[토막상식9] 케플러 제3법칙 유도

[@chpm_master_park]

시간과 거리와 질량간의 상관관계를 찾기 전과 후에 저희에게는 어떤 영향이 생겼는가 하는

[@science_training_center]

행성 운동의 규칙성과 패턴을 이해하고 예측할 수 있게 되었다는 점이 가장 크다고 생각합니다. 과학은 결국 "예측"을 할 수 있고, 그 예측이 높은 확률로 맞아하는 학문이니까요.

[@박미영-x3r]

T = 루트 4파이제곱r세제곱/GM이라고 배웠는데 영상에서 처럼 m1 + m2가 식의 M과 같나요? 식의 M은 지구 질량이라고 했었습니다

[@science_training_center]

m1 + m2가 식의 M과 같아 보입니다. 다만 M이 지구질량이라고 하는건 다시 생각해볼 필요가 있어보입니다. 물론 지구와 인공위성으로 본다면 M을 지구 질량이라고 볼 수 있겠지만, 지구과학에서는 보통 별과 행성 사이를 이야기 할 때 자주 사용하기 때문에 말씀해주신 M의 경우에는 태양 질량으로 보는게 더 적합하지 않을까 생각합니다. 물론 대학에서 배우신 것이라고 한다면 앞에서 언급한 것과 같이 M을 지구 질량으로 본다는 것은 지구보다 작은 질량을 가진 어떤 것(예를 들어 인공위성)을 이야기 한다면 가능할 수 있습니다.
위 식에서 m1과 m2를 사용하는 가장 중요한 이유는 질량을 가진 두 물체는 서로 잡아당긴다는 우주의 4가지 근본적인 법칙에 의거하기 때문입니다. 따라서 둘 중에서 하나의 질량을 제외한다는 말은 하나의 질량이 압도적으로 클 경우에 적용하게 됩니다. 예를들어 100만원 + 10원 이라고 했을때 정확하게는 100만 10원 이라고 써야하겠지만, 100만원 입장에서는 10원이야 있으나 마나한 값이기 때문에 대충 100만원이라고 해도 무방한 것과 같습니다. 태양과 지구의 질량도 태양이 30만배 정도 크기 때문에 지구의 질량은 무시해서 m1+m2 중에 하나를 날려 그냥 M 이라고 사용하는 것입니다. 만약 지구 질량으로 배우셨다면 지구 주위를 공전하면서 지구보다 매우매우 작은 어떤 물체라고 할 경우에는 마찬가지로 그 물체의 질량을 무시하고 M을 지구의 질량으로 두는 것은 가능합니다. 다만 달의 경우에는 절대 안됩니다. 달은 지구와 비교했을 때 무시할 수 있을 정도의 질량이 아니기 때문에 반드시 m1+m2로 써서 지구의 질량과 달의 질량을 각각 써줘야 합니다.

[@보우이의종합게임방송]

원심력 = 만유인력이 아니라 구심력 = 만유인력이라고 표현해야 하는게 아닐까 싶네요.

[@science_training_center]

피드백 주셔서 감사합니다!

[@praisethesun1959]

a^2과 4파이제곱이 왜 바뀌는지 이해가 안가요

[@science_training_center]

혹시 몇 분 몇초일까요? (타임라인은 숫자랑 쩜쩜으로 표현해주시면 됩니다. 예시 4:17)

[@praisethesun1959]

4:17~4:30이요

[@science_training_center]

​@@praisethesun1959 왜 서로 자리를 바꾸는지에 대한 질문이셨군요! 저 상태여도 문제 없지만 보기 편하도록 a와 P 같이 간단한 미지수는 한쪽에 모아두고, m1 m2와 같이 더한 다음에 다음 작업을 해야 하는건 다른 한쪽에 모아둔 것 뿐입니다~!

[@세로-p3u]

만유인력 법칙이 조화법칙을 통해 만들어졌는데 조화법칙을 다시 만유인력 법칙으로 유도하는건 그릇되지않나요😢😢

[@science_training_center]

우선, 본 강좌는 고등학생들의 이해를 돕기 위해 만들어진 강좌임을 알려드립니다. 안타깝게도 고등학교에서는 유도 과정이나 근본적인 원리를 탐구하지 않습니다. 잘 모르겠으면 그냥 외워서 ㄱㄴㄷ 보기가 맞는지 틀린지만 판별하면됩니다. 이런 교육의 근본적인 문제점을 개선하기 위해서 많은 논의가 필요할 것으로 보입니다.
이제 본론으로 들어와서 말씀해주신 모순에 대해 이야기하자면 만유인력 법칙이 조화법칙을 통해 만들어졌다는 것은, 조화법칙을 만유인력 법칙의 근본 원리로 삼아 만유인력 법칙을 도출했다는 의미입니다. 따라서 조화법칙을 다시 만유인력 법칙으로 유도하는 것은, 만유인력 법칙의 근본 원리인 조화법칙을 다시 만유인력 법칙으로 유도한다는 의미가 됩니다. 이러한 유도는 원칙적으로는 가능하지만, 실질적으로는 어렵습니다. 왜냐하면 조화법칙은 만유인력 법칙의 근본 원리일 뿐만 아니라, 만유인력 법칙을 설명하는 데 사용되는 다양한 수학적 개념과 연산을 포함하고 있기 때문입니다. 따라서 조화법칙을 다시 만유인력 법칙으로 유도하기 위해서는, 이러한 수학적 개념과 연산을 모두 만유인력 법칙으로 설명할 수 있어야 합니다. 물론 이러한 유도가 불가능하다고 단정할 수는 없습니다. 만약 조화법칙을 만유인력 법칙으로 설명할 수 있는 새로운 수학적 개념이나 연산이 발견된다면, 조화법칙을 다시 만유인력 법칙으로 유도하는 것이 가능해질 수 있습니다.
현재까지는 조화법칙을 다시 만유인력 법칙으로 유도하는 데 성공한 사례는 없습니다. 따라서 조화법칙을 다시 만유인력 법칙으로 유도하는 것은, 아직까지는 잘못된 것이 아니라, 단순히 어려운 것이라고 할 수 있습니다. 질문자께서는 "그릇되었다"는 표현으로 모순을 지적하였는데, 학생들이 고등학교 수준에서 접근할 수 있는 방법에 대해 구상한 것 뿐이지 증명할 생각이 아니었기에 가볍게 봐주시면 될 듯합니다.
조화법칙을 다시 만유인력 법칙으로 유도하는 것이 가능하다면, 만유인력 법칙의 근본 원리를 보다 더 깊이 이해하는 데 도움이 될 수 있을 것입니다. 또한, 만유인력 법칙을 보다 더 일반화된 형태로 표현할 수 있을 수도 있습니다. 따라서 조화법칙을 다시 만유인력 법칙으로 유도하는 연구는, 만유인력 법칙의 이해와 발전에 중요한 의미를 가질 수 있을 것으로 기대됩니다. 그러나 조화법칙을 다시 만유인력 법칙으로 유도하는 것이 반드시 필요하다고 할 수는 없습니다. 만유인력 법칙은 이미 잘 검증된 법칙이며, 조화법칙을 다시 만유인력 법칙으로 유도하는 데 성공하더라도, 만유인력 법칙의 정확성을 보장하는 것은 아닙니다. 따라서 조화법칙을 다시 만유인력 법칙으로 유도하는 것은, 만유인력 법칙의 근본 원리를 이해하고, 만유인력 법칙을 보다 더 일반화된 형태로 표현하기 위한 하나의 연구 방향으로 볼 수 있습니다. 따라서, 만유인력 법칙이 조화법칙을 통해 만들어졌는데 조화법칙을 다시 만유인력 법칙으로 유도하는 것은 모순이라고 단정할 수는 없습니다. 다만, 이러한 유도는 아직까지는 실현되지 않았으며, 만약 이러한 유도가 이루어진다면, 만유인력 법칙의 이해와 발전에 중요한 의미를 가질 수 있을 것으로 기대됩니다.

[@chpm_master_park]

케플레 제3법칙이 갖는 의의가 뭘까요?

[@science_training_center]

천문학을 연구하는 사람들에게 하나의 큰 버팀목이 되어준 점이 가장 큰 의의가 아닐까 생각합니다. 질량, 시간, 거리의 상관관계로 한 번 더 검증해볼만한 틀을 제공해준거죠!
반면, 우리의 삶이 유용해졌는가? 라고 하면 그렇진 않죠. 우리가 살아갈 새로운 터전을 찾는데는 유용해졌다고 볼수 있고요.

[@신민재-g7v]

긴 반지름에 비례하는 건데 r1+r2는 긴반지름이 아니지 않나요?

[@science_training_center]

@@신민재-g7v 질문의 의도를 파악하지 못했습니다.. ㅠㅠ 뭐가 긴 반지름에 비례한다는 말씀일까요?

[@신민재-g7v]

@@science_training_center 행성의 공전 주기의 제곱은 그 행성의 타원 궤도 긴 반지름의 세제곱에 비례한다.가 케플러 3법칙의 결론인데 영상에서 사용하신 a는 타원 궤도의 긴 반지름이 아니지 않냐는 질문이었습니다

[@science_training_center]

@@신민재-g7v 케플러 제3법칙에서 말하는 "행성의 공전 주기의 제곱은 그 행성의 타원 궤도의 긴반지름(장반경)의 세제곱에 비례한다"는 내용에서,
a는 타원 궤도의 장반경을 의미합니다. 이는 타원의 가장 긴 축의 절반 길이로, 궤도의 전체적인 크기를 나타내는 중요한 척도입니다.
영상에서 사용한
a는 각 천체가 공통 질량 중심(바리센터)으로부터 떨어진 거리인
r 1 과 r 2 의 합으로 정의되어 있습니다:
a=r 1​ +r 2
​처음에는 이 값이 타원 궤도의 장반경과 다르게 보일 수 있지만, 실제로는 동일한 개념입니다.
이유는 다음과 같습니다:
두 천체
m 1​ 과 m 2 는 서로의 중력에 의해 공통 질량 중심을 중심으로 타원 궤도를 그리며 공전합니다.
각 천체의 궤도는 개별적인 타원이며, 각자의 장반경
a 1 과 a 2 를 가집니다.
그러나 두 천체 사이의 상대적인 운동을 고려하면, 한 천체가 다른 천체 주위를 공전하는 것으로 볼 수 있고, 이때의 궤도 장반경은
a=r 1​ +r 2 로 나타납니다.
따라서
a는 두 천체가 함께 만드는 전체 궤도의 장반경으로서, 케플러 제3법칙에서 사용되는 장반경과 동일합니다.
결론적으로, 영상에서 사용된
a=r 1​ +r 2
는 타원 궤도의 장반경을 정확히 나타내며, 케플러 제3법칙에 적용되는 값입니다. 따라서 "영상에서 사용하신
a는 타원 궤도의 긴 반지름이 아니지 않냐"는 질문에 대한 답은 영상의
a는 타원 궤도의 장반경이 맞습니다.

[@heyhey273]

만유인력에서의 분모의 r과 구심력에서 분모의 r이 다르게 전개되는 이유가 무엇인가요?

[@science_training_center]

@@heyhey273 몇 분 몇 초에서의 설명을 말씀하시는걸까요?

[@heyhey273]

@@science_training_center 구심력과 만유인력이 같다고 두고 풀이를 시작할때 한 쪽은 r1인데 한 쪽은 a로 바껴서요

[@science_training_center]

​@@heyhey273 원심력은 원운동을 하는 원의 중심으로부터의 거리로 계산해서 r이 들어가지만 만유인력은 두 물체 사이에 작용하는 힘이기 때문에 두 물체 사이의 거리인 r1+r2가 들어갑니다. r1+r2=a 두고 풀기로 했기에 a로 시작하는 것입니다.

[@jun-kk7lc]

실제 행성의 궤도는 타원이니 약간의 오차가 있지 않을까요?

[@science_training_center]

지당하신 말씀입니다. 수학은 오차를 허용하지않지만 과학에서는 오차를 허용합니다. 그래서 오차를 줄이는게 과학을 연구하는 사람들의 업무인 것이죠. 그럼 왜 공식이라는 것으로 사용할 수 있냐면, 예상 값이 10 안팎인데 9나 11이 나오기 때문이라고 보시면 됩니다. 다시 말하면 예상 값이 10인데 100이나 200이 나오는게 아니라 그 근방 쯤 나오면 허용한다는 말이죠.

[@치킨무-z7h]

A와 B의 주기가 다르니 저 식은 성립이 되지 않는 거 아닌가요??

[@science_training_center]

같습니다.
ua-cam.com/video/4jYQA05PwJA/v-deo.html
(과학훈련소 공통질량중심)
위 영상의 21분 12초 참고 바랍니다~!