Hallo Susanne, Danke für das kleine Intermezzo 😄 Wenn die eine Kathete x wäre, die andere wäre dann (68-x), nach dem Satz von Phytagoras wäre: 52²=x²+(68-x)², daraus bekommen wir: 2704=2x²+4624-136x, und 2x²-136x+1920=0, oder: x²-68x+960=0, x1=20, x2=48, wenn man die x1=20 cm nimmt wäre der längere Kathete 48 cm, oder umgekehrt, wenn man die 48 cm als die längere Kathete nimmt, wäre der kürzere Kathete 20 cm lang 🤗
Nette Aufgabe und wie immer perfekt erklärt! Dazu würde mir eine Lösung durch geometrische Konstruktion einfallen, allerdings nicht streng nur mit Zirkel und Lineal. Man nehme eine Sperrholzplatte und schlage zwei Nägel im Abstand von 52 cm ein. Daran knotet man eine Schnur mit 68 cm Länge. Ein die Schnur spannender Bleistift zeichnet eine (Halb)-Ellipse. Zwischen den Nägeln zeichnet man dann noch den Thaleskreis und die Lösung ergibt sich aus den beiden Schnittpunkten zwischen Ellipse und Kreisbogen.
Liebe Susanne, eine schöne Aufgabe, die sich zügig durchrechnen ließ. Zum Valentinstag möchte ich dir noch sagen, dass ich deine Mathe-Videos immer noch gerne verfolge, da Du sie immer freundlich und charmant rüberbringst. Dankeschön und viele Grüße!
Ja, die Aufgabe lässt sich zügig durchrechnen, sogar im Kopf ohne Taschenrechner Die Rechnung lässt sich etwas vereinfachen (fürs Kopfrechnen): (a+b)²=68² a²+b²+2ab=68² 52²+2ab=68² 2ab=68²-52²=(68-52)*(68+52) =16*120 ab=16*60=4*240 Vieta: x²-68x+4*240=0 x=34±sqrt(34²-4*240) =34±sqrt(17²-240)*2=34±sqrt(289-240)*2 =34±sqrt(49)*2=34±7*2=34±14 a=48 und b=20
Very short approach as follows: Hypotenuse 52 = 13x4; since 13 is a part of pythegorian triplet (5,12,13) the hypotenuse and sides of the right angled triangle will be nothing but multiplying the triplet by a common factor 4 and hence the sides a and b will be 20, 48; as a check a+b = 68
Yes, the first thing I would do is to reduce the numbers. I divide both in 4 and I get 13 and 17. As you mentioned, 13 is a part of a pythagorean triplet. Easy to check - 13^2 = 169 = 144 + 25 = 12^2 +5^2. Also easy to see that 12+5=17. So, the sides are 12*4 & 5*4.
Mal ein kleiner Vorschlag: Warum 68^2 und 52^2 ausrechnen und dann voneinander abziehen? Da kann man doch auch binom. Formel verwenden, vor allem weil 68 und 52 so schön zusammen passen. Also 68^2 -52^2 = (68+52)*(68-52)= 120*16. Und dann braucht man nur einmal den Taschenrechner - oder gar nicht, weil 12*16 bekommt man auch im Kopf hin ;-)
Hallo, danke für Deine Videos! Mir ist allerdings aufgefallen, dass Du (soweit ich das mitbekommen habe) immer nur die PQ-Formel benutzt. Ich weiß, dass die auch sehr wichtig ist und man die in der Schule usw. gut gebrauchen kann, allerdings habe ich von der ABC-Formel bisher immer nur gehört, aber nie gelernt. Kannst Du vlt. hin und wieder die ABC-Formel benutzen, um solche Aufgaben zu lösen? VG
Geht mir genauso. Habe vor diesen Videos noch nichts von der ABC Formel gehört, soweit ich mich erinnern kann. Und als ich das erste Mal von der PQ Formel gehört habe, dachte ich auch, was soll das sein. Habe dann aber schnell festgestellt, dass ich die Formel durchaus kenne und auch schon häufig verwendet habe, kannte sie aber eben nicht unter diesem Namen.
@@robertm3163 Sie wird meiner Beobachtung nach vor allemm in amerikanischen Mathe-Videos verwendett. Eigentlich laeuft sie auf das selbe wie die pq-Formel hinaus,nur das noch ein Faktor a vor dem Quadrat zugelassen wird (das erspart in diesem Fall das teilen der Gleichung durch 2 bzw.in der allgmeinen Form durch a): a*x^2+b*x+c=0 x=-b/(2a)+/-sqrt((b/(2a))^2-c/a)=b/(2a)+/-sqrt(b^2/(4a^2)-4ac/(4a^2))= b/(2a)+/-sqrt(1/(4a^2)*(b^2-4ac))=b/2a+/-sqrt(b^2-4ac)*sqrt(1/(4a^2)) Hier kann man auf der rechten Seite noch 1/(2a) ausklammern und erhaelt die (schoenere) Form: x=(-b+/-sqrt(b^2-4ac))/(2a) Diese Form wird dann auch als abc-Formel verwendet.
Das wird wohl zwei Lösungen geben, bei denen a und b ihre Werte einfach abtauschen. Ich löse das mit der quadratischen Ergänzung, die ich kürzlich auf diesem Kanal aufgefrischt habe: a² + (68 - a)² = 52² a² + 4624 - 136a + a² = 2704 2a² - 136a + 1920 = 0 a² - 68a + 960 = 0 a² - 68a + 34² = 34² - 960 (a - 34)² = 1156 - 960 (a - 34)² = 196 a - 34 = +- √196 a1 = 34 + 14 = 48 a2 = 34 - 14 = 20 Also: a = 48, b = 20 a = 20, b = 48 c = 52
Ich frag mich immer wo kommt so eine Aufgabe vor, außer in der Schule. Sonst wohl eine tolle Aufgabe für Leute die tiefer in der Mathe Materie sind und rechnen lieben.
Hallo Susanne, erst mal Dir lieben Dank für die Aufgabe und liebe Grüße an Thomas, nach Kanada und Bayern. Zu deiner Aufgabe. Meine Lösung sieht so aus: (^ bedeutet hoch...) Ich lasse die Längeneinheiten erst mal weg Gegeben a+b =68, a steht senkrecht auf b, c ist Hypotenuse des Dreiecks mit 52 gesucht: Längen a,b Aus der Aufgabestellung folgt: 1) da wir von Seiten in einem Dreieck sprechen muss a,b>0 sein. 2) es liegt ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse C vor, also gilt Zusammenhang a^2+b^2=c^2 (Pythagoras) 3) aus 2) folgt a,b >0 und a,b < 52 (die Katheten eines Dreiecks sind jeweils immer kürzer als die Hypothenuse) Somit komme ich zu folgenden Ausgangsgleichungen: 1) a+b=68 | -b 2) a^2+b^2 =52^1 | rechts vom Gleichheitszeichen berechnen 1.1) a = (68-b) | in 2) einsetzen 2) a^2+b^2=2704 2.1) (68-b)^2 + b^2 = 2704 | Klammer auflösen (2. binom. Formel) , -2704 68^2 - 136b +b^2 + b^2 -2704 =0 | soweit möglich berechnen und nach Koeffizienten sortieren 2b^2 -136b +1920 = 0 |:2 b^2 - 68 + 960 =0 p-q-Formel p=-68, q=960, -(p/2)=34 b1/2 = 34 +/- Wurzel (34^2 - 960) =34+/- Wurzel(196) = 34+/- 14 b1= 34+14=48 b2= 34-14=20 Beide Lösungen > 0 (Bedingung aus Aufgabenstellung) , also zulässig Für a1 folgt aus 1) a+b=68=a1+b1=a1+48=20 Für a2 folgt aus 1) a+b=68=a2+b2=a2+20=48 Probe: 1) a+b=68=20+48+48+20 wahre Aussage 2)a^2+b^2=52^2 = 20^2+48^2=52^2=400+2304=2704=48^2+20^2=52^2=2304+400=2704 wahre Aussage Wenn a=20cm gewählt wird, ist b=48cm Wenn a=48cm gewählt wird, ist b=20cm. Es liegt hier zyklische Vertauschung vor, da a1=b2 und a2=b1 Einfach formuliert: die Streckenlängen betragen 48cm und 20cm, die auf a und b verteilt werden müssen. LG aus dem Schwabenland und einen guten Start in die Woche.
Schöne Aufgabe! Ich würde es so lösen: a + b = 68. Dies quadrieren ergibt (a + b)^2 = 68^2 = 4624. Laut 1. binomischer Formel kann man die linke Seite umschreiben zu a^2 + 2ab + b^2 = 4624 bzw. a^2 + b^2 + 2ab = 4624 Wegen des rechten Winkels gilt Pythagoras, also a^2 + b^2 = c^2 = 52^2 = 2704 . Einsetzen ergibt 2704 + 2ab = 4624. Subtraktion von 2704 liefert 2ab = 1920 und durch 2 teilen liefert ab = 960. Wir kennen also die Summe a + b = 68 und das Produkt a*b = 960 der beiden Zahlen a und b. Deshalb können wir sie gemäß Satz von Vieta als Lösungen x1, x2 der quadratischen Gleichung x^2 - 68x + 960 = 0 berechnen. Ich verwende hier mal die pq-Formel: p = -68, also p/2 = -34 q = 960 x1,2 = -p/2 +- sqrt((p/2)^2 - q) = 34 +- sqrt(34^2 - 960) = 34 +- sqrt(1156 - 960) = 34 +- sqrt(196) = 34 +- 14 Also ist a = x1 = 34 + 14 = 48 b = x2 = 34 - 14 = 20 (oder umgekehrt). Die beiden Katheten sind also 48 cm und 20 cm lang
Susanne, es ist auch möglich beide Teile beim (p/2) zu quadrieren, was das ganze zu p^2/4 macht. Da jedes Quadrat einer Zahl, die durch 4 dasselbe ist wie das Quadrat ihrer Hälfte. Zumindest mache ich es in meiner Freizeit so. Bin aber schon längst weg vom Mathe-Unterricht. Und wenn klar ist, dass (p/2)^2 gleich oder kleiner als q ist, was man beim lösen von (p/2) sieht, dann weiß man auch schon zumindest die Anzahl
In der (Real-)Schule war ich in Mathe mal gut bis sehr gut, aber das ist 50 Jahre her, in denen ich das so nicht mehr gebraucht habe. Darum Danke für die Auffrischung. Es macht mir viel Spaß.
Wenn man sich mit den pythagoräischen Dreiecken beschäftigt hat, erkennt man daß die Hypotenuse 4*13 Einheiten lang ist. Das dazugehörige primitive pythagoräische Dreieck hat die Katheten 5 und 12, mit 4 multipliziert ergibt das 20 und 48 und dies addiert ergibt die geforderten 68.
Das war eine Aufgabe, die ich noch ohne viel Kopfzerbrechen hinbekomme. Aber gerade der Wechsel von leichteren und schwierigen Aufgaben macht deinen Podcast so sehenswert! Danke dafür! Hast du eventuell eine „Geburtstagsaufgabe“? Mein Sohn ist erwachsen und Physiker und knobelt gern an solchen Aufgaben. Im Moment ist er krank, hat aber morgen Geburtstag und es wäre ein schöner Gag, ihm ein bisschen schöne Abwechslung zu verschaffen. Herzliche Grüße Gudrun
Also ich habe anders gerechnet und zwar habe ich (a+b) quadriert, was zu (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 +2ab = c^2 + 2ab führt. Also (a+b)^2 = c^2 + 2ab Dann fiel mir auf, dass a+b = 68 = 4 × 17 und c = 52 = 4 × 13 ist, also a+b und c beide durch 4 teilbar sind und somit (a+b)^2 und c^2 beide durch 16. Nun folgt zwar aus a+b teilt 4 nicht zwingend a und b teilen 4, aber in diesem Fall müssen a und b beide durch 16 teilbar sein. BEWEIS: (a+b)^2 = c^2 + 2ab (beide Seiten sind durch 16 teilbar und c^2 ist durch 16 teilbar) ist äquivalent zu (a+b)^2 - c^2 = 2ab. Da sowohl (a+b)^2 als auch c^2 durch 16 teilbar sind, ist die linke Seite der Gleichung durch 16 teilbar und damit auch die rechte Seite der Gleichung Also 2ab durch 16 teilbar. Wenn 2ab durch 16 teilbar ist, dann ist a×b durch 8 teilbar. Das ist wiederum der Fall, wenn a oder b durch 8 teilbar sind, a durch 4 und b durch 2 oder umgekehrt oder beide durch 4 teilbar sind. Natürlich gilt es auch wenn beide durch 8 teilbar sind, aber dann sind auch beide durch 4 teilbar. Wenn ich jetzt annehme, dass eine der beiden Zahlen a und b durch 8 geht (also gerade ist) und die andere ungerade ist, dann wäre a + b eine ungerade Zahl und damit nicht durch 4 teilbar. Beide Zahlen gerade, davon eine durch 4 oder gar 8 teilbar, die andere jedoch durch 2 aber nicht durch 4, führt ebenfalls dazu, dass a+b zwar gerade, aber nicht durch 4 teilbar ist. Es müssen also beide Zahlen a und b durch 4 teilbar sein. Das erlaubt folgende Vereinfachung: a = 4x, b = 4y und c = 4z und so wird aus a+b = 68 => x+y = 17 und aus c=52 wird z=13 und aus (a+b)^2 = c^2 + 2ab wird (x+y)^2 = z^2 + 2xy 17^2 = 13^2 + 2xy 2xy = 17^2 - 13^2 = (17-13)×(17+13) = 4 × 30 2xy = 4×30 xy = 4×15 = 2^2 × 3 × 5. Jetzt muss man nur noch parallel x+y = 17 lösen. Ausprobieren liefert x = 5 und y = 12. Beide Zahlen mit 4 multiplizieren liefert die Lösung a = 20 und b = 48.
Wiede nur eine einfache Anwendung vom Satz des Pythagoras: a^2+b^2=52^2 und a+b=68 => a^2+(68-a)^2=52^2 Das ist (nach ausmultiplizieren) eine einfache quadratiche Gleichung, die man z.b. mittels pq-Formel loesen kann. Sie ist mir imMoment einfach zu langweilig, um Aufwand in eine Loesung zu stecken. Die eine Kathete bekommt man aus der 8positiven) Loesung der quadratischen Gleichung, die andere durch einsetzen in die Gleichhung a+b=68. Nach hineinschauen in das Video ist mir aufgefallen, dass du wieder sehr schnell dabei bist, Teilausdruecke auszurechnen ttattt sie erst einmal stehen zu lassen. Wenn man die Aufgabe erst einmal ohne Taschenrechner loesen moechte, koennte man das z.B. so machhen. (68-b)^2-b^2052^2 68^2-2*68*b+b^2+b^2=52^2 68^2-52^2-2*68*b+2*b^2=0 (68-52)*(68+52)-2*(68*b+b^2)=0 16*120-2*(68*b+b^2)=0 8*120-68*b+b^2=0 960-68*b+b^2=0 b^2-68*b+960=0 pq-Formel: b=34+-sqrt(34^2-960)=34+-sqrt(1156-960)=34+-sqrt(196)=34+-14 Wir erhaltten also 2 positive Loesungen: b=48oder b=20. Entsprechend erhalttten wir fuer a ebenfalls 2 Werte (durch einsetzen in a+b=68): a=20 oder a=48. Die beiden Kattheten sind also 20 cm und 48 cm lang (es ist ja egal,ob nun a=20 und b=48 oder b=20 und a=48 ist). Selbst die Berechnung von 34^2-960 bekomme ich noch imKopf hin, Des waere aber die erste Stelle, an der ich die Verwendung eines Taschenrechners in Betracht gezogen haette. Haette ich 68^2 und 52^2 vorhher ausgerechnett, haette ich dafuer vermutlich bereitts einen Taschenrechner verwendet.. Es lohnt sich also oft, tteme erst einmal sttehen zu lassen statt sofort Teilausdruecke auszurechnen. Ich wuerde mir wuenschen, dass du das in den Videos auch oefter tun wuerdest.
chatgpt meint dazu folgendes: Berechne die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Summe der Katheten ist 68 cm. Die Hypotenuse ist 52 cm Um die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, können wir die folgende Beziehung nutzen: Die Quadratzahl einer Kathete plus die Quadratzahl der anderen Kathete ergibt die Quadratzahl der Hypotenuse. In diesem Fall haben wir die Hypotenuse mit einer Länge von 52 cm und die Summe der Katheten beträgt 68 cm. Lassen wir x für eine Kathete stehen, dann können wir die Gleichung aufstellen: x^2 + (68 - x)^2 = 52^2 x^2 + 4624 - 136x + x^2 = 2704 2x^2 - 136x + 1920 = 0 Wir können diese quadratische Gleichung lösen, um die beiden möglichen Werte für x, also die beiden Katheten, zu finden. Ja dann löse die Gleichung Um die Gleichung 2x^2 - 136x + 1920 = 0 zu lösen, können wir entweder die quadratische Formel verwenden oder die Gleichung faktorisieren. Ich werde die quadratische Formel verwenden: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) In diesem Fall ist a = 2, b = -136 und c = 1920. Setzen wir diese Werte in die Formel ein: x = (-(-136) ± √((-136)^2 - 4 * 2 * 1920)) / (2 * 2) x = (136 ± √(18496 - 15360)) / 4 x = (136 ± √3136) / 4 x = (136 ± 56) / 4 Das ergibt zwei mögliche Werte für x: x1 = (136 + 56) / 4 = 192 / 4 = 48 cm x2 = (136 - 56) / 4 = 80 / 4 = 20 cm Daher sind die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks 48 cm und 20 cm.
Eine Sache verstehe ich nicht so ganz. Du hast ja da (68-b)² + b² = 52² Dann schreibst du die Binomische Formel a² - 2 × a × b + b² Du schreibst dann 68² - 2 × 68 × b + b² Aber du gehst ja dann in der Formel davon aus, dass a = 68 ist aber a ist doch 68 -b Kannst du mir das vielleicht bitte kurz erklären?
Bitte trennen: das eine ist die aktuelle Aufgabe, das andere ist die allgemeine Form der binomischen Formel, wie sie gelehrt wird. Und in beiden gibt es halt rein zufällig die gleichen Buchstaben. Leider schaffen einige Menschen die Transferleistung nicht, dass (x+y)^2 = x² + 2xy + y² eine binomische Formel ist, weil da nicht a und b steht.
Weißt du was? (Ich fieber bei jedem Rätsel mit, so wie, 'das kenn ich schon, das hab ich schon hunderte Male mit Vergnügen gemacht. Verdammt! Das kann ich doch noch!' :-) Hab ich auch und mit etwas Zeit geht das aber... verloren, ;-( Als Auffrischung ist Mathe, gerade bei dir auch echt wie eine warme Kuscheldecke, ne Kerze und ne Tasse Tee. Das ist für mich Mathe. :) ..)
Beim Ansehen dieser Folge kam mir eine mögliche Fragestellung für ein weiteres Video: "Wie groß ist der Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks bei gegebener Hypotenuse mindestens & höchstens?"
@@petermischler7324 Die beiden "Extremfaelle" sinddabei jeweils erreicht, wenn eine Kathete die Laenge 0 hat (man es also mit einem "entarteten" Dreieck zu tun hat) und wenn beide Katthettten gleich land sind, es sich also um ein rechtwinkliges gleichschenkliges Dreieck handelt.
(52 cm)² = (x cm)² + (68 cm - x cm)² 2.704 cm² = x² cm² + 4.624 cm² - 136x cm² + x² cm² 2x² cm² - 136x cm² + 1.920 cm² = 0 x₁,₂ = [136 cm ± √(18.496 cm² - 15.360 cm²)] / 4 = (136 cm ± √3.136 cm²) / 4 = 34 cm ± 14 cm x₁ = 20 cm ∨ x₂ = 48 cm ⇒ Die Katheten sind 20 cm und 48 cm lang. Man hätte natürlich auch die 52 cm und 68 cm durch 4 teilen können. Dann bekommt man 13 cm und 17 cm = 12 cm + 5 cm und kann das pythagoeische Tripel 5, 12, 13 erkennen.
Das UA-cam Vorschaubild ist irreführend. Es zeigt einen rechten Winkel zwischen den Katheten und die Hypotenuse ist orthogonal waagerecht dargestellt. Ich hätte jetzt blauäugig das Dreieck halbiert mit einem rechten Winkel mittig auf der Hypotenuse. Die Stecke a bzw. b wäre dann genau die Hälfte von den 68 also 34. Aber geometrisch ist das mit den Längen nicht richtig dargestellt.
Unglaublich dass ich das einmal konnte. Ich kenne zwar die Begriffe noch, weiß aber nicht mehr wie man das alles anwendet. Macht aber Spaß zuzuschauen 👍
Gibt es für diese Aufgabe nicht mehrere Lösungen je nachdem welche Winkelkombinationen bzw Höhe verwendet wird? Die Länge der Hypothenuse und die Rechtwinkligkeit kann doch bei unterschiedlichen Gegebenheiten entstehen.
Ich verstehe deine Frage iht. Es gibt 2 Loesungen, die aber spiegelsymmetrisch sind (die laengere Kathete kann links oder rechts liegen), sofern man beim rechtttwinkligen Dreieck davon ausgeht, dass die Hypothenuse unten liet (wovon man ausgehen kann, sonst wuerde man sich das Dreieck passend hindrehen). Die beiden Loesungen haben wir doh ausgerechnet. Wenn du weitere Loesungen vermutesttt, muss ich dich enttaeuschen: mehr gibt es nichttt.
da es ganze Zahlen sind, steckt da wieder eins dieser seltenen Tripel drin, diesmal 5 12 13 und alles vervierfacht. eine Schule verlangt natürlich den Rechenweg; einfach antike Weisheiten zu zitieren ist leider nicht drin :p
7:53 Unnötig. Die zwei Werte von b sind die Werte von a und von b, denn 48 + 20 = 68. Die Seiten des Dreiecks sind demnach 20, 48 und 52 cm. Das Dreieck ist ein Multipel vom 5, 12, 13 ...
Meine Formel lautete: (32+x)²+(32-x)² = 52² 32²+64x+x²+32²-64x+x² = 52² 2*32²+2x²=52² x = wurzel(328) a = 32 + wurzel(328) b = 32 - wurzel(328) Damit komme ich ohne PQ Formel aus. Aber warum ist das ein ganz anderes Ergebnis, welches laut Taschenrecher korrekt ist? Edit: Ups... 32 statt 34 😁
Dann waere die Aufgabe nicht loesbar, da in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Katheten immer groesser oder gleich der Hypothenuse ist und das bei deiner vorgeschlagenen Aenderung der Aufgabe nicht mehr der Fall waere (Gleichheit erhaelt man dabei nur bei einem "entarteten" rechtwinkligen Dreieck, bei dem eine Katthettte die Laenge 0 hat).
5:09: Also, wenn a ≠ 1, verwendet man an der Stelle die abc-Formel, denn die pq-Formel funktioniert nur, wenn a = 1. Die gesamte Gleichung durch a zu teilen ist zwar möglich, aber auch ein zusätzlicher Rechenschritt, der im Zweifel Zeit kostet. Aber am schnellsten ist man eh, wenn man die Zahlen durch 4 teilt und das pythagoreische Tripel 5, 12, 13 erkennt. Dann kann man direkt a = 20 cm, b= 48 cm, c = 52 cm hinschreiben.
Ok danke merke ich mir für das nächste mal wenn ich unter Zeitdruck die Seitenlängen von nem Dreieck ausrechnen muss. Kam in den 25 Jahren Mathestudium und Arbeit in der elektrotechnischen Industrie genau, ähm..., null mal vor, aber wer weiß wann der Pythagoräische Tripper doch noch mal nützlich werden kann LOL
Können sie natürlich! Sie können auch beide 42 sein, oder 4711. Nur liegt dann zwischen ihnen kein rechter Winkel und man hat eben die Aufgabe falsch gelöst. Macht aber nichts!
Es gibt mehr als ein "pythagoraeisches Zahlentripel" (3 teilerfremde ganze Zahlen a, b, c mit a^2+b^2=c^2). 3, 4, 5 ist das kleinste und bekannteste pthagoraeische Zahlentripel, aber 5, 12, 13 istebenfallseins (und diese Aufgabe basiert auf dem pythagoraeischen Zahlenttripel 5, 12. 13). Das Dreieck mit den Seitenlaengen 5, 12, 13 ist ebenfalls rechhtwinklig.
Obwohl ich mich nicht gerade als großes Mathe-Genie bezeichnen würde, lief ab Minute 5:40 in meinem Kopf der Film namens "Quadratische Ergänzung" von alleine los: b² - 68b + 960 = 0 (b - 34)² + 960 = 34² = 1156 (b - 34)² = 1156 - 960 = 196 b - 34 = ±√196 = ±14 b₁ = 48 b₂ = 20 Nichts gegen die pq-Formel, aber für mich ist das Herleiten der Lösung einer quadratischen Gleichung über die quadratische Ergänzung irgendwie intuitiver als das sture Anwenden einer auswendig gelernten Formel. Vielleicht bin ich für solche Aussagen in den Augen der jüngeren Generationen zu altmodisch, aber die QE flutscht bei mir halt besser. :)
Die pq-Formel wird doch letztlich auf genau diesem Weg (quadratischer Ergaenzung) hergeleitet. Man nutztt sie dann,um nichht jedes mal eine quadratische Ergaenzung mitt allen Rechenschritten durchfuehren zu muessen ...
@@juergenilse3259 Die Formal hat natürlich ihre Berechtigung, und sie zu benutzen ist auch keine schlechte Idee. Ich bin halt nur jemand, der nicht einfach Formeln und ihre Anwendungen auswendig lernen möchte, sondern ich möchte die Hintergründe verstehen, die Herleitung, den Grund für eine Formel. Das ist einfach nur meine persönlich Vorliebe.
@@lupus.andron.exhaustus Das gehhttt mir auch so, ich sehe aber keiinen Grund, eine einmal von mir hegeleitete Formel zu meiden. Ich habe sie ja bereeits einmal hergeleitet und weiss daher, warum sie funktioniert ...
@@Nikioko Wenn ich der Uebersichttlichkeit fuer die Division ueberall das selbe -zeichen verwende(ich nehme mal "/"),lautet die Aufgabe: 2/8/2*(2+2) Zuerst berechnet man die Klammer: (2+2)=4 und erhaelt somit. 2/8/2*4 Da nun nur noch Punktrechnung vorkommt, rechnet man stur von links nach rechts: 2/8 ergibt1/4, das durch 2 ergibt 1/8, das mal 4 ergibt 1/2.
Gerne geliked. War alles sehr nachvollziehbar! Aber letzendlich kapiert habe ich es sicher nicht wirklich. Schätze mal Übung macht den Meister! Aber da der Nutzen für mich bei Annähernd Null ist werde ich wohl nicht üben. Trotzdem fand ich es aufschlussreich und unterhaltsam präsentiert.
Was hatttestdu nictwirklich verstanden? Den Satttz des Pathagoras? Oder die 2. Gleichung und das umformen nach einer Kathetenlaenge? a+b=68 b=68-a Das eingetztt in die Gleichung aus dem Satz des Pthagoras: a^2+b^2=c^2=52^2 (wegen Gypotenuse=52) ergiibt: (68-b)^2+b^2=52^2 Das ist doch genauso im Video erklaert worden. Ist dir daran wirklichh etwas unklar? Der est ist doch ausmultiplizieren und loesen einer quadrattischen Gleichung.Oder hhast du beim loesen der quadratischen Gleichung Probleme? Es interessiert mich, wo du etwas nicht verstanden hast.
@@juergenilse3259 Wie oben schon erzählt fand ich es gut erklärt, nur Alles in Allen zu verstehen ist dennoch nicht leicht für mich. Folgende Gründe könnten es sein: - Seit Ende der 1980er kein Mathematikunterricht gehabt - Eh mangelndes Interesse an Mathematik - Bisher hab ich die Formeln seit Schulzeitende nicht mehr gebraucht. Die Formeln Pythagoras und so weiter sind mir auch nicht unbekannt, daher konnte ich auch gut folgen. Es ist halt auch ein schönes Aha-Erlebnis zu sehen, ja das kenn ich und so wie es hier dargestellt wurde, so einfach fand ich es in der Schulzeit dennoch nicht, auch wenn ich die Formeln schon damals einleuchtend fand.
@@olli8c Dane fuer die Eraeuterung. Ich wuensche dir, dass du vielleicht doch oh ein bischen Interesse an Mathematik findest,denn man kann das eine oderandere doch ab und an mal brauchen. Und ein bischen Matthematik ist auch immer ein bischen "Gehirn-Jogging", das haelt evtt.geistig ein bischen fitt ...
Hey Susane ich brauche deine Hilfeeee!Ich habe gerade ein altes Video von dir geschaut und hab eine Frage:wenn ich das Kommutativ Gesetz habe und in einer Aufgabe PLUS und MAL drin ist kann ich dann trotzdem tauschen?Bitte hilf mir😫
Wahrscheinlich hast Du es bereits selbst herausgefunden, aber das Kommutativgesetz gilt immer! Man muss nur "Punkt vor Strich" und Klammern beachten. Beispielsweise darf man in "a*b+c" nicht einfach b und c vertauschen, weil a*b Vorrang hat. Aber das Teilergebnis a*b darf man dann durchaus gemäß Kommutativgesetz mit c tauschen. Es gilt also "a*b+c = c+a*b".
Das Kommutativgesetz bezieht sich nur auf das tauschen der Sumanden bzw. der Fakttoren in einer Summe bzw. einem Produkt. ImKommutativgesetttz kommt jeweils nur *eine* Rechenoperattion vor. Du kannsttt in einem Teilausdruck,in dem nurr Multiplikation oder nur Addition vorkomt, die Reihhenfolge der Operanden tauschen. Du mussttt bei der Zerlegung in entsprechende Teilausdruecke aber "Punktrechnung vor Strichrechhhnung" beachten ...
Mir ging es genauso, mir fehlte da eine Winkelangabe. Ich habe es immer noch nicht kapiert, denn wenn man von den Katheten zur Hypotenuse jeweils einen 45 Grad winkel hat müssten die Katheten gleich lang sein. Und wenn die beispielsweise 15 und 65 Grad hätten, wären die noch unterschiedlicher. Bin verwirrt, hab wahrscheinlich was übersehen.
@@JoFrankHe sie hat es natürlich richtig erklärt, nur wenn man tatsächlich ein rechtwinkliges Dreieck mit gleichen Katheten hat braucht man diesen Aufwand nicht ;)
Ich habe mir extra einen Account erstellt, um dir einfach mal DANKE sagen zu können. Du hast wirklich grosses Talent, du machst Mathe so verständlich auch für solche Matheidioten wie mich. Ich bin dankbar, dass ich auf dein Kanal gestossen bin. (Ich habe in 3 Wochen eine Abschlussprüfung (Abitur nachholen / Selbststudium) auch in Mathematik... Leider habe ich viel zu spät angefangen und muss nun wirklich Gas geben. Kannst du vielleicht noch paar Videos zu allg. Geometrie machen (Quadrat berechnen, Raute, Rhombus). Oder hast du dazu schon was? Würde mir super helfen, danke nochmals liebe Susanne. :)
Heute sehen Matthelehrer vermutlichebefallsanders aus, nur Mathelehrerinnen haben womoeglich Aehnlichkeit mit Susanne ... Und nein,ich werde mich nicht auf diesen Genderquatsch mit "Mathelehrer:innen" oder dergleichen einlassen ... Wenn, dann "Mathelerkraefttte",und von denen haben womoeglich welche Aehnlichkeit mit ihr (und ich kann *nicht* ausschliessen, dass das womoeglich frueher auch schon der Fall war). 😁
Schaut doch gerne mal in meinem Mini-Shop vorbei.
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Ne
🤖🤖🤖🤖 IIIXXC 🐰
Guten Tag ! Schön Sie kennen zu lernen 😎
irgendwie leer, der Shop...
Hallo Susanne, Danke für das kleine Intermezzo 😄 Wenn die eine Kathete x wäre, die andere wäre dann (68-x), nach dem Satz von Phytagoras wäre: 52²=x²+(68-x)², daraus bekommen wir: 2704=2x²+4624-136x, und 2x²-136x+1920=0, oder: x²-68x+960=0, x1=20, x2=48, wenn man die x1=20 cm nimmt wäre der längere Kathete 48 cm, oder umgekehrt, wenn man die 48 cm als die längere Kathete nimmt, wäre der kürzere Kathete 20 cm lang 🤗
Schönes Wetter, schöne Aufgabe, schön erklärt, was will man mehr.
Frei haben und ausschlafen 😂
motorad fahren
Ich bin der totale Dau, was Mathematik in jeglicher Form angeht. Manchmal komm ich auf den Trichter, aber ich liebe es, dir zuzuhören. 🥰
Nette Aufgabe und wie immer perfekt erklärt!
Dazu würde mir eine Lösung durch geometrische Konstruktion einfallen, allerdings nicht streng nur mit Zirkel und Lineal.
Man nehme eine Sperrholzplatte und schlage zwei Nägel im Abstand von 52 cm ein. Daran knotet man eine Schnur mit 68 cm Länge. Ein die Schnur spannender Bleistift zeichnet eine (Halb)-Ellipse. Zwischen den Nägeln zeichnet man dann noch den Thaleskreis und die Lösung ergibt sich aus den beiden Schnittpunkten zwischen Ellipse und Kreisbogen.
Liebe Susanne, eine schöne Aufgabe, die sich zügig durchrechnen ließ. Zum Valentinstag möchte ich dir noch sagen, dass ich deine Mathe-Videos immer noch gerne verfolge, da Du sie immer freundlich und charmant rüberbringst. Dankeschön und viele Grüße!
Ja, die Aufgabe lässt sich zügig durchrechnen, sogar im Kopf ohne Taschenrechner Die Rechnung lässt sich etwas vereinfachen (fürs Kopfrechnen):
(a+b)²=68²
a²+b²+2ab=68²
52²+2ab=68²
2ab=68²-52²=(68-52)*(68+52)
=16*120
ab=16*60=4*240
Vieta:
x²-68x+4*240=0
x=34±sqrt(34²-4*240)
=34±sqrt(17²-240)*2=34±sqrt(289-240)*2
=34±sqrt(49)*2=34±7*2=34±14
a=48 und b=20
schnapp sie dir tiger🐯
Very short approach as follows:
Hypotenuse 52 = 13x4; since 13 is a part of pythegorian triplet (5,12,13) the hypotenuse and sides of the right angled triangle will be nothing but multiplying the triplet by a common factor 4 and hence the sides a and b will be 20, 48; as a check a+b = 68
Yes, the first thing I would do is to reduce the numbers. I divide both in 4 and I get 13 and 17. As you mentioned, 13 is a part of a pythagorean triplet. Easy to check - 13^2 = 169 = 144 + 25 = 12^2 +5^2. Also easy to see that 12+5=17. So, the sides are 12*4 & 5*4.
Ab 5:16 habe ich es schnell (und richtig) mit der quadratischen Ergänzung gelöst (+196) - wie du es vor wenigen Tagen vorgestellt hast 😊
Hab ich auch so gemacht, musste aber nochmals nachsehen wie's ging. 😀
Mal ein kleiner Vorschlag: Warum 68^2 und 52^2 ausrechnen und dann voneinander abziehen? Da kann man doch auch binom. Formel verwenden, vor allem weil 68 und 52 so schön zusammen passen. Also 68^2 -52^2 = (68+52)*(68-52)= 120*16. Und dann braucht man nur einmal den Taschenrechner - oder gar nicht, weil 12*16 bekommt man auch im Kopf hin ;-)
Eigentlich brauchen wir ja letztendlich nicht 120*16 sondern 120*16/2=120*8=960 ...
Lösung: (ohne Taschenrechner!)
Rechtwinkliges Dreieck bedeutet auf jeden Fall Satz des Pythagoras.
Wir haben also folgende Gleichungen gegeben:
a + b = 68
a² + b² = 52²
Zuerst stellen wir beide Gleichungen nach a um:
a = 68 - b
a² = 52² - b²
Um Wurzeln zu vermeiden, quadrieren wir die erste Gleichung:
a² = (68 - b)²
Jetzt können wir jeweils die rechten Terme gleichstellen:
52² - b² = (68 - b)²
52² - b² = 68² - 2*68*b + b² |+b²-52²
2b² - 2*68b + 68² - 52² = 0 |:2
b² - 68b + (68² - 52²)/2 = 0
Kurze Zwischenrechnung:
68² - 52² ist die 3. Binomische Formel und kann daher auch so geschrieben werden:
(68 - 52)(68 + 52)
= 16 * 120
b² - 68b + (16 * 120)/2 = 0
b² - 68b + 16 * 60 = 0
b² - 68b + 960 = 0
Anwenden der p-q-Formel:
x₁,₂ = -(-68/2) +- √((-68/2)² - 960)
x₁,₂ = 34 +- √((-34)² - 960)
Nebenrechnung:
(-34)²
= (-1*(30 + 4))²
= (-1)²*(30 + 4)²
= 1*(30 + 4)²
= (30 + 4)²
= 30² + 2*4*30 + 4²
= 900 + 240 + 16
= 960 + 180 + 16
= 960 + 196
= 960 + 2 * 98
= 960 + 2 * 2 * 49
= 960 + 2 * 2 * 7 * 7
= 960 + 14 * 14
= 960 + 14²
x₁,₂ = 34 +- √(960 + 14² - 960)
x₁,₂ = 34 +- √14²
x₁,₂ = 34 +- 14
x₁ = 20
x₂ = 48
Die b-Kathete kann also entweder 20 LE oder 48 LE sein.
Da 20 + 48 = 68 ist, nimmt die a-Kathete automatisch den jeweils anderen Wert ein.
Hallo, danke für Deine Videos! Mir ist allerdings aufgefallen, dass Du (soweit ich das mitbekommen habe) immer nur die PQ-Formel benutzt. Ich weiß, dass die auch sehr wichtig ist und man die in der Schule usw. gut gebrauchen kann, allerdings habe ich von der ABC-Formel bisher immer nur gehört, aber nie gelernt. Kannst Du vlt. hin und wieder die ABC-Formel benutzen, um solche Aufgaben zu lösen? VG
Geht mir genauso. Habe vor diesen Videos noch nichts von der ABC Formel gehört, soweit ich mich erinnern kann. Und als ich das erste Mal von der PQ Formel gehört habe, dachte ich auch, was soll das sein. Habe dann aber schnell festgestellt, dass ich die Formel durchaus kenne und auch schon häufig verwendet habe, kannte sie aber eben nicht unter diesem Namen.
@@robertm3163 Sie wird meiner Beobachtung nach vor allemm in amerikanischen Mathe-Videos verwendett. Eigentlich laeuft sie auf das selbe wie die pq-Formel hinaus,nur das noch ein Faktor a vor dem Quadrat zugelassen wird (das erspart in diesem Fall das teilen der Gleichung durch 2 bzw.in der allgmeinen Form durch a):
a*x^2+b*x+c=0
x=-b/(2a)+/-sqrt((b/(2a))^2-c/a)=b/(2a)+/-sqrt(b^2/(4a^2)-4ac/(4a^2))=
b/(2a)+/-sqrt(1/(4a^2)*(b^2-4ac))=b/2a+/-sqrt(b^2-4ac)*sqrt(1/(4a^2))
Hier kann man auf der rechten Seite noch 1/(2a) ausklammern und erhaelt die (schoenere) Form:
x=(-b+/-sqrt(b^2-4ac))/(2a)
Diese Form wird dann auch als abc-Formel verwendet.
Das wird wohl zwei Lösungen geben, bei denen a und b ihre Werte einfach abtauschen. Ich löse das mit der quadratischen Ergänzung, die ich kürzlich auf diesem Kanal aufgefrischt habe:
a² + (68 - a)² = 52²
a² + 4624 - 136a + a² = 2704
2a² - 136a + 1920 = 0
a² - 68a + 960 = 0
a² - 68a + 34² = 34² - 960
(a - 34)² = 1156 - 960
(a - 34)² = 196
a - 34 = +- √196
a1 = 34 + 14 = 48
a2 = 34 - 14 = 20
Also:
a = 48, b = 20
a = 20, b = 48
c = 52
Prima. Jetzt weiß ich, dass ich immer noch so doof in Mathe bin, wie ich es schon in der Schule war......
Ich frag mich immer wo kommt so eine Aufgabe vor, außer in der Schule.
Sonst wohl eine tolle Aufgabe für Leute die tiefer in der Mathe Materie sind und rechnen lieben.
Hallo Susanne,
erst mal Dir lieben Dank für die Aufgabe und liebe Grüße an Thomas, nach Kanada und Bayern.
Zu deiner Aufgabe.
Meine Lösung sieht so aus:
(^ bedeutet hoch...)
Ich lasse die Längeneinheiten erst mal weg
Gegeben a+b =68, a steht senkrecht auf b, c ist Hypotenuse des Dreiecks mit 52
gesucht: Längen a,b
Aus der Aufgabestellung folgt:
1) da wir von Seiten in einem Dreieck sprechen muss a,b>0 sein.
2) es liegt ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse C vor, also gilt Zusammenhang a^2+b^2=c^2 (Pythagoras)
3) aus 2) folgt a,b >0 und a,b < 52 (die Katheten eines Dreiecks sind jeweils immer kürzer als die Hypothenuse)
Somit komme ich zu folgenden Ausgangsgleichungen:
1) a+b=68 | -b
2) a^2+b^2 =52^1 | rechts vom Gleichheitszeichen berechnen
1.1) a = (68-b) | in 2) einsetzen
2) a^2+b^2=2704
2.1) (68-b)^2 + b^2 = 2704 | Klammer auflösen (2. binom. Formel) , -2704
68^2 - 136b +b^2 + b^2 -2704 =0 | soweit möglich berechnen und nach Koeffizienten sortieren
2b^2 -136b +1920 = 0 |:2
b^2 - 68 + 960 =0
p-q-Formel
p=-68, q=960, -(p/2)=34
b1/2 = 34 +/- Wurzel (34^2 - 960) =34+/- Wurzel(196) = 34+/- 14
b1= 34+14=48
b2= 34-14=20
Beide Lösungen > 0 (Bedingung aus Aufgabenstellung) , also zulässig
Für a1 folgt aus 1) a+b=68=a1+b1=a1+48=20
Für a2 folgt aus 1) a+b=68=a2+b2=a2+20=48
Probe:
1) a+b=68=20+48+48+20 wahre Aussage
2)a^2+b^2=52^2 = 20^2+48^2=52^2=400+2304=2704=48^2+20^2=52^2=2304+400=2704 wahre Aussage
Wenn a=20cm gewählt wird, ist b=48cm
Wenn a=48cm gewählt wird, ist b=20cm.
Es liegt hier zyklische Vertauschung vor, da a1=b2 und a2=b1
Einfach formuliert: die Streckenlängen betragen 48cm und 20cm, die auf a und b verteilt werden müssen.
LG aus dem Schwabenland und einen guten Start in die Woche.
chill eier du hund
Danke
Nice! (5-12-13-triple)
52 + 68 = 120 → 120/(5 + 12 + 13) = 4 = k → AB = 13k = 52 → AC = 12k = 48 → BC = 5k = 20
or:
52^2 = (68 - a)^2 + a^2 - 2a(68 - a)cos(φ); φ = 90° → cos(φ) = 0 →
(52)^2 = (68 - a)^2 + a^2 → a - 34 = ±14 → a1 = a = 20 → a2 = b = 48 → a + b = 68 🙂
Hab mit 3-4-5 rechte Winkel erklärt, kannte ich nicht, danke! LG
Danke für deine tollen Erklärvideos! Einfach klasse.
Schöne Aufgabe! Ich würde es so lösen:
a + b = 68.
Dies quadrieren ergibt
(a + b)^2 = 68^2 = 4624.
Laut 1. binomischer Formel kann man die linke Seite umschreiben zu
a^2 + 2ab + b^2 = 4624 bzw.
a^2 + b^2 + 2ab = 4624
Wegen des rechten Winkels gilt Pythagoras, also
a^2 + b^2 = c^2 = 52^2 = 2704 .
Einsetzen ergibt
2704 + 2ab = 4624.
Subtraktion von 2704 liefert
2ab = 1920
und durch 2 teilen liefert
ab = 960.
Wir kennen also die Summe a + b = 68 und das Produkt a*b = 960 der beiden Zahlen a und b.
Deshalb können wir sie gemäß Satz von Vieta als Lösungen x1, x2 der quadratischen Gleichung
x^2 - 68x + 960 = 0
berechnen. Ich verwende hier mal die pq-Formel:
p = -68, also p/2 = -34
q = 960
x1,2 = -p/2 +- sqrt((p/2)^2 - q)
= 34 +- sqrt(34^2 - 960)
= 34 +- sqrt(1156 - 960)
= 34 +- sqrt(196)
= 34 +- 14
Also ist
a = x1 = 34 + 14 = 48
b = x2 = 34 - 14 = 20
(oder umgekehrt).
Die beiden Katheten sind also 48 cm und 20 cm lang
Genau so habe ich es gelöst.
Lösung:
a = Kathete
b = Kathete
(1) a+b = 68 |()² ⟹ (1a) a²+2ab+b² = 4624
(2) a²+b² = 52² |(1a)-(2) = (3) 2ab = 1920 |/(2a) ⟹
(3a) b = 1920/(2a) = 960/a |in (1) ⟹
(1b) a+960/a = 68 |*a ⟹
(1c) a²+960 = 68*a |-68*a ⟹
(1d) a²-68*a+960 = 0 |p-q-Formel ⟹
(1e) a1/2 = 34±√(34²-960) = 34±14 ⟹
(1f) a1 = 34+14 = 48 und (1g) a2 = 34-14 = 20 |(1f) a1 = 48 in (1) ⟹
(1h) 48+b1 = 68 |-48 ⟹ (1i) b1 = 20
(1g) a2 = 20 in (1) ⟹
(1j) 20+b2 = 68 |-20 ⟹ (1k) b2 = 48
Die Katheten sind also 48 cm und 20 cm lang.
Susanne, es ist auch möglich beide Teile beim (p/2) zu quadrieren, was das ganze zu p^2/4 macht. Da jedes Quadrat einer Zahl, die durch 4 dasselbe ist wie das Quadrat ihrer Hälfte. Zumindest mache ich es in meiner Freizeit so. Bin aber schon längst weg vom Mathe-Unterricht. Und wenn klar ist, dass (p/2)^2 gleich oder kleiner als q ist, was man beim lösen von (p/2) sieht, dann weiß man auch schon zumindest die Anzahl
Ich bevorzuge noch immer die Abc Formel. Ist halt Geschmacksache 😅
Wie immer gut erklärt
Danke, dass Sie mit dieser Aufgabe dem 2. Pythagoreischen Zahlentripel (5-12-13) Geltung verschafft haben. Sonst ist es immer 3-4-5.
Also im Prinzip „nur“ :
1. Satz des Pythagoras
2. 2. Binomische Formel
3. quadratische Gleichung lösen (pq-Formel)
😂😅
Oder pythagoreische Tripel kennen.
Irgendwie bin ich froh, dass ich nicht mehr in der Schule bin 😅
Ich auch 😂
@@MathemaTrick Ich auch, aber der Grund ist weder Mathematik noch Physik ...
In der (Real-)Schule war ich in Mathe mal gut bis sehr gut, aber das ist 50 Jahre her, in denen ich das so nicht mehr gebraucht habe. Darum Danke für die Auffrischung. Es macht mir viel Spaß.
Nette Aufgabe! 2 Gleichungen mit 2 unbekannten. 🌸
Wenn man sich mit den pythagoräischen Dreiecken beschäftigt hat, erkennt man daß die Hypotenuse 4*13 Einheiten lang ist. Das dazugehörige primitive pythagoräische Dreieck hat die Katheten 5 und 12, mit 4 multipliziert ergibt das 20 und 48 und dies addiert ergibt die geforderten 68.
Schon erstaunlich, womit sich Leute alles beschäftigen. Dreiecke ... geilo! LOL
Wie geht das mit den Dreiecken drehen
Das war eine Aufgabe, die ich noch ohne viel Kopfzerbrechen hinbekomme. Aber gerade der Wechsel von leichteren und schwierigen Aufgaben macht deinen Podcast so sehenswert! Danke dafür!
Hast du eventuell eine „Geburtstagsaufgabe“? Mein Sohn ist erwachsen und Physiker und knobelt gern an solchen Aufgaben. Im Moment ist er krank, hat aber morgen Geburtstag und es wäre ein schöner Gag, ihm ein bisschen schöne Abwechslung zu verschaffen.
Herzliche Grüße
Gudrun
Also ich habe anders gerechnet und zwar habe ich (a+b) quadriert, was zu (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 +2ab = c^2 + 2ab führt. Also (a+b)^2 = c^2 + 2ab
Dann fiel mir auf, dass a+b = 68 = 4 × 17 und c = 52 = 4 × 13 ist, also a+b und c beide durch 4 teilbar sind und somit (a+b)^2 und c^2 beide durch 16. Nun folgt zwar aus a+b teilt 4 nicht zwingend a und b teilen 4, aber in diesem Fall müssen a und b beide durch 16 teilbar sein.
BEWEIS: (a+b)^2 = c^2 + 2ab (beide Seiten sind durch 16 teilbar und c^2 ist durch 16 teilbar) ist äquivalent zu (a+b)^2 - c^2 = 2ab. Da sowohl (a+b)^2 als auch c^2 durch 16 teilbar sind, ist die linke Seite der Gleichung durch 16 teilbar und damit auch die rechte Seite der Gleichung Also 2ab durch 16 teilbar. Wenn 2ab durch 16 teilbar ist, dann ist a×b durch 8 teilbar. Das ist wiederum der Fall, wenn a oder b durch 8 teilbar sind, a durch 4 und b durch 2 oder umgekehrt oder beide durch 4 teilbar sind. Natürlich gilt es auch wenn beide durch 8 teilbar sind, aber dann sind auch beide durch 4 teilbar. Wenn ich jetzt annehme, dass eine der beiden Zahlen a und b durch 8 geht (also gerade ist) und die andere ungerade ist, dann wäre a + b eine ungerade Zahl und damit nicht durch 4 teilbar. Beide Zahlen gerade, davon eine durch 4 oder gar 8 teilbar, die andere jedoch durch 2 aber nicht durch 4, führt ebenfalls dazu, dass a+b zwar gerade, aber nicht durch 4 teilbar ist. Es müssen also beide Zahlen a und b durch 4 teilbar sein.
Das erlaubt folgende Vereinfachung:
a = 4x, b = 4y und c = 4z und so wird aus a+b = 68 => x+y = 17 und aus c=52 wird z=13 und aus (a+b)^2 = c^2 + 2ab wird (x+y)^2 = z^2 + 2xy 17^2 = 13^2 + 2xy 2xy = 17^2 - 13^2 = (17-13)×(17+13) = 4 × 30 2xy = 4×30 xy = 4×15 = 2^2 × 3 × 5. Jetzt muss man nur noch parallel x+y = 17 lösen. Ausprobieren liefert x = 5 und y = 12. Beide Zahlen mit 4 multiplizieren liefert die Lösung a = 20 und b = 48.
Immer wieder schöne Aufgaben. Top +++
Wiede nur eine einfache Anwendung vom Satz des Pythagoras:
a^2+b^2=52^2 und a+b=68
=> a^2+(68-a)^2=52^2
Das ist (nach ausmultiplizieren) eine einfache quadratiche Gleichung, die man z.b. mittels pq-Formel loesen kann. Sie ist mir imMoment einfach zu langweilig, um Aufwand in eine Loesung zu stecken. Die eine Kathete bekommt man aus der 8positiven) Loesung der quadratischen Gleichung, die andere durch einsetzen in die Gleichhung a+b=68.
Nach hineinschauen in das Video ist mir aufgefallen, dass du wieder sehr schnell dabei bist, Teilausdruecke auszurechnen ttattt sie erst einmal stehen zu lassen. Wenn man die Aufgabe erst einmal ohne Taschenrechner loesen moechte, koennte man das z.B. so machhen.
(68-b)^2-b^2052^2
68^2-2*68*b+b^2+b^2=52^2
68^2-52^2-2*68*b+2*b^2=0
(68-52)*(68+52)-2*(68*b+b^2)=0
16*120-2*(68*b+b^2)=0
8*120-68*b+b^2=0
960-68*b+b^2=0
b^2-68*b+960=0
pq-Formel:
b=34+-sqrt(34^2-960)=34+-sqrt(1156-960)=34+-sqrt(196)=34+-14
Wir erhaltten also 2 positive Loesungen: b=48oder b=20. Entsprechend erhalttten wir fuer a ebenfalls 2 Werte (durch einsetzen in a+b=68): a=20 oder a=48. Die beiden Kattheten sind also 20 cm und 48 cm lang (es ist ja egal,ob nun a=20 und b=48 oder b=20 und a=48 ist).
Selbst die Berechnung von 34^2-960 bekomme ich noch imKopf hin, Des waere aber die erste Stelle, an der ich die Verwendung eines Taschenrechners in Betracht gezogen haette. Haette ich 68^2 und 52^2 vorhher ausgerechnett, haette ich dafuer vermutlich bereitts einen Taschenrechner verwendet.. Es lohnt sich also oft, tteme erst einmal sttehen zu lassen statt sofort Teilausdruecke auszurechnen. Ich wuerde mir wuenschen, dass du das in den Videos auch oefter tun wuerdest.
52 = 4 * 13
Somit sind a und b 4*5 und 4*12
Proof: 4*(5+12) = 4*17 = 68
Supi, ich alter Mann kann es noch
chatgpt meint dazu folgendes:
Berechne die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Summe der Katheten ist 68 cm. Die Hypotenuse ist 52 cm
Um die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, können wir die folgende Beziehung nutzen: Die Quadratzahl einer Kathete plus die Quadratzahl der anderen Kathete ergibt die Quadratzahl der Hypotenuse.
In diesem Fall haben wir die Hypotenuse mit einer Länge von 52 cm und die Summe der Katheten beträgt 68 cm.
Lassen wir x für eine Kathete stehen, dann können wir die Gleichung aufstellen:
x^2 + (68 - x)^2 = 52^2
x^2 + 4624 - 136x + x^2 = 2704
2x^2 - 136x + 1920 = 0
Wir können diese quadratische Gleichung lösen, um die beiden möglichen Werte für x, also die beiden Katheten, zu finden.
Ja dann löse die Gleichung
Um die Gleichung 2x^2 - 136x + 1920 = 0 zu lösen, können wir entweder die quadratische Formel verwenden oder die Gleichung faktorisieren. Ich werde die quadratische Formel verwenden:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)
In diesem Fall ist a = 2, b = -136 und c = 1920. Setzen wir diese Werte in die Formel ein:
x = (-(-136) ± √((-136)^2 - 4 * 2 * 1920)) / (2 * 2)
x = (136 ± √(18496 - 15360)) / 4
x = (136 ± √3136) / 4
x = (136 ± 56) / 4
Das ergibt zwei mögliche Werte für x:
x1 = (136 + 56) / 4 = 192 / 4 = 48 cm
x2 = (136 - 56) / 4 = 80 / 4 = 20 cm
Daher sind die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks 48 cm und 20 cm.
Eine Sache verstehe ich nicht so ganz. Du hast ja da (68-b)² + b² = 52²
Dann schreibst du die Binomische Formel a² - 2 × a × b + b²
Du schreibst dann 68² - 2 × 68 × b + b²
Aber du gehst ja dann in der Formel davon aus, dass a = 68 ist aber a ist doch 68 -b
Kannst du mir das vielleicht bitte kurz erklären?
Ja, stimmt, das verstehe ich auch nicht.
Bitte trennen: das eine ist die aktuelle Aufgabe, das andere ist die allgemeine Form der binomischen Formel, wie sie gelehrt wird. Und in beiden gibt es halt rein zufällig die gleichen Buchstaben.
Leider schaffen einige Menschen die Transferleistung nicht, dass (x+y)^2 = x² + 2xy + y² eine binomische Formel ist, weil da nicht a und b steht.
Weißt du was?
(Ich fieber bei jedem Rätsel mit, so wie, 'das kenn ich schon, das hab ich schon hunderte Male mit Vergnügen gemacht. Verdammt! Das kann ich doch noch!' :-)
Hab ich auch und mit etwas Zeit geht das aber... verloren, ;-(
Als Auffrischung ist Mathe, gerade bei dir auch echt wie eine warme Kuscheldecke, ne Kerze und ne Tasse Tee. Das ist für mich Mathe. :)
..)
Lösung über Ermittlung von hc und anschließender Anwendung des Pythagoras, ergeben dass a=48, b=20 und c= 52 lang sind.
Ich bin so faul... ich habe die PQ-Formel nie gelernt und mache noch immer die quadratische Ergänzung.😂
Mhh ich hatte nie die pq formel.. verstehe nicht das mit dem, geteilt durch 2..
Kann das wer erklären?
kleine Falle könnte sein: die Hypothenuse ist ja nicht c²...also muss man c (=52cm) auch noch quadrieren!
ChatGPT hat bei mir 4 Versuche gebraucht um die Aufgabe zu lösen
Man häte viel früher durch 2 bzw 4 beim Quadrat teilen können
Beim Ansehen dieser Folge kam mir eine mögliche Fragestellung für ein weiteres Video: "Wie groß ist der Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks bei gegebener Hypotenuse mindestens & höchstens?"
Der wird sich zwischen 2h und (1+sqrt(2))h bewegen. Und nu?
@@petermischler7324 Die beiden "Extremfaelle" sinddabei jeweils erreicht, wenn eine Kathete die Laenge 0 hat (man es also mit einem "entarteten" Dreieck zu tun hat) und wenn beide Katthettten gleich land sind, es sich also um ein rechtwinkliges gleichschenkliges Dreieck handelt.
🤩🤩🤩🤩🤩🤩🤩🤩🤩🤩🤩🤩🤩🤩😍😍😍🥰🥰😘😘😍😍😍🤩🤩🤩
(52 cm)² = (x cm)² + (68 cm - x cm)²
2.704 cm² = x² cm² + 4.624 cm² - 136x cm² + x² cm²
2x² cm² - 136x cm² + 1.920 cm² = 0
x₁,₂ = [136 cm ± √(18.496 cm² - 15.360 cm²)] / 4
= (136 cm ± √3.136 cm²) / 4
= 34 cm ± 14 cm
x₁ = 20 cm ∨ x₂ = 48 cm
⇒ Die Katheten sind 20 cm und 48 cm lang.
Man hätte natürlich auch die 52 cm und 68 cm durch 4 teilen können. Dann bekommt man 13 cm und 17 cm = 12 cm + 5 cm und kann das pythagoeische Tripel 5, 12, 13 erkennen.
Das UA-cam Vorschaubild ist irreführend. Es zeigt einen rechten Winkel zwischen den Katheten und die Hypotenuse ist orthogonal waagerecht dargestellt.
Ich hätte jetzt blauäugig das Dreieck halbiert mit einem rechten Winkel mittig auf der Hypotenuse. Die Stecke a bzw. b wäre dann genau die Hälfte von den 68 also 34. Aber geometrisch ist das mit den Längen nicht richtig dargestellt.
Der Höhensatz. Hab´ ich total vergessen. Danke fürs auffrischen. 👍
Unglaublich !! Wie sind Sie perfeckt mit Darstellung !
Unglaublich dass ich das einmal konnte. Ich kenne zwar die Begriffe noch, weiß aber nicht mehr wie man das alles anwendet. Macht aber Spaß zuzuschauen 👍
Gibt es für diese Aufgabe nicht mehrere Lösungen je nachdem welche Winkelkombinationen bzw Höhe verwendet wird?
Die Länge der Hypothenuse und die Rechtwinkligkeit kann doch bei unterschiedlichen Gegebenheiten entstehen.
Ich verstehe deine Frage iht. Es gibt 2 Loesungen, die aber spiegelsymmetrisch sind (die laengere Kathete kann links oder rechts liegen), sofern man beim rechtttwinkligen Dreieck davon ausgeht, dass die Hypothenuse unten liet (wovon man ausgehen kann, sonst wuerde man sich das Dreieck passend hindrehen). Die beiden Loesungen haben wir doh ausgerechnet. Wenn du weitere Loesungen vermutesttt, muss ich dich enttaeuschen: mehr gibt es nichttt.
Super video
Ich habe mehrere Ihrer Videos angesehen und muss festhalten, dass Sie das top erklären. Mit Ihren Videos verliert die Mathematik ihren Schrecken.
Durch das Thumbnail vom Video war mein 1. Gedanke a=b=34 und dachte mir sofort neeeeee das
ist zu einfach xD
da es ganze Zahlen sind, steckt da wieder eins dieser seltenen Tripel drin, diesmal 5 12 13 und alles vervierfacht.
eine Schule verlangt natürlich den Rechenweg; einfach antike Weisheiten zu zitieren ist leider nicht drin :p
Erschreckend! ich konnte das einmal in 1 Minute im Kopf rechnen. Das Alter (71) ist ein Hund :)
Mathe: gut, Deutsch: mangelhaft.
Man kann Uch ohne rechnen die Ergebnisse bekommen in dem man in der verteihungstabelle nachschaut
schön erklärt und ein paar erinnerungen aufgefrischt. das macht echt spass👍🙂abo gesetzt, vielen dank
Toll, eine spitzenmäßige Aufgabe, DANKE!
Wow höhere Mathematik😉
Kannst du mal die Brunnenaufgabe von dorfuchs auf deine Art interpretieren?
7:53 Unnötig. Die zwei Werte von b sind die Werte von a und von b, denn 48 + 20 = 68.
Die Seiten des Dreiecks sind demnach 20, 48 und 52 cm.
Das Dreieck ist ein Multipel vom 5, 12, 13 ...
😀
Ich verstehe nur Bahnhof
Meine Formel lautete:
(32+x)²+(32-x)² = 52²
32²+64x+x²+32²-64x+x² = 52²
2*32²+2x²=52²
x = wurzel(328)
a = 32 + wurzel(328)
b = 32 - wurzel(328)
Damit komme ich ohne PQ Formel aus. Aber warum ist das ein ganz anderes Ergebnis, welches laut Taschenrecher korrekt ist?
Edit: Ups... 32 statt 34 😁
Den Ansatz hab ich auch benutzt. Aber statt 328 ist es 392. Und da 2 mal x Quadrat gleich 392 ist, muss man die Wurzel aus 196 ziehen. Fertig.
Herzlichen Dank...wunderbare lösung..
Und was wäre, wenn die Hypotenuse jetzt mit 69 cm gegeben wäre, ohne den Rest der Aufgabe zu ändern?
Dann waere die Aufgabe nicht loesbar, da in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Katheten immer groesser oder gleich der Hypothenuse ist und das bei deiner vorgeschlagenen Aenderung der Aufgabe nicht mehr der Fall waere (Gleichheit erhaelt man dabei nur bei einem "entarteten" rechtwinkligen Dreieck, bei dem eine Katthettte die Laenge 0 hat).
So ein Habibi❤️
5:09: Also, wenn a ≠ 1, verwendet man an der Stelle die abc-Formel, denn die pq-Formel funktioniert nur, wenn a = 1. Die gesamte Gleichung durch a zu teilen ist zwar möglich, aber auch ein zusätzlicher Rechenschritt, der im Zweifel Zeit kostet.
Aber am schnellsten ist man eh, wenn man die Zahlen durch 4 teilt und das pythagoreische Tripel 5, 12, 13 erkennt. Dann kann man direkt a = 20 cm, b= 48 cm, c = 52 cm hinschreiben.
Ok danke merke ich mir für das nächste mal wenn ich unter Zeitdruck die Seitenlängen von nem Dreieck ausrechnen muss. Kam in den 25 Jahren Mathestudium und Arbeit in der elektrotechnischen Industrie genau, ähm..., null mal vor, aber wer weiß wann der Pythagoräische Tripper doch noch mal nützlich werden kann LOL
Sehr gut, das hat großen Spass gemacht … 🎉
gegenüber von dem... = gegenüber dem... = dem... gegenüber
Nach dem Duden ist auch der Dativ möglich, also alles ok.
@@lutzhartmann8154 Der Duden...
Vielen Dank für die tolle Erklärung
warum können die katheten nicht einfach beide 34cm lang sein?
Können sie natürlich! Sie können auch beide 42 sein, oder 4711. Nur liegt dann zwischen ihnen kein rechter Winkel und man hat eben die Aufgabe falsch gelöst. Macht aber nichts!
Weil dann die Hypothenuse nicht 52 cm lang waere ...
Seitenverhältnis im rechtw. Dreieck ist 3:4:5
52:3, a=52:3*4, b=52:3*3, a+b=63
Kleine Korrektur 52:5, a= 52:5*4, b=52:5×3
a+b = 68
Es gibt mehr als ein "pythagoraeisches Zahlentripel" (3 teilerfremde ganze Zahlen a, b, c mit a^2+b^2=c^2). 3, 4, 5 ist das kleinste und bekannteste pthagoraeische Zahlentripel, aber 5, 12, 13 istebenfallseins (und diese Aufgabe basiert auf dem pythagoraeischen Zahlenttripel 5, 12. 13). Das Dreieck mit den Seitenlaengen 5, 12, 13 ist ebenfalls rechhtwinklig.
beschte Pullover
👍💐
Obwohl ich mich nicht gerade als großes Mathe-Genie bezeichnen würde, lief ab Minute 5:40 in meinem Kopf der Film namens "Quadratische Ergänzung" von alleine los:
b² - 68b + 960 = 0
(b - 34)² + 960 = 34² = 1156
(b - 34)² = 1156 - 960 = 196
b - 34 = ±√196 = ±14
b₁ = 48
b₂ = 20
Nichts gegen die pq-Formel, aber für mich ist das Herleiten der Lösung einer quadratischen Gleichung über die quadratische Ergänzung irgendwie intuitiver als das sture Anwenden einer auswendig gelernten Formel. Vielleicht bin ich für solche Aussagen in den Augen der jüngeren Generationen zu altmodisch, aber die QE flutscht bei mir halt besser. :)
Die pq-Formel wird doch letztlich auf genau diesem Weg (quadratischer Ergaenzung) hergeleitet. Man nutztt sie dann,um nichht jedes mal eine quadratische Ergaenzung mitt allen Rechenschritten durchfuehren zu muessen ...
@@juergenilse3259 Die Formal hat natürlich ihre Berechtigung, und sie zu benutzen ist auch keine schlechte Idee. Ich bin halt nur jemand, der nicht einfach Formeln und ihre Anwendungen auswendig lernen möchte, sondern ich möchte die Hintergründe verstehen, die Herleitung, den Grund für eine Formel. Das ist einfach nur meine persönlich Vorliebe.
@@lupus.andron.exhaustus Das gehhttt mir auch so, ich sehe aber keiinen Grund, eine einmal von mir hegeleitete Formel zu meiden. Ich habe sie ja bereeits einmal hergeleitet und weiss daher, warum sie funktioniert ...
Ich bin mir sicher du hattest es vor kurzem erklärt, aber was ist nochmal das Ergebnis von 2: 8 ÷ 2(2 + 2) =
1/2.
@@Nikioko Wenn ich der Uebersichttlichkeit fuer die Division ueberall das selbe -zeichen verwende(ich nehme mal "/"),lautet die Aufgabe:
2/8/2*(2+2)
Zuerst berechnet man die Klammer: (2+2)=4 und erhaelt somit.
2/8/2*4
Da nun nur noch Punktrechnung vorkommt, rechnet man stur von links nach rechts:
2/8 ergibt1/4, das durch 2 ergibt 1/8, das mal 4 ergibt 1/2.
Gerne geliked.
War alles sehr nachvollziehbar!
Aber letzendlich kapiert habe ich es sicher nicht wirklich.
Schätze mal Übung macht den Meister!
Aber da der Nutzen für mich bei Annähernd Null ist werde ich wohl nicht üben.
Trotzdem fand ich es aufschlussreich und unterhaltsam präsentiert.
Was hatttestdu nictwirklich verstanden? Den Satttz des Pathagoras? Oder die 2. Gleichung und das umformen nach einer Kathetenlaenge?
a+b=68
b=68-a
Das eingetztt in die Gleichung aus dem Satz des Pthagoras:
a^2+b^2=c^2=52^2 (wegen Gypotenuse=52)
ergiibt:
(68-b)^2+b^2=52^2
Das ist doch genauso im Video erklaert worden. Ist dir daran wirklichh etwas unklar? Der est ist doch ausmultiplizieren und loesen einer quadrattischen Gleichung.Oder hhast du beim loesen der quadratischen Gleichung Probleme?
Es interessiert mich, wo du etwas nicht verstanden hast.
@@juergenilse3259
Wie oben schon erzählt fand ich es gut erklärt, nur Alles in Allen zu verstehen ist dennoch nicht leicht für mich.
Folgende Gründe könnten es sein:
- Seit Ende der 1980er kein Mathematikunterricht gehabt
- Eh mangelndes Interesse an Mathematik
- Bisher hab ich die Formeln seit Schulzeitende nicht mehr gebraucht.
Die Formeln Pythagoras und so weiter sind mir auch nicht unbekannt, daher konnte ich auch gut folgen.
Es ist halt auch ein schönes Aha-Erlebnis zu sehen, ja das kenn ich und so wie es hier dargestellt wurde, so einfach fand ich es in der Schulzeit dennoch nicht, auch wenn ich die Formeln schon damals einleuchtend fand.
@@olli8c Dane fuer die Eraeuterung. Ich wuensche dir, dass du vielleicht doch oh ein bischen Interesse an Mathematik findest,denn man kann das eine oderandere doch ab und an mal brauchen. Und ein bischen Matthematik ist auch immer ein bischen "Gehirn-Jogging", das haelt evtt.geistig ein bischen fitt ...
Ihr Profilbild sieht wie mikimaus 🐭
Wennschon, dann bitte Minimaus ;-)
❤️❤️
Nimm mal 34-x als Kathete.
Ganz verkehrt 🙃. 😁 😜 👍
Hey Susane ich brauche deine Hilfeeee!Ich habe gerade ein altes Video von dir geschaut und hab eine Frage:wenn ich das Kommutativ Gesetz habe und in einer Aufgabe PLUS und MAL drin ist kann ich dann trotzdem tauschen?Bitte hilf mir😫
Wahrscheinlich hast Du es bereits selbst herausgefunden, aber das Kommutativgesetz gilt immer! Man muss nur "Punkt vor Strich" und Klammern beachten. Beispielsweise darf man in "a*b+c" nicht einfach b und c vertauschen, weil a*b Vorrang hat. Aber das Teilergebnis a*b darf man dann durchaus gemäß Kommutativgesetz mit c tauschen. Es gilt also "a*b+c = c+a*b".
@@NoSpeechForTheDumb du hattest recht ich hab es schon selber heuraus gefunden ,aber trotzdem sehr nett von dir das du geantwortet hast 🤍🤍
@@bayansakkoul8333 sehr gut! Und gerne geschehen. 😉👍
Das Kommutativgesetz bezieht sich nur auf das tauschen der Sumanden bzw. der Fakttoren in einer Summe bzw. einem Produkt. ImKommutativgesetttz kommt jeweils nur *eine* Rechenoperattion vor. Du kannsttt in einem Teilausdruck,in dem nurr Multiplikation oder nur Addition vorkomt, die Reihhenfolge der Operanden tauschen. Du mussttt bei der Zerlegung in entsprechende Teilausdruecke aber "Punktrechnung vor Strichrechhhnung" beachten ...
In dem Bild vor bevor man das Video startet, sehen die Katheten aber gleich lang aus ;)
Mir ging es genauso, mir fehlte da eine Winkelangabe. Ich habe es immer noch nicht kapiert, denn wenn man von den Katheten zur Hypotenuse jeweils einen 45 Grad winkel hat müssten die Katheten gleich lang sein. Und wenn die beispielsweise 15 und 65 Grad hätten, wären die noch unterschiedlicher. Bin verwirrt, hab wahrscheinlich was übersehen.
@@JoFrankHe sie hat es natürlich richtig erklärt, nur wenn man tatsächlich ein rechtwinkliges Dreieck mit gleichen Katheten hat braucht man diesen Aufwand nicht ;)
48 cm und 20 cm? 🙂
Ich habe mir extra einen Account erstellt, um dir einfach mal DANKE sagen zu können. Du hast wirklich grosses Talent, du machst Mathe so verständlich auch für solche Matheidioten wie mich. Ich bin dankbar, dass ich auf dein Kanal gestossen bin.
(Ich habe in 3 Wochen eine Abschlussprüfung (Abitur nachholen / Selbststudium) auch in Mathematik... Leider habe ich viel zu spät angefangen und muss nun wirklich Gas geben. Kannst du vielleicht noch paar Videos zu allg. Geometrie machen (Quadrat berechnen, Raute, Rhombus). Oder hast du dazu schon was? Würde mir super helfen, danke nochmals liebe Susanne. :)
Viel Glück morgen
Das ist der Beweis das ChatGPT doch nicht perfekt ist, den da kam 32 und 36 raus.
Manche Lösungen zu umständlich.
Wenn man dich so hört, vermisst man es in die Schule zu gehen…
In den 80ern sahen Mathelehrer anders aus...🤣
Heute sehen Matthelehrer vermutlichebefallsanders aus, nur Mathelehrerinnen haben womoeglich Aehnlichkeit mit Susanne ...
Und nein,ich werde mich nicht auf diesen Genderquatsch mit "Mathelehrer:innen" oder dergleichen einlassen ...
Wenn, dann "Mathelerkraefttte",und von denen haben womoeglich welche Aehnlichkeit mit ihr (und ich kann *nicht* ausschliessen, dass das womoeglich frueher auch schon der Fall war).
😁
ich liebe dich für immer
Ich mache alles mit dir,mein Schatz aber ganz sicher keine Mathematik. Komme morgen zu dir zum KAFFEE trinken.