Длина эллипса и разложение в ряд для эллиптического интеграла
Вставка
- Опубліковано 26 лип 2024
- В этом видео будем выяснять как найти длину эллипса. Рассмотрим пару приближенных формул, а так же получит точную формулу в виде разложения в ряд для полного эллиптического интеграла 2 рода.
В этом видео подробнее про вывод формулы для нахождения длины дуги кривой: • Длина параболы и спира...
В этом видео доказывается почему можно менять cos на sin в интегралах: • Два определенных интег...
Здесь получено разложение в ряд для (1+x)^a: • Дифференциальное уравн...
Здесь получена общая формула для интегралов с sin(x)^n: • Интеграл (cos x)^n. Об...
А здесь можно посмотреть, как получить формулу для площади эллипса: • Площадь пересечения эл...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
регулярная поддержка: boosty.to/hmath
Рамануджан - гений и виртуоз в создании формул. Точность второй формулы просто поражает.
Проверьте вторую формулу для окружности (когда a=b) 😅
@@alexandermorozov2248 2*pi*a. Шонитак?
@@alexandermorozov2248в чём проблема? 2па получается, как и должно быть
Теперь я знаю, почему такие интегралы решили назвать эллиптическими. Спасибо
Качество материала и подачи информации растет с каждым новым видео! Автору большой респект! Обязательно покажу студентам на занятии по рядам Тейлора
Потрясающее разъяснение. Более понятно быть просто не может
Спасибо за интересное видео с подробным объяснением.
Спасибо,Вам.Ваш канал, один из немногих, новое видео на котором, ждёшь.
Спасибо! Очень сложно, но предельно ясно! Добавлю, что был несказанно удивлён отсутствием простой формулы длины эллипса тем более при наличии такой красивой формулы площади.
Благодарю за полученное удовольствие!
Ролик огонь! Спасибо
Замечательный материал. Опять же радуют чисто вычислительные примеры - т.е. как этот материал можно использовать на практике.
Чтобы можно было бы дополнить - опять же с точки зрения численного анализа: полученный ряд хорошо сходится при малых эксцентриситетах. Но если эксцентриситет велик - близок к единице - сходимость сильно ухудшается. В этом случае подынтенгральную формулу стоит преобразовать -заменив в ней k^2 на скажем 1-q^2 и после ряда преобразований получив интеграл связанный с эллиптическим интегралом с меньшим значением k
Большое спасибо за интересное видео. Дам на него ссылку студентам. Мне нравится обозначение эпсилон для эксцентриситета. Именно его всегда использую.
Спасибо!
Сейчас изучаю символьное интегрирование (Алгоритм Риша в частности, интересно как комп считает стало). Ну и вот такие товарищи там часто вылазят при попытке взять интеграл от случайной комбинации алгебраических и трансцендентных функций (алгоритм только для трансцендентных функций).
Красиво, у Рамануджана :-)
Бесподобно!
Добрый день. Спасибо за видео. Запишите пожалуйста видео с определением среднего радиуса эллипса.
Рамануджи, ты гений! Как тебе это удалось?)
Замечательное видео! Большое спасибо!
Кстати говоря, есть ли ссыль на выведение формул Рамануджана для длины эллипса? Было бы интересно поглядеть)
у меня нет ссылок :) не знаю, как они получаются. Но думаю, что там получение этих приближенных формул сильно сложнее - потребуется значительно больше всего знать, если судить по другим выводам, что я видел у Рамануджана.
Рамануджан не выводил формулы, он их придумывал))
@@airatvaliullin8420 Он их не придумал. Ему по ночам бог мудрости снился, который нашёптывал правильные формулы)
@@KalininEvgen богиня же 🙂
ради нескольких знаков после запятой нужно считать двойные факториалы от чисел больше 100 много раз. Хотя можно использовать дельта формулы, когда вычисляем следующий коэффициент из прошлого. Не нужно пересчитывать каждый факториал по новой.
Еще бы графики L(k) (при а=1): точного значения; с первой поправкой -k^2/4; и двух формул Рамануджана. 😄
Чтобы увидеть их различие.
А как растёт количество верных знаков после запятой в зависимости от количества членов суммы?
С начала видео предполагаю, что можно сделать замену x = a*cos(t), y = b*sin(t). Как считать длину такой кривой мы знаем, Вы используете в 4:24.
Формулу в 14:15 мы учили как интеграл Валлиса.
Это бесподобно! А если не секрет, сколько времени ушло на создание этого ролика?
да, я думаю, вы догадываетесь, что времени много на это уходит :( в среднем расчет: час работы на 1-2 минуты итогового видео, быстрее у меня не получается. Так что видосики в среднем должны набирать по 50-100тыс просмотров, чтобы за мой труд ютьюб с рекламы заплатил примерно как дворнику в москве.
@@Hmath Догадываюсь, потому и спрашиваю) Wild Mathing говорит, что у него на 1 минуту уходит от 1 до 4 часов. И, кстати, он тоже жалуется, что его мало смотрят. Видимо, чем больше есть, тем больше хочется) Но вообще, мне кажется, что такие вещи обычно делают не для славы и денег, а из любви к искусству и служения прекрасному.
ну я догадывался, что он больше времени тратит - у него же видно :)
если бы еще в магазине мне еду давали просто из любви к прекрасному, но им почему-то денег подавай :)
У меня как у очень ленивого человека уходит день на минуту, а то и хуже.
@@Hmath У вас прекрасная подача материала, и отличное чувство юмора! 👍😊 Я как созерцатель, обозреваю и любуюсь красотою математических выкладок, законов. И возникает у меня предположение такое, что вы, может быть, исследуя математику и геометрию, открыли нечто интересное, доселе неизвестное широкой публике (закон, формулу, теорему, ряд и т.п. ). Если это так, дайте знать, пожалуйста! 🌠☀️♥️
Посмотрите как вычисляется длина эллипса через арифметико-геометрическое среднее, АГС. Вам понравится.
вы хотели сказать, как вычисляется эллиптический интеграл с помощью AGM :) Да, я знаю. Там только вывод довольно муторный и громоздкий, поэтому до сих пор не сделал такого видео
При k=1 сумма ряд в скобках равна пи
Вообще-то вопрос с длиной эллипса давно решен, для таких случаев существует специальный трюк такой универсальный и применяющийся давно, взять и создать и назвать новый объект. Например, как с корнем из -1 поступили? Да не парились и сказали "Да пох давайте назовем это i и закроем уже тему. И будем изучать свойства i". И о чудо , сейчас i воспринимается как неотъемлимая часть математики, как часть мира чисел. Тоже самое с функциями, например те функций которые выражаются через всякие интегралы, взяли да придумали новые обозначения и поставили в ряд с другими функциями и все. Я это все к тому что раньше для людей концепция чисел и операций было в новинку, вот например люди раньше, когда понадобились числа, взяли и сказали "Пускай будет 1,2,3...." и когда люди впервые начали "играться" с числами то поняли что с можно из одного получить другое путем сложений и вычитаний и взяли да не парясь сказали "назову эту операцию +, а ту -" и все. Потом со временем операций приелись и люди всех их поместили в группу "элементарных" операций. То бишь наши предки точно также выкрутились из положения как и их потомки с мнимыми единицами и новыми функцияии
А почему нельщя посмореть ввиде края многообразия и потом нацти по формуле Стокса?
Тот же вопрос
В мире нет идеальных окружностей. Живём в мире эллипсов.
В мире нет идеальных эллипсов. Мы живём в мире овалов. Или грушевидных кривых. Хотите продолжить?
@@Micro-Moo И что, орбиты планет вокруг звёзд - овалы, а не эллипсы? А может быть , не овалы, а курямнасмеххреньпоймичто?
@@user-gm9xq5gp6c В первом приближении - эллипсы. В следующем приближении - не эллипсы, но и не овалы, скорее, эллипсы, которые сами немного двигаются, так что результирующая траектория довольно сложная плетёнка. Всё это хорошо известно, гадать незачем. А овал это довольно редко рассматриваемый в математике объект, обобщение эллипса. Они не настолько интересны, чтобы их как-то специально изучать. Прочитать о них можно где угодно.
На канале поступашки есть ролик, где вычисляют площадь эллипса, зажимая этот самый самый эллипс двумя сферами в цилиндре. Площадь эллипса находится через проецирование. Разве длину эллипса так найти нельзя?
так я не понимаю о чем там речь - спросите на том канале :)
@@Hmath там это было как домашнее задание)) Увидел ваш ролик и сразу вспомнил.
Я понимаю, что если замкнутый контур, находящийся в одной плоскости спроецировать на другую плоскость, то площади будут подобны с коэффициентом cosa, где a - угол между плоскостями. Будет ли это справедливо для длины кривой не уверен, а литературы сейчас под рукой нет((
А вот интересно, приближенные формулы Рамануджана можно "сломать"? Если взять какой нить нестандартный эксентриситет для очень вытянутого эллипса, то число верных знаков может резко сократиться (а может, не останется ни одного).
попробуйте! я не проверял. думаю, что вряд ли "не останется ни одного" :)
@@Hmath первая формула Рамануджана в пределе имеет неустранимый деффект [4-π(3-√3)]/4 ≈ 0.4%, что довольно точно даже на бесконечности. Однако, для a/b=50 имеем периметры примерно 200 и 199, то есть ни одного верного знака.
200.7 = 2.007 * 10^2 ≈ 2.01 * 10^2
199.6 = 1.996 * 10^2 ≈ 2.00 * 10^2. так что 2 верных знака по крайней мере при а=50, b=1 ;)
@@Hmath с точки зрения теории ошибок, вы, конечно, правы, но на бытовом уровне - там и первый сомнителен.
@@Hmathон же просто записал разложение в ряд, взяв несколько членов последовательности в другом виде + возможно что-то округлил для красоты. Можно повторить и сделать ещё одну свою формулу точнее, чем его. Только и вид будет страшнее.
Извините за глупый вопрос, но почему нельзя просто в формуле длины окружности L = 2πr заменить r на √(ab)?
и что получится?
хм, а как формально доказывают, что интеграл не выражается в элементарных функциях?
как-то так:
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8#%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9
А что длинна окружности можно точно вычислить? Пи это ведь бесконечное иррациональное число и тоже вычисляется с помощью бесконечного сходящегося ряда
легко:
пусть R=1/п - радиус окружности. Тогда её длина: L=2п*R=2п/п=2 - точно 2, без всякого ряда.
@@Hmath После этого вам, возможно, начнут доказывать, что π это «неточное число», что бы это ни значило. Этой публике хоть кол на голове теши. Если что-то бесконечное, то сразу «неточное». А бесконечное в математике абсолютно всё. А значит, математики «ничего не понимают». И они же «всех обманывают». Везде всё одно и то же.
@@Micro-Moo есть у меня видео про приближенное вычисление пи, так там что-то подобное уже писали :) Еще сказали, что "нужна новая формула длины окружности", но это некое тайное знание :)
@@Hmath 🙂
Сумасшедшая наука,π√~°§ зачем мне это нужно?!!!
Думаю, когда-нибудь всё-таки найдется точная формула длины эллипса
думаю, что на самом деле скорее всего нет, если бы была простая формула, то за столько веков она бы уже давно была найдена, особенно сейчас в эру компьютерных вычислений. Да и с практической точки зрения в ней не будет нужды - для нахождения эллиптических интегралов есть крутые алгоритмы. Может и до них дойду :)
@@Hmath может, найдется какой-нибудь гений, который взглянет на проблему под другим углом. Жду алгоритмы
Она и так уже имеется - бесконечный числовой ряд. Если не считать эту формулу точной, то чем же лучше формула площади? Просто в площади выходит знакомая нам константа, которая образуется при каждом из вычислений, а в формуле длины такую "константу" приходится все время выводить с нуля. Кто из людей знает точное значение числа pi?
@@Hmath по сути у нас почти ни для чего нет точной формулы. Тот же синус - это ряд; пи, корень из двух - числа иррациональные, а бесконечное количество цифр в переменную не уместить. Выходит, почти все, чем мы пользуемся в математике, приближения))
Уже доказано, что этот интеграл не является элементарной функцией, а значит не может быть равен какой либо композиции элементарных функций, таким образом не существует точной формулы эллипса в виде знакомых нам функций (степенной, тригонометрической, показательной) и это не вопрос смогут найти такую или нет, а уже доказанная теорема.
а можно ли утверждать, что таковой формулы для длины эллипса и нет вовсе? вроде по единственному методу по формуле длины дуги кривой интеграл никак не берется-а значит и приходится только через ряд вычислять
скажешь, что не берется - потребуют доказательства, что это сделать нельзя :) а так интрига, может кто-то попытается "найти" интеграл как-то...
@@Hmath точно, ваши же видео как раз таки находят такие сложные неберущиеся интегралы. спасибо за контент!!!
Ты ты показывал не понятно что, ха ха какая смехота,😢😢😢,я уже хочу кушать.
Эк мне повезло, нарвался на длину эллипса. Хорошо, хоть не на эллиптические кривые и криптографию)
А что не так с криптографией на основе эллиптических кривых?
@@Micro-Moo сложно чересчур для практического применения. Я эти лекции перед сном смотрел.
@@arkanoid1965 «сложно чересчур для практического применения. Я эти лекции перед сном смотрел.» Вы вообще понимаете, о чём говорите? Я вот не понимаю. Какие к чертям практические сложности? Один раз в жизни пишешь и отлаживаешь код, а потом аж миллиарды людей пользуются, даже не подозревая, что именно там происходит. Да это уже и сделано, если речь идёт о криптографии на основе эллиптических кривых, и даже сравнительно давно.
Маск и в сортир то отправить никого не может, какой там на хер Марс?
Он хотел послать вас подальше, но решил продемонстрировать политкорректность, так как в толпе затесались демократы. 🙂
Насчёт Марса пока не знаю. Вскрытие покажет.