经知道算的规则了，这种是理论题不是靠算力，所以电脑算不出来，因为不知道规则
电脑都是靠公式计算的😂，公式是人发明的
可能有数值解但是没有解析解，数学家想找的是解析解
多尺度下，一个气泡都能算死全世界所有电脑。。。
这视频真的很棒 虽然我听不懂...但是我还是很认真听完了
錦堂解法為分成暫態及穩態解 其實這個偏微分方程可以利用特徵函數展開法算式能夠少一些
他應該就是用特徵函數展開，只是把分離變數的過程全部寫下來所以看起來特別暴力
大赞.恭喜
有人说，别惹我，把我惹烦了，我什么都会做。 于是，默默地给他 这个方程式。
其實數學家有天份是真的 科學家 物理學家有天份是真的但強如高斯 牛頓 愛因斯坦這些人都是經過一輩子的努力鑽研才有的成果 那真的不是一般人能想像的 這努力是99%才有可能 可能要一輩子 真的不簡單
希望能多出一点物理的，类似于那个时间膨胀那种
加1，謝謝你很認真的講解，加油
太好了,讲的很清晰了
这个讲解实在是有点牛头不对马嘴，难得有机会在清华这么好的平台学习，基础知识还是要学扎实一些。1维热传导方程是典型的线性抛物型偏微分方程，一方面我们对于这一类方程的理解已经足够深刻，另一方面1维热传导方程和NS方程从数学上讲没有任何关连。所谓的“复杂的解”看起来吓人，但实际上只是很多线性解的叠加而已NS方程的核心困难是非线性对流项(U*div)*U，不讲这一项是不可能说清楚NS方程的难点的。由于非线性对流项的存在，NS方程不存在线性解。也是因为非线性对流项，我们一方面从数学上不了解NS方程是否满足解的存在性、唯一性和稳定性，另一方面对非线性对流项进行线性化会造成方程不封闭（导致未知数大于方程数），这才使得传统的数值求解（如RANS）必须依赖于额外的经验性的湍流模型
学弟学弟，师兄问问你哈，上述方程组如果粘性系数与温度成反比并存在极限，怎么解？加上这个有大用：摊煎饼🥞LOL，趋零后就很脆了嘿嘿😁
爱了爱了，希望可以激励我学习
希望錦堂多拍一點解釋流體力學方程組的影片～～ By只會做實驗卻對流體力學一知半解的研究生😂
卡個
我現在在做實驗 也是用這個方程式 真的是一知半解
以前用 POD求过椭圆形的偏微分方程的近似解，虽然现在不从事这方面的研究但是还是喜欢看这方面的内容
这个方程有没有解析解还是个问题呢？
数学家才关心解析解，物理学家有数值解就很满意了
一個數學家如果不是完全精確是不會感興趣的，這也導致很多數學家在改行物理時很難走遠（除非領悟這點）。
流力最難的方程組🤣navior stoke eq.
我看懂了橘點我的是台積電對吧？一千元以下的台積電我都買是不是買越多越好，因為我做付錢系統，韓國的我付款
I can’t understand . I am totally lost but I watched the whole thing
人世间，不离骚
兄弟，请问你的专业是 CFD？
化工系動量輸送以為以後就不會再碰到了結果熱流跟直流輸送又見面了😂😂😂好險只是拿來應用...
内容是有趣的，只是你说话的方式，咬字，台词，内容连贯性 需要多加强练习。毕竟你做了视屏就是要让人看得懂，观众是很好学的，但是还是会选一些比较看得懂的影片来看比较不会觉得浪费时间。
我記得問題應該不是是否存在解析解吧！而是可不可以有全局且光滑的解，這跟有沒有解析解又會稍微不一樣
锦堂可以讲一下麦克斯韦方程组吗
人類數學沒突破，但一直有新的科技，果然有外星人
外星人就像是給人類開外掛一樣～嘿嘿
1. 人類目前數學(或說物理學)的邊界，本來就遠大於科技的邊界，意思是，理論在但實做不出來，所以科技在後追趕很合理。2. 以這影片的題目來說，算是工程應用數學，就算沒有直接解，也可以用近似解去實做，跟數學有沒有突破沒什麼關係。
@@aronyang 希望在追上理論前人類還沒滅亡 -/-
在哪里还能找到这种有悬赏金的数学题
我希望你可以做教育型youtuber, 加油
謝謝錦堂讓我在16分鐘內睡著 實用的短片!
😂😂😂
我刚好也睡不着 我也来试试
@@mypekicks 看来你睡了3天
會失眠的人應該常備的影片
你們都沒有感覺很痛苦嗎？錦堂就是天天活在這樣的痛苦中。
偏微分方程的箇中奧妙(艱難)真的只有算過才懂得，有時候解出裡面的一個積分就可以發一篇Paper，所以才會存在模擬數值分析方法
謝謝錦堂分享讓更多人知道，光是一維熱傳方程式可以塞的東西就夠多了，能將把這些內容濃縮講解，真的很厲害!!!
这期讲得非常好，很有意思。希望能多点这样的视频
锦堂啊，你的这些科普还是太深了啊，真的很难跟上你，你去看看@Yuan's Multiverse科技袁人@ 的视频吧，那才真的叫科普，将理论与通俗的那个度把握的非常好，让你既觉得高科技真牛逼，又能让你觉得我好像听懂了，内心有成就感。
看到這個人充滿熱誠的講著自己熱愛的東西會莫名被感染一種很激昂的情緒www
他似乎是真的想教会我。
虽然他说的每个字我都认识，可连起来我就不懂了。😿
半夜睡不着看了！直接睡觉谢谢你啊大神
對啊！
雖然我看不懂，但還是覺得很好看，謝謝拍這麼酷的視頻，讓麻瓜增廣見聞，開開眼界
稍微給點意見如果要科普向的話或許可以多解釋一下這條動量守恆式和continuity equation，這兩個方程式都有一個最大的假設是流體是incompressible flow，這裡少解釋了這塊。
甚至如果要考慮compressible flow 四條方程式是解不出密度場、壓力場、三個速度場的還需要考慮state equation列出第五條方程式求解所有向量場
另外如果要說PDE有多難解，或許大家看到方程式很長就會很害怕吧！但是這種線性方程式甚至還是nonhomogeneous的真的沒很難解，就是一直花時間下去一步一步小心拆成ODE然後帶入BC解就好了
那個sigma是Fourier Series造成的我覺得也可以稍微解釋一下，他只是很醜但計算上非常直觀，只是為了去把函數刻意化成三角函數疊加方便計算所以弄得比較複雜而已。
另外expoential項代表的物理意義是熱會散去所以會溫度隨著時間遞減，這應該也是可以跟不是念本科的人解釋的東西。
只是剛好一個念熱流的研究生路過。
你讀成大航太所嗎XDD
@@邱柏森-o9t 我在台大唸研究所，不過我題目其實是做偏向熱傳的，不過NS這個方程還是稍微懂一些的。
而且稍微想發個牢騷，我當然可以理解對於複雜問題的熱血和憧憬，但真的能不要解這麼麻煩的方程，真的根本就不想碰，非線性真的太麻煩了，只要解不動那就要用模擬或實驗硬fit問題，整個就變得很麻煩。
就是
1. 流體不會變大變小
2. F=ma
開個水龍頭就解決了 （快跑🤣）
古人從0生到現在這樣 真的XX的太猛了
喜歡這類的視頻 覺得平常上課學到的東西更有趣了
對數學很有興趣的人來說 非常需要更多這種酷東西
偏微分方程都是長這樣的呀，以前唸電磁學也是如此。需要有初始或邊界條件，利用對稱性才能簡化，而且用不同座標系的解還長很不一樣。
實際生活的問題都很複雜的，人類可以手算用數學描述的大多都是相對簡單的問題。
比如算账和金融, 就相对简单些。
Navier-Stokes是假設下的方程式，要解這方程式來解析飛機受力，你還需要邊界層理論與勢流理論。
其實偏維方方程在很多地方都可以使用到呢，例如量子力學，薛定諤的方程就是偏維方方程。
簡單的說，我們在一開始其實不知道這方程的解，我們只是假設有這個解(roots)，然後嘗試把PDE轉換成ODE，基本ODE一定是比較好解，特殊例子不討論，然後我們會引入boundary conditions去解這個ODE，因為如果不引入boundary conditions你是根本解不了。第三步就是引入一些初始變量(initial conditions)嘗試進一步解開ODE的那些coefficients(常數)。最後我會們例用summation把這些公式做一個總結合，如果你不利用summation的話，那些公式可以很長，你沒辦法記住。當然我省略了很多步驟，可能還需要利用Fourier series積分把那個解的常數找出來。
小弟不才，有錯請指教
基本上就是指要将pde退化成若干个耦合的ode，然后本质上是找对应矩阵的特征多项式（因为不管是ode，差分方程还是积分方程等等本质上都是特征方程，代数学的角度上讲就是矩阵的特征多项式），然后进一步的递推求出来，但由于有些非线性的ode就很难找到其特征方程，pde就复杂到天际了
多半科普為了大眾化都講的十分膚淺，很久沒看到能那麼深入講解的創作者了，給讚👍
不像x高
NS方程最讨厌的地方在于其非线性。这方程是人类文明最重要的方程之一。
刚好上个学期的工程数学学了PDE，看得懂你说的heat equation XD
你上次讲到的Dan Lok😊,我已经开始关注了，我是中国人，在马来西亚留学，你很棒，加油。
一定要继续拍科普篇呀锦堂，喜欢看你的数学和物理科普篇，我是高中生
当然是没听懂但是非常支持做科普影片。个人也十分佩服锦堂所以要提小建议。如果做科普建议从实例和用途开始，比如讲韦神可以放一小段被街拍的镜头啊，讲风洞可以放一些图片啊，这些才能一上来就抓住注意力的。希望越做越好。
謝謝你 錦堂 其實這些video很珍貴 出面無同類的 希望多分享 謝謝你
谢谢锦堂的科普！！能学到新的知识很新鲜！！请出多点这类科普视频！！
你也是大神了！中间讲解那部分我竟然听睡着了，保存了以备失眠之需。
厲害呀錦堂 我對數學的興趣越來越大了 謝謝你
内容是完全没有懂😿不过了解了一点点数学研究的工作，还有吸引我看完的是主播表情与语调😹😹，辛苦了！
丫的，薛定谔方程，对最简单的氢原子，在球坐标系，是被解出了 closed format !! 再多个电子就只能近似了！
千年猜想的答案不是最重要的, 最重要的往往是解决它们后面所运用的数学思维与创造的数学工具, 因为这往往是代表了一个新的数学领域拓展
哈哈 身為數學系畢業的我 還真的有點共鳴 看到熟悉的符號
太专业了必须点赞
作为一个学acc和eco的小朋友 我不知道为什么我要看理科的东西 看完后我只能说 果然我没选错科o(^▽^)o 这东西我完全听不懂呢～anyway 这种科普片超赞的 虽然我听不懂 但就是很好的影片 请继续出！
先不說這是一維u(x,t)
你還有二維 三維u(x,y,z.t)要討論
彼此跟彼此都還互相影響
嘛 就算就算你解開了⋯
把平板換成球面跟球體座標的時候又是另一個層次的困難了：/
在外星人眼裡只是小兒科，他們已經再算 8 維以上維度了～ 這也就是為什麼幽浮可以瞬間移動，不需要空氣介質，而是時空的跳躍。
@@KelvinKMS 💧，你跟外星人原来还能联系
這期影片真棒 錦堂加油
雖然我是文科,聽不太懂 但是聽錦堂教理論的聲音很適合配著自己的書一起讀
这期实在太有趣了！
偏微分是partial derivative嗎？以前學習的時候那個symbol 好像是叫del對嗎？
这个symbol反过来成为“Δ"才是Delta? 那个就叫做partial derivative symbol
@@Elliot1628 不是，读作del也是对的，partial也是对的
@@Elliot1628 delta = 2nd partial derivatives in multivariable calculus
@@Kenli0807 謝謝，以前學習過的都逐漸忘記了。
@@chang1o971 非常感謝，以前學過的逐漸忘記了。所以說PDE那個符號大寫就是Delta大寫嗎？嘿嘿
完全不懂公式和数学。但还是津津有味看完视频感觉好神奇。就想请教一下读书记忆力很差，如何锻炼自己记忆力还有如何去记忆知识。
我不是业内哈哈，想问一下这个方程的解有把微扰和湍流也考虑在内吗？
可以可以，希望以后可以做多一些，这个说得好易懂。
雖然我對數學並不是特別有興趣，但我喜歡的東西也是屬於比較少人有興趣的類型，
但我想說，就算再少人感興趣，也會有人懷著跟你一樣的心情看完這個影片！
嗯吶所以，不要覺得很少人看，是因為看完的人都跟你一樣熱情
由實驗推算出經驗公式的數值應該稱為「參數」parameters，其中有些是變數的係數 coefficients。
所有描述科学概念的中文名词都该重新酝酿; 要顾及各概念的用途，其在相关领域内的作用，以及相关字面是否善于传达其定义。在适当时候，用词方面更当以新替旧，由此让各科概念以更加直观的方式呈现在大众面前，并以此孕育尚科研的文化。当下喜好科学的人往往会因没有足够直观且内容完整的教学资源而半途而废。同时，简单的内容时常被教成了高深莫测一般。因为共产党该有魄力动真格地带领世界抵抗"美"国及其霸权，所以，共产党人该驱动中国科研人员去从事这些教学基本功，并金山银山不足惜地让科学大众化。如此，中国乃至世界都不会再需要牛顿或爱因斯坦，因为在完整的科研环境下，发明和发现都是必然的。例，与牛顿或爱因斯坦同期的科学家完全可以做出那些令此二人成名的结果; 此二人不过是因捷足先登而扬名科学历史。呵呵，写了这么多，其实我只想说我不想再看到诸如"群"，"环"，"域"，或"理想"这类不像中文的名词。
@@aaabbb-py5xd无语
@@zenobufan965 多谢你无私的以身示范
所以我一直觉得numerical methods的存在是真的很励志，以人之力一层层的去模拟整个自然的系统，它给出来的答案不是完美的，但却是珍贵的。
锦堂真的很努力在教会我们
這種科普片超好看
大学有两门课就是partial differential eq. Final exam 五个小时就解几道题，也不知道当时为什么想不开会去拿这课。 结果毕业这么多年全忘光了 =）
希望我高中时可以看得懂，感觉很有趣，不过我看不懂😂😂
你可能大學後都還會矇矇的...😂😂
不會量子力學也是解PDE，那就是偏維放程
我好像要等我學完微積分再看推導了😅
流体力学必备N-S方程😬
都是语言，解释这个世界，不需要看得太复杂
看不懂的推荐可以看看这个：ua-cam.com/video/LSxqpaCCPvY/v-deo.html
你说得对，但是有限差分法以差商代替微商，以差分方程逼近微分方程，通过求网格点上的函数值来求解偏微分(或常微分) 方程和方程组定解问题的数值解法（别问，问就是玩原玩的😂
又一个李老师哈哈😄，虽然才高二看不懂但是还是很喜欢看你分析
视频看完了，老师讲的是数学还是英语？
有趣，科普的很棒！
3:23 很像力学里面的方程组，热传导和力学本质上是一回事，都是场的分布。
當初修流體力學也是被這方程式搞到頭很痛...
同路人😂上课时候真的听懵了
喜欢这样的科普视频！
我想问这些问题是哪里来的，是他的原创者有答案 但是去世后答案消失了吗？有没有懂千禧年问题的人能科普我，我google了一下感觉信息量看不懂囧
建議可以做個PPT講解 用黑板說明這種繁雜的公式其實蠻混亂的
或者先練練板書吧
李永樂老師用板書講解是因為他的字工整又漂亮
『媽咪叔』很可惜，他的手寫更折磨人
『眼見爲識』就非常不錯，他是直接用3D動畫，透過動態方式來呈現函數變化，讓公式變成視覺可以理解的現象
我聽說在中國名校偏微分方程是高中就學了,在台灣我到大二下才交ww
PDE萬歲，當初考研考PDE拿分
熱傳跟波方學到後面會覺得很無聊
當年我在大學學流體力學雖然沒有接觸這條PDE（偏微分方程 Partial Differential Equation），但還是對它很有興趣，尤其是能解決它就能理解turbulence的流體模型。
由於它是一組非線性的PDE，如果有學過解PDE的朋友應該知道解線性的PDE的難度已經很高了，而Navier-Stokes Equation更是一組非線性的PDE，要知道非線性的ODE（常微分方程 Ordinary Differential Equation）已經很難解了，更何況是非線性的PDE？
大部分想解出這條數學難題的數學家並不是希望得到100萬美金，而是解出這組方程組的解能為他帶來數學史上名留千古的榮譽。希望有生之年能看到有數學家解決了它。
除了這一條外我也希望看到有數學家能解決另一條千禧年難題「黎曼猜想」，如果有人能解決「黎曼猜想」那我們就有可能找到質數的規律了。
学流体力学没有接触NS方程？
任何Fluid Dynamics/Mechanics的Course 不可能不教Navier-Stokes Equation... 不然那肯定不是Fluid Dynamics 的課程。是不是搞錯了只是Fluid Statics（就純粹高中的Bernoulli's principle那些)? 沒有教Non-linear system 跟 phase diagrams 還說得過去；這就像說我上過量子力學但沒有接觸夠Schrödinger's equation 差不多@@
@@makoto_lys 就香港的課程問題吧，Bernoulli's principle 我也是大學才讀的
还有一个东西是elliptic curves, 也是看起来很简单不过要理解起来却非常复杂, 基本上是代数，分析，几何，数论的综合体了
太棒了，我就想太这些知识，非常感谢你
录音有破音，不知道是不是recorder出了问题？看你在大学的生活学习视频，相当励志！
極限贊👍。
很酷哦，還不錯
又让我回想起偏微分方程、热传导、对流传递，以及流体力学这几门课。尤其是流体力学根本离不开这个方程，有一次课堂上教授提问，一位女同学回答得不甚满意，结果下课后就把这门课给退掉了，幸好还是在开学两周期限内。我记得读偏微分方程时，单单Boundary Condition就有一整本参考书来阐述。
👍再接再厉
可以的兄弟 工院的学生确实ode pde学的非常多 点赞！我是经济phd 我们学的differential eqn比较少 一般宏观经济学里面用discrete difference eqn，可手解的基本仅限于线性de，非线性就……只能做泰勒展式在steady state附近linearize了。另外up还提到了经验方程 听起来像calibration。anyway 这就是模型的魅力 一旦模型解出 你不用真正生产出来一个东西来知道它的性质 模型可以给你答案 告诉你一个和现实世界不一样的世界长什么样子。respect！
化工人也是會學到這個，不過只是去淺淺的，但真的難🥲
身為一個文組的數學麻瓜
先點讚🤯🤯🤯
有点 @李永乐老师 的味道了。也给马来西亚粉丝推荐一下李永乐的youtube频道吧。其实年纪小的初中高中生，李永乐的youtube更合适；没有基础，你讲偏微分、量子这些，也是对牛弹琴。
3年前我看了一次，3年後學完了再看一次，感受完全不同啊🤣🤣🤣
讚讚，多拍，多拍
赞，希望有更多类似的影片
我這個人不要求
只要有你一半的一半的一半的一半的一半就好😌😌
朋友👬在哪个城市生活
很有趣 但身為Cs的學生可能還是比較期待P=NP猜想被證明 因為那會讓世界進步五百年....
要是有人能解决这个问题我立刻转行研究复杂性
纯粹好奇 电脑越来越进步 运算量也蛮大的 为什么不能用电脑算出来（用手算有可能会算错）？
可以用电脑算出来的都是人类已经算出来或者是已经知道算的规则了，这种是理论题不是靠算力，所以电脑算不出来，因为不知道规则
电脑都是靠公式计算的😂，公式是人发明的
可能有数值解但是没有解析解，数学家想找的是解析解
多尺度下，一个气泡都能算死全世界所有电脑。。。
这视频真的很棒 虽然我听不懂...但是我还是很认真听完了
錦堂解法為分成暫態及穩態解 其實這個偏微分方程可以利用特徵函數展開法算式能夠少一些
他應該就是用特徵函數展開，只是把分離變數的過程全部寫下來所以看起來特別暴力
大赞.恭喜
有人说，别惹我，把我惹烦了，我什么都会做。 于是，默默地给他 这个方程式。
其實數學家有天份是真的 科學家 物理學家有天份是真的
但強如高斯 牛頓 愛因斯坦這些人都是經過一輩子的努力鑽研才有的成果 那真的不是一般人能想像的 這努力是99%才有可能 可能要一輩子 真的不簡單
希望能多出一点物理的，类似于那个时间膨胀那种
加1，謝謝你很認真的講解，加油
太好了,讲的很清晰了
这个讲解实在是有点牛头不对马嘴，难得有机会在清华这么好的平台学习，基础知识还是要学扎实一些。1维热传导方程是典型的线性抛物型偏微分方程，一方面我们对于这一类方程的理解已经足够深刻，另一方面1维热传导方程和NS方程从数学上讲没有任何关连。所谓的“复杂的解”看起来吓人，但实际上只是很多线性解的叠加而已
NS方程的核心困难是非线性对流项(U*div)*U，不讲这一项是不可能说清楚NS方程的难点的。由于非线性对流项的存在，NS方程不存在线性解。也是因为非线性对流项，我们一方面从数学上不了解NS方程是否满足解的存在性、唯一性和稳定性，另一方面对非线性对流项进行线性化会造成方程不封闭（导致未知数大于方程数），这才使得传统的数值求解（如RANS）必须依赖于额外的经验性的湍流模型
学弟学弟，师兄问问你哈，上述方程组如果粘性系数与温度成反比并存在极限，怎么解？加上这个有大用：摊煎饼🥞LOL，趋零后就很脆了嘿嘿😁
爱了爱了，希望可以激励我学习
希望錦堂多拍一點解釋流體力學方程組的影片～～ By只會做實驗卻對流體力學一知半解的研究生😂
卡個
我現在在做實驗 也是用這個方程式 真的是一知半解
以前用 POD求过椭圆形的偏微分方程的近似解，虽然现在不从事这方面的研究但是还是喜欢看这方面的内容
这个方程有没有解析解还是个问题呢？
数学家才关心解析解，物理学家有数值解就很满意了
一個數學家如果不是完全精確是不會感興趣的，這也導致很多數學家在改行物理時很難走遠（除非領悟這點）。
流力最難的方程組🤣navior stoke eq.
我看懂了橘點我的是台積電對吧？一千元以下的台積電我都買是不是買越多越好，因為我做付錢系統，韓國的我付款
I can’t understand . I am totally lost but I watched the whole thing
人世间，不离骚
兄弟，请问你的专业是 CFD？
化工系動量輸送以為以後就不會再碰到了
結果熱流跟直流輸送又見面了😂😂😂
好險只是拿來應用...
内容是有趣的，只是你说话的方式，咬字，台词，内容连贯性 需要多加强练习。毕竟你做了视屏就是要让人看得懂，观众是很好学的，但是还是会选一些比较看得懂的影片来看比较不会觉得浪费时间。
我記得問題應該不是是否存在解析解吧！而是可不可以有全局且光滑的解，這跟有沒有解析解又會稍微不一樣
锦堂可以讲一下麦克斯韦方程组吗
人類數學沒突破，但一直有新的科技，果然有外星人
外星人就像是給人類開外掛一樣～嘿嘿
1. 人類目前數學(或說物理學)的邊界，本來就遠大於科技的邊界，意思是，理論在但實做不出來，所以科技在後追趕很合理。2. 以這影片的題目來說，算是工程應用數學，就算沒有直接解，也可以用近似解去實做，跟數學有沒有突破沒什麼關係。
@@aronyang 希望在追上理論前人類還沒滅亡 -/-
在哪里还能找到这种有悬赏金的数学题
我希望你可以做教育型youtuber, 加油