微分積分と連続型確率変数【中学の数学からはじめる統計検定２級講座第６回】

[@go4145]

物凄いわかりやすい構成、内容、話し方になってます
ありがとうございます

[@モクぷー]

文系だったので、微積から復習してもらえるのめちゃくちゃありがたいです🙏

[@simesabatt5100]

いつも分かりやすいお話ありがとうございます。
式は理解したつもりなのですが、どうも腑に落ちない点があり、質問させてください。
例えば
f(x) = x + 1 の確率変数のとき
期待値 E(X) = ∫ x f(x) dx = ∫ x (x + 1)dx
というのは理解できるのですがこの
E(X^2) = ∫ x^2 f(x) dx = ∫ x^2 (x + 1) dx
というのがどうにも腑に落ちず、
E(X^2) = ∫ x^2 f(x^2) dx = ∫ x^2 (x^2 + 1) dx
になるような気がするのです・・・。
基本的なところかと思いますが、お教え頂けると大変うれしいです。

[@toketarou]

なるほど，鋭いご指摘ですね。
数学が苦手な人からは出てこない質問です。
まず，離散型の期待値を考えてみましょう。
１個のサイコロを１回投げたときの出た目の期待値は，
E(X)=1×1/6＋2×1/6＋3×1/6＋…
このとき，出た目の２乗の期待値は，
E(X^2)=1^2×1/6＋2^2×1/6＋3^2×1/6＋…
となって，確率の部分は変わりませんよね。
つまり，確率変数がとる値が２乗になるだけで，
確率は変わらないのです。
連続型ならば，f(x)dxが確率を表していますので，ここは変わりません。
変わるのは，確率変数の値に対応する部分だけです。
この説明でご納得いただけるでしょうか。
もし，説明不足ならば，再度ご質問いただければ対応いたします。

[@simesabatt5100]

@@toketarou
ありがとうございます！
なるほど、f(x)dxの部分とEの中の(X^2)は関係の無い部分だったのですね。
「出た目の2乗に確率を掛ける」
という説明で腑に落ちました！
今日はよく眠れそうです笑

[@222rrrao]

@@toketarou 数か月前のご回答に返信する形となってしまい恐縮ですが、私もまったく同じ箇所でつまづきました。
確率変数の取る値は変化するが、確率は変化しないということですね。大変わかりやすい説明で納得いきました。ありがとうございます。

[@user-gd4ri6tp3f]

@@toketarou 全く同じところで悩んでました。わかりやすいご説明ありがとうございます！！

[@durian-or2re]

@@toketarou ここは理解しにくいところでした。確かに数学が得意な人ほど不思議に思いそうですね。

[@jakoten3]

大変わかりやすく助かっています。
基礎的な質問で恐縮ですが、定積分について教えてください。
ブログの演習５⑶で「データ使用量が０GB以上３GB未満」の場合をP（0≦x≦3）として計算していますが、定積分において以下と未満の差は気にしなくていいのでしょうか？
P（3≦x≦5）から算出しても同じ結果になるため、回答が正しいことは分かりますが、「P（X＝３）の範囲を二重計上しているのでは」という漠然とした疑問が払拭できていません。
何か勘違いをしていればご教示いただきたいです。

[@toketarou]

以上と未満の違いは積分には影響しません。
P(X=3)=0なので，P(0≦X≦3)＝P(0≦X＜3)です。
積分のイメージを思い出すと，細長い長方形をたし合わせるんでしたから，
１点のように横方向の幅が０だと，積分は０です。
つまり，連続型確率密度関数の場合，１点における確率は０です。

[@kaak7315]

確率の和が面積であり１なのに、積分が１にならないのはどうしてでしょうか。
積分って面積を求めているのではないのでしょうか。

[@水野佐也子]

わかりやすい説明をありがとうございます。ブログに掲載されている演習4のxの分散の出し方のところで、「（b-a）/2」の３乗−「（a-b）/2」の3乗が、「（b-a）の３乗/4」にかわるのかがわからなかったのですが、出し方を噛み砕いてご説明いただけますでしょうか。

[@toketarou]

確かにわかりにくいかもしれないと感じましたので，
ブログの式変形に１行を追加してみました。
ご確認ください。

[@水野佐也子]

大変よく分かりました。ありがとうございました。

[@schoo7077]

分かりやすく説明して頂きありがとうございます！一つ質問がありますが、最後の練習問題でV(X)を求める時、E(X^2)はf(x)のxを二乗にしない理由はを教えていただけないでしょうか。

[@toketarou]

この動画のコメント欄に同じ趣旨の質問が来ており，
そちら(simesabatt5100さん)への回答を参照してください。

[@schoo7077]

@@toketarou ご丁寧にありがとうございます！コメント内の回答を確認しました、理解できました。

[@あそく-g8m]

16:23 ここでa=1としたのはどうしてなのでしょうか。変な質問をしていたら申し訳ありません。

[@toketarou]

ご質問ありがとうございます。
この問題では，グラフの切片が4aなので，
aの値がわからないと，正確なグラフが描けません。
そこで，グラフを描画するソフトを使うときに
「たまたまa＝１としてグラフを描いたら，
こんな感じのグラフになりますよ」という意味で
a＝１と言っています。
問題を解く上ではa＝１とはしていません。
あくまで図を描くためです。
図を描くだけなので，
aは別に２でも他の数でもかまいません。
たまたま簡単なのでa＝１にしました。
どうでしょうか。伝わりますでしょうか。

[@あそく-g8m]

@@toketarou ご返信ありがとうございます。特に気にせず1を代入してaを導き出せばいいということですか？

[@toketarou]

いいえ，aの値を求める問題なので，
aの値を勝手に決めて代入してはいけません。
動画内でも，そういうことはしていません。
a＝１の図を描いただけです。

[@あそく-g8m]

@@toketarou すみません｢a=1の図を描いてa=1/8が求まる｣というところがイメージできないのですが、仮にa=2の図を描いた場合も同じくa=1/8という答えが導けるのでしょうか。

[@toketarou]

a＝2でも求まります。
a＝1としているのは図だけであって，
式でa＝1とはしていません。
式では，切片を4aとして計算しています。
もし，4aにa＝1を代入して4にして式を作れば，
答えは求まらなくなりますが。

[@hiro-fi9hf]

12:54連続型確率変数の確率
14:22連続型の期待値と分散
15:00期待値と分散の公式（復習）
15:32ターゲット問題

[@みな-r9w9z]

3:06
15:36

[@sokkun2003]

13:23