«¿Cuál es, entonces, el teorema de Gödel? Aquí hay una primera descripción informal: Ninguna axiomatización puede determinar toda la verdad y nada más que la verdad acerca de la aritmética. Empero, esto requiere explicación, especialmente de los términos ‘axiomatización’ y ‘aritmética’. Empezaré con lo ultimo» A.W. Moore, Godel’s Theorem a very short introduction, 2022, Oxford Press
Sería que uno puede listar los axiomas mediante un algoritmo, aún en el caso en que sean infinitos. (Uno podría listarlos por ejemplo, en forma de una secuencia o una sucesión).
Recien descubro tu canal y pude entender todo el tema., cosa que no pide hacer con caneles como veritasium con mucha animacion para nada! Voy a seguir viendo tus videos. Ojala tengas sobre numeros complejos en el caos
Me resulta muy complicado digerir esta idea. El teorema de incompletitud de Gödel es cierto pero se demuestra usando un enunciado auto referencial. El problema es que yo en matemáticas no he visto un enunciado autoreferencial nunca entonces no debería haber ningún problema?
Para entender el teorema de Gödel, creo que debemos diferenciar claramente entre lo que no conocemos y lo que sabemos que es paradójico: a) No sabemos si el teorema de Goldbach es verdadero pero la respuesta solo puede ser "si es verdad" o "no es verdad". b) Por el contrario, sabemos perfectamente que una oración como la del mentiroso "esta frase es falsa" o la del teorema de Gödel (que podemos parafrasear como "esta frase no es producible") son paradójicas. Pero tanto un sistema formal, como un programa de ordenador, como un humano, como un dios omnisciente: -No pueden atribuir un valor "verdadero/falso" o "producible/No producible". -Si pueden detectar y aislar las "Islas Gödelianas de Indeterminación" de modo que tengamos sistemas que aislando estas oraciones (y dándolas un tercer valor de verdad "G" =paradójico; con un tratamiento distinto de los valores clásicos) con los que podamos evitar la ignorancia. El siguiente video desarrolla la idea: ua-cam.com/video/3rZ7s6zGE-0/v-deo.html
Te refieres al postulado de Euclides. es.wikipedia.org/wiki/Quinto_postulado_de_Euclides Ya considera las tres dimensiones. Pero uno puede cambiar las geometrías.
MathArg Papers ,Ya veo gracias , si es materia de discusión en topología, ya va mas allá de mi Cálculo , y quizas mi intuición, pero en cierto punto Gödel , nos lleva al centro del problema de la limitación perceptual y lingüística, ( pienso en Witgeinstein ) mucho por donde cortar
Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos célebres teoremas de lógica matemática demostrados por Kurt Gödel en 1931. Ambos están relacionados con la existencia de proposiciones indecidibles en ciertas teorías aritméticas.
Como se ve en esta serie de vídeos, si de axiomas (o teoremas demostrados) mediante pasos lógicos uno demuestra otros teoremas eso es la verdad matemática. NO tiene que ver con la verdad "cotidiana". Parte de lo que se ve en estos vídeos es que a veces no se puede llegar a esa verdad.
@@MathArgPapers Muchas gracias por responder. La pregunta es esta (en referencia a lo que se explica en el min. 8:29) ¿que hace a un enunciado de una teoría e. g., que demuesta verdades aritméticas , pero no es demostrable, ser verdadero.? ¿En matemáticas no es la demostración una condición necesaria para que algo se diga verdadero?
@@diegotentor8444 Tenes que pensarlo como un metateorema. En matemática están los teoremas de existencia no constructivos. Podes demostrar la existencia de algo pero no dar el ejemplo. Podes demostrar la existencia de un enunciado verdadero no demostrable. Eso no significa que te diga cual es. Sobre lo anterior tenemos un vídeo de hace tiempo: ua-cam.com/video/EZ29T85zN84/v-deo.html
Creo que el teorema de Gödel ha sido sobredimensionado. Podemos detectar y aislar las oraciones que dicho vulgarmente se "niegan a si mismas" que están en la base del "problema" detectado por Gödel, de modo que si aislamos estas oraciones y las excluimos (por ejemplo mediante una lógica trivaluada) puede quedarnos algo que si sea a la vez consistente y completo... algo que no debe extrañarnos demasiado dado que Chang y Keisler (1) ya demostraron como construir un sistema consistente, recursivo y completo que tuviera el poder de representar la suma y producto de números complejos. El siguiente video desarrolla la idea: ua-cam.com/video/3rZ7s6zGE-0/v-deo.html (1) Chang, C. C., & Keisler, H. J. (1990). Model theory (Vol. 73). Elsevier.
El razonamiento del minuto 11 está mal: a lo que llegas es a que ese enunciado es verdadero, pero al ser verdadero, por lo que dice, no se puede demostrar, con lo que la teoría no puede ser completa. No llegas a ninguna contradicción porque no habías supuesto nada (por reducción al absurdo)
Esta bien explicado, aunque no hablaste mucho de la no redundancia que deben cumplir los sistemas axiomas. Si le dieras un poquito mas de inversión a la edición, se convertiría en una joya. Igual es muy bueno el contenido. Éxitos.
Espera, espera,…G es verdadero pero no se puede demostrar en “T”. Entonces, “G” pasa a ser un axioma en T ya que es verdadero pero no demostrable como ocurre con el resto de axiomas de T? 😳
Godel no sólo pulverizó a Hilbert, Russell dejó de hacer ciencia después del trabajo de Godel para dedicarse a la filosofía y terminar ganando el Nobel...pero de Literatura (indigno para un matemático que al igual que Hilbert, aspiraban a ser refundacionales...). Godel hizo algo similar a Einstein, que vino a corregir a Newton (en sentido estricto, demostró que su teoría de la gravedad era falsa, ni más ni menos...). Dato anecdótico: Godel fue amigo de Einstein, mejor dicho Einstein fue cercano a él en Princeton, porque Godel no tenía amigos. En fin, Godel sentó las bases de la lógica moderna, aniquiló no sólo a los egos de Hilbert y Russell, sino que refutó 2500 años de matemáticas desde sus mismísimos cimientos. En matemáticas existe un antes y un después de él. Como si fuera poco lo anterior, Allan Turing, el genuino padre de la computación tal y como la conocemos, se basó en los trabajos de Godel para idear su “homónima máquina”. En suma, en mi opinión: Godel-Turing-Tesla-Einstein y una casi desconocida pero EXTRAORDINARIA mujer, Emmy Noether, sientan las bases de nuestro mundo moderno, y con esto quiero decir que sin alguno de ellos, el mundo cotidiano actual sería muy distinto. Ni hablar de las ciencias, pues todavía estaríamos ansiando ilusamente resolver el plan de Hilbert, y el espacio-tiempo no existiría, existirían por separado, en tecnología no tendríamos corriente alterna, y probablemente tampoco celulares ni walkie-talkies, ni GPS, ni computadores. Mención honrosa para los cuánticos y todo el resto en realidad. Pero no deja de inquietarme que las revoluciones de los paradigmas científicos, descansen, PRINCIPALMENTE sobre genialidades individuales. Unos pocos iluminados u “hombros de gigantes” parafraseando a Hawking. Pues el trabajo duro seguirá realizándose, pero sin los genios, no es posible avanzar, no significativamente al menos. Y gracias por el video. Saludos
Falaz argumentacion, entre muchos muchos errores basados en el ego tuyo y otras cositas uno de los mas falsos es que Einstein refuto a Newton, FALSO Einstein AMPLIO a Newton, una respuesta bastante sentimental y poco racional la tuya
Los axiomas estan basados en proposiciones y las proposiciones, en frases, en simplemente, palabras, lo que induce a pensar, que desde el mismo origen existe incertidumbre,, al crear sintaxis y darle sentido semantico, ,, La teoria de godel es utilizada en bufetes como el arma que genera la duda..y la duda te puede generar un bien o un mal, lo que es literalmente una preposicion,, inocencia o culpabilidad,, caeriamos al origen de las circustancias,,,Es como hacer tiempo en un partido de futbol si vas ganando.ya que al final puedes terminar perdiendo...A menos que en el campo determinista de la vida y la muerte, existiera el de godel.
Es bastante Universal el trabajo de Godel, sin embargo en la ciencia no se trata de aplastar y minimizar los aportes anteriores, se trata de construir sobre ellos, decir que Godel refundo 2500 años de Matematica es hablar de que los aportes anteriores no fueron sus propias bases para desarrollar su trabajo.
Lo que decimos justamente es que si no queres una contradicción (si queres una Teoría consistente) entonces no puede ser completa. Si no es completa, G no es una contradicción. Vale la pena aclarar que ese G que escribimos no es un enunciado Gödel de verdad si no que es una representación de lo que se hace realmente. El enunciado utiliza algo llamado los números de Gödel, que permite tener proposiciones autoreferenciales en la teoría. es.wikipedia.org/wiki/Numeraci%C3%B3n_de_G%C3%B6del
Gracias por la aclaración, MathArg. No entiendo por qué Gödel utiliza una codificación, o sea, no entiendo la parte sintáctica del asunto. Por cierto, MathArg, es imposible que exista una proposición autoreferente.
Lamentablemente no tengo mas opción que referirte a los números de Gödel, el link que te pase en el primer comentario donde codifica los símbolos matemáticos con números esa es la base de la autorreferencialidad. Te aclaro que no es nada trivial, ni tampoco es mi especialidad. La autoreferencialidad no es directa. Lo que hizo Gödel fueron dos cosas: Transformo la meta-teoría en números naturales a través de la codificación, asignando la teoría de aritmética a la logica formal. Mostró que hay una sentencia con el número n de Gödel, cuyo contenido es exactamente "la sentencia codificada por n no es demostrable". Por supuesto no es algo que tienes que creer, ahí ya deberás dar el paso de estudiar el tema. detenidamente.
¿Y la sentencia codificada por n está definida o solo se menciona de forma indirecta? Insisto, es imposible que haya una sentencia codificada con el número n, que diga que "la sentencia codificada por n no es demostrable". De nada sirve que vaya a estudiar la demostración, ya que estaría basada en una contradicción. La sentencia codificada por n no puede ser demostrable por cuando no es una proposición, o sea, no está sujeta a la posibilidad de demostración, dada su naturaleza. Gödel trata a algo que no es una proposición como si lo fuera, y eso es un error, en mi opinión.
![Lp. Сердце Вселенной #60 РОЖДЕНИЕ ЛОЛОЛОШКИ [Финал] • Майнкрафт](http://i.ytimg.com/vi/YoR0pAV9FVQ/mqdefault.jpg)
Brutal Godel con sus teoremas, pero una pena para David Hilbert por no poderse cumplir su sueño jajaja. Excelente video amigo!!
«¿Cuál es, entonces, el teorema de Gödel? Aquí hay una primera descripción informal: Ninguna axiomatización puede determinar toda la verdad y nada más que la verdad acerca de la aritmética. Empero, esto requiere explicación, especialmente de los términos ‘axiomatización’ y ‘aritmética’. Empezaré con lo ultimo» A.W. Moore, Godel’s Theorem a very short introduction, 2022, Oxford Press
Hola. Gracias por tu vídeo. No me quedo muy claro el concepto de efectivamente generado, me podrías dar una ayuda. Gracias
Sería que uno puede listar los axiomas mediante un algoritmo, aún en el caso en que sean infinitos. (Uno podría listarlos por ejemplo, en forma de una secuencia o una sucesión).
Recien descubro tu canal y pude entender todo el tema., cosa que no pide hacer con caneles como veritasium con mucha animacion para nada! Voy a seguir viendo tus videos. Ojala tengas sobre numeros complejos en el caos
Me gustan muchos tus vídeos. Eres un buen divulgador. 👍
Me resulta muy complicado digerir esta idea. El teorema de incompletitud de Gödel es cierto pero se demuestra usando un enunciado auto referencial. El problema es que yo en matemáticas no he visto un enunciado autoreferencial nunca entonces no debería haber ningún problema?
Excelente video, perfecto punto entre rigurosidad y simpleza
Para entender el teorema de Gödel, creo que debemos diferenciar claramente entre lo que no conocemos y lo que sabemos que es paradójico:
a) No sabemos si el teorema de Goldbach es verdadero pero la respuesta solo puede ser "si es verdad" o "no es verdad".
b) Por el contrario, sabemos perfectamente que una oración como la del mentiroso "esta frase es falsa" o la del teorema de Gödel (que podemos parafrasear como "esta frase no es producible") son paradójicas. Pero tanto un sistema formal, como un programa de ordenador, como un humano, como un dios omnisciente:
-No pueden atribuir un valor "verdadero/falso" o "producible/No producible".
-Si pueden detectar y aislar las "Islas Gödelianas de Indeterminación" de modo que tengamos sistemas que aislando estas oraciones (y dándolas un tercer valor de verdad "G" =paradójico; con un tratamiento distinto de los valores clásicos) con los que podamos evitar la ignorancia. El siguiente video desarrolla la idea:
ua-cam.com/video/3rZ7s6zGE-0/v-deo.html
¿Y dónde se explica como deducen de la lógica proposicional la matematicas elemental?
Pregunto : y el teorema de las paralelas al añadir otra dimensión, se hace falso ej la cinta de Möebius? Solo pregunto
Te refieres al postulado de Euclides. es.wikipedia.org/wiki/Quinto_postulado_de_Euclides
Ya considera las tres dimensiones. Pero uno puede cambiar las geometrías.
MathArg Papers ,Ya veo gracias , si es materia de discusión en topología, ya va mas allá de mi Cálculo , y quizas mi intuición, pero en cierto punto Gödel , nos lleva al centro del problema de la limitación perceptual y lingüística, ( pienso en Witgeinstein ) mucho por donde cortar
Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos célebres teoremas de lógica matemática demostrados por Kurt Gödel en 1931. Ambos están relacionados con la existencia de proposiciones indecidibles en ciertas teorías aritméticas.
Grande MathArg!
11:53 / 21:44
Gracias por este vídeo, está genial.
¿Que significa, en logica o filosofía matemática que algo sea verdadero?
Por otro lado, ¿La verdad misma sería demostrable o no?
Como se ve en esta serie de vídeos, si de axiomas (o teoremas demostrados) mediante pasos lógicos uno demuestra otros teoremas eso es la verdad matemática. NO tiene que ver con la verdad "cotidiana". Parte de lo que se ve en estos vídeos es que a veces no se puede llegar a esa verdad.
@@MathArgPapers ¿un axioma sería un teorema demostrado o un principio que permite demostrar teoremas?
@@diegotentor8444 Un principio que no se demuestra y que es el puntapie inicial (junto con otros axiomas) para demostrar teoremas.
@@MathArgPapers Muchas gracias por responder.
La pregunta es esta (en referencia a lo que se explica en el min. 8:29)
¿que hace a un enunciado de una teoría e. g., que demuesta verdades aritméticas , pero no es demostrable, ser verdadero.?
¿En matemáticas no es la demostración una condición necesaria para que algo se diga verdadero?
@@diegotentor8444 Tenes que pensarlo como un metateorema. En matemática están los teoremas de existencia no constructivos. Podes demostrar la existencia de algo pero no dar el ejemplo. Podes demostrar la existencia de un enunciado verdadero no demostrable. Eso no significa que te diga cual es.
Sobre lo anterior tenemos un vídeo de hace tiempo:
ua-cam.com/video/EZ29T85zN84/v-deo.html
Creo que el teorema de Gödel ha sido sobredimensionado. Podemos detectar y aislar las oraciones que dicho vulgarmente se "niegan a si mismas" que están en la base del "problema" detectado por Gödel, de modo que si aislamos estas oraciones y las excluimos (por ejemplo mediante una lógica trivaluada) puede quedarnos algo que si sea a la vez consistente y completo... algo que no debe extrañarnos demasiado dado que Chang y Keisler (1) ya demostraron como construir un sistema consistente, recursivo y completo que tuviera el poder de representar la suma y producto de números complejos. El siguiente video desarrolla la idea: ua-cam.com/video/3rZ7s6zGE-0/v-deo.html
(1) Chang, C. C., & Keisler, H. J. (1990). Model theory (Vol. 73). Elsevier.
"Son demostrables de los axiomas "No queda muy claro a que te refieres.
¿El enunciado “G” es “G no se puede probar verdadero en T”?
Es la traducción, en realidad todo se hace en el lenguaje logico.
@@MathArg Cierto, vi un poco en wikipedia. Gracias por aclararlo. Tengo ganas de cursar lógica matemática el curso que viene :)
El razonamiento del minuto 11 está mal: a lo que llegas es a que ese enunciado es verdadero, pero al ser verdadero, por lo que dice, no se puede demostrar, con lo que la teoría no puede ser completa. No llegas a ninguna contradicción porque no habías supuesto nada (por reducción al absurdo)
Esta bien explicado, aunque no hablaste mucho de la no redundancia que deben cumplir los sistemas axiomas. Si le dieras un poquito mas de inversión a la edición, se convertiría en una joya. Igual es muy bueno el contenido. Éxitos.
Espera, espera,…G es verdadero pero no se puede demostrar en “T”. Entonces, “G” pasa a ser un axioma en T ya que es verdadero pero no demostrable como ocurre con el resto de axiomas de T? 😳
Podes armar una nueva teoría T' con G como axioma. T' tendrá a un G' como enunciado no demostrable, y así sucesivamente.
Se pudo ser más específico
Godel no sólo pulverizó a Hilbert, Russell dejó de hacer ciencia después del trabajo de Godel para dedicarse a la filosofía y terminar ganando el Nobel...pero de Literatura (indigno para un matemático que al igual que Hilbert, aspiraban a ser refundacionales...). Godel hizo algo similar a Einstein, que vino a corregir a Newton (en sentido estricto, demostró que su teoría de la gravedad era falsa, ni más ni menos...). Dato anecdótico: Godel fue amigo de Einstein, mejor dicho Einstein fue cercano a él en Princeton, porque Godel no tenía amigos. En fin, Godel sentó las bases de la lógica moderna, aniquiló no sólo a los egos de Hilbert y Russell, sino que refutó 2500 años de matemáticas desde sus mismísimos cimientos. En matemáticas existe un antes y un después de él. Como si fuera poco lo anterior, Allan Turing, el genuino padre de la computación tal y como la conocemos, se basó en los trabajos de Godel para idear su “homónima máquina”. En suma, en mi opinión: Godel-Turing-Tesla-Einstein y una casi desconocida pero EXTRAORDINARIA mujer, Emmy Noether, sientan las bases de nuestro mundo moderno, y con esto quiero decir que sin alguno de ellos, el mundo cotidiano actual sería muy distinto. Ni hablar de las ciencias, pues todavía estaríamos ansiando ilusamente resolver el plan de Hilbert, y el espacio-tiempo no existiría, existirían por separado, en tecnología no tendríamos corriente alterna, y probablemente tampoco celulares ni walkie-talkies, ni GPS, ni computadores. Mención honrosa para los cuánticos y todo el resto en realidad. Pero no deja de inquietarme que las revoluciones de los paradigmas científicos, descansen, PRINCIPALMENTE sobre genialidades individuales. Unos pocos iluminados u “hombros de gigantes” parafraseando a Hawking. Pues el trabajo duro seguirá realizándose, pero sin los genios, no es posible avanzar, no significativamente al menos.
Y gracias por el video. Saludos
"Godel … refutó 2500 años de matemáticas desde sus mismísimos cimientos". Eso es evidentemente falso. Nadie ha refutado los teoremas de los griegos.
Indigno el Premio Nobel de literatura
Falaz argumentacion, entre muchos muchos errores basados en el ego tuyo y otras cositas uno de los mas falsos es que Einstein refuto a Newton, FALSO Einstein AMPLIO a Newton, una respuesta bastante sentimental y poco racional la tuya
Los axiomas estan basados en proposiciones y las proposiciones, en frases, en simplemente, palabras, lo que induce a pensar, que desde el mismo origen existe incertidumbre,, al crear sintaxis y darle sentido semantico, ,, La teoria de godel es utilizada en bufetes como el arma que genera la duda..y la duda te puede generar un bien o un mal, lo que es literalmente una preposicion,, inocencia o culpabilidad,, caeriamos al origen de las circustancias,,,Es como hacer tiempo en un partido de futbol si vas ganando.ya que al final puedes terminar perdiendo...A menos que en el campo determinista de la vida y la muerte, existiera el de godel.
Es bastante Universal el trabajo de Godel, sin embargo en la ciencia no se trata de aplastar y minimizar los aportes anteriores, se trata de construir sobre ellos, decir que Godel refundo 2500 años de Matematica es hablar de que los aportes anteriores no fueron sus propias bases para desarrollar su trabajo.
En su teorema, ¿Gödel trata al enunciado G como si fuera una proposición? Si es así, su teorema está basado en una contradicción.
Lo que decimos justamente es que si no queres una contradicción (si queres una Teoría consistente) entonces no puede ser completa. Si no es completa, G no es una contradicción. Vale la pena aclarar que ese G que escribimos no es un enunciado Gödel de verdad si no que es una representación de lo que se hace realmente. El enunciado utiliza algo llamado los números de Gödel, que permite tener proposiciones autoreferenciales en la teoría.
es.wikipedia.org/wiki/Numeraci%C3%B3n_de_G%C3%B6del
Un ejemplo de un enunciado Gödel.
math.stackexchange.com/questions/1472769/what-does-a-godel-sentence-actually-look-like?noredirect=1&lq=1
Gracias por la aclaración, MathArg. No entiendo por qué Gödel utiliza una codificación, o sea, no entiendo la parte sintáctica del asunto. Por cierto, MathArg, es imposible que exista una proposición autoreferente.
Lamentablemente no tengo mas opción que referirte a los números de Gödel, el link que te pase en el primer comentario donde codifica los símbolos matemáticos con números esa es la base de la autorreferencialidad. Te aclaro que no es nada trivial, ni tampoco es mi especialidad. La autoreferencialidad no es directa.
Lo que hizo Gödel fueron dos cosas:
Transformo la meta-teoría en números naturales a través de la codificación, asignando la teoría de aritmética a la logica formal.
Mostró que hay una sentencia con el número n de Gödel, cuyo contenido es exactamente "la sentencia codificada por n no es demostrable".
Por supuesto no es algo que tienes que creer, ahí ya deberás dar el paso de estudiar el tema. detenidamente.
¿Y la sentencia codificada por n está definida o solo se menciona de forma indirecta? Insisto, es imposible que haya una sentencia codificada con el número n, que diga que "la sentencia codificada por n no es demostrable". De nada sirve que vaya a estudiar la demostración, ya que estaría basada en una contradicción. La sentencia codificada por n no puede ser demostrable por cuando no es una proposición, o sea, no está sujeta a la posibilidad de demostración, dada su naturaleza. Gödel trata a algo que no es una proposición como si lo fuera, y eso es un error, en mi opinión.
buen video, pero esta incompleto
Llego don bromas al chat, gente!
currate mas tus videos en cuanto a calidad visual, ayudaria bastante.
gracias