'합성함수 f(g(x))=x이면 f,g는 역함수 관계인가? (정답은 X)' 증명 영상입니다. 개념 증명 영상이므로, 문제 풀이는 없으며, (관련된) 문제에 대한 풀이 '방향'에 대해서는 잠시 언급을 했답니다. 엄밀한 증명을 원하는 학생들에게는 도움이 되었으면 하는 마음에 따로 만든 것이니, 참고하여 주세요. (영상 봐주셔서 감사합니다.) ※ 정정 : 00:51 영상에서 언급한 2022학년도 EBS수특 관련 문제는 (42쪽이 아닌) 56쪽의 Level. 2 5번 문제입니다.
워니 학생. 댓글+대댓글로 길어질거 같아서, (다 삭제하고) 내용 정리 해드립니다. 위 영상의 시발점이 된 수능특강 문제는 '문제 조건만 고려했을 때에는' f, g를 역함수 관계로 보는게 옳다? 이게 아니라는 의미에서 찍은 것입니다. 워니학생과의 댓글이 길어진것도, 본인은 수특 문제에 아무런 이상이 없다는 의미에서 질문하신것이고, (내용이 아닌) 눈으로 볼 수 있는 그래프를 알려달라? 이런 뜻인거 같은데. . . . 정리해 드리면, 그래프가 없다는게 아니라, (fog)(x)=x만 놓고 f, g는 역함수 관계로 볼 수 없다. (영상에서 계속 설명한대로) (fog)(x)=x, (gof)(x)=x 이렇게 표현되어야 옳다. 혹은 f,g가 일대일 대응일 때, (fog)(x)=x라는 조건이 있으면 이건 (f,g를 역함수 관계로) 옳다.는 것입니다. 2019학년도 9평 30번은, (반례로 적절치 않다고 말씀하셨는데) 30번을 보고, (fof)(x)=x만 놓고, f=f-1로 보는건 옳지 않다.라는 차원에서 든 예입니다. (영상 내내 이 얘기 한 것이고요) . . . .EBSi 수특 문제가 이상이 없다고 생각하시면, EBSi에 2021수능특강 들어가보셔서 확인하시면 될거에ㅛ. 사실 나중에 EBSi에서 정오표가 올라왔다고 하더라구요. (문제에 추가 조건이 붙어서요) 참고하여 주세요.
유익한 영상 감사합니다! 보통“ f(g(x))=x 이면 g,f는 역함수관계이다”를 역함수 기본 성질할때 배우고는 합니다. 하지만, g(x)의 정의역과 f(x)의 공역이 일치하지 않으면 둘은 역함수관계가 아님은 자명한 사실이고, g(x)가 일대일대응이 아니면 애초에 역함수가 존재할수가 없기 때문에 둘은 역함수관게라고 할수 없다는 사실을 기억해야할듯 합니다~ 역함수가 애시당초 존재할수가 없는데 둘을 보고 ”역함수관계야“라고 하면 참 웃긴 일이 되어버리는 것이죠... ❤
좋은 강의 감사드리며 질문하나만 남기겠습니다. f(g(x))=x 에서 f, g 둘다 일대일대응이라고 해야지만 둘이 역함수 관계다. 이게 말씀하신 결론일까요? 만약 f(g(x))=x 이고 f만 일대일대응이라고 나와있으면 f는 역함수가 존재한다는 거고 그럼 f(g(x))=x 의 양변에 f의 역함수를 취하면 g(x)=역f(x) 이렇게 되어서 둘이 역함수 관계라고 할 수 있는거 아닌가 해서요 ㅠㅠ 답변 주시면 정말 감사하겠습니다!
1) 좋은 질문입니다. f(g(x))=x이고, f만 일대일대응이라고해서, f(g(x))=x가 g(x)=f-1(x) 이렇다고 할수는 없습니다. 영상 8:35 이후의 설명이 나와있으니, 참고하여 주세요. 만약 f(g(x))=x이고, f만 일대일대응일때, (g: X -> Y, f : Y -> Z) 조건이 있으면 Lee 학생 말씀처럼 f,g는 역함수 관계가 맞습니다... 위 괄호 부분이 없으면, f만 일대일대응이라고 하더라도 역함수 관계라고 할수는 없습니다. 그 이유는, 영상 8:35 이후로 든 예가 반례입니다.
3) 사실 고백하자면 (저도 처음부터 알고있었던건 아니었고요) 강남8학군 고1 기출에 출제되어서, 학생들이 많이 틀렸다고해서 그때 정리해둔것입니다. 그러다 EBS수특 문제에 (조건이 누락된 거 같아서) 학생들은 헷갈리지 않았으면 하는 마음에 올린것입니다. Lee학생이 현 고1이시면, 꼼꼼하게 (과정,결론까지 해서) 같이 정리해두시는게 좋고. 현 고2,3,수험생이시라면 (과정은 가볍게 읽으시고) 결론부분만 정리해두시길 추천드려요. 수능에 저렇게 디테일하게 물어볼....거 같지는...않아서입니다. 참고하여 주세요. 정말 좋은 질문이었습니다^^ 화이팅, Bro~
아닙니다. 꼭 역함수라고 할 수 없습니다. (질문하신 부분에 대한 반례를 영상에서 이미 언급했습니다.) 지운 학생이 언급한 g(f(x))=x일 때, 역함수가 되려면, 1) f의 치역=g의 정의역 2) f의 정의역=g의 치역 이렇게 둘 다 있어야 합니다. 이또한 영상에서 그림으로도 언급했으니, 참고하여 주세요.
예. 안그래도 나중에 수특 정오표가 나왔다고들었습니다. 영상 설명해드린대로입니다. 다항함수와는 상관없습니다. 무리함수나 유리함수라고해도 정의역,공역에 따라 역함수를 가질 수도 있으니, (영상에서 다항함수라는 말을 언급하지 않은대로) 영상 설명드린 그대로입니다. 다항함수와는 연관성이 없습니다. 1) f,g가 일대일 대응일 때, f(g(x))=x이면 → f,g는 역함수 관계 2) 모든 실수x에 대해, f(g(x))=x이고, g(f(x))=x이면 → f,g는 역함수 관계 이렇게 정리해두시면 됩니다.
'합성함수 f(g(x))=x이면 f,g는 역함수 관계인가? (정답은 X)' 증명 영상입니다.
개념 증명 영상이므로,
문제 풀이는 없으며,
(관련된) 문제에 대한 풀이 '방향'에 대해서는 잠시 언급을 했답니다.
엄밀한 증명을 원하는 학생들에게는 도움이 되었으면 하는 마음에
따로 만든 것이니, 참고하여 주세요.
(영상 봐주셔서 감사합니다.)
※ 정정 : 00:51
영상에서 언급한 2022학년도 EBS수특 관련 문제는 (42쪽이 아닌) 56쪽의 Level. 2 5번 문제입니다.
EBS수능특강 '수학 전과목'
※ 2022학년도 EBS수특 (수1) : ua-cam.com/video/ySIlGtubzDA/v-deo.html
※ 2022학년도 EBS수특 (수2) : ua-cam.com/video/nUDBdzgAwws/v-deo.html
※ 2022학년도 EBS수특 (미적) : ua-cam.com/video/fnRz1yPHGRE/v-deo.html
※ 2022학년도 EBS수특 (확통) : ua-cam.com/video/VHoy2QJYS1g/v-deo.html
※ 2022학년도 EBS수특 (기하) : ua-cam.com/video/FH0kGMhwVHs/v-deo.html
필요하신 분들은 참고하여 주세요.
- 드리는 말씀 -
영상 봐주셔서 정말 감사하게 생각하고 있습니다.
(유튜브이고 무료영상이니) 절대 대충 찍거나 적당히 한두어번~ 풀고 올리고 싶진 않았습니다.
기본적으로 3,4번은 반복해서 풀어보고 올린거 같아요.
(유혹이 많은 유튜브에서 학생들에게 도움이 될까.라는 마음도 들었지만)
도움 되었다는 학생들이 있어서,
어떻게서든 도움드리고자 더 힘내고, 기분좋게 올렸던거 같습니다.
빈 말이 아니라, 영상 봐주셔서 정말 감사하게 생각합니다.
(고3들도) 내신도 중요하니,
강남8학군 기출이나 목동 학군, 자사고, 특목고 기출 등등 구해서
(도움 되실 수 있도록) 영상 찍어서 올리겠습니다.
(다들 꼭 잘되시길 진심으로. 진심으로. 정말 바랍니다!!)
워니 학생.
댓글+대댓글로 길어질거 같아서,
(다 삭제하고) 내용 정리 해드립니다.
위 영상의 시발점이 된 수능특강 문제는
'문제 조건만 고려했을 때에는'
f, g를 역함수 관계로 보는게 옳다? 이게 아니라는 의미에서 찍은 것입니다.
워니학생과의 댓글이 길어진것도,
본인은 수특 문제에 아무런 이상이 없다는 의미에서 질문하신것이고,
(내용이 아닌) 눈으로 볼 수 있는 그래프를 알려달라? 이런 뜻인거 같은데. . . .
정리해 드리면,
그래프가 없다는게 아니라, (fog)(x)=x만 놓고 f, g는 역함수 관계로 볼 수 없다.
(영상에서 계속 설명한대로) (fog)(x)=x, (gof)(x)=x 이렇게 표현되어야 옳다.
혹은 f,g가 일대일 대응일 때, (fog)(x)=x라는 조건이 있으면 이건 (f,g를 역함수 관계로) 옳다.는 것입니다.
2019학년도 9평 30번은, (반례로 적절치 않다고 말씀하셨는데)
30번을 보고, (fof)(x)=x만 놓고, f=f-1로 보는건 옳지 않다.라는 차원에서
든 예입니다. (영상 내내 이 얘기 한 것이고요)
. . . .EBSi 수특 문제가 이상이 없다고 생각하시면,
EBSi에 2021수능특강 들어가보셔서 확인하시면 될거에ㅛ.
사실 나중에 EBSi에서 정오표가 올라왔다고 하더라구요.
(문제에 추가 조건이 붙어서요)
참고하여 주세요.
유익한 영상 감사합니다! 보통“ f(g(x))=x 이면 g,f는 역함수관계이다”를 역함수 기본 성질할때 배우고는 합니다. 하지만, g(x)의 정의역과 f(x)의 공역이 일치하지 않으면 둘은 역함수관계가 아님은 자명한 사실이고, g(x)가 일대일대응이 아니면 애초에 역함수가 존재할수가 없기 때문에 둘은 역함수관게라고 할수 없다는 사실을 기억해야할듯 합니다~ 역함수가 애시당초 존재할수가 없는데 둘을 보고 ”역함수관계야“라고 하면 참 웃긴 일이 되어버리는 것이죠... ❤
영상 잘 보았습니다. 덕분에 궁금했던 부분이 어느정도 해소되었습니다! 추가적으로 궁금한 내용이 있는데, f(g(x)) = g(f(x)) = x 만 만족해도 역함수 관계라고 할 수 있을까요? '모든 실수 x에 대해'가 꼭 필요한 조건인지 의문이 듭니다.
영상 보기 앞서 그냥 별생각없이 g합성f라는 합성함수에서 f의 치역이 g의 정의역의 진부부분집합이 되는 일반적인 합성함수로 아무렇게나 만들었는데 바로 반례 찾음 ㅋㅋㅋ
감사합니다 ㄷㄷ
정말 도움 많이 되었습니다! 감사합니다!
도움되셨다니, 다행입니다^^
좋은 일만 생기시길 바래요^^
화이팅, Bro~
좋은 강의 감사드리며 질문하나만 남기겠습니다.
f(g(x))=x 에서 f, g 둘다 일대일대응이라고 해야지만 둘이 역함수 관계다. 이게 말씀하신 결론일까요?
만약 f(g(x))=x 이고 f만 일대일대응이라고 나와있으면 f는 역함수가 존재한다는 거고
그럼 f(g(x))=x 의 양변에 f의 역함수를 취하면 g(x)=역f(x) 이렇게 되어서 둘이 역함수 관계라고 할 수 있는거 아닌가 해서요 ㅠㅠ
답변 주시면 정말 감사하겠습니다!
1) 좋은 질문입니다.
f(g(x))=x이고, f만 일대일대응이라고해서,
f(g(x))=x가 g(x)=f-1(x) 이렇다고
할수는 없습니다.
영상 8:35 이후의 설명이 나와있으니,
참고하여 주세요.
만약 f(g(x))=x이고, f만 일대일대응일때,
(g: X -> Y, f : Y -> Z) 조건이 있으면
Lee 학생 말씀처럼 f,g는 역함수 관계가 맞습니다...
위 괄호 부분이 없으면,
f만 일대일대응이라고 하더라도
역함수 관계라고 할수는 없습니다.
그 이유는, 영상 8:35 이후로 든 예가 반례입니다.
2) 정리해드리면
(1) f(g(x))=x, g(f(x))=x라면 f, g는 역함수 (O)
(2) f,g 둘 다 일대일대응이면서, f(g(x))=x이면, f,g는 역함수 (O)
(3) f : X-> Y, g : Y -> Z이고,
f(g(x))=x, f는 일대일대응이면, f, g는 역함수 (O)
이렇게 정리하시면 될거에요.
@@dogcatmathlove 정말 감사합니다 !
3) 사실 고백하자면
(저도 처음부터 알고있었던건 아니었고요)
강남8학군 고1 기출에 출제되어서,
학생들이 많이 틀렸다고해서 그때 정리해둔것입니다.
그러다 EBS수특 문제에 (조건이 누락된 거 같아서) 학생들은 헷갈리지 않았으면 하는 마음에 올린것입니다.
Lee학생이 현 고1이시면,
꼼꼼하게 (과정,결론까지 해서) 같이 정리해두시는게 좋고.
현 고2,3,수험생이시라면 (과정은 가볍게 읽으시고) 결론부분만 정리해두시길 추천드려요.
수능에 저렇게 디테일하게 물어볼....거 같지는...않아서입니다.
참고하여 주세요.
정말 좋은 질문이었습니다^^
화이팅, Bro~
영상을 보다 궁금한 점이 생겨 댓글 남겨요!! f(f(x))=x의 경우는 다른 조건 없이 바로 f=f^-1이라 할 수 있나요??g가 f로 변한 형태가 생각하면 가능할 것 같아서요..
아닙니다.
그 반례로, (영상에서 소개한) 2019학년도 9평 30번 문항이 그러해요. 14:54
....
정리해드리면,
연준학생께서 말씀하신 부분에서
'모든 실수 x에 대해'
라는 조건을 추가한다면,
f=f-1라고 보시면 됩니다.
좋은 질문이었어요, Bro.
유레카! 진짜 감사합니다:)
(g합성f)(x) = x 일때 f의 치역 = g의 정의역이고 f나 g 둘중하나가 일대일이면 이건 역함수 맞나요!?
위의 상황에선 f나 g 둘 중 하나가 일대일이면 둘다 일대일일거같아서요..
아닙니다. 꼭 역함수라고 할 수 없습니다.
(질문하신 부분에 대한 반례를 영상에서 이미 언급했습니다.)
지운 학생이 언급한 g(f(x))=x일 때, 역함수가 되려면,
1) f의 치역=g의 정의역
2) f의 정의역=g의 치역
이렇게 둘 다 있어야 합니다.
이또한 영상에서 그림으로도 언급했으니, 참고하여 주세요.
아 제 생각의 오류를 찾은거같아요.
X->Y->Z 에서 Y가 정의역인건 인지하고 있었는데, 순간 Z가 치역이라고 착각하고 있었네요 감사합니다 🙏
역시 수학에서 머리 아플땐
개념을 다시 음미하면서 읽으면 편안해지네요ㅠ
@@강지운-v7i 다행입니다.
사실 저도 지운학생 말씀듣고
다시한번 천천히 곱씹어 생각하게 되네요.^^
다음에 또 이렇게 헷갈릴만한 내용이 있으면
정리해서 올릴께요.
화이팅, Bro!
아, f합성g g합성f 둘다 x(항등함수)여야 g가 역함수이군요! 감사합니다.
아. 예^^
말씀 감사합니다.
꼭 잘 되시길 바래용~^^
그리고 개념원리 수학 하 160쪽에 204번 문제도 틀렸네요
그렇다면 f(g(x))=x다 라는 조건 만 준 수특문제는 잘못 된 건가요? 아니면 다항함수면 그냥 저런거 다 무시하고 역함수 관계다라고 생각하면 되나요?
예.
안그래도 나중에 수특 정오표가 나왔다고들었습니다.
영상 설명해드린대로입니다.
다항함수와는 상관없습니다.
무리함수나 유리함수라고해도 정의역,공역에 따라 역함수를 가질 수도 있으니,
(영상에서 다항함수라는 말을 언급하지 않은대로) 영상 설명드린 그대로입니다.
다항함수와는 연관성이 없습니다.
1) f,g가 일대일 대응일 때, f(g(x))=x이면 → f,g는 역함수 관계
2) 모든 실수x에 대해, f(g(x))=x이고, g(f(x))=x이면 → f,g는 역함수 관계
이렇게 정리해두시면 됩니다.
영상 잘 봤습니다.
그러면 'f와 g가 일대일 대응일 때 f(g(x))=x이면 f,g는 역함수 관계'라고 할 수 있나요?
전 그냥 이렇게 배웠거든요.
맞습니다. 정리해 드리면,
1) f,g가 일대일 대응일 때, f(g(x))=x이면 → f,g는 역함수 관계
2) 모든 실수x에 대해, f(g(x))=x이고, g(f(x))=x이면 → f,g는 역함수 관계
요정도만 정리해두셔도 될거에요^^
화이팅, Bro~^^
수능특강문제 정오표 떴어요
아. 그렇군요.
23수특 풀때에는 별다른 오류가 없었었는데, 놓친 부분이 있는지 정오표 보고, 한번 확인해봐야 겠네요.
말씀 감사합니다,채은 학생^^
이렇게 쉽게 놓치는 개념들 정리 해주시는 거 너무 좋은 것 같아요!! 감사합니다~~~
아. 좋게 말씀주셔서 정말 감사합니다.
채은 학생.
더 열심히 준비해서
도움되는 내용이라면
꼭 올리겠습니다.
올해 꼭 좋은 일 있으시길 바랍니다.
화이팅, Bro~!