Si l'on suppose g continue seulement (voire CPM), ne peut-on pas s'en sortir en regardant pour f indicatrice, puis en escalier et enfin invoquer la densité des fonctions en escaliers dans les fonctions continues de [a,b] dans R ? L'exercice revient alors à calculer la limite lorsque x approche l'infini de 1/x int_{rx}^{tx} g(t)dt (r < t), qui est un calcul élémentaire. (En fait c'est exactement la démonstration classique pour le lemme de Riemann-Lebesgue que l'on voit en prépa)
Je l'attendais cette proposition de résolution. En effet, une généralisation est tout à fait possible avec le point de vue que tu suggères (g CPM périodique et f CPM). En fait, on peut même aller plus loin, en considérant des bornes infinis à l'intégrale (et en supposant une intégrabilité de f). Ici, je voulais une résolution assez simple permettant de faire apparaître tout ce qui a été développé autour des DSFs, et y voir très clairement le lien avec le lemme de Riemann-Lebesgue. Je voulais surtout proposer une résolution différente de celle connue pour vous laisser le loisir de travailler par vous-même d'autres résolutions. :)
Si l'on suppose g continue seulement (voire CPM), ne peut-on pas s'en sortir en regardant pour f indicatrice, puis en escalier et enfin invoquer la densité des fonctions en escaliers dans les fonctions continues de [a,b] dans R ? L'exercice revient alors à calculer la limite lorsque x approche l'infini de 1/x int_{rx}^{tx} g(t)dt (r < t), qui est un calcul élémentaire. (En fait c'est exactement la démonstration classique pour le lemme de Riemann-Lebesgue que l'on voit en prépa)
Je l'attendais cette proposition de résolution. En effet, une généralisation est tout à fait possible avec le point de vue que tu suggères (g CPM périodique et f CPM). En fait, on peut même aller plus loin, en considérant des bornes infinis à l'intégrale (et en supposant une intégrabilité de f).
Ici, je voulais une résolution assez simple permettant de faire apparaître tout ce qui a été développé autour des DSFs, et y voir très clairement le lien avec le lemme de Riemann-Lebesgue. Je voulais surtout proposer une résolution différente de celle connue pour vous laisser le loisir de travailler par vous-même d'autres résolutions. :)