인트로를 삭제하였습니다.(2021.06.18) 그로 인해 기존 영상과 약 9초의 시간 차이가 발생하였으니 참고해주세요. X=0.999.....=0.9+0.09+0.009+... 10X=9+0.9+0.09+0.009+... 10X-X=9X=9 ∴X=1 댓글에 이 내용을 적으신 분들이 많네요. 물론 중학교 수학에서는 이 내용으로 학습합니다. 하지만 이 증명이 수학적으로 엄밀히 성립하기 위해서는 사실 그에 앞서 X의 수렴가능성이 반드시 증명되어야만 합니다. 이는 단조수렴정리를 이용해서 보일 수 있습니다. 물론 또 이에 앞서 X가 위로 유계라는 것도 밝혀야 하지만요. 이런 선행 증명 과정들을 거치지 않으면 이 논리로 다음과 같은 증명도 가능합니다. X=9+90+900+9000+... 10X=90+900+9000+.... X-10X=-9X=9 ∴ X=-1 그래서 저는 중학교에서 배우는 이 내용을 영상에선 굳이 언급하지 않은 겁니다. 이를 언급하기 위해선 반드시 동반해야 할 수학 개념들이 많기 때문입니다. 결코 제가 중학교에서 다루는 이 내용을 몰랐던 것도, 알면서도 일부러 어렵게 설명하려고 억지로 영상과 같이 설명한 것도 아니니 부디 오해와 악플을 멈춰주세요. 혹시 단조수렴정리에 대해 궁금하신 분들께서는 해석학 강좌에서 이를 다뤄드린 적이 있으니 참고바랍니다. ▷ ua-cam.com/video/EsulhEcdQTA/v-deo.html
+) 1/3=0.333... 로써 1=0.999... 를 증명하기 위해선 1/3=0.333... 을 먼저 증명해야 합니다. 계산해보면 당연한 것 아니냐싶은 분들은 1/3≠0.3, 1/3≠0.33, 1/3≠0.333, 1/3≠0.3333, ... 이므로 1/3≠0.333... 라는 논리에 대해서 생각해보세요. 1/3=0.333... 로 1=0.999...를 증명하는 행위는 p의 증명으로 p를 제시하는 행위이고, 이 또한 제가 영상에서 언급드리지 않은 이유입니다. 결코 제가 일부러 복잡하게 설명하려고 한 게 아닙니다. 오해하시는 분들이 많아서 해명합니다.
@@김진호-y4w3y 소수로 3을 아무리 길게써도 1/3과는 여전히 차이가 있습니다. 그러니까 1을 3으로 나누면 딱 나누어 떨어지지 않는데도 어떻게 0.333... 을 1/3과 같다고 할수 있냐는 얘긴거죠. 물론 초딩들에겐 이런 심도깊은 대화를 나누기가 무리일 테지만요.
내가 상엽쌤을 존경하는 건 결코 풍부한 지식과 강의력 때문만은 아님. 그보다 더 빛나는 인성때문. 채널이름 때문에 처음 보는 사람들은 오해할 수도 있지만, 애초에 채널 이름도 구독자들의 투표로써 정해진 것이고. 걍 한 두 영상만 봐도 됨됨이가 참 바르고 착하신 분이란 게 느껴진다. 정말 크게 되셨으면 좋겠는 분...
전에 수학과 박사과정 친구와 대화한적이 있습니다. "닿았다의 정의가 무엇일까?" 물리학 박사과정이었던 저는 "원자와 원자사이 반데르발스 상호작용 범위. 3.5 옹스트롬"이라고 했었죠. 수학 박사과정이었떤 그 친구는 말씀하신 "엡실론 델타 논법"을 들고 설명했습니다. 결국 둘다 만취해서 헛소리로 끝났지만, 잊지 못할 대화였어요. 친구가 떠나가고 3년이 지났지만 무한소수와 자연상수에 대한 내용이면 항상 그 친구가 떠오릅니다.
수직선으로 시작하면 이런 착각을 안하게됩니다. 수직선에 찍힌 어떤 점을 우리가 숫자라는 도구로 표현을 하려고 하다보니 저런 표현이 나온 것이지 근본은 숫자가 아니고 수직선의 한 점이죠. 이 수직선을 자연의 변화나 어떤 계측이 필요한 관념으로 치환하면 현재의 수학이라고 할 수 있겠죠. 우리는 실제로 과거의 현자들이 수학을 깨우친 방법으로 배우지 않고 만들어진 결론을 역방향으로 배워가기 때문에 이런 오해가 발생하게되는 것 같습니다.
가무한파 vs 실무한파 유한주의는 유한번안에 한계점에 도달해버리고 가능성의 무한조자 생각하지 않는다. 여기서는 논외 가무한파는 가능성의 무한만 생각한다. 루트2라는 숫자는 실제로 존재하지않고 제곱해서 2가 되는 숫자의 소수점자리수를 무한히 계산할수 있는 가능성만을 생각한다. 실무한파는 실제로 존재하는 무한을 생각한다. 루트2의 모든 자리수가 확정되어있고, 인간은 유한한 자릿수밖에 계산할수 없다고 생각한다. 아리스토텔레스가 가무한의 입장을 지지한뒤로 아르스토텔레스의 이름하에 가무한을 지지하는 학자는 많았다. 하지만 19세기 집합론을 창시한 게오로그 칸토어 이후로 실무한파가 훨씬 우세해졌다. 현대수학은 집합론 위에서 쌓여올려진것이라해도 과언이 아니므로, 수학을 배우려면 실무한을 받아들여야 한다. 놀랍게도 가무한파의 입장에서는 0.9땡이 1에 다가가는 수라고 말하는것이 틀리지는 않다. 다만 가무한을 인정해버리면 현대수학의 대부분을 부정하는것과 같다. 여담이지만 제논의 역설이 등장한 세대는 실무한이라는 개념이 희미해서 가무한적인 입장에서 역설을 서술한 것이다. 무한급수라는것이 존재하지 않는 시대였으므로 영원히 다가가야 한다는 주장을 펼친것이다. 사실 인간의 직관에는 가무한이 더 와닿는것이 사실이다. 그래서 수학을 모르는 일반인은 0.9999...=1을 받아들이기 힘들수도 있다. 수학은 자유의 학문이므로 토폴로지를 잘 정의해서 0.9999...≠1이되는 수체계를 만들수는 있다. 하지만 그런 수체계는 완비성을 가지지 못하고 더하기도 부자유스러우며 아무튼 성질이 까다롭다 만약 당신이 이 명제를 틀리게하고 싶으면 토폴로지까지 열심히 공부해서 수체계를 잘 바꿔보라.
질문 몇 가지를 드리고 싶네요. 첫째로, '실무한이라는 개념을 받아들이는 것은 철학적으로 너무 부담스럽지 않은가?'입니다. 글 작성자께서 "실무한파는 실제로 존재하는 무한을 생각한다."라고 말씀하셨는데 그렇다면 도대체 '실제로 존재하는 무한'이 무엇인지 말 할 수 있어야겠죠. 철학에서는 어떤 것을 가정하기 위해서 무한한 엔티티를 가정해야 하는 경우 상당히 부담스러운 것으로 받아들입니다. 가령 마이농주의나 루이스의 양상 실재론 같은 경우가 대표적입니다. 둘째로, 다시 '실제로 존재하는'과 관련된 질문인데요. 이에 대해 '수학적 지식이 과연 실제 세계를 표상하는 지식인가?'라는 질문을 드릴 수 있겠네요. 현대 수학의 대부분이 실무한 개념을 사용한다는 것이 실무한이 실제로 존재한다는 것을 함축하지는 않는 것 같습니다. 제 생각에는 수학의 이론들은 지식이라기 보다는 도구 혹은 게임에 가까운 것 같습니다. 우리가 어떤 도구나 게임을 받아들인다고 해서 그 게임 속에 있는 것이 실제로 존재하지는 않죠. 수학적인 지식은 선험적이기 때문에 실제와 관련이 없습니다. 셋째로, '완비성이 정말로 자연스러운 성질인가?'입니다. 우리가 사는 세계에 정말로 완비적인 공간이 있나요? 아무래도 없을 것 같다는 생각이 먼저 듭니다. 넷째로, 둘째 질문의 연장입니다. 0.999...≠1이 되는 수체계가 만들어 질 수 있다는 것은 어떤 체계에서 0.999...≠1이 성립한다는 것이죠. 그러면 0.999...≠1이 어떤 체계에서는 거짓이지만 어떤 체계에서는 참이라고까지만 말할 수 있는 것 아닌가요? 만일 전체 수학 이론을 통일할 수 있는 근본적인 수학 이론이 있다면 오로지 0.999...=1만이 진정한 참이겠지만, 그런 수학의 기초는 존재하지 않잖아요.
@@BAekend 철학도 수학과 같음. 애초에 모든 학문이 실제 세계를 표상하는 즉 우주에 딱 들어맞는 내용이 하나도 없음. 완전한 학문같은건 애초에 있을수가 없는거임. 뭐 신이 알려주지 않는 이상 인간이 임의로 이름 붙여주고 계산하고 해야함. 그럼 왜 그런 학문을 키우는가 라고 하면 그냥 그런식으로 생각하면 보다 많은걸 할 수 있고 편리하니까임. 3,4번 같은 질문은 학문에 대해 잘못 이해하신거임. 님의 생각대로라면 무엇하나 배울 수 있는게 없음.
@@BAekend 전체.수학이론을 통일할 수학이론은 나오지 않습니다. 과학이랑 달리 수학은 창조의 영역이거든요. 또, '실무한을 받아들여야하는가'에 근본을 던지셨는데 우리가 사는 실제 세계는 물질의 최소단위가 존재합니다. 그보다 작아질수는 없죠. 하지만 수학은, 특히 미적분학에 대해서 '무한히 작아질수 있다'를 받아들입니다. 실무한을 받아들이므로써, 복잡한 형태를 미적분학으로 계산하기 쉬워지는 이점을 얻을수 있죠. 결국에는 항상 무언가를 얻으려면 무언가를 포기해야합니다. 이 경우에는 직관성을 포기하고 편리성을 얻은거죠. 완비성또한 마찬가지 입니다. 완비성 공리를 설정하기 위해 코시등을 알아야하고 엄청나게 밑밥을 깝니다. 엄밀함을 위해 직관을 포기했죠. 완비성이 왜 필요하냐고 물으신다면 쉽게 답하기 어렵습니다. 위상수학에서 compactness는 중요한성질인데, 완비성은 compact를 다룰때 기초라고 보시면 됩니다. 실제 세계를 비교하면서 과연 필요한가라고 하셨는데, 비유하자면 위상수학(토폴로지)는 새로운 세계를 상상하는 학문입니다. 실제세계와 비교하는것 자체가 수학에서는 말이 안되죠. 오히려 수학만큼 실제세계를 등지는 학문이 없다고 생각됩니다. 물리와는 극과극이죠. 마지막으로 0.999...=1이 참인이유는 특별한 언급을 안했기에 실수체위에서 생각하는것이 관습이기 때문입니다. 문제를 낼때 공리계를 다 쓰지는 않죠. '1+1=2는 참인가'라는 문제가 'ZFC집합공리를 받아들이고, 그것을 토대로 페아노공리계를 받아들인 상태에서 (단, 1은 자연수집합의 최소원소이고, 2는 1을 제외한 자연수집합에서 최소원소이다 ) 1+1=2가 참인가'라고 쓰긴 싫잖아요.
좋은 영상 감사합니다. 이렇게 무한에 대해서 다루는 것은 아주 고대부터 역설이 난무하던 만큼 대중에게는 혼란스러운 면이 있는 것 같습니다. 그런 면에서 입실론 델타에 대해서 좀더 다루어주셨다면 좋았을거 같았는데 나중에 해석학 강의로 다루신다니 다행이라고 생각합니다. 저는 몇달 전에 와서야 소수 표기법이 어떠한 실수에 '다가가는' 방법이 아니라 실수를 '표기하는' 방법으로 사용되고 있고 그러한 실수표기가 필요하다는 결론을 짓게 되었네요. 저와 다른 관점에서 이 주제를 다루시는것이 제게 도움이 많이 되었던 것 같습니다. 그리고 아시겠지만 현재는 무한소를 표기하는 비표준해석학이라는 도구 또한 있고요. 그리고 부딪힌다는 표현은 상당히 신선한 표현이네요. 좋은 표현을 배워갑니다:)
세상을 이해하고 표현하려는 인간의 욕망과 노력이 눈물겹습니다. "없는 것"도 경험해 본 적이 없고 "경계"도 본 적 없고 "있는 것"도 확실히 모르고 감각에 의존하는 상황에서 존재하는 것들을 몇가지 정의를 통해 표현해 보려 하지만 궁극적으론 인간들끼리의 약속과 합의에 불과한 것이 아닐까 생각해 봅니다.
집합론이었나 현대대수였나 기억이 안납니다만, 실수를 정의하는데서 가장 명쾌한 대답을 낼 수 있지 않나 싶습니다. 정수까진 적당히 만들었다 치고, 정수의 순서쌍으로 유리수를 정의하고, 유리수로 만든 수렴하는 수열의 수렴점들이 실수가 되죠.(relation, quotient, 코시수열 같은 얘기가 나와야겠지만 생략) 이렇게 실수를 만드는 과정에서 원래 0.934 같은 소수 표현은 존재하지도 않는데, 그럼 대체 0.999... 같은건 어디서 나올까? 생각해볼수 있겠죠. 0.999... 는 (0.9, 0.99, 0.99, 0.999, ...) 같은 수열을 의미하겠죠. 저 수열이 1로 수렴한다는 증명은 영상에서 말씀하신 입실론-델타 논법으로 간단히 증명할 수 있습니다. 그럼 저 수열은 수렴하는 수열이고, 실수의 정의에서 수렴하는 수열의 수렴점을 실수라고 했으니 저 수열의 수렴점, 즉 1이 0.999...가 가리키는 실수의 한 점이 되겠죠. 전 이 설명이 가장 맘에 들더라고요. 이런 설명에선 7:53 같은 말도 명쾌하게 반박 가능하죠. 0.999... 의 극한값이 1인게 아니라 0.999... 자체가 위에서 말한 수열의 극한값을 의미한다고요.
조금 성급하게 판단하신 것 같습니다. ㅎㅎ 학문이란 무릇 A의견이 있으면 B의견이 있는 법. 기존 선생님들과 다르게 가르쳤으면 오해가 없었다? 라는 가정은 오히려 주입식 교육의 폐해 아닐까요? 항상 가르치는 사람 대비 반대 의견이 있는 법이죠. 항상 A와 B 의견이 대립하여 정답을 향해 가는 것.. 이전의 '정의가 그렇게 되었고 다들 그렇게 생각하고 더 이상 생각하지 않은 것'은 이 영상에서도 언급되었던 토론의 장이 요즘 시대와 같이 자유롭게 되기 힘든 이유 때문이 아닐까...? 라는 생각에 댓글을 달아봅니다.
a=0.999... b=1 만약 a와 b가 같지 않다면, 서로 다른 두 실수 a와 b사이에는 (a+b)/2가 존재함 이 값을 계산해보면 (1+0.999...)/2 = 1.999.../2 = 0.999... = a가 나옴 (a+b)/2 = a b=a 나와 어떤 다른 수의 중간값이 곧 자기 자신이다 -> 나와 어떤 다른 수와 사이에는 빈 틈이 없다 -> 그 둘은 같은 수다.
첫 번째 설명에서 수가 역동적이라고 인식하는 문제점에 대해 언급하시길래 살짝 떠오른 생각인데, 그건 인간으로서 "무한"이라는 개념에 처음으로 접근할 때 생기는 고질적이고 피할 수 없는 문제라고 생각합니다 우리는 일상에서 "이미 존재하는 무한"이라는 것은 절대 마주할 일이 없습니다 하지만 삶을 살아가고 시간의 흐름을 느끼면서, 간접적으로 무한한 미래(실제로는 아니지만)에 대한 경험을 하게 됩니다 유한한 존재가 시간의 흐름성을 통해 간접적으로 무한을 제일 처음 접하는 것이죠 그렇기 때문에 우리는 자꾸 "다가간다", "가까워진다" 같이 시간의 흐름에 따라 설명하려고 하는 것 같습니다 극한이라는 개념에 대해서 처음 배울 때 선생님 100명 중 99명은 '끝없이 다가가는'이라는 표현을 꼭 씁니다 이 표현이 처음 미적분을 배울 때 입시를 위한 공부에는 도움이 되겠지만, 수학적으로 엄밀한 교육은 결코 아니라고 생각합니다
@@janghyunroh 입시를 위한이 아니라, 이해를 시키려면 다가간다는 표현을 써서 설명해 줘야 합니다. 그게 자연스러운 사고죠. 입실론델타법만 전달한다면 그것이야말로 교육을 포기하는 것 아닐까요? 그리고 x -> a를 x가 a로 다가갈(approach) 때라고 읽는 건 맞는 표현입니다.
함수 f(x)가 열린 구간 (a, b)에서 정의될 때, [a < x < b]를 만족하고 f(a)와 f(b)는 정의되지 않잖아요. 즉슨, 정의역 x의 최댓값과 최솟값은 각각 b와 a에 한없이 가까울 뿐 그 자체는 아니기 때문에 '한없이 가깝다'는 '일치하다'의 의미가 아니라고 생각합니다. 즉, 0.99999....는 1에 한없이 가까운 어떤 수일 뿐이며 결코 1은 되지 않는다고 생각합니다. 수포자 '문과생'이 의견 한번 써봅니다.
문과 이름에 먹칠하지 마세요 무한(∞):어떤 실수나 자연수보다 큰 수 실수의 특징:대소 비교가 가능하다 무한이 대소 비교가 가능하다면 무한은 실수가 된다. 실수+자연수도 실수 범위에 포함되므로 무한의 정의에 따라 ∞>∞+1 이라는 역설 발생 즉, 무한은 실수가 아니다. 0.9̇̇>1 일의 자리 수가 좌변은 0, 우변은 1이다. 0>1은 거짓이니 0.9̇̇>1도 거짓 0.9̇̇
1. 수는 움직이지 않는다. 2. 간격(차이)이 있다는 것은 완전히 분리되어 다른 경우를 뜻한다. 3. 극한값이라 함은 그 값에 부딪히는 값을 말하며 방향성을 가질 순 있지만 그 값을 뜻한다. 4. 등호(=)라 함은 등호(=)를 사이에 둔 양변의 값이 완전히 같음을 뜻한다. 5. 0.999...=1 의 이유는 현대 수학을 논함에 있어 당연시 되는 등식이다.
순환소수는 중학교 때 배우는 과정입니다. 딱 그때 1=0.999...? 라는 고민을 하게되지요. 어린친구들에게 리미트와 씨그마는 낯설게 느껴질것 같습니다. 그래서 아래에서 또 싸우고 있네요ㅠㅠ 눈높이에 맞는 증명은 다음과 같습니다. 0.999.... = A 라고 해보자. 양변에 10을 곱해보자. 0.999... x 10 = 10 x A 9.999.... = 10A 10A - A = 9A 라는 식을 이용해보자. 10A = 9.999... ㅡ A = 0.999... -------------------------------- 9A = 9.000.... 즉 9A = 9 양변에 9를 나눠주면 A = 1 이라고 나오게 된다. 즉 0.999... = A = 1 나와 생각이 다른 사람을 만나면 왜 다른지 알아보려는 사람과, 나는 맞고 너는 틀렸기 때문에 다르다는 생각으로 욕하는 사람이 있습니다. 나중에 여러분이 "니 자식이 너랑 똑같은 사람이 될꺼야!"라는 소리를 듣게 되었을 때, 욕이 아닌 칭찬으로 들리려면 어떻게 행동해야 할까요?ㅎㅎ
좋은 영상 감사합니다 의외로 학부 위상수학 강의에도 이런 질문을 하던 학부생이 있던 것이 기억납니다. 그 때 당시에도 교수님께서 이를 이해시키기 위해 설명하시던 모습이 기억에 남는데. 저 또한당시에는 극한값 정도로만 이해하고 있었습니다. 이 명제를 완벽하게 받아들이게 된 과정은 의외로 다른곳에 있었는데 문장으로는 이렇게 쓸 수 있겠네요. "두 대상이 같다는건 정확히 무슨 의미일까?" 집합론에서 두 집합이 같다를 포함관계로 설명하고 순서집합에서 두 수가 같다를 반대칭성으로 설명하죠 가령 정수론에서 두 양의 정수가 같다는 의미를 서로 나눌수 있는가에 따라 설명하고다. 해석학에서 임의의 양수 e 에 대해 d(x.y)
아직도 이 영상을 보고 계신 분이 계실 지 모르겠는데요 요즘 너무 궁금합니다. lim 개념을 수2에서 처음 배웠는데 그래프에서 구멍 뚫리면 절대 그 수로 안 보고 연속인 부분의 수로 봅니다. 이건 어떻게 설명이 되는 건가요. [1의 좌극한]=0으로 보던데 이건 왜 그런 것이고, 모든 개념서에서 사용되는 설명 방법: 0.9, 0.99, 0.999 이런 식으로 가다 보면 1에 ''''다가간다'''' 는 설명까지. 수학 전문가분들 꼭 답변 주시면 감사드리겠습니다 정말 영상 몇 주 전부터 두 번이나 봤습니다
사실 이런 부분이 공부를 하면서 많이 찾아오죠 초등학생 때 점과 도형을 배우면서 점을 확대하면 도형아닌가? 에서 출발해 연산체계의 완전성을 위해 0과 음수 ,3^0=1 이라는 수학자들의 억지(?)를 보고나면 수학은 직관과 연결돼있지만 관념적 학문이라는 생각이 들죠. 몇백년전까지만 거슬러가도 음수는 악마의 수로 불렸으니.. 그렇게 간단히 볼 문제는 아니라고 봅니다
저는 일본 교토대학 토목공학과 박사학위를 취득한 사람입니다. 그러나 수학에는 소질이 없고 개념을 잘 이해하지도 못합니다. 그래서 고등학교때 배운 것처럼 수학을 암기해서 사용하죠. 적분공식을 외워서 적분하거나 극한문제를 외워서 풀거나 말이죠. 그런데 하나하나의 개념을 이해하려고 하다보면 대부분의 수학전공자분들이나 수학과학생들은 공부하면 알게된다고 하시고 너의 생각은 어디가 틀렸는지 지적은 해주지만 어디를 이해하지 못했는지에 대해서는 설명해 주지 않습니다. 서론이 길었습니다. 0.999...=1 이란건 수학자와 철학자간의 시각차이 아닐까 생각합니다. 수학자는 논리적으로 정의에 의한 믿음이 크지만 철학자는 근본원리에 대한 의심이 커서 시각차이가 생긴게 아닐까합니다. 근데 위의 문제가 항상 대결구도로 가는 것은 각 개인간의 성질에도 수학자쪽 성격과 철학자쪽 성격 예를들자면 이과와 문과간의 성격차이? 정도에 기인한다고 생각합니다. 0.999...=0.9+0.09+0.009+... 이 문장이 옳은 문장일까요? 또한 0.9+0.09+0.009+...=lim sigma(9*(1/10)^n) 이 문장(수식)은 옳은 문장일까요? 여기 ... 이 의미하는 무한의 의미를 무한집합으로 봐도 괜찮은걸까요? 같은 철학적의미로 설명해주시지 않으면 수학 비전공자인 사람입장에서는 이해가 잘 되지 않습니다. 즉 위의 덧셈을 무한번 더하면 이란 표현을 무한급수 즉 급수의 극한으로 표현해도 괜찮을까요? 이 부분에 대한 이해입니다. 무한번 더한다는 것은 더하는 행위를 멈추지 않는다는 뜻이지요. 그러면 어떠한 결과가 나올 수 없다는 뜻이지요. 아직 더하는 행위가 끝나지 않았는데 어떻게 같은지 다른지 비교할 수 있나요? 아마 수학적으로는 제일 처음 말씀하신 다가가는 수란 것은 없고 (물론 그런 수체계를 만들 수는 있고 실재하고 있죠.) 움직이는 수는 사용하기 번거롭겠죠. 우리가 쓰던 수와 다르니까요. 그렇다면 0.999...를 정의해야겠죠. 즉 정의하지 않으면 그 값을 정확하게 표현한게 아니니까요. 그래서 수학자들은 집합의 개념이나 유리수의 조밀성등을 이용해서 저 수를 정의해 놓은게 아닐까 생각합니다. 다시말하자면 0.999...=0.9+0.09+0.009+... 과 같은데 무한번 더하면 그 결과값이 안나오니까 무한히 더하는 과정을 계속해 나아가도 어느 경계치 이상은 절대로 나오지 않는다! 라는 개념... 즉 상한의 개념이기도 하고 극한의 개념이기도 한 개념을 고안해 낸게 아닌가 합니다. 따라서 0.9+0.09+0.009+...= lim sigma(9*(1/10)^n) 의 식은 동치가 아니라 정의이고 무한급수에 대한 정의를 보면 극한의 표현으로 정의한다라고 되어있는 듯 합니다. 사실 = 이 표시가 등호라기 보다는 =위에 삼각형 표시가 있는 정의라는 기호를 써야 헷갈리지 않을 것 같습니다. 연결해서보면 0.999...= lim sigma(9*(1/10)^n) 로 정의된 것이기 때문에 우변의 값이 1인 것이고 이는 0.999...가 1로 정의된게 아니라 0.999...가 0.9, 0.09, 0.009, ... 의 무한수열의 급수로 정의되었고 이 무한급수의 값은 또 lim sigma(9*(1/10)^n) 의 극한값으로 정의되었고 이 극한값이 1이기 때문에 둘이 같다고 보는것이겠죠. 그런데 무한이라는 과정을 개념을 점프해서 그냥 0.999...는 무한번 더하는 과정이 아닌 숫자로 표현할때는 움직이면 안되는 수이므로 무한급수의 값 즉 극한값으로 보면 사용하기 편리했을 것이고 유리수가 2가지 소수표현법을 갖게 될 스도 있는게 아닐까 생각합니다. 물론 이는 칸토어의 무한집합이란 개념에서 생겨났고 정리되었고 발전되어서 수학자들에게는 아무런 꺼리낌없는 개념이겠지만 수학 비전공자들에게는 아무리 공부를 해도 매우 어려운 개념이 아닐까 봅니다. 저도 이렇게 이해하려고 했지만 사실 수학자들이 보면 틀린 개념일 수도 있습니다. 또한 무한이 더한다는 개념의 어떤 행위의 무한과 무한 집합에서의 무한히 존재한다의 개념도 약간 차이가 있다고 생각합니다. 0.999...가 1에 다가간다는 개념은 무한이 더한다는 개념을 뛰어넘기 힘들기 때문에 생긴다고 봅니다. 선생님께서는 이를 1에 부딪힌다라는 표현을 해주셨는데 이도 약간의 어폐가 있는 듯한 표현이기도 할 듯 싶습니다. 오히려 저같은 경우에는 이해가 더 불분명해졌습니다. {0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...} 인 무한 집합이 있습니다. 여기에는 1은 위 집합의 원소가 아닙니다. 그런데 뭔가 1에 다가가는 듯한 원소가 있어 보입니다. 하지만 저 집합에는 0.999...도 저 집합의 원소가 아닙니다. 위에 설명했듯이 저 0.999...란 표현은 극한값을 갖기 때문이겠죠. 따라서 1에 부딪힌다는 표현은 저 집합안에 1이 있는거 아닌가?란 착각을 일으킵니다. 저만의 착각일 수도 있습니다. 또한 엡실론 델타의 설명에서도 엡실론이 0보다 큰데 절대값 즉 간격이 엡실론보다 작으니까 간격이 없다라고 부딪힌다는 표현과 비슷하게 설명하셨습니다만 이도 오해를 불러 일으킬만한 설명인 듯 보입니다. 제가 오해를 하고 있기 때문이지만 다른분들도 계시지 않을련지요. 즉 엡실론은 0보다 크다 즉 0보다 크거나 "같다"가 아니기 때문에 0은 아니지요. 엡실론은 0이 될 수 없는데 설명에서는 간격은 엡실론보다 작기 때문에 간격은 0이 될 수 밖에 없다는 의미가 아닐 듯 한데 저에게는 간격은 0이다라고 하시는 것 같습니다. 이렇게 이해하는게 옳은 방식입니까? 0과 0보다 조금 큰수 사이에는 무한한 실수들이 존재하죠. 실수의 조밀성과 완비성으로 증명도 가능하겠죠. 그런데 엡실론이 0보다 작은데 간격이 엡실론보다 작으면 간격은 0이 되어야 하나요? 어떤 엡실론을 잡아도 그 보다 작은 실수는 존재하죠. 그 작은 실수는 0이 아닐 수 있지 않을까요? 제 생각에는 이는 위상수학의 근방의 개념과도 비슷한 듯한데요. 경계(바운더리)와 내부는 다른 의미라고 보면 저 간격이란건 0근방이라고 표현해야 하는게 아닐까 생각해 봤습니다. 만약 초월수의 무한소수표기법에 대해서 그 간격을 없다라고 보는 설명이셨다면 상극한이나 하극한등의 위 아래에서 좁혀가는 구간에 대한 구간축소법으로 그 안에는 하나의 실수만 존재하는게 보장된다는 개념으로 이해하면 될까요? 저는 극한도 어떠한 수에 부딪힌다는 표현보다는 경계값으로 이해하고 있는데요. 즉 그 경계값이 존재한다면 그 경계값으로 가는게 보장된다라는 것이지요. 즉 어떤 수열이 무한하게 많을때 즉 무한집합의 원소일때 그 수열이 어느 한값 혹은 수직선상의 어느 한점 (점에 대한 개념도 저는 이해하기 어렵습니다.) 을 뛰어 넘을 수 없는 걸 보장한다는 것이죠. 즉 아무리 큰 수 번째 있는 수열의 값이 갑자기 튀는 현상이 없고 진동하지도 않으며 그 큰수보다 더 큰수번째 있는 값은 그 경계값이 더 가까운 값이라는 즉 어떠한 n번째 자연수를 잡아도 그 수열의 값과 경계값과의 차이보다 작은 n보다 큰수 번째있는 수열이 존재하고 또한 무한하게 존재한다는 것 이때 그 경계값보다 항상 작다는게 또한 항상 다음 수열값과 경계값의 차이는 지금 수열값과 경계값의 차이보다 작다 단 경계값의 차이가 0이 되지는 않는다. 라는 걸 보장한다라고 이해하고 있습니다. 초월수 같은 경우에는 그 경계선값이 존재하는지 조차 모르는 수이기 때문에 극한의 표현으로밖에 표현할 수 없겠죠. 단지 그 수가 존재한다는 것은 그 경계값이 존재한다는 것이고 그리고 유일하다는 의미이기 때문에 실수로서 숫자로서 인정된다는 뜻으로 이해했습니다. 0.333...=1/3 은 사람들이 잘 받아들이는데 이것또한 0.333...이라는 표현이 저 3들의 숫자들의 집합의 무한급수로 정의했기 때문이며 3.141592...=파이 또한 저 ...으로 가는 수열들의 경계값은 파이라는 숫자 하나뿐이며 결국 그것은 극한값이다 라는 의미로 쓰였다고 생각합니다. 사실 3.1415뒤의 숫자가 무엇인지 정확히 모르는 인간이 저 수열이 정말 경계값이 존재할까를 보장해주는 개념이 극한이라고 생각합니다. 즉 소수점 1억의 1억승 자리의 값을 정확히 모르는데 즉 각 자릿수 소수점의 값들을 정확히 모르는데 그 소수점들의 수열의 진행방식을 잘 모르는데 어떻게 그 값을 정확히 알 수 있을까요? 만약 극한이 부딛힌다는 개념이라면 저 소수점뒤의 숫자를 전부 알고 있어야 가능할 듯 합니다. 이는 철학자들도 생각하던 가무한의 개념일 거 같습니다. (댓글에 계속)
그런데 다른 함수의 극한식으로 표현하면 파이의 소수점뒤의 숫자의 패턴을 몰라도 순차적으로 축차적으로 1,2,3,...처럼 순서대로 계산해가는 패턴 혹은 함수 혹은 규칙을 알고 있기 때문에 소수점뒤의 숫자는 계산하면 알 수 있지만 그걸 계산할 시간이 없을 뿐이며 계산하면 정확한 숫자가 확인되는 숫자이므로 저 수열이 어떻게 진행되는지 알고 그로 인해 경계값이 명확해지기 때문에 그 수에 부딛힌다는 말씀을 하신건가요? 즉 현대 수학자들이 믿는 실무한이란 말씀으로 받아들이면 되는 걸까요?
sets.cocolog-nifty.com/blog/071.html (일본어로 되어 있어 구글번역기를 돌려야 합니다만.) 이 링크에는 철학자가 생각한 가무한과 실무한으로의 철학적 고찰이 적혀있어요. 되도록이면 수학적인 부분을 제대로 이해해가며 설명해 놓았던거 같습니다. 가무한일 경우의 수학의 체계에서의 번잡성등도 설명되어 있구요. 저는 이 0.999...=1 을 수학자들이 가볍게 여기는걸 별로 라고 생각합니다. 그렇기 때문에 이 문제가 항상 대두된다고 봅니다. 수학자가 아닌 사람들의 수에대한 이해를 수학자들처럼 꼭 만들어야 할 필요는 없지만 수학자들이 생각하는 방식을 비수학자들이 이해할 수 있을 만큼은 설명해 주셨으면 좋겠습니다.
그런 의미로 선생님의 강의는 난이도를 무척 낮추셔서 정말 일반인도 이해가능하도록 설명해주시려고 노력하는 모습이 좋았습니다. 단지 아직 수학자적인 입장에서의 설명이 주이시라 왜 비수학자 일반인이 이 문제에 잘못이해하게 되는지에 대한 자신의 이해를 조금 더 설명해주셨다면 좋았을 듯 합니다. 저는 선생님께서 가우스보다 오일러가 더 존경스럽다라고 하셨을때 수학자가 논리와 참 거짓보다 감성적인 면을 존중하고 있다는 점에 놀랐고 선생님을 존경하게 되었습니다. 선생님께서 생각하시고 계신 채널의 의미와 계획등이 있으시겠죠. 이 채널이 비전문가에게 쉽게 설명하는 채널이기에 어쩔 수 없는 면이 있지만 전문적인 부분에 대한 설명도 가끔 해주시기에 구독자들이 너무 학생이거나 초보자라고만 보시고 설명해 주시지 않으셨으면 하기도 합니다.
선형계획편 이후에 해석학편이 있다고 예고해주셔서 기대하고 있습니다. 제일 어려운 부분이 되겠지만 비교적 초보자들도 이해할 수 있지만 전문적인 설명도 많이 들어가 있는 그런 채널이 되었으면 합니다. 마지막으로 저는 리만기하학을 공부하고 싶습니다. 그런데 텐서라든지 메트릭이라든지 그 개념을 제대로 배운적이 없는 저로서는 입구컷되는 상황인지라 언젠가는 이런 개념들도 설명해 주시면 고맙겠습니다. 페친의 글이지만 댓글에 공변벡터와 반변벡터의 개념이 어렵다는 글을 남겼는데 이에 대한 제대로 이해될 만한 설명이 있는 글, 책, 영상 등이 적어 선생님께서 만드신다면 대박을 칠 수 있지 않을까 생각해봅니다. ^^ facebook.com/seungmok.yi/posts/3377702038913948 사실 아직 텐서라든지 공변벡터의 개념 공변미분등은 1도 이해가 되지 않습니다. 선형계획파트에서 텐서까지 설명하신다면 꼭 시청하고 좋아요를 누르겠습니다. 좋은 영상 항상 고맙고 화이팅입니다.
고등학교때 대성 마이맥 인강으로 서정원 선생님을 만나고 수학에 흥미를 갖게되어 성공적으로 수능을 잘 치뤘고 그 이후 경제학을 공부하면서 학문적 도구로만 수학을 사용해서 흥미를 잃어버리게 되었는데 다시 좋은 선생님을 만난 것 같습니다. 구독한지는 오래되었는데 처음 댓글 남겨보네요! 이제 서른이 되었는데 선생님의 강의를 들으면서 수학의 즐거움을 조금씩 다시 알아가고 있습니다. 앞으로도 좋은 강의와 영상 부탁드립니다!😁
음 제 기억에 따르면 이건 증명의 문제가 아니라 정의의 문제였던거 같습니다. 유리수에서 실수로 수 체계를 확장을 할때 저런 식으로 수열의 극한이 같으면 같은 수라고 Field를 정의하고 그런 점에서 0.99....와 1은 서로 다른 수열이 같은 값으로 수렴하는 경우이므로 같은 수로 정의한다... 라고 기억합니다. 즉 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ..., 0.9999....9, ... 와 1, 1, 1, 1, ..., 1, ... 이 갈수록 서로 차이가 없어지므로 같은 수라고 정의할 수 있습니다. 0.9999... = 1 의 논쟁(?)은 자연수와 실수의 개념을 서로 혼동해서 그런게 아닌가 싶습니다.
잘봤습니다만, 증명방법이 조금 햇갈릴수 있다고 생각합니다. 증명 방법이 잘못 되었다는게 아니라, 학생들이 0.9999가 엄밀히 1이 아니고, 극한이 1인것이다..라고 잘못 오해하고 있다고 설명하셨는데, 그런식으로 오해 하고있는 학생 입장에서는, 증명의 마지막부분에서 lim 1/(10^n) = 0 임을 보임으로써, 한번 더 학생들에게 조금 오해를 줄 수 있을꺼 같다는 (오지랖일수도있지만,,,) 걱정이 드네요. lim을 쓰지않고, 단순히 연역법을 이용하여 모순을 이끌어 냈다면 조금더 좋지 않았을까 하는 생각에 몇자 남깁니다.
저는 옛날에 이렇게 생각해본적이 있어요. 초등학생때 받아내림이라는 뺄셈 개념을 배우잖아요. 십의 자리에서 1만큼을 일의자리에 넘겨주면 일의자리에 10이 오는데, 십의 자리에서 1이 아니라 0.9만큼만 넘겨주는거에요. 그러면 일의 자리에 10이 아니라 9가 오고 일의자리에서 남은 1(십의 자리에서 1을 넘긴게 아니니 0.9만큼만 넘겨주고 남은 0.1)을 다시 그다음자리에 0.9만큼 넘기고... 그러니까 요지는 받아내림을 해당 자리수에서 1만큼이 아니라 0.9만큼만 한단계 작은 자리수에 넘겨주고 남은 0.1로 계속 위와 같은 방식으로 받아내림을 해주게 되면 0.999...=1 이라고 생각해볼수 있다고 접근해본적이 있어요 ㅎ.
극한값은 커져가거나 작아지는 과정을 표현하는 것이 아니죠. 극한값은 하나의 수치를 표현하는 완벽한 방법입니다. 한번 더 부연하면 1=3/3=7-6=0.5×2=0.99.. 는 수학적 측면에서 완벽한 동치로 딴 표현이기에 자유롭게 바꿔 쓸 수 있습니다. 특히 0.99..=0.9+0.09+0.009+.... 은 무한등비급수의 축약적 표현입니다. 당연히 그 값은 1입니다. 많은 사람은 극한값이 (좀 더 정확한) 근사치에 불과하다는 생각을 가진 분이 많습니다. 그러나 극한값은 좀더 정확한 그 값이 아니라 완벽한 그 값입니다. 따라서 흔히 극한을 이용하여 값 또는 이론을 표현하거나 정의합니다. 그 예로 원의 내접다각형을 이용한 원의 면적계산에서 다각형의 극한에서 구한 원의 면적값은 그 근사치가 아니라 그 원의 면적의 완벽한 값입니다. 다각형의 극한은 다각형이 아니라 원이니까. 또 한 예를 들면, x=a에서 정의되는 어떤 함수 f(x)의 a에서의 극한값은, a를 x에 대입한 함수값 f(a)와 완벽하게 일치하니까, 또 그것이 매끄러운 연속실함수라는 미분가능의 한 조건이니까, 아마 이렇게 이해하는게 쉬울 거예요. 실지 유리수를 극한값으로 정의하기도 하구요. 님은 y=1/x에서 무한대로 가도 0이 아니라고 하셨지만 0이지요. 위 식을 그래프로 나타내면 1상한에서 우하향하는 직각쌍곡선이죠~ 이때 우측끝은 0에 수렴하구요. 이 말을 식으로 바꾸면 lim 1/x = 0이구요. 님은 식을 똑바로 썼지만 말을 잘못한 겁니다. 우리가 아는 미분가능한 그래프는, a에서의 극한값 lim f(x) = f(a)예요. 극한값은 결코 (조금 더 정확한) 근사치를 구하는 방법이 아니예요~ 위 일반식처럼, a에서의 정확한 값을 구하는 것입니다. 마찬가지로 0.9+0.09+0.009+0.0009+ ... 의 극한값 1은 0.999... 의 근사치를 구하고자 하는 것이 아니라 연역적 논리식에 따른 정확한 값입니다. 따라서 모든 식에서 순환소수 0.9와 1을 바꿔쓸 수가 있는 것이죠~ 1이라는 수의 개념은 1, 0.5+0.5, 7-6, 0.99... 등이 표현이 다르지만 완벽하게 동치임을 이해하는 것이 중요합니다. 순환소수 0.9는 0.99, 0.9999999999 등 마지막이 9가 몇만개든 9로 끝나는 수와 완전히 다른 수입니다. 순환소수 0.9는 커지거나 작아지는 것이 아니라 걍~ 1입니다. a에서의 극한값이나 a를 식에 대입한 것이 완전히 일치하는 것처럼. 커지거나 작아진다는 생각을 버려야 합니다. 그건 이해를 위한 과정으로서 오해를 유발하는 면이 있지요. 물론 임의의 a가 정의되지 않을 때, 그 수를 식에 넣을 수 없으니, 이 경우를 두고 오해하게 되는 경우가 많은 것 같습니다. 그럼~
반갑습니다^^ 모든 학문은 기본개념을 어떻게 익히는지가 그후를 가르는 중요한 시초인데 수학적 사고의 기초를 바르게 열어주고 계시니 너무 좋습니다^^ 제가 학력이 미진해 다 이해할수는 없지만 참으로 감사드립니다^^ 좋은 하루 행복한 하루 되시기 바랍니다^^ 수학의신 이상엽쌤^^
입실론 델타 논법을 요새는 대학교 1학년 때 다루나 보네요. 저 때는 2학년 때 해석학 이라는 별도의 과목에서 초반부에 다루는 내용이었음에도 불구하고 수학과 내 전체 과목중에서 가장 난해하고 악명높은 과목이었죠. 과목 특성상 한글은 거의없고 내용 대부분이 입실론, 델타, 오메가 등등의 수학기호들로 되어있어서 보기만 해도 머리가 아파오기도 하고(처음 해석학 책 봤을때는 외계어 교본인 줄), 시험 봤다고 하면 전 문제가 증명문제일 수밖에 없기도 하구요(당연 시험시간은 최소 2시간 이상), 특히나, "때문에", "왜냐하면", "전체 ~~에 대하여 성립한다" 이런 표현도 한글이나 영어로조차 쓰지않고 궂이 전문 기호를 만들어가며 쓰기 땜시 명제 안에 안에 한글/영어 한글자도 없는 상황도 흔하게 발생함.
@@teach3555 증명은 간단합니다. x를 0.999... 라고 한다면, . x = 0.999... 10 * x = 9.999... // 양 변에 10을 곱합니다. 10 * x - x = 9* x // 위의 두 수를 빼면 9 * x입니다. = 9.999... - 0.999... = 9 // 무한소수끼리 빼면 정수부분만 남습니다. 9 * x = 9 이므로, 양변에 9를 나누어 주면... x = 1 따라서 0.999... = 1입니다.
주입식으로 외운것들을 사고과정이 결여된 체 사실이라고 고집을 부리는것. 소통분야에서도 유사 소통이라고 할 수 있겠네요. 듣는 자세가 중요한데 말이죠.. 선생님 말씀을 듣고 한 친구와의 지극히 개인적인 사건이 기억나네요! 얼마 전(약 3 주전) 한 친구와 이야기를 하다가 하나의 명제(정말 일상적인 명제)로 주제가 전환 되자 마자, 친구의 듣는 태도는 결여되었고, 상당히 불친절한 태도로 저에게 명제를 단정지었습니다. 사고과정이 결여된지는 모르겠지만, 원래 그렇다고 말했던 점과, 증명을 못보이는것으로 보아 아마 결여되었던것으로 보입니다. 제가 간단한 내기를 하자고 했을때, 그친구는 완강히 거부를 하고, 갑자기 야만적인 태도로 나오며, 자리를 단어 그대로 '박차고'나왔죠.. 추후, 그 친구가 증명을 했던것 조차 인터넷 지식인의 답변자의 발언이 증언이었습니다. 제가 인터넷에 많은 정보가 있고, 원하는 정보만 골라 담을 수 있으며, 그 사람의 발언도 증명과정이 없으므로 효력이 없다고 하니까, 믿을만한 사람이라고 밖에 말을 하지 않았죠.. 이런식으로 그 친구를 타이르려 했으나.. 그냥 무마하려고만 해서 저는 상당히 실망했습니다. 그렇게 하나의 친구와 거리를 두게 되었답니다...
입실론 이용한 증명 부분에 대한 질문이 없는 것 같아서 질문 드립니다. 저는 0.9999...=1은 극한값의 정의에 의해 참이라고 이해하고 있습니다. 1. 입실론을 이용한 증명은 극한값이 1임을 증명한 것이 아닌지요? 2. 값을 특정할 수 없다는 것(부정)과 값이 존재하지 않는다는 것(부재)은 다른 것이 아닌가요? 어떤 n을 잡더라도 그것을 만족시키지 못하는 입실론을 잡을 수 있지만, 반대로 어떤 입실론을 잡더라도 그것을 만족시키는 n을 잡을 수 있습니다. 이는 극한의 정의가 아닌지요?
모든 각각의 수가 고정된 유일한 하나의 값을 가진다는 공리는 허물어지는 거라고 봐야 하겠네요. 0.999...는 고유한 하나의 값을 가지고, 1도 고유한 하나의 값을 가질텐데 0.999...와 1이 같은 값을 가지는 순간부터 모든 각각의 수가 고유한 값을 가진다는 명제가 깨져버리기 때문이죠.
엄밀한 방법은 아니지만 간단하게 볼 수 있습니다. 0.999...와 1이 다른 수라면 그 사이에 다른 실수가 존재해야 할 겁니다. 하지만 어떻게 접근해도 그 실수가 존재하진 않지요. 실제로 0.999...=1을 수학적으로 엄밀하게 증명하는 방법은 해석학 내용을 동반하기 때문에 어렵습니다.
![[지식in] 정말로 점이 모이면 선이 될까?](http://i.ytimg.com/vi/YZKp8cLS4Fw/mqdefault.jpg)
![[지식in] 정말로 점이 모이면 선이 될까?](/img/tr.png)
![[지식in] 미분은 누가 왜 만들었을까?](http://i.ytimg.com/vi/hFKm9ga9-yA/mqdefault.jpg)
![[지식in] dy/dx 는 분수일까 아닐까?](http://i.ytimg.com/vi/K4rw5HqS7Kk/mqdefault.jpg)
인트로를 삭제하였습니다.(2021.06.18) 그로 인해 기존 영상과 약 9초의 시간 차이가 발생하였으니 참고해주세요.
X=0.999.....=0.9+0.09+0.009+...
10X=9+0.9+0.09+0.009+...
10X-X=9X=9 ∴X=1
댓글에 이 내용을 적으신 분들이 많네요. 물론 중학교 수학에서는 이 내용으로 학습합니다. 하지만 이 증명이 수학적으로 엄밀히 성립하기 위해서는 사실 그에 앞서 X의 수렴가능성이 반드시 증명되어야만 합니다. 이는 단조수렴정리를 이용해서 보일 수 있습니다. 물론 또 이에 앞서 X가 위로 유계라는 것도 밝혀야 하지만요. 이런 선행 증명 과정들을 거치지 않으면 이 논리로 다음과 같은 증명도 가능합니다.
X=9+90+900+9000+...
10X=90+900+9000+....
X-10X=-9X=9 ∴ X=-1
그래서 저는 중학교에서 배우는 이 내용을 영상에선 굳이 언급하지 않은 겁니다. 이를 언급하기 위해선 반드시 동반해야 할 수학 개념들이 많기 때문입니다. 결코 제가 중학교에서 다루는 이 내용을 몰랐던 것도, 알면서도 일부러 어렵게 설명하려고 억지로 영상과 같이 설명한 것도 아니니 부디 오해와 악플을 멈춰주세요.
혹시 단조수렴정리에 대해 궁금하신 분들께서는 해석학 강좌에서 이를 다뤄드린 적이 있으니 참고바랍니다. ▷ ua-cam.com/video/EsulhEcdQTA/v-deo.html
+) 1/3=0.333... 로써 1=0.999... 를 증명하기 위해선 1/3=0.333... 을 먼저 증명해야 합니다. 계산해보면 당연한 것 아니냐싶은 분들은
1/3≠0.3, 1/3≠0.33, 1/3≠0.333, 1/3≠0.3333, ...
이므로 1/3≠0.333... 라는 논리에 대해서 생각해보세요.
1/3=0.333... 로 1=0.999...를 증명하는 행위는 p의 증명으로 p를 제시하는 행위이고, 이 또한 제가 영상에서 언급드리지 않은 이유입니다. 결코 제가 일부러 복잡하게 설명하려고 한 게 아닙니다.
오해하시는 분들이 많아서 해명합니다.
@@lsy_math 일나누기 삼할때 초등학교때 배운대로
0. 3 3
_________
3 | 1
9
_________
1
9
_______
1
요런식으로 나눗셈 하잖아요 이런식으로 하다보면 계속 3을 써야하고 결과적으로 1을 3으로 나누면 0.333....이겟구나 생각하는건 수학적인 방법은 아닌건가요?
답글에서 상엽쌤이 달아주신 9999... = -1 이랑 1/3 ≠ 0.3333.. 이건 어디가 틀린 거죠...?ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
@@김진호-y4w3y 소수로 3을 아무리 길게써도 1/3과는 여전히 차이가 있습니다. 그러니까 1을 3으로 나누면 딱 나누어 떨어지지 않는데도 어떻게 0.333... 을 1/3과 같다고 할수 있냐는 얘긴거죠. 물론 초딩들에겐 이런 심도깊은 대화를 나누기가 무리일 테지만요.
@@youngmin811 첫번째껀 상엽님이 댓글에서 잘 설명해주신대로 수렴성의 문제입니다. 두번째껀 무한을 유한처럼 생각한 탓입니다. 그 무한에대한 올바른 이해법도 영상에서 잘 설명해 주셨습니다.
내가 상엽쌤을 존경하는 건 결코 풍부한 지식과 강의력 때문만은 아님. 그보다 더 빛나는 인성때문. 채널이름 때문에 처음 보는 사람들은 오해할 수도 있지만, 애초에 채널 이름도 구독자들의 투표로써 정해진 것이고. 걍 한 두 영상만 봐도 됨됨이가 참 바르고 착하신 분이란 게 느껴진다. 정말 크게 되셨으면 좋겠는 분...
"서로 다른 두 실수 a와b에 대하여 a
0.999..와 1은 왜 간격이 없나요
@@성관겨l 0.9999랑 1사이에 간격이없다는게 무한소수니까요 간격이존재하는 순간 유한소수가되죠
@@세린이-e7l 질문자가 묻는건 0.9999..와 1사이에 왜 간격이 없는지 수학적으로 증명해 달라는 것이에요 무한소수이기 때문에 간격이 없다라고 하는건 본말이 전도된겁니다
무한소수가 왜 간격이 없는 것인지 설명해보세요
@@성관겨l 동우님이 쓴 댓글이 기장님이 질문한 내용을 귀류법으로 증명한 것에 해당해요
전에 수학과 박사과정 친구와 대화한적이 있습니다. "닿았다의 정의가 무엇일까?"
물리학 박사과정이었던 저는 "원자와 원자사이 반데르발스 상호작용 범위. 3.5 옹스트롬"이라고 했었죠.
수학 박사과정이었떤 그 친구는 말씀하신 "엡실론 델타 논법"을 들고 설명했습니다.
결국 둘다 만취해서 헛소리로 끝났지만, 잊지 못할 대화였어요.
친구가 떠나가고 3년이 지났지만 무한소수와 자연상수에 대한 내용이면 항상 그 친구가 떠오릅니다.
3.5Å는 생각도 못한 접근이네요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
존나멋있어...
Karam Park 와우...
친구가 세상을 떠났나요?
그런 친구를 보낸 것은 정말 큰 슬픔일 것 같습니다.
21:55 0.999...가 1인 이유 요약.
그래서 1이 아니란 말이지?
@@아이-c7c 간단히 푸셨네 ㄷㄷ
들어오자마자 요약된거 보려고 개꿀이네 하고 눌렀는데 하나도 이해가 안되서 그냥 처음부터 봤다
1/3이 0.33333.... 아닌가요?
@@user-stone01 맞는데요
오 아니 선생님ㅜㅜㅜㅜ제가 중학교 2학년때 무한소수 배울때부터 갖던 의문ㅜㅠㅜㅜㅜㅜ사랑합니다 감사합니다 선생님
이 채널이 수학 유튜브계의 핵인싸신 듯 ㅎㅎ 댓글보면 무슨수학, 무슨math 이런 분들 엄청 많다;;
뭔가 서울촌놈의 느낌이 나는군요
이분이 제일 잘한다고 보기는 어렵지만, 제일 유튜브로 대중화 잘시킨 분중에 하나인듯... 수학 인싸란 말이 맞는건가
4:40 우리의 수능 n수는 움직이지...
동동주 +1 +1 +1....
앗..
등차수열..
"강대"로 발산하는 수열
0:57
???: 영상으로 찍으면 금방 끝날 것 같았거든요
영상길이: 30분
학원에서 고등학생 가르치는 수학강사입니다. 여기서 많이 배우고 갑니다. 좋은 컨텐츠 늘 감사합니다.
저도 같은 주제로 아이들을 위한 영상을 만들어봤어서 반가운 마음에 영상을 보게됐는데...특히 마지막에 소통의 자세 부분에서는 크게 감동한 부분이 있어서 댓글을 남깁니다. 좋은 영상 감사합니다 ^^
심심할 때마다 한 번씩 보면 꼭 얻어가는 게 있네요~
처음에 웃으면서 이상엽 선생님께서 말씀하신, 바로 제가 수가 다가간다고 생각을 했던 사람입니다...민망하네요ㅋ
수의 기본개념을 제대로 이해한 게 아니었었네요ㅋ 이제야 무릎 탁 치고 갑니다~
5:01 ???:많고많은~마법사들중 내가! 제일! 잘났! 지!
이래도 안 넘어 올래?
나만 생각난게 아니였옼ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
노머고
@@오락 아니 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ아 미친 나도 이생각하면서 내렸는데 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
수직선으로 시작하면 이런 착각을 안하게됩니다.
수직선에 찍힌 어떤 점을 우리가 숫자라는 도구로 표현을 하려고 하다보니
저런 표현이 나온 것이지 근본은 숫자가 아니고 수직선의 한 점이죠.
이 수직선을 자연의 변화나 어떤 계측이 필요한 관념으로 치환하면 현재의 수학이라고 할 수 있겠죠.
우리는 실제로 과거의 현자들이 수학을 깨우친 방법으로 배우지 않고
만들어진 결론을 역방향으로 배워가기 때문에 이런 오해가 발생하게되는 것 같습니다.
동감입니다.🙂
가무한파 vs 실무한파
유한주의는 유한번안에 한계점에 도달해버리고 가능성의 무한조자 생각하지 않는다. 여기서는 논외
가무한파는 가능성의 무한만 생각한다. 루트2라는 숫자는 실제로 존재하지않고 제곱해서 2가 되는 숫자의 소수점자리수를 무한히 계산할수 있는 가능성만을 생각한다.
실무한파는 실제로 존재하는 무한을 생각한다. 루트2의 모든 자리수가 확정되어있고, 인간은 유한한 자릿수밖에 계산할수 없다고 생각한다.
아리스토텔레스가 가무한의 입장을 지지한뒤로 아르스토텔레스의 이름하에 가무한을 지지하는 학자는 많았다.
하지만 19세기 집합론을 창시한 게오로그 칸토어 이후로 실무한파가 훨씬 우세해졌다.
현대수학은 집합론 위에서 쌓여올려진것이라해도 과언이 아니므로, 수학을 배우려면 실무한을 받아들여야 한다.
놀랍게도 가무한파의 입장에서는 0.9땡이 1에 다가가는 수라고 말하는것이 틀리지는 않다. 다만 가무한을 인정해버리면 현대수학의 대부분을 부정하는것과 같다.
여담이지만 제논의 역설이 등장한 세대는 실무한이라는 개념이 희미해서 가무한적인 입장에서 역설을 서술한 것이다.
무한급수라는것이 존재하지 않는 시대였으므로 영원히 다가가야 한다는 주장을 펼친것이다.
사실 인간의 직관에는 가무한이 더 와닿는것이 사실이다. 그래서 수학을 모르는 일반인은 0.9999...=1을 받아들이기 힘들수도 있다.
수학은 자유의 학문이므로 토폴로지를 잘 정의해서 0.9999...≠1이되는 수체계를 만들수는 있다.
하지만 그런 수체계는 완비성을 가지지 못하고 더하기도 부자유스러우며 아무튼 성질이 까다롭다
만약 당신이 이 명제를 틀리게하고 싶으면 토폴로지까지 열심히 공부해서 수체계를 잘 바꿔보라.
너무 좋은 정보 감사감사함당
우오옹 수학은 자유 ㅠㅠ 오지고 지리고 감동하고 갑니다 ㅠㅠ
질문 몇 가지를 드리고 싶네요.
첫째로, '실무한이라는 개념을 받아들이는 것은 철학적으로 너무 부담스럽지 않은가?'입니다. 글 작성자께서 "실무한파는 실제로 존재하는 무한을 생각한다."라고 말씀하셨는데 그렇다면 도대체 '실제로 존재하는 무한'이 무엇인지 말 할 수 있어야겠죠. 철학에서는 어떤 것을 가정하기 위해서 무한한 엔티티를 가정해야 하는 경우 상당히 부담스러운 것으로 받아들입니다. 가령 마이농주의나 루이스의 양상 실재론 같은 경우가 대표적입니다.
둘째로, 다시 '실제로 존재하는'과 관련된 질문인데요. 이에 대해 '수학적 지식이 과연 실제 세계를 표상하는 지식인가?'라는 질문을 드릴 수 있겠네요. 현대 수학의 대부분이 실무한 개념을 사용한다는 것이 실무한이 실제로 존재한다는 것을 함축하지는 않는 것 같습니다. 제 생각에는 수학의 이론들은 지식이라기 보다는 도구 혹은 게임에 가까운 것 같습니다. 우리가 어떤 도구나 게임을 받아들인다고 해서 그 게임 속에 있는 것이 실제로 존재하지는 않죠. 수학적인 지식은 선험적이기 때문에 실제와 관련이 없습니다.
셋째로, '완비성이 정말로 자연스러운 성질인가?'입니다. 우리가 사는 세계에 정말로 완비적인 공간이 있나요? 아무래도 없을 것 같다는 생각이 먼저 듭니다.
넷째로, 둘째 질문의 연장입니다. 0.999...≠1이 되는 수체계가 만들어 질 수 있다는 것은 어떤 체계에서 0.999...≠1이 성립한다는 것이죠. 그러면 0.999...≠1이 어떤 체계에서는 거짓이지만 어떤 체계에서는 참이라고까지만 말할 수 있는 것 아닌가요? 만일 전체 수학 이론을 통일할 수 있는 근본적인 수학 이론이 있다면 오로지 0.999...=1만이 진정한 참이겠지만, 그런 수학의 기초는 존재하지 않잖아요.
@@BAekend 철학도 수학과 같음. 애초에 모든 학문이 실제 세계를 표상하는 즉 우주에 딱 들어맞는 내용이 하나도 없음.
완전한 학문같은건 애초에 있을수가 없는거임. 뭐 신이 알려주지 않는 이상 인간이 임의로 이름 붙여주고 계산하고 해야함.
그럼 왜 그런 학문을 키우는가 라고 하면 그냥 그런식으로 생각하면 보다 많은걸 할 수 있고 편리하니까임. 3,4번 같은 질문은 학문에 대해 잘못 이해하신거임. 님의 생각대로라면 무엇하나 배울 수 있는게 없음.
@@BAekend 전체.수학이론을 통일할 수학이론은 나오지 않습니다. 과학이랑 달리 수학은 창조의 영역이거든요.
또, '실무한을 받아들여야하는가'에 근본을 던지셨는데 우리가 사는 실제 세계는 물질의 최소단위가 존재합니다. 그보다 작아질수는 없죠. 하지만 수학은, 특히 미적분학에 대해서 '무한히 작아질수 있다'를 받아들입니다. 실무한을 받아들이므로써, 복잡한 형태를 미적분학으로 계산하기 쉬워지는 이점을 얻을수 있죠. 결국에는 항상 무언가를 얻으려면 무언가를 포기해야합니다. 이 경우에는 직관성을 포기하고 편리성을 얻은거죠.
완비성또한 마찬가지 입니다. 완비성 공리를 설정하기 위해 코시등을 알아야하고 엄청나게 밑밥을 깝니다. 엄밀함을 위해 직관을 포기했죠.
완비성이 왜 필요하냐고 물으신다면 쉽게 답하기 어렵습니다. 위상수학에서 compactness는 중요한성질인데, 완비성은 compact를 다룰때 기초라고 보시면 됩니다.
실제 세계를 비교하면서 과연 필요한가라고 하셨는데, 비유하자면 위상수학(토폴로지)는 새로운 세계를 상상하는 학문입니다. 실제세계와 비교하는것 자체가 수학에서는 말이 안되죠. 오히려 수학만큼 실제세계를 등지는 학문이 없다고 생각됩니다. 물리와는 극과극이죠.
마지막으로 0.999...=1이 참인이유는 특별한 언급을 안했기에 실수체위에서 생각하는것이 관습이기 때문입니다.
문제를 낼때 공리계를 다 쓰지는 않죠.
'1+1=2는 참인가'라는 문제가 'ZFC집합공리를 받아들이고, 그것을 토대로 페아노공리계를 받아들인 상태에서 (단, 1은 자연수집합의 최소원소이고, 2는 1을 제외한 자연수집합에서 최소원소이다 ) 1+1=2가 참인가'라고 쓰긴 싫잖아요.
개인적으로 가장 난감했던 기억은 왜 둘이 같으면 다르게 표현하냐는 질문이었습니다.....
너 이 자식 약분 안해서 시험 점수 깎여 본 애구나....
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 수교과 재학생인데 약분을 안한 사람이 있다?!그게 나다
모의고사 약분 안해서 틀려보았습니다 ㅠ
x=0.999999999.....
10x=9.99999999.....
10x-x=9x, 9x=9,x=1
0.99999.....=1
@@우울바이러스 ~~~=q/p일때 p+q를 구하여라 (단, p,q는 서로소인 두 자연수)
저도 설명하면서 막혔던 부분인데,
1/2 = 0.5 를 떠올렸습니다.
늘 잘 보고 있습니다!
현직 강사입니다. 너무 감사합니다. 잘봤어요.
좋은 영상 감사합니다. 이렇게 무한에 대해서 다루는 것은 아주 고대부터 역설이 난무하던 만큼 대중에게는 혼란스러운 면이 있는 것 같습니다. 그런 면에서 입실론 델타에 대해서 좀더 다루어주셨다면 좋았을거 같았는데 나중에 해석학 강의로 다루신다니 다행이라고 생각합니다. 저는 몇달 전에 와서야 소수 표기법이 어떠한 실수에 '다가가는' 방법이 아니라 실수를 '표기하는' 방법으로 사용되고 있고 그러한 실수표기가 필요하다는 결론을 짓게 되었네요. 저와 다른 관점에서 이 주제를 다루시는것이 제게 도움이 많이 되었던 것 같습니다. 그리고 아시겠지만 현재는 무한소를 표기하는 비표준해석학이라는 도구 또한 있고요. 그리고 부딪힌다는 표현은 상당히 신선한 표현이네요. 좋은 표현을 배워갑니다:)
제가 좋아하는 짤입니다 ㅋㅋ ↓
image.fmkorea.com/files/attach/new/20180429/486616/65218658/1036313915/49a8a903bd7f723b552f656d98cfd288.png
수학의신이상엽 크으 문과적 갬성에 취한드아!
좋은 짤 감사합니다ㅋㅋㅋㅋ
오잌 이거야 말로 말씀해주신 극한값의 오개념 아닌가유 ㅠㅠ?
수업 전후 이 짤이 다르게 보이네요^^~~~ ㅎㅎ
ㅋㅋ 문과감성
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ좋은 공유 감사합니다ㅋㅋㅋㅋ
세상을 이해하고 표현하려는 인간의 욕망과 노력이 눈물겹습니다. "없는 것"도 경험해 본 적이 없고 "경계"도 본 적 없고 "있는 것"도 확실히 모르고 감각에 의존하는 상황에서 존재하는 것들을 몇가지 정의를 통해 표현해 보려 하지만 궁극적으론 인간들끼리의 약속과 합의에 불과한 것이 아닐까 생각해 봅니다.
지나가는 전자공학도입니다. 소숫점 셋째자리정도면 1이네요
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
@@omegamath5125 찐
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
ㅋㅋ ㅆㅇㅈ 공대생에겐 소숫점 3자리까지만 있으면 끝 ㅋㅋ
집합론이었나 현대대수였나 기억이 안납니다만, 실수를 정의하는데서 가장 명쾌한 대답을 낼 수 있지 않나 싶습니다.
정수까진 적당히 만들었다 치고, 정수의 순서쌍으로 유리수를 정의하고, 유리수로 만든 수렴하는 수열의 수렴점들이 실수가 되죠.(relation, quotient, 코시수열 같은 얘기가 나와야겠지만 생략)
이렇게 실수를 만드는 과정에서 원래 0.934 같은 소수 표현은 존재하지도 않는데, 그럼 대체 0.999... 같은건 어디서 나올까? 생각해볼수 있겠죠.
0.999... 는 (0.9, 0.99, 0.99, 0.999, ...) 같은 수열을 의미하겠죠.
저 수열이 1로 수렴한다는 증명은 영상에서 말씀하신 입실론-델타 논법으로 간단히 증명할 수 있습니다.
그럼 저 수열은 수렴하는 수열이고, 실수의 정의에서 수렴하는 수열의 수렴점을 실수라고 했으니
저 수열의 수렴점, 즉 1이 0.999...가 가리키는 실수의 한 점이 되겠죠.
전 이 설명이 가장 맘에 들더라고요.
이런 설명에선 7:53 같은 말도 명쾌하게 반박 가능하죠. 0.999... 의 극한값이 1인게 아니라 0.999... 자체가 위에서 말한 수열의 극한값을 의미한다고요.
Dedekind cut으로 유리수로부터 실수를 구축하는게 아주 예술이죠. 저는 해석학 첫단원에 배웠던걸로 기억합니다
멀리 갈필요 없이 10진법으로 표기해서 생기는 착각이고, 오해죠. 3진법이나 9진법으로 바꾼다면 차이가 없다는게 바로 보일텐데
진법하고는 관계 없는 얘기 같아요..^^
@@jsysonjung 삼진법으로 0.33333 0.66666 표현해보면 바로 답이 나옵니다. 0.1, 0.2 그리고 1이 되겠죠.
삼진법에서 0.3은 없기에
2진법으로 표시한다면 0.11111.... 은 1인건가요?
@@호롤롤로-o1y 이진법 소숫점 계산은
십진수(0.5)=이진법(0.1)
이진법(0.111... )이 숫자를 십진수로 바꾸려면 각각의 수에 2를 나누면 됩니다.
1/2+1/2²+1/2³... =1/2+1/2(1/2+1/2²...)
첫째 항이 1/2=0.5이고 공비도 0.5이므로 등비급수에 넣으면
0.5/(1-0.5)=1 즉 이진법(0.111...)은 1이다.
오해의 시작은 한국 수학 선생에게 있지 않았을까 생각된다. 나는 무한대수를 어떤값에 한없이 가깝다고 배울뿐 그 값과 같다라고 배워보진 못했다. 오늘 새로운것을 배웠습니다. 감사합니다.
조금 성급하게 판단하신 것 같습니다. ㅎㅎ
학문이란 무릇 A의견이 있으면 B의견이 있는 법.
기존 선생님들과 다르게 가르쳤으면 오해가 없었다? 라는 가정은
오히려 주입식 교육의 폐해 아닐까요?
항상 가르치는 사람 대비 반대 의견이 있는 법이죠.
항상 A와 B 의견이 대립하여 정답을 향해 가는 것..
이전의 '정의가 그렇게 되었고 다들 그렇게 생각하고 더 이상 생각하지 않은 것'은 이 영상에서도 언급되었던 토론의 장이 요즘 시대와 같이 자유롭게 되기 힘든 이유 때문이 아닐까...? 라는 생각에 댓글을 달아봅니다.
간격이라는게 존재하지 않는다 이거 안말해주면 솔직히 누가 이해함 고등학교때... 26살되서야 깨달음
그래서 평가원에서 만든 지침서(?) 같은데에 극한의 개념은 직관적으로 이해하는 수준으로 한다 라고 명시돼있어요
유한한 우주에서 실재하지 않는 무한을 생각하는 인간이라는 존재에 대해 새삼스럽게 경이감을 느낍니다.
나는 오빠를 100% 믿지 않아. 그저 99.9999999999.....% 믿을 뿐이야.
네, 얘가 '어떤 운동장을 반시계방향으로 돌면 1분, 시계방향으로 돌면 60초 걸린대. 그 이유가 뭐였을까?' 식의 옛날 수수께끼같은 드립을 친 건지, 아니면 이상한 오개념을 가진건지 몰라서 찝찝하겠네요
100% 믿지 않지만 100% 믿어.
라고 하고있는데 여자는 자기가 뭘 잘못 말한지도 모르네
여자친구가 문과라는게 찝찜해짐
저문장이 찝찝한 이유는 "않아. 그저" 이 문구 때문애 찝찜한거지 숫자의 문제가 아님
그저 99.99999999...% 믿을 뿐이야. 여기서 9는 무한히 존재해. 라고 명시하지 않는 이상 문제 없을듯
이 영상을 보고 제가 무한소수의 개념을 다시 이해하게 되었습니다 많은 도움이 되었습니다 선생님 감사합니다
영상 진짜 잘보구 이써여~❤
증명이 진짜 뭔가 어렵긴한데
3가지 오해를 풀었다는것 자체만으로도 완전 뿌뜻해져요!!! 신기해요 진짜 뭔가 스킵없이 보게된게, 일시정지하고 이해할려고 생각했단게 너무 좋은기분이네요 최고최고
상엽쌤 챕터3 제목을 수학소통의자세가아니고 소통의자세로 바꾸셔야할거같네요 ㅎㅎ 비단 수학소통뿐만아니라 사람간의 일반적인 의사소통에도 당연히 적용되는말씀이라고 생각합니다
a=0.999...
b=1
만약 a와 b가 같지 않다면, 서로 다른 두 실수 a와 b사이에는 (a+b)/2가 존재함
이 값을 계산해보면 (1+0.999...)/2 = 1.999.../2 = 0.999... = a가 나옴
(a+b)/2 = a
b=a
나와 어떤 다른 수의 중간값이 곧 자기 자신이다 -> 나와 어떤 다른 수와 사이에는 빈 틈이 없다 -> 그 둘은 같은 수다.
말투에 배려가 넘치십니다.
좋은 강의 감사합니다.
배울 때 제대로 배워서 정확하게
알고 있는 것으로 알았어요.
그게 아니었네요. 새삼 느끼고
다시 한번 확인하고 정리하는
기회가 되었습니다 감사합니다
지금까지 무한이라는 개념에 대해서 어느 정도 잘 알고 있는 줄 알았는데, 두 번째 오해에 대한 설명을 듣고 새로 눈이 떠진 듯이 엄청난 깨달음을 얻었습니다
첫 번째 설명에서 수가 역동적이라고 인식하는 문제점에 대해 언급하시길래 살짝 떠오른 생각인데, 그건 인간으로서 "무한"이라는 개념에 처음으로 접근할 때 생기는 고질적이고 피할 수 없는 문제라고 생각합니다
우리는 일상에서 "이미 존재하는 무한"이라는 것은 절대 마주할 일이 없습니다
하지만 삶을 살아가고 시간의 흐름을 느끼면서, 간접적으로 무한한 미래(실제로는 아니지만)에 대한 경험을 하게 됩니다
유한한 존재가 시간의 흐름성을 통해 간접적으로 무한을 제일 처음 접하는 것이죠
그렇기 때문에 우리는 자꾸 "다가간다", "가까워진다" 같이 시간의 흐름에 따라 설명하려고 하는 것 같습니다
극한이라는 개념에 대해서 처음 배울 때 선생님 100명 중 99명은 '끝없이 다가가는'이라는 표현을 꼭 씁니다
이 표현이 처음 미적분을 배울 때 입시를 위한 공부에는 도움이 되겠지만, 수학적으로 엄밀한 교육은 결코 아니라고 생각합니다
@@janghyunroh 입시를 위한이 아니라, 이해를 시키려면 다가간다는 표현을 써서 설명해 줘야 합니다. 그게 자연스러운 사고죠. 입실론델타법만 전달한다면 그것이야말로 교육을 포기하는 것 아닐까요? 그리고 x -> a를 x가 a로 다가갈(approach) 때라고 읽는 건 맞는 표현입니다.
아 진짜 너무 재밌고 유익해서 좋아요 감사합니다
단순히 수학의 내용을 가르치시는 강사를 넘어서, 수학을 어떻게 접근해야 하고 즐겨야 하는지, 어떻게 소통해야 하는지 알려주시는 참 스승이시네요. 정말 좋은 영상 감사합니다. 정말 참 스승이십니다.
우와!!!!!! 이상엽 님 설명에 감탄했습니다!!!!!
어떤 인터넷 강의에서 봤는데 그 강사님은 0.999... = 1을 설명할 때
0.333... = 1/3
0.666... = 2/3
0.999... = 3/3 = 1
이렇게 하시더라고요
반찬 그건 중학교내용아님?
맞는 내용입니다
직관적으로 이해시킬때는 이게 젤 편함 ㅋㅋㅋㅋ
맞는 내용인데 왜인지. 2/3 = 0.66666 이지만 3/3 = 1 이지 0.999999가 아니다 라고 주장하는 사람이 나타날것 같네요 ㅋㅋㅋ
1/3=0.3333333...
1/3×3=0.3333333..×3=0.9999999=1
상엽이형 사랑합니다 시원한 영상 감사합니다
진짜 수학과졸업하고 수학교육과 다니고있는데 이분영상들은 볼때마다 머리를 팍 치게됨
구독 0.99999..번이랑 좋아요0.99999..번 누르고 갈게요!
이 영상을 보고도 대부분이 자신의 생각을 바꾸지 않은것 같다.
해석학의 원리 처음 읽다가 실수 완비성 증명을 보고 충격을 받았읍니다...
함수 f(x)가 열린 구간 (a, b)에서 정의될 때, [a < x < b]를 만족하고 f(a)와 f(b)는 정의되지 않잖아요. 즉슨, 정의역 x의 최댓값과 최솟값은 각각 b와 a에 한없이 가까울 뿐 그 자체는 아니기 때문에 '한없이 가깝다'는 '일치하다'의 의미가 아니라고 생각합니다.
즉, 0.99999....는 1에 한없이 가까운 어떤 수일 뿐이며 결코 1은 되지 않는다고 생각합니다. 수포자 '문과생'이 의견 한번 써봅니다.
한 없이 가까운 수라는 것은 존재하지 않죠
수의 조밀성 때문에
문과 이름에 먹칠하지 마세요
무한(∞):어떤 실수나 자연수보다 큰 수
실수의 특징:대소 비교가 가능하다
무한이 대소 비교가 가능하다면 무한은 실수가 된다.
실수+자연수도 실수 범위에 포함되므로
무한의 정의에 따라 ∞>∞+1 이라는 역설 발생 즉, 무한은 실수가 아니다.
0.9̇̇>1 일의 자리 수가 좌변은 0, 우변은 1이다. 0>1은 거짓이니
0.9̇̇>1도 거짓
0.9̇̇
직관적인 이해를 돕는 증명
1. 1/3=0.3333....-> 1/3×3 = 1 =0.9999...
2. 영상 내 극한을 이용한 증명
3. 두 실수 a,b가 같지 않다면 a
평균값 정리인건가용
메디브의 하인 그냥 단순 사고 문제 같음
수학의 패러독스같은거 같아요
아니요 평균값 정리 친구인 롤의 정리 입니다. ㅋㅋㅋㅋ
평균값 정리는 아니죠
겁나 멋있다...ㄷㄷ
이런 의문점들 짚어주시느거 되게 좋네용 꿀잼
문송합니다. 울고 갑니다ㅠㅠ
문과도 충분히 이해할 수 있을 만한 내용인데...
실수 a=b 임을 증명하는 것은 만약 a=!b 이면 c=(a+b)/2 인 c 가 존재 해야하는데 당연히 a
형님 리미트나 절대부등식까지 추가로 설명해주셔서 감사합니다. 앞으로도 (에이 이정도쯤은 알겠지)하는것도 설명해주세요
직관적이지 않은 것들을 받아들이긴 참 힘든 것 같네요... 형태만 봐도 다르게 생긴 정수와 무한소수가 같다는 걸 보면 수학이 참 어려우면서도 재미잇는 것 같아요
이번 영상도 잘 보고 갑니다.
투표때 올라온 다른 주제도 전부 보고 싶습니다. 시간이 다소 걸리더 라도 언젠가 영상으로 만들어주셨으면 합니다
조용히 좋아요 박고갑니당
중2때 대략적인 유도과정이 한번 나오고
15개정교육과정 기준 수열의극한 급수파트에 첫항이 0.9 공비가 0.1인 등비급수로 설명가능함
애초에 고등수학에서 극한의 정의가 그저 직관적인 이해이기 때문에 정확한 설명이 아니죠~
학생들이 착각하는게 0.99999••• 자체가 1로 수렴한다고 착각하는게 핵심입니다. 등비급수는 수렴값이라서 학생들이 계속 혼란을 겪는 이유에요.
0.9999•••은 수렴값이 아니라 1과 정확히 같은 수라는게 핵심입니다.
2-1=1거랑 같이요
고등학생들에게 괜찮은 예시를 소개하자면,
우리는 수열을 배웠고, an
알수없는 알고리즘에 의해 찾아왔는데
이거 예전에 배울땐
1/9 = 0.111...
(1/9) x 9 = (0.111...)x9
1 = 0.999...
이렇게 이해했었는데 옛생각나네요 ㅋㅋㅋ
1. 수는 움직이지 않는다.
2. 간격(차이)이 있다는 것은 완전히 분리되어 다른 경우를 뜻한다.
3. 극한값이라 함은 그 값에 부딪히는 값을 말하며 방향성을 가질 순 있지만 그 값을 뜻한다.
4. 등호(=)라 함은 등호(=)를 사이에 둔 양변의 값이 완전히 같음을 뜻한다.
5. 0.999...=1 의 이유는 현대 수학을 논함에 있어 당연시 되는 등식이다.
선생님 최근 로지컬이라는 분이 극한과 관련된 역설을 주 콘텐츠로 유튜브 알고리즘을 타고 있습니다! 선생님도 같이 탑승하셨으면 좋겠습니다!!!
어 저도 그분 오늘 처음 봤어요!! 헛소리하는 수학(?) 채널인뎈ㅋㅋㅋ 진지한게 아니라 농담 비스무리한
순환소수는 중학교 때 배우는 과정입니다. 딱 그때 1=0.999...? 라는 고민을 하게되지요. 어린친구들에게 리미트와 씨그마는 낯설게 느껴질것 같습니다. 그래서 아래에서 또 싸우고 있네요ㅠㅠ
눈높이에 맞는 증명은 다음과 같습니다.
0.999.... = A 라고 해보자.
양변에 10을 곱해보자.
0.999... x 10 = 10 x A
9.999.... = 10A
10A - A = 9A 라는 식을 이용해보자.
10A = 9.999...
ㅡ A = 0.999...
--------------------------------
9A = 9.000....
즉 9A = 9
양변에 9를 나눠주면
A = 1 이라고 나오게 된다.
즉 0.999... = A = 1
나와 생각이 다른 사람을 만나면 왜 다른지 알아보려는 사람과, 나는 맞고 너는 틀렸기 때문에 다르다는 생각으로 욕하는 사람이 있습니다.
나중에 여러분이 "니 자식이 너랑 똑같은 사람이 될꺼야!"라는 소리를 듣게 되었을 때, 욕이 아닌 칭찬으로 들리려면 어떻게 행동해야 할까요?ㅎㅎ
정규 교육과정에 있는 순환소수를 분수로 바꾸는 증명속에 해답이 있습니다!!
다만 간단히 가르치는 입장에서만 먹히는 게 흠인 증명법이죠... 결국 이 문제는 무한소수를 어떻게 수학적으로 정의하느냐부터 시작해야 되는 골치아픈 주제이기도 하죠
@@ROTY22 걍 정의하면 되는데?
@@klerystherandomwalker2169 해석학에 나올법한 방식처럼 정의하는 게 있습니다
두값이 같다는 것은 그렇게 정의 내린 것 뿐.. 증명의 문제도 아님... 다른 종류의 수학이론에서 두 값이 다르다고 정의할 수도 있음.
1과 0.999...가 다르다면 0.999...
ㄴㄴ 틀렸음
수학얘기도 좋았지만 뒷 10분이 더 좋네요 공감하는 부분입니다
디시위키에서는 아직도 싸우지 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
좋은 영상 감사합니다 의외로 학부 위상수학 강의에도 이런 질문을 하던 학부생이 있던 것이 기억납니다.
그 때 당시에도 교수님께서 이를 이해시키기 위해 설명하시던 모습이 기억에 남는데.
저 또한당시에는 극한값 정도로만 이해하고 있었습니다.
이 명제를 완벽하게 받아들이게 된 과정은 의외로 다른곳에 있었는데 문장으로는 이렇게 쓸 수 있겠네요.
"두 대상이 같다는건 정확히 무슨 의미일까?"
집합론에서 두 집합이 같다를 포함관계로 설명하고
순서집합에서 두 수가 같다를 반대칭성으로 설명하죠
가령 정수론에서 두 양의 정수가 같다는 의미를 서로 나눌수 있는가에 따라 설명하고다.
해석학에서 임의의 양수 e 에 대해 d(x.y)
그럼 시험볼때 문제의 답이 1이 나오면 답을 0.9999....로 써도 정답으로 처리해줄까요
엌ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 과연?ㅋㅋㅋㄱㄱ
분수 약분 안하면 틀린거로 하는 것처럼 0 9999...는 틀렸다고 할 거 같네요.
어떤 시험인지에 따라 다르겠지요.
아직도 이 영상을 보고 계신 분이 계실 지 모르겠는데요 요즘 너무 궁금합니다.
lim 개념을 수2에서 처음 배웠는데
그래프에서 구멍 뚫리면 절대 그 수로 안 보고 연속인 부분의 수로 봅니다. 이건 어떻게 설명이 되는 건가요.
[1의 좌극한]=0으로 보던데 이건 왜 그런 것이고, 모든 개념서에서 사용되는 설명 방법: 0.9, 0.99, 0.999 이런 식으로 가다 보면 1에 ''''다가간다'''' 는 설명까지.
수학 전문가분들 꼭 답변 주시면 감사드리겠습니다 정말
영상 몇 주 전부터 두 번이나 봤습니다
@천현호 0.999...=1이므로 가우스 기호가 씌워지면 0이 아니라 1입니다.
1의좌극한은 1인데 [1] 이 왜 0 이되냐? 기적의 수학자?
가정1
1≠0.9̇̇, 1=0.9̇̇+0.000···1
양변에 10을 곱한다
10=9.9̇̇+0.000···10
양변에 9를 뺀다
10-9=9.9̇̇-9+0.000···10
1=0.9̇̇+0.000···10
가정 1에서 1=0.9̇̇+0.000···1이므로
1-0.9̇̇=0.000···1
양변에 0.9̇̇를 뺀다
0.000···1=0.000···10
마지막으로 0.000···1을 빼면
0=0.000···9 이므로 가정1은 거짓이다
이거 중학교때 순환소수를 분수로 나타내기 하면서 9/(10-1)=1이라고 간단히 설명하는데 명확한 증명이라고는 못해도 납득하긴 쉬운 설명이라고 생각해요.
이게 뭔 개소리임?
@@윤진우-d3t 순환소수요 중딩때 배우심
@궁예 곱셈을 하려면 끝이라는게 존재해야함 애초에 그 증명은 틀린거임
x=0.999...
10x=9.999...
10x-x=9
9x=9
x=1
0.999...=1
(?)
0.9999...=0.9/(1-0.1) 등비급수의 합
사실 이런 부분이 공부를 하면서
많이 찾아오죠
초등학생 때 점과 도형을 배우면서
점을 확대하면 도형아닌가? 에서
출발해 연산체계의 완전성을 위해
0과 음수 ,3^0=1 이라는
수학자들의 억지(?)를 보고나면
수학은 직관과 연결돼있지만
관념적 학문이라는 생각이 들죠.
몇백년전까지만 거슬러가도 음수는 악마의 수로 불렸으니..
그렇게 간단히 볼 문제는 아니라고 봅니다
저는 일본 교토대학 토목공학과 박사학위를 취득한 사람입니다.
그러나 수학에는 소질이 없고 개념을 잘 이해하지도 못합니다.
그래서 고등학교때 배운 것처럼 수학을 암기해서 사용하죠.
적분공식을 외워서 적분하거나 극한문제를 외워서 풀거나 말이죠.
그런데 하나하나의 개념을 이해하려고 하다보면
대부분의 수학전공자분들이나 수학과학생들은 공부하면 알게된다고 하시고
너의 생각은 어디가 틀렸는지 지적은 해주지만
어디를 이해하지 못했는지에 대해서는 설명해 주지 않습니다.
서론이 길었습니다.
0.999...=1 이란건 수학자와 철학자간의 시각차이 아닐까 생각합니다.
수학자는 논리적으로 정의에 의한 믿음이 크지만
철학자는 근본원리에 대한 의심이 커서 시각차이가 생긴게 아닐까합니다.
근데 위의 문제가 항상 대결구도로 가는 것은
각 개인간의 성질에도 수학자쪽 성격과 철학자쪽 성격
예를들자면 이과와 문과간의 성격차이? 정도에 기인한다고 생각합니다.
0.999...=0.9+0.09+0.009+... 이 문장이 옳은 문장일까요?
또한 0.9+0.09+0.009+...=lim sigma(9*(1/10)^n) 이 문장(수식)은 옳은 문장일까요?
여기 ... 이 의미하는 무한의 의미를 무한집합으로 봐도 괜찮은걸까요?
같은 철학적의미로 설명해주시지 않으면
수학 비전공자인 사람입장에서는 이해가 잘 되지 않습니다.
즉 위의 덧셈을 무한번 더하면 이란 표현을
무한급수 즉 급수의 극한으로 표현해도 괜찮을까요?
이 부분에 대한 이해입니다.
무한번 더한다는 것은 더하는 행위를 멈추지 않는다는 뜻이지요.
그러면 어떠한 결과가 나올 수 없다는 뜻이지요.
아직 더하는 행위가 끝나지 않았는데 어떻게 같은지 다른지 비교할 수 있나요?
아마 수학적으로는 제일 처음 말씀하신 다가가는 수란 것은 없고
(물론 그런 수체계를 만들 수는 있고 실재하고 있죠.)
움직이는 수는 사용하기 번거롭겠죠.
우리가 쓰던 수와 다르니까요.
그렇다면 0.999...를 정의해야겠죠.
즉 정의하지 않으면 그 값을 정확하게 표현한게 아니니까요.
그래서 수학자들은 집합의 개념이나 유리수의 조밀성등을 이용해서
저 수를 정의해 놓은게 아닐까 생각합니다.
다시말하자면 0.999...=0.9+0.09+0.009+... 과 같은데
무한번 더하면 그 결과값이 안나오니까
무한히 더하는 과정을 계속해 나아가도
어느 경계치 이상은 절대로 나오지 않는다! 라는 개념...
즉 상한의 개념이기도 하고 극한의 개념이기도 한 개념을 고안해 낸게 아닌가 합니다.
따라서 0.9+0.09+0.009+...= lim sigma(9*(1/10)^n) 의 식은 동치가 아니라 정의이고
무한급수에 대한 정의를 보면 극한의 표현으로 정의한다라고 되어있는 듯 합니다.
사실 = 이 표시가 등호라기 보다는
=위에 삼각형 표시가 있는 정의라는 기호를 써야 헷갈리지 않을 것 같습니다.
연결해서보면 0.999...= lim sigma(9*(1/10)^n) 로 정의된 것이기 때문에 우변의 값이 1인 것이고
이는 0.999...가 1로 정의된게 아니라
0.999...가 0.9, 0.09, 0.009, ... 의 무한수열의 급수로 정의되었고
이 무한급수의 값은 또 lim sigma(9*(1/10)^n) 의 극한값으로 정의되었고
이 극한값이 1이기 때문에 둘이 같다고 보는것이겠죠.
그런데 무한이라는 과정을 개념을 점프해서 그냥 0.999...는 무한번 더하는 과정이 아닌
숫자로 표현할때는 움직이면 안되는 수이므로
무한급수의 값 즉 극한값으로 보면 사용하기 편리했을 것이고
유리수가 2가지 소수표현법을 갖게 될 스도 있는게 아닐까 생각합니다.
물론 이는 칸토어의 무한집합이란 개념에서 생겨났고 정리되었고 발전되어서
수학자들에게는 아무런 꺼리낌없는 개념이겠지만
수학 비전공자들에게는 아무리 공부를 해도 매우 어려운 개념이 아닐까 봅니다.
저도 이렇게 이해하려고 했지만 사실 수학자들이 보면 틀린 개념일 수도 있습니다.
또한 무한이 더한다는 개념의 어떤 행위의 무한과
무한 집합에서의 무한히 존재한다의 개념도 약간 차이가 있다고 생각합니다.
0.999...가 1에 다가간다는 개념은
무한이 더한다는 개념을 뛰어넘기 힘들기 때문에 생긴다고 봅니다.
선생님께서는 이를 1에 부딪힌다라는 표현을 해주셨는데
이도 약간의 어폐가 있는 듯한 표현이기도 할 듯 싶습니다.
오히려 저같은 경우에는 이해가 더 불분명해졌습니다.
{0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...} 인 무한 집합이 있습니다.
여기에는 1은 위 집합의 원소가 아닙니다.
그런데 뭔가 1에 다가가는 듯한 원소가 있어 보입니다.
하지만 저 집합에는 0.999...도 저 집합의 원소가 아닙니다.
위에 설명했듯이 저 0.999...란 표현은 극한값을 갖기 때문이겠죠.
따라서 1에 부딪힌다는 표현은 저 집합안에 1이 있는거 아닌가?란 착각을 일으킵니다.
저만의 착각일 수도 있습니다.
또한 엡실론 델타의 설명에서도 엡실론이 0보다 큰데
절대값 즉 간격이 엡실론보다 작으니까 간격이 없다라고
부딪힌다는 표현과 비슷하게 설명하셨습니다만
이도 오해를 불러 일으킬만한 설명인 듯 보입니다.
제가 오해를 하고 있기 때문이지만 다른분들도 계시지 않을련지요.
즉 엡실론은 0보다 크다 즉 0보다 크거나 "같다"가 아니기 때문에 0은 아니지요.
엡실론은 0이 될 수 없는데
설명에서는 간격은 엡실론보다 작기 때문에
간격은 0이 될 수 밖에 없다는 의미가 아닐 듯 한데
저에게는 간격은 0이다라고 하시는 것 같습니다.
이렇게 이해하는게 옳은 방식입니까?
0과 0보다 조금 큰수 사이에는 무한한 실수들이 존재하죠.
실수의 조밀성과 완비성으로 증명도 가능하겠죠.
그런데 엡실론이 0보다 작은데 간격이 엡실론보다 작으면 간격은 0이 되어야 하나요?
어떤 엡실론을 잡아도 그 보다 작은 실수는 존재하죠.
그 작은 실수는 0이 아닐 수 있지 않을까요?
제 생각에는 이는 위상수학의 근방의 개념과도 비슷한 듯한데요.
경계(바운더리)와 내부는 다른 의미라고 보면
저 간격이란건 0근방이라고 표현해야 하는게 아닐까 생각해 봤습니다.
만약 초월수의 무한소수표기법에 대해서
그 간격을 없다라고 보는 설명이셨다면
상극한이나 하극한등의 위 아래에서 좁혀가는 구간에 대한
구간축소법으로 그 안에는 하나의 실수만 존재하는게
보장된다는 개념으로 이해하면 될까요?
저는 극한도 어떠한 수에 부딪힌다는 표현보다는
경계값으로 이해하고 있는데요.
즉 그 경계값이 존재한다면 그 경계값으로 가는게 보장된다라는 것이지요.
즉 어떤 수열이 무한하게 많을때 즉 무한집합의 원소일때
그 수열이 어느 한값 혹은 수직선상의 어느 한점
(점에 대한 개념도 저는 이해하기 어렵습니다.)
을 뛰어 넘을 수 없는 걸 보장한다는 것이죠.
즉 아무리 큰 수 번째 있는 수열의 값이 갑자기 튀는 현상이 없고
진동하지도 않으며 그 큰수보다 더 큰수번째 있는 값은 그 경계값이 더 가까운 값이라는
즉 어떠한 n번째 자연수를 잡아도 그 수열의 값과 경계값과의 차이보다 작은 n보다 큰수 번째있는 수열이 존재하고 또한 무한하게 존재한다는 것
이때 그 경계값보다 항상 작다는게 또한 항상 다음 수열값과 경계값의 차이는
지금 수열값과 경계값의 차이보다 작다 단 경계값의 차이가 0이 되지는 않는다.
라는 걸 보장한다라고 이해하고 있습니다.
초월수 같은 경우에는 그 경계선값이 존재하는지 조차 모르는 수이기 때문에
극한의 표현으로밖에 표현할 수 없겠죠.
단지 그 수가 존재한다는 것은 그 경계값이 존재한다는 것이고
그리고 유일하다는 의미이기 때문에 실수로서 숫자로서 인정된다는 뜻으로 이해했습니다.
0.333...=1/3 은 사람들이 잘 받아들이는데
이것또한 0.333...이라는 표현이 저 3들의 숫자들의 집합의 무한급수로 정의했기 때문이며
3.141592...=파이 또한 저 ...으로 가는 수열들의 경계값은 파이라는 숫자 하나뿐이며
결국 그것은 극한값이다 라는 의미로 쓰였다고 생각합니다.
사실 3.1415뒤의 숫자가 무엇인지 정확히 모르는 인간이
저 수열이 정말 경계값이 존재할까를 보장해주는 개념이 극한이라고 생각합니다.
즉 소수점 1억의 1억승 자리의 값을 정확히 모르는데
즉 각 자릿수 소수점의 값들을 정확히 모르는데
그 소수점들의 수열의 진행방식을 잘 모르는데
어떻게 그 값을 정확히 알 수 있을까요?
만약 극한이 부딛힌다는 개념이라면
저 소수점뒤의 숫자를 전부 알고 있어야 가능할 듯 합니다.
이는 철학자들도 생각하던 가무한의 개념일 거 같습니다.
(댓글에 계속)
그런데 다른 함수의 극한식으로 표현하면
파이의 소수점뒤의 숫자의 패턴을 몰라도
순차적으로 축차적으로 1,2,3,...처럼 순서대로 계산해가는
패턴 혹은 함수 혹은 규칙을 알고 있기 때문에
소수점뒤의 숫자는 계산하면 알 수 있지만
그걸 계산할 시간이 없을 뿐이며 계산하면
정확한 숫자가 확인되는 숫자이므로
저 수열이 어떻게 진행되는지 알고
그로 인해 경계값이 명확해지기 때문에 그 수에 부딛힌다는 말씀을 하신건가요?
즉 현대 수학자들이 믿는 실무한이란 말씀으로 받아들이면 되는 걸까요?
sets.cocolog-nifty.com/blog/071.html
(일본어로 되어 있어 구글번역기를 돌려야 합니다만.)
이 링크에는 철학자가 생각한 가무한과 실무한으로의 철학적 고찰이 적혀있어요.
되도록이면 수학적인 부분을 제대로 이해해가며 설명해 놓았던거 같습니다.
가무한일 경우의 수학의 체계에서의 번잡성등도 설명되어 있구요.
저는 이 0.999...=1 을 수학자들이 가볍게 여기는걸 별로 라고 생각합니다.
그렇기 때문에 이 문제가 항상 대두된다고 봅니다.
수학자가 아닌 사람들의 수에대한 이해를 수학자들처럼 꼭 만들어야 할 필요는 없지만
수학자들이 생각하는 방식을 비수학자들이 이해할 수 있을 만큼은
설명해 주셨으면 좋겠습니다.
그런 의미로 선생님의 강의는 난이도를 무척 낮추셔서
정말 일반인도 이해가능하도록 설명해주시려고 노력하는 모습이 좋았습니다.
단지 아직 수학자적인 입장에서의 설명이 주이시라
왜 비수학자 일반인이 이 문제에 잘못이해하게 되는지에 대한
자신의 이해를 조금 더 설명해주셨다면 좋았을 듯 합니다.
저는 선생님께서 가우스보다 오일러가 더 존경스럽다라고 하셨을때
수학자가 논리와 참 거짓보다 감성적인 면을 존중하고 있다는 점에 놀랐고
선생님을 존경하게 되었습니다.
선생님께서 생각하시고 계신 채널의 의미와 계획등이 있으시겠죠.
이 채널이 비전문가에게 쉽게 설명하는 채널이기에 어쩔 수 없는 면이 있지만
전문적인 부분에 대한 설명도 가끔 해주시기에 구독자들이
너무 학생이거나 초보자라고만 보시고 설명해 주시지 않으셨으면 하기도 합니다.
선형계획편 이후에 해석학편이 있다고 예고해주셔서 기대하고 있습니다.
제일 어려운 부분이 되겠지만 비교적 초보자들도 이해할 수 있지만
전문적인 설명도 많이 들어가 있는 그런 채널이 되었으면 합니다.
마지막으로 저는 리만기하학을 공부하고 싶습니다.
그런데 텐서라든지 메트릭이라든지 그 개념을 제대로 배운적이 없는 저로서는
입구컷되는 상황인지라 언젠가는 이런 개념들도 설명해 주시면 고맙겠습니다.
페친의 글이지만 댓글에 공변벡터와 반변벡터의 개념이 어렵다는 글을 남겼는데
이에 대한 제대로 이해될 만한 설명이 있는 글, 책, 영상 등이 적어
선생님께서 만드신다면 대박을 칠 수 있지 않을까 생각해봅니다. ^^
facebook.com/seungmok.yi/posts/3377702038913948
사실 아직 텐서라든지 공변벡터의 개념 공변미분등은 1도 이해가 되지 않습니다.
선형계획파트에서 텐서까지 설명하신다면 꼭 시청하고 좋아요를 누르겠습니다.
좋은 영상 항상 고맙고 화이팅입니다.
지금보니 페북글은 친구공개네요...죄송...저분도 수학전공자이신거 같은데 페친되어 보세요...^^
이분도 수학 비전공자들을 위한 강의를 많이 하시는 분이세요.
고등학교때 대성 마이맥 인강으로 서정원 선생님을 만나고 수학에 흥미를 갖게되어 성공적으로 수능을 잘 치뤘고 그 이후 경제학을 공부하면서 학문적 도구로만 수학을 사용해서 흥미를 잃어버리게 되었는데 다시 좋은 선생님을 만난 것 같습니다. 구독한지는 오래되었는데 처음 댓글
남겨보네요! 이제 서른이 되었는데 선생님의 강의를 들으면서 수학의 즐거움을 조금씩 다시 알아가고 있습니다. 앞으로도 좋은 강의와 영상 부탁드립니다!😁
그냥
0.9999...=x로 놓고
9.9999...=10x라해서 연립해서
9x=9가 나와서 0.999...=1로 하면 안되나요? 중학교때 이미 배운것 같은데
이영준 배울때 수학적인 오류라고 배운것 같아요.
무한대 빼기 무한대는 부정형이라서 오류인거 아님?
@@이우석-z3g 무한대가 아닙니다. 0.999...는 발산하지 않습니다.
음 제 기억에 따르면 이건 증명의 문제가 아니라 정의의 문제였던거 같습니다. 유리수에서 실수로 수 체계를 확장을 할때 저런 식으로 수열의 극한이 같으면 같은 수라고 Field를 정의하고 그런 점에서 0.99....와 1은 서로 다른 수열이 같은 값으로 수렴하는 경우이므로 같은 수로 정의한다... 라고 기억합니다.
즉 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ..., 0.9999....9, ... 와 1, 1, 1, 1, ..., 1, ... 이 갈수록 서로 차이가 없어지므로 같은 수라고 정의할 수 있습니다.
0.9999... = 1 의 논쟁(?)은 자연수와 실수의 개념을 서로 혼동해서 그런게 아닌가 싶습니다.
5:00 많고많은~
마법사들중
내가 제일 잘났지
대댓글 존나 한국인이넼ㅋㅋ 못말리는 단합력..
이래도 안넘어 올래?
영상 보기 전에 쓰는데요, 저는 이거 배울때 1-0.999... = 0.000..=0 이어서 라고 생각했었던게 생각나네요
잘봤습니다만,
증명방법이 조금 햇갈릴수 있다고 생각합니다.
증명 방법이 잘못 되었다는게 아니라,
학생들이 0.9999가 엄밀히 1이 아니고, 극한이 1인것이다..라고 잘못 오해하고 있다고 설명하셨는데,
그런식으로 오해 하고있는 학생 입장에서는, 증명의 마지막부분에서 lim 1/(10^n) = 0 임을 보임으로써, 한번 더 학생들에게 조금 오해를 줄 수 있을꺼 같다는 (오지랖일수도있지만,,,) 걱정이 드네요.
lim을 쓰지않고, 단순히 연역법을 이용하여 모순을 이끌어 냈다면 조금더 좋지 않았을까 하는 생각에 몇자 남깁니다.
저도 다양한 증명이나 접근법으로 다양하게 봐야만 이해가 되는 케이스라... 지금 댓글에 나오는 다른 다양한 방법도 도움이 되고 잇네요. 답변 감사감사!
근데 저게 수식 표현으로만 리미트인거지 사실상 증명 과정에서는 리미트의 성질을 전혀 사용하지 않아서 증명 과정에 리미트를 썼다??라고 볼 수 없을 듯요..... 그리고 저게 단순히 연역법을 이용한 것 아닌가요??
참 좋은 선생님 이상엽 수학샘
제목 보자마자 무조건 반사로 들어왔습니다
애초에 10진수 소숫점은 2,5의 배수로 이루어진 분수가 아닌 숫자는 죄다 무한소수로 표현될 수밖에 없죠. 그냥 특정 방식의 숫자로 표현하다가 보니 생긴 우연한 현상일 뿐인 거죠.
저는 옛날에 이렇게 생각해본적이 있어요. 초등학생때 받아내림이라는 뺄셈 개념을 배우잖아요.
십의 자리에서 1만큼을 일의자리에 넘겨주면 일의자리에 10이 오는데, 십의 자리에서 1이 아니라 0.9만큼만 넘겨주는거에요. 그러면 일의 자리에 10이 아니라 9가 오고 일의자리에서 남은 1(십의 자리에서 1을 넘긴게 아니니 0.9만큼만 넘겨주고 남은 0.1)을 다시 그다음자리에 0.9만큼 넘기고...
그러니까 요지는 받아내림을 해당 자리수에서 1만큼이 아니라 0.9만큼만 한단계 작은 자리수에 넘겨주고 남은 0.1로 계속 위와 같은 방식으로 받아내림을 해주게 되면 0.999...=1 이라고 생각해볼수 있다고 접근해본적이 있어요 ㅎ.
와... 저 이해했어요...
님이 하신 설명이 가장 와닿는것같네요!!
극한값은 커져가거나 작아지는 과정을 표현하는 것이 아니죠. 극한값은 하나의 수치를 표현하는 완벽한 방법입니다.
한번 더 부연하면
1=3/3=7-6=0.5×2=0.99.. 는 수학적 측면에서 완벽한 동치로 딴 표현이기에 자유롭게 바꿔 쓸 수 있습니다.
특히 0.99..=0.9+0.09+0.009+.... 은 무한등비급수의 축약적 표현입니다. 당연히 그 값은 1입니다. 많은 사람은 극한값이 (좀 더 정확한) 근사치에 불과하다는 생각을 가진 분이 많습니다. 그러나 극한값은 좀더 정확한 그 값이 아니라 완벽한 그 값입니다. 따라서 흔히 극한을 이용하여 값 또는 이론을 표현하거나 정의합니다.
그 예로 원의 내접다각형을 이용한 원의 면적계산에서 다각형의 극한에서 구한 원의 면적값은 그 근사치가 아니라 그 원의 면적의 완벽한 값입니다. 다각형의 극한은 다각형이 아니라 원이니까. 또 한 예를 들면, x=a에서 정의되는 어떤 함수 f(x)의 a에서의 극한값은, a를 x에 대입한 함수값 f(a)와 완벽하게 일치하니까, 또 그것이 매끄러운 연속실함수라는 미분가능의 한 조건이니까, 아마 이렇게 이해하는게 쉬울 거예요.
실지 유리수를 극한값으로 정의하기도 하구요.
님은 y=1/x에서 무한대로 가도 0이 아니라고 하셨지만 0이지요. 위 식을 그래프로 나타내면 1상한에서 우하향하는 직각쌍곡선이죠~ 이때 우측끝은 0에 수렴하구요. 이 말을 식으로 바꾸면 lim 1/x = 0이구요. 님은 식을 똑바로 썼지만 말을 잘못한 겁니다.
우리가 아는 미분가능한 그래프는, a에서의 극한값 lim f(x) = f(a)예요. 극한값은 결코 (조금 더 정확한) 근사치를 구하는 방법이 아니예요~ 위 일반식처럼, a에서의 정확한 값을 구하는 것입니다.
마찬가지로 0.9+0.09+0.009+0.0009+ ... 의 극한값 1은 0.999... 의 근사치를 구하고자 하는 것이 아니라 연역적 논리식에 따른 정확한 값입니다. 따라서 모든 식에서 순환소수 0.9와 1을 바꿔쓸 수가 있는 것이죠~
1이라는 수의 개념은 1, 0.5+0.5, 7-6, 0.99... 등이 표현이 다르지만 완벽하게 동치임을 이해하는 것이 중요합니다. 순환소수 0.9는 0.99, 0.9999999999 등 마지막이 9가 몇만개든 9로 끝나는 수와 완전히 다른 수입니다. 순환소수 0.9는 커지거나 작아지는 것이 아니라 걍~ 1입니다.
a에서의 극한값이나 a를 식에 대입한 것이 완전히 일치하는 것처럼. 커지거나 작아진다는 생각을 버려야 합니다. 그건 이해를 위한 과정으로서 오해를 유발하는 면이 있지요. 물론 임의의 a가 정의되지 않을 때, 그 수를 식에 넣을 수 없으니, 이 경우를 두고 오해하게 되는 경우가 많은 것 같습니다. 그럼~
전 중딩 때 이리 배웠습니다. ㅎㅎ
x = 0.999...
10x = 9.999...
10x - x = 9.999... - 0.999...
→ 9x = 9
따라서 x = 1
x = 0.999...
10x = 9.999...0
10x - x = 9.999...0 - 0.999...9
9x = 8.999...1
무한에 대해서 그렇게 계산하면 위험합니다. 예를 들어서 1+10+100+1000+...= S 라고 하면 10S= 10+100+1000+...이고, 둘을 빼주면 9S=1, S=1/9가 되죠. 수학이 아니라 유사수학입니다.
@@마카오-y7v 쉽게말해서 x의 n번째 9는
10x의 n-1번째 9가 되지만 10x의 n번째 9가될 x의 n+1번째 9가 '무조건' 있으므로
10x의 소수부와 x는 같은수가 됩니다
@@마카오-y7v 빼기 잘못하셨습니다.ㅎㅎ
그리고 무한 소수 뒤에 0은 붙지 않습니다.ㅎㅎ
그 식전개로는 수렴증명 우선되지않곤 증명안되는건 알고쓰는거냐?
×=9+90+900+... 라할때
10x=90+900+9000+... 니까
9x=9 그러므로 x=1
이게 니가쓴논리마냥 똑같이 쓴 논리인데 말도안되는이유는 발산해서지? 즉슨 니가쓴거도 말이되는거가 되려면 그전에 반드시 수렴한다는증명부터 선핸되어야하는거야. 근데시발 이 댯글은 존나많은데 왜 아무도 이 얘기는안하는거냐? 다들시발 설마 ㅈ중고딩꼬꼬마때 골빈머리마냥 아무생각안하고 암기나쳐한걸 아는체압시고 자랑하는건 아니지? 아니라고믿을래도 단한놈도 없으니 믿을수가없네ㅅㅂ
무한의 의미를 모르기 때문에 생기는 문제들. 무한은 가장 큰 수도 아니고 점점 커지는 수도 아님. 그냥 쉽게 말해서 지금부터 우주가 끝날 때까지 9를 계속 찍어도 영원히 도달할 수 없는 수임. 끝이 없다는 것의 의미조차 모른다면 그 사람을 이해 시키는 건 불가능함.
1번째를 오해하는 이유가 0.999... 을 0.999 + 0.0009 + 0.00009 ... 이런식으로 생각해서 0.00...09 씩 1에 다가가기 때문이라고 생각하기 때문인 것 같은데 0.999... 은 이미 정해진 수인데 말이죠
무한급수가 어떻게 정해진수인지;;
@@김용현-x3y 수렴하는 무한급수는 정해진 수가 맞습니다. 그 정해진 값이 수렴값이구요. 수렴값 구하는 문제를 풀면 답을 무한급수=수렴값 형태로 적지 않습니까?
@@foevboy 그냥 0.9999~ 는 1입니다 그렇게만 알고계시면 될듯
@@김용현-x3y 영상을 안보신거 같은데 순환소수는 유리수입니다
@@김용현-x3y 무한급수는 원래 정해진 수인데요
3:20 무한대는 수가 계속 커지는 상태라고 배웠고, 수렴은 어떤 수에 무한히 가까워 지는 상태라고 배웠는데 그럼 그 설명이 다 틀린 건가요?
무한대나 수렴이 상태인거지 수는 아니잖아요
@@sableye8214 복잡하네요. 문과는 그냥 지나가야겠습니다.
17:20 귀납법도 좋은 증명이지만 베르누이 부등식도 좋은 방법이라고 생각합니다
베르누이 부등식 자연수 범위 증명법이 귀납법이니 거기서 거기인듯요
반갑습니다^^
모든 학문은 기본개념을 어떻게 익히는지가 그후를 가르는 중요한 시초인데 수학적 사고의 기초를 바르게 열어주고 계시니 너무 좋습니다^^
제가 학력이 미진해 다 이해할수는 없지만 참으로 감사드립니다^^
좋은 하루 행복한 하루 되시기 바랍니다^^
수학의신 이상엽쌤^^
0.999...=1이라는 주제는 누가 언제 아무리 명쾌하게 설명을 해준다 해도 언급될 때마다 콜로세움이 열리는 주제입니다.
2+2*2 도 콜로세움 열리는데요 ㅋㅋㅋㅋ
@@뛰어랏 이것은 사칙연산에 의하여 6이 나오는것이 맞습니다. 8이라고 하는것은 사칙연산을 무시하는것이므로 계산 자체를 잘못한것입니다. 8이나오려면 (2+2)×2라고 쓰거나 혹은 문제를 2+2×2=무엇인가 (사칙연산을 무시한다)라고 써야 합니다.
@@나종현-t9e 와! 정말 알고 싶던 정보였어요! 감사합니다~!
@@뛰어랏 ㅋㅋㅋㅋㅅㅂ 두뇌풀가동 생각나네
그런 투기장에선 어그로들이 일부러 알면서도 아니라고 우기면서 싸우는 경우가 있음
입실론 델타 논법을 요새는 대학교 1학년 때 다루나 보네요. 저 때는 2학년 때 해석학 이라는 별도의 과목에서 초반부에 다루는 내용이었음에도 불구하고 수학과 내 전체 과목중에서 가장 난해하고 악명높은 과목이었죠. 과목 특성상 한글은 거의없고 내용 대부분이 입실론, 델타, 오메가 등등의 수학기호들로 되어있어서 보기만 해도 머리가 아파오기도 하고(처음 해석학 책 봤을때는 외계어 교본인 줄), 시험 봤다고 하면 전 문제가 증명문제일 수밖에 없기도 하구요(당연 시험시간은 최소 2시간 이상), 특히나, "때문에", "왜냐하면", "전체 ~~에 대하여 성립한다" 이런 표현도 한글이나 영어로조차 쓰지않고 궂이 전문 기호를 만들어가며 쓰기 땜시 명제 안에 안에 한글/영어 한글자도 없는 상황도 흔하게 발생함.
곧 로지컬을 본 사람들이 몰려올 영상입니다;
빛의로지컬
로지컬의 말은 맞았어
ㄹㅇㅋㅋ
저요
엌ㅋㅋ
함수값과 극한값이 같다면 같지 않다고 생각하게 만드는 부분이 범인일텐데요 그렇다면 범인은 바로 그래프에서 좌표를 나타낼때 까만 동그라미와 비어있는 동그라미로 나타내는 것이 범인이 아니겠나 생각해 봅니다.
지나가는 공돌이는 마저 지나가겠습니다
이봐요. 공돌이면 부가설명좀 하고 지나가요 -_-
못알아들어서 ㅠㅠ
@@teach3555
증명은 간단합니다. x를 0.999... 라고 한다면,
. x = 0.999...
10 * x = 9.999... // 양 변에 10을 곱합니다.
10 * x - x = 9* x // 위의 두 수를 빼면 9 * x입니다.
= 9.999... - 0.999...
= 9 // 무한소수끼리 빼면 정수부분만 남습니다.
9 * x = 9 이므로, 양변에 9를 나누어 주면...
x = 1
따라서 0.999... = 1입니다.
수열의 극한이라고 하는 개념인걸로 아는데 거기서 나옵니다. 거기서는 다음 수식으로 분모 대소 관계, 그리고 n을 사용한 극한값을 사용합니다.
사랑합니다
주입식으로 외운것들을 사고과정이 결여된 체 사실이라고 고집을 부리는것. 소통분야에서도 유사 소통이라고 할 수 있겠네요. 듣는 자세가 중요한데 말이죠..
선생님 말씀을 듣고 한 친구와의 지극히 개인적인 사건이 기억나네요!
얼마 전(약 3 주전) 한 친구와 이야기를 하다가 하나의 명제(정말 일상적인 명제)로 주제가 전환 되자 마자, 친구의 듣는 태도는 결여되었고, 상당히 불친절한 태도로 저에게 명제를 단정지었습니다.
사고과정이 결여된지는 모르겠지만, 원래 그렇다고 말했던 점과, 증명을 못보이는것으로 보아 아마 결여되었던것으로 보입니다.
제가 간단한 내기를 하자고 했을때, 그친구는
완강히 거부를 하고, 갑자기 야만적인 태도로 나오며, 자리를 단어 그대로 '박차고'나왔죠..
추후, 그 친구가 증명을 했던것 조차
인터넷 지식인의 답변자의 발언이 증언이었습니다.
제가 인터넷에 많은 정보가 있고, 원하는 정보만 골라 담을 수 있으며, 그 사람의 발언도 증명과정이 없으므로 효력이 없다고 하니까, 믿을만한 사람이라고 밖에 말을 하지 않았죠..
이런식으로 그 친구를 타이르려 했으나.. 그냥 무마하려고만 해서 저는 상당히 실망했습니다.
그렇게 하나의 친구와 거리를 두게 되었답니다...
그런 분들은 그냥 무식하고 지능이 떨어지는 사람이에요!
입실론 이용한 증명 부분에 대한 질문이 없는 것 같아서 질문 드립니다.
저는 0.9999...=1은 극한값의 정의에 의해 참이라고 이해하고 있습니다.
1. 입실론을 이용한 증명은 극한값이 1임을 증명한 것이 아닌지요?
2. 값을 특정할 수 없다는 것(부정)과 값이 존재하지 않는다는 것(부재)은 다른 것이 아닌가요?
어떤 n을 잡더라도 그것을 만족시키지 못하는 입실론을 잡을 수 있지만, 반대로 어떤 입실론을 잡더라도 그것을 만족시키는 n을 잡을 수 있습니다.
이는 극한의 정의가 아닌지요?
저도 똑같은 생각함...
무한소수는 '하나의 고정된 수'이긴 하지만 우리가 소숫점 이하 자리수를 무한히 표기할 수 없기 때문에 어쩔 수 없이 중간에서 끊고 ...를 넣었다고 이해할 수 있겠네요.
궁금했던 내용인데 잘 배우고 갑니다!
0.999...=1이니까
무한소수 이면서 자연수인가요?
0.9999.....
그리고 1/(10)^n의 극한 즉 (n->무한 )은 0입니다.
01/(10)^(n+k) 모순이므로 0임.
0.0000....1=0
0.99999...=1-1/(10)^n .n을 극한으로 하면 성립된다.
제가 저 주제에 대해 질문하는 고등학생에게 설명해주는 내용입니다
"같다" 라는 엄밀한 정의를
해석학에서 쓰는 "모든양의실수"엡실론을 이용하는 개념을 통해 다시 이해하면 금방 받아들일수 있습니다!!
a와b가 같다 모든 양의실수€에 대해서 |a-b|
민수 도 ,실제로는 익숙한 문자를 이용합니다 처음에 이해하기 어색해하지만 스스로 시간을가지고 생각하면 고등학생도 이해할수 있더군요
모든 각각의 수가 고정된 유일한 하나의 값을 가진다는 공리는 허물어지는 거라고 봐야 하겠네요. 0.999...는 고유한 하나의 값을 가지고, 1도 고유한 하나의 값을 가질텐데 0.999...와 1이 같은 값을 가지는 순간부터 모든 각각의 수가 고유한 값을 가진다는 명제가 깨져버리기 때문이죠.
엄밀한 방법은 아니지만 간단하게 볼 수 있습니다. 0.999...와 1이 다른 수라면 그 사이에 다른 실수가 존재해야 할 겁니다. 하지만 어떻게 접근해도 그 실수가 존재하진 않지요. 실제로 0.999...=1을 수학적으로 엄밀하게 증명하는 방법은 해석학 내용을 동반하기 때문에 어렵습니다.