Excellente vidéo une fois de plus. J'aurais même précisé : Marcel cherche et éventuellement trouve des champignons (analyse), puis vérifie lesquels sont comestibles (synthèse), ce qui illustre bien que l'analyse permet d'exhiber les objets sous réserve d'existence.
C'eût été une belle idée ! Parce qu'ensuite, on peut enchaîner sur la dictée donnée régulièrement par Gustave Latouche dans la bande dessinée Ducobu ! « Quelle belle cueillette nous fîmes : quelques hyménomycètes, des hypholomes, des helvelles, des géasters fimbriés, des polypores versicoles et un hydne imbriqué ma foi fort appétissant… »
Salut, Je trouve ton cours vraiment super bien fait, c'est magnifique, à la fois inspirant et complexant tellement c'est nickel haha. J'ai trouvé la métaphore avec le coin à champignons super! Si je peux juste me permettre, je trouve qu'un exemple vraiment parlant de raisonnement par analyse-synthèse est celui de la détermination des racines n-ièmes de l'unité. En effet, on peut faire une représentation graphique au fur et à mesure de l'analyse (au début on vire le point origine, puis on passe au disque unité, etc). Je pense que c'est aussi un bon moyen de faire comprendre aux élèves qu'en restreignant un paramètres d'indexation (par Z au lieu de R, quand on continue l'analyse, on avance dans la résolution du problème, tout comme on le fait en donnant des conditions initiales à un problème différentiel en physique par exemple). Ps : merci pour toutes tes vidéos gratuites qui m'ont permis de revisiter des notions de première et deuxième année de manière condensée, rigoureuse, et agréable. Je pense un jour acheter tes livres pour te remercier mais en attendant je dois faire un peu de thune haha Bonne journée :)
Dans le cadre de raisonnement par 'analyse- synthèse ', je propose un exemple de plus: Il s'agit de partager 20 unités entre 20 personnes d'enfants, de femmes et d'hommes à raison de 4 u pour un homme, 1/2u pour une femme et 1/4u pour un enfant. Trouver le nombre d'enfants, de femmes et d'hommes de ce groupe de 20 personnes Cela revient à résoudre le système : 4h+f/2+e/4 =20 (L1) h+f+e =20 (L2) ANALYSE : voici qlq éléments possibles selon les capacités d'"analyse" de chacun A1. e,f,h entiers positifs dans [1...19], A2. h
Bonsoir, je n'arrive pas à cerner pourquoi il faut vérifier réciproquement que les éléments de C sont inclus dans S ? On a réussi à isoler le 3-uplet (-2,-2,-2) en montrant qu'il satisfaisait le système d'équation... En clair (et ce n'est pas contre vous, car je vous assure que les maths n'ont jamais été aussi clairs que dans vos vidéos), j'ai toujours eu des difficultés à savoir si le raisonnement (notamment ici) se fait à partir d'implication ou d'équivalence... Merci de bien vouloir m'éclairer. Très bonne vidéo intéressante soit dit en passant !
Imaginez-vous dans un magasin afin de choisir un pantalon qui soit à votre taille et à votre goût. 👖 Dans un premier temps, vous prenez tous les pantalons du magasin (ensemble S). 👖 Si un pantalon doit convenir, alors il doit déjà être à votre goût (implication). 👖 Vous les triez donc un par un uniquement selon vos goûts (analyse). 👖 Imaginons qu'à la fin, il ne vous reste qu'un seul pantalon (ensemble C). 👖 Rien ne dit qu'il soit à votre taille. Il faut le vérifier (synthèse). Dans le contexte, l'erreur est dans votre phrase « On a réussi à isoler le 3-uplet (-2,-2,-2) en montrant qu'il satisfaisait le système d'équation ». Cette phrase est incorrecte. Plus exactement, on a démontré que si un triplet devait vérifier le système d'équation, alors c'était forcément (-2, -2, -2). Cela dit, il faut encore montrer que (-2, -2, -2) est bien une solution du système.
@@oljenmaths Merci pour votre réponse ! C'est un peu plus clair désormais. Je vais essayer de m'entraîner à utiliser ce genre de raisonnement. Merci beaucoup !
Bonjour monsieur, Si j'ai bien compris, l'ensemble des solutions se doit d'être solution de n'importe quelle combinaison linéaire de L1, L2 et L3 et c'est pour cela qu'il suffit d'en étudier une seule (L1-L2 en l'occurence) pour être sûr de pouvoir déterminer l'ensemble des solutions sans en oublier ? Vos vidéos sont vraiment de grande qualité et me font aimer les maths Un grand merci ! :D
Bonjour ! C'est exactement cela. On peut se dire, toutefois, que j'ai eu de la chance en me contentant d'étudier L1-L2 et en obtenant ainsi des conditions nécessaires très restrictives. C'est ici qu'on sort de la structure du raisonnement par analyse-synthèse: les manières d'être efficace dans l'analyse ne dépendent que du type de mathématiques étudiées, ici la résolution d'un système non linéaire. Merci beaucoup pour le compliment sur les vidéos !
Salutations ! En résumé, dans la partie « analyse », on a montré que si (x,y,z) est une solution du système, alors 'y' est forcément différent de -1, donc x(x-2) = 0, donc x vaut soit 0, soit 2. À ce stade, une question se pose: les triplets (x,y,z) correspondant à x = 0 et à x = 2 sont-ils réellement des solutions du système ? D'un point de vue logique, aucun élément de la partie « analyse » ne permet de l'affirmer. Cela dit, on dispose là d'un ensemble très réduit de solutions potentielles. C'est la raison pour laquelle, à 5:54, on examine réciproquement (partie « synthèse ») lesquelles de ces solutions potentielles sont des solutions. En l'occurrence, il s'avère qu'elles le sont toutes les deux, mais ça aurait très bien pu ne pas être le cas.
Bonjour, Je suis en terminale donc la notion de résolution par analyse synthèse m'est encore un peu flou. J'aurais donc une question. Pour résoudre un système, je suis habitué à trouver directement l'ensemble des solutions en faisant des combinaisons linéaires où des substitutions et sans avoir besoin de cette étape de synthèse Ma question est la suivante, est ce qu'on perd l'équivalence en faisant des combinaisons linéaires ou des substitutions ? Si oui, comment construire un système équivalent au système initial ? Et peut-on réellement résoudre un système uniquement par équivalences ? J'imagine que la réponse à mes questions dépendent du système initial, je serais donc curieux de savoir quels conditions doivent respecter le système pour que telle ou telle propriété soit vrai.
Bonjour ! La plupart du temps, les combinaisons linéaires permettent de conserver des systèmes équivalents (au sens où ils ont exactement les mêmes solutions), tandis que les substitutions vont toujours permettre de conserver une équivalence si on s'y prend bien. 🔹 Pour les combinaisons linéaires, c'est le plus simple à comprendre. Admettons que j'ai un système à trois équations, L1, L2, L3. Si je fais remplace L1 par L1+L2, aucun problème. Si je remplace L1 par L2 (ce qui fait disparaître L1), je perds l'équivalence. Ça paraît stupide mais c'est vraiment le seul moyen de perdre l'équivalence lorsqu'on réalise des opérations sur les lignes une par une: il faut absolument que la ligne qui va être modifiée comporte encore un tout petit bout d'elle-même pour que l'équivalence soit conservée. Même remplacer L1 par 0.000001 L1 + L2 conviendrait. 🔹Pour les substitutions, considérons le système {y = x^3} et {y² + xy + x = 0}. La seule boulette à ne pas faire, c'est de dire que ça équivaut à x^6 + x^4 + x = 0. Plutôt, ça équivaut à {y = x^3} et { x^6 + x^4 + x = 0}: il faut conserver deux lignes à partir desquelles on peut retrouver les deux précédentes. C'est une explication très incomplète, mais cette dernière phrase fournir l'essentiel: si tu ne fais pas d'erreur, tu pourras toujours aller de gauche à droite, et pour savoir si l'équivalence est conservée, il suffit de te demander si tu peux aller de droite à gauche.
@@lucarl1021 Je pense qu'en faisant preuve d'une extrême dextérité, j'aurais peut-être pu raisonner par équivalences, mais il aurait fallu pour cela conserver un système de trois équations tout du long. Plutôt que de faire cela en traînant le système comme un boulet à la cheville, j'ai choisi de raisonner par implications en disant que si le système est vérifié, alors L1-L2 l'est aussi, et donc… donc… donc…. En faisant comme ça, je n'ai d'autre choix que de procéder à une synthèse, c'est-à-dire à la vérification que les potentielles solutions retenues par mes filets sont bel et bien des solutions du système 👨🏻🏫.
Merci monsieur sur votre effort, ma question est : quand est ce qu'on utilise ce genre de démonstration autrement, il n'y a que ce genre de problème pour analyser et synthèser ? Merci d'avance !
Ce raisonnement est mis en scène d'une manière un peu théâtrale ici, mais en réalité, on utilise ce raisonnement dans n'importe quel problème où le raisonnement par équivalence est problématique. 🔹 Dans l'analyse, on procède par implication, et on récupère ce faisant les solutions, ainsi que des potentielles "fausses solutions". 🔹 Dans la synthèse, on fait le tri pour distinguer entre les solutions et les "fausses solutions" issues de l'analyse. 🔸 Un exemple simple: résoudre, dans R, l'équation √(x²+x+1) = 2x-1. 🔸 Un exemple plus musclé: démontrer que toute fonction de R dans R s'écrit comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Au bout d'un moment, on utilise ce raisonnement sans même y penser. Je donne, en réponse au commentaire de Johan Roux (voir plus bas), une autre illustration à base d'un achat de pantalons 🙃 !
0:00-5:33 Dès le début, Marcel ratisse toute la zone de manière à être certain qu'en-dehors de C, il n'y a aucun champignon. Tous les champignons sont donc forcément dans la zone C, bien qu'il n'y en ait pas forcément partout. 5:33-6:49 Marcel regarde à chaque endroit de C pour voir s'il y a un champignon ou pas. Naturellement, grâce à ses verres fumés, il n'en rate aucun 😎. La question porte-t-elle sur la pertinence de la métaphore ou bien sur la partie mathématique, consistant à démontrer une double-inclusion ?
Je dois avouer qu'il y a une certaine ressemblance. Toutefois, Marcel peut se targuer d'avoir été tracé à la règle et au compas, ce qui n'est pas donné à tout le monde 😎.
bonjour, pour m'excercer je suis allé sur un site qui propose des exercices d'analyse synthèse. L'exercice, le voici : le problème est de résoudre ce système appelé (S) de 3 trois équation que j'ai pour mon raisonnement appelé respectivement de haut en bas (S1), (S2), (S3). x, y et z son des réels donc l'équation est traité sur R3. {x² + 4yz + 2z = 0 (S1) (S) : {x + 2xy + 2z² = 0 (S2) {2xz + y² + y + 1 = 0 (S3) pour accéder au corrigé il faut souscrire et créer un compte ce que je ne veux pas faire. Svp dites moi votre réponses et je veux voir si j'ai la même. pour résumer ce je j'ai écrit, (S) est impossible à résoudre car (S3) rend (S1) et (S2) incompatible. au cas ou le site est : www.mathprepa.fr/par-analyse-synthese/ il y a d'autres exercices d'analyse synthèse. Le 5 eme est celui que j'ai étudié et donc par rapport à la vidéo au problème d'équivalence, si vous aviez par je ne sais quel moyen réussi à raisonner par équivalence du début jusqu'à la fin, vous n'auriez pas eu besoin de vérifier les potentiels solution du système ?
Bonjour ! Grands dieux ! Ce système n'a pas l'air simple à résoudre, et je n'ai pas du tout le temps de m'y coller. Je te conseille de te tourner vers des sites où les exercices sont corrigés gratuitement si tu ne souhaites pas investir, comme exo7.emath.fr/ , par exemple. Quant au rapport à la vidéo, c'est exact. Voilà un résumé: 🔹 Si on raisonne par implication et qu'on prétend déterminer les solutions, il est nécessaire de procéder à une synthèse. 🔹 Si on raisonne par équivalence, il n'est pas _nécessaire_ de vérifier les solutions. Cela dit, il peut être utile de le faire afin de détecter de potentielles erreurs, par exemple.
Jouer avec les mots pour compliquer la vie : 'analyse-synthese' Analyse: c'est naturel, on l'utilise spontanément Synthèse : ce n'est qu'une vérification. Alors pourquoi inventer d'autres mots pour parler plus simplement.
Le problème de ce raisonnement, c'est qu'on se lance tout droit dans l'œuvre d'Orwell, 1984. « - C’est une belle chose, la destruction des mots. Naturellement, c’est dans les verbes et les adjectifs qu’il y a le plus de déchets, mais il y a des centaines de noms dont on peut aussi se débarrasser. Pas seulement les synonymes, il y a aussi les antonymes. Après tout, quelle raison d’exister y a-t-il pour un mot qui n’est que le contraire d’un autre ? Les mots portent en eux-mêmes leur contraire. Prenez « bon », par exemple. Si vous avez un mot comme « bon » quelle nécessité y a-t-il à avoir un mot comme « mauvais » ? « Inbon » fera tout aussi bien, mieux même, parce qu’il est l’opposé exact de bon, ce que n’est pas l’autre mot. Et si l’on désire un mot plus fort que « bon », quel sens y a-t-il à avoir toute une chaîne de mots vagues et inutiles comme « excellent », « splendide » et tout le reste ? « Plusbon » englobe le sens de tous ces mots, et, si l’on veut un mot encore plus fort, il y a « doubleplusbon ». Naturellement, nous employons déjà ces formes, mais dans la version définitive du novlangue, il n’y aura plus rien d’autre. En résumé, la notion complète du bon et du mauvais sera couverte par six mots seulement, en réalité un seul mot. Voyez-vous, Winston, l’originalité de cela ? Naturellement, ajouta-t-il après coup, l’idée vient de Big Brother. » Les mots ont une profondeur, et les mots analyse et synthèse n'ont pas été choisi au hasard, ou par une soudaine envie de complexifier quelque chose de simple.
Par contre est-ce qu'il faut avoir une sorte de flair pour restreindre la zone de recherche parce que le coup du "je retranche L2 à L1" je ne l'aurai jamais trouvé tout seul. Sinon merci pour cette vidéo "impeccable".
Je l'explique comme résultat d'une certaine symétrie dans le système: dans ce genre de cas, il est bon de penser à la somme et à la différence. Cela dit, personne ne m'a jamais expliqué cela, c'est quelque chose qui est issu de la pratique des mathématiques. Une fois qu'on l'a fait deux ou trois fois, ça reste 😉.
Oui ! C'est souvent comme ça avec beaucoup de choses dans la vie (marcher sans perdre l'équilibre, mâcher les aliments avant de les avaler, etc.) et les mathématiques ne font pas exception à la règle. Au début, on se rate, puis on essaie encore et encore, puis on réussit ✌️!
Tout à fait j'ai un peu trop tendance à croire qu'une fois "grand" tout s'apprend en un coup. Mais faire des mathématiques (apprendre la logique) me permet chaque jour de me rendre compte de mon erreur.
Bonjour, AMHA, la résolution d'un système d'équations n'est pas la meilleure illustration du raisonnement d'analyse-synthèse car c'est la méthode que tout le monde utiliserait et on voit difficilement comment faire autrement. Les exemples classiques sont des résolutions de somme directe de sev. Peut-être un meilleur exemple selon moi : montrer que tout entier naturel non nul s'écrit (de manière unique) comme produit d'une puissance de 2 et d'un entier impair (edit : vous utilisez cet exemple pour la récurrence)
Tous les exemples ont leurs avantages et leurs inconvénients. En l'occurrence, étant donné que je me sers de cette vidéo comme de référence pour les étudiants en début de première année, parler d'algèbre linéaire ne conviendrait guère. Dans l'idéal, j'aurais bien aimé m'avoir vu choisir un exemple élémentaire, de niveau lycée, mais bon... Maintenant, c'est fait 🙃!
Pour comprendre le principe du raisonnement par analyse-synthèse, peut-être que cette analogie t'aidera davantage. Imagine-toi dans un magasin afin de choisir un pantalon qui est à ta taille et à ton goût. 👖 Dans un premier temps, tu prends tous les pantalons du magasin (ensemble S). 👖 Si un pantalon doit convenir, alors il doit déjà être à ton goût (implication). 👖 Tu les tries donc un par un uniquement selon tes goûts (exemple d'analyse). 👖 Imaginons qu'à la fin, il ne te reste qu'un seul pantalon (ensemble C). 👖 Rien ne dit qu'il soit à ta taille. Il faut le vérifier (synthèse). Mon histoire de pantalons est-elle plus éclairante 😃 ?
Pour comprendre le principe du raisonnement par analyse-synthèse, peut-être que cette analogie t'aidera davantage. Imagine-toi dans un magasin afin de choisir un pantalon qui est à ta taille et à ton goût. 👖 Dans un premier temps, tu prends tous les pantalons du magasin (ensemble S). 👖 Si un pantalon doit convenir, alors il doit déjà être à ton goût (implication). 👖 Tu les tries donc un par un uniquement selon tes goûts (exemple d'analyse). 👖 Imaginons qu'à la fin, il ne te reste qu'un seul pantalon (ensemble C). 👖 Rien ne dit qu'il soit à votre taille. Il faut le vérifier (synthèse). Mon histoire de pantalons est-elle plus éclairante 😃 ?
![[UT#40] Intégrales à paramètres - Introduction (1/2)](http://i.ytimg.com/vi/RubHGfHttQc/mqdefault.jpg)
![[UT#40] Intégrales à paramètres - Introduction (1/2)](/img/tr.png)
![[UT#36] Récurrences simples, multiples & fortes](http://i.ytimg.com/vi/muOBEu3NAu8/mqdefault.jpg)
Excellente vidéo une fois de plus.
J'aurais même précisé : Marcel cherche et éventuellement trouve des champignons (analyse), puis vérifie lesquels sont comestibles (synthèse), ce qui illustre bien que l'analyse permet d'exhiber les objets sous réserve d'existence.
C'eût été une belle idée ! Parce qu'ensuite, on peut enchaîner sur la dictée donnée régulièrement par Gustave Latouche dans la bande dessinée Ducobu !
« Quelle belle cueillette nous fîmes : quelques hyménomycètes, des hypholomes, des helvelles, des géasters fimbriés, des polypores versicoles et un hydne imbriqué ma foi fort appétissant… »
C'est l'explication la plus claire de l'analyse-synthèse que j'ai jamais vue! (je l'associerai désormais toujours à la recherche de champignons!)
C’est remarquable, merci infiniment
Merci beaucoup 🙏 !
Excellente vidéo pour comprendre la méthode d'analyse synthèse, il m'a suffit de 2 écoutes pour comprendre merci à vous.
Ça c'est le math que j'aime.
Bravo.
Salut,
Je trouve ton cours vraiment super bien fait, c'est magnifique, à la fois inspirant et complexant tellement c'est nickel haha.
J'ai trouvé la métaphore avec le coin à champignons super!
Si je peux juste me permettre, je trouve qu'un exemple vraiment parlant de raisonnement par analyse-synthèse est celui de la détermination des racines n-ièmes de l'unité. En effet, on peut faire une représentation graphique au fur et à mesure de l'analyse (au début on vire le point origine, puis on passe au disque unité, etc).
Je pense que c'est aussi un bon moyen de faire comprendre aux élèves qu'en restreignant un paramètres d'indexation (par Z au lieu de R, quand on continue l'analyse, on avance dans la résolution du problème, tout comme on le fait en donnant des conditions initiales à un problème différentiel en physique par exemple).
Ps : merci pour toutes tes vidéos gratuites qui m'ont permis de revisiter des notions de première et deuxième année de manière condensée, rigoureuse, et agréable. Je pense un jour acheter tes livres pour te remercier mais en attendant je dois faire un peu de thune haha
Bonne journée :)
Merci pour ce message très sympathique ! Quant à mes livres, ne te presse pas, je ne suis pas aux pièces 🙃 !
Magnifique ! Que c'est beeeaaauuuu !
Très bien expliqué !
masterclass mon reuf
C'est beau !
Merci !
Merci pour l'explication claire et pertinente. L'analyse synthèse est souvent expliquée de manière floue et c'est bien dommage.
Dans le cadre de raisonnement par 'analyse- synthèse ', je propose un exemple de plus:
Il s'agit de partager 20 unités entre 20 personnes d'enfants, de femmes et d'hommes à raison de 4 u pour un homme, 1/2u pour une femme et 1/4u pour un enfant.
Trouver le nombre d'enfants, de femmes et d'hommes de ce groupe de 20 personnes
Cela revient à résoudre le système :
4h+f/2+e/4 =20 (L1)
h+f+e =20 (L2)
ANALYSE : voici qlq éléments possibles selon les capacités d'"analyse" de chacun
A1. e,f,h entiers positifs dans [1...19],
A2. h
Bonsoir, je n'arrive pas à cerner pourquoi il faut vérifier réciproquement que les éléments de C sont inclus dans S ? On a réussi à isoler le 3-uplet (-2,-2,-2) en montrant qu'il satisfaisait le système d'équation...
En clair (et ce n'est pas contre vous, car je vous assure que les maths n'ont jamais été aussi clairs que dans vos vidéos), j'ai toujours eu des difficultés à savoir si le raisonnement (notamment ici) se fait à partir d'implication ou d'équivalence...
Merci de bien vouloir m'éclairer.
Très bonne vidéo intéressante soit dit en passant !
Imaginez-vous dans un magasin afin de choisir un pantalon qui soit à votre taille et à votre goût.
👖 Dans un premier temps, vous prenez tous les pantalons du magasin (ensemble S).
👖 Si un pantalon doit convenir, alors il doit déjà être à votre goût (implication).
👖 Vous les triez donc un par un uniquement selon vos goûts (analyse).
👖 Imaginons qu'à la fin, il ne vous reste qu'un seul pantalon (ensemble C).
👖 Rien ne dit qu'il soit à votre taille. Il faut le vérifier (synthèse).
Dans le contexte, l'erreur est dans votre phrase « On a réussi à isoler le 3-uplet (-2,-2,-2) en montrant qu'il satisfaisait le système d'équation ». Cette phrase est incorrecte. Plus exactement, on a démontré que si un triplet devait vérifier le système d'équation, alors c'était forcément (-2, -2, -2). Cela dit, il faut encore montrer que (-2, -2, -2) est bien une solution du système.
@@oljenmaths Merci pour votre réponse ! C'est un peu plus clair désormais. Je vais essayer de m'entraîner à utiliser ce genre de raisonnement. Merci beaucoup !
Bonjour monsieur,
Si j'ai bien compris, l'ensemble des solutions se doit d'être solution de n'importe quelle combinaison linéaire de L1, L2 et L3 et c'est pour cela qu'il suffit d'en étudier une seule (L1-L2 en l'occurence) pour être sûr de pouvoir déterminer l'ensemble des solutions sans en oublier ?
Vos vidéos sont vraiment de grande qualité et me font aimer les maths
Un grand merci ! :D
Bonjour !
C'est exactement cela. On peut se dire, toutefois, que j'ai eu de la chance en me contentant d'étudier L1-L2 et en obtenant ainsi des conditions nécessaires très restrictives. C'est ici qu'on sort de la structure du raisonnement par analyse-synthèse: les manières d'être efficace dans l'analyse ne dépendent que du type de mathématiques étudiées, ici la résolution d'un système non linéaire.
Merci beaucoup pour le compliment sur les vidéos !
bjr
merci pour les videos. svp une petite question : quelle logiciel travallez vous dans vos videos?
Bonjour ! Voici les outils utilisés:
✍️ Graphic Tablet: amzn.to/32Pe1VY
📝 Screen recording: Camtasia + Photoshop.
🎧 Audio recording & editing: Audacity.
🎬 Video montage: Adobe Premiere.
Bonjour,
en quoi la synthèse couvre-t-elle tous les cas ? Nous avons jugé bien vite qu'il n'y avait que 2 possibilités (0 et -2) je suis confus...
Salutations ! En résumé, dans la partie « analyse », on a montré que si (x,y,z) est une solution du système, alors 'y' est forcément différent de -1, donc x(x-2) = 0, donc x vaut soit 0, soit 2.
À ce stade, une question se pose: les triplets (x,y,z) correspondant à x = 0 et à x = 2 sont-ils réellement des solutions du système ? D'un point de vue logique, aucun élément de la partie « analyse » ne permet de l'affirmer. Cela dit, on dispose là d'un ensemble très réduit de solutions potentielles.
C'est la raison pour laquelle, à 5:54, on examine réciproquement (partie « synthèse ») lesquelles de ces solutions potentielles sont des solutions. En l'occurrence, il s'avère qu'elles le sont toutes les deux, mais ça aurait très bien pu ne pas être le cas.
@@oljenmaths merci beaucoup !
Bonjour,
Je suis en terminale donc la notion de résolution par analyse synthèse m'est encore un peu flou.
J'aurais donc une question.
Pour résoudre un système, je suis habitué à trouver directement l'ensemble des solutions en faisant des combinaisons linéaires où des substitutions et sans avoir besoin de cette étape de synthèse
Ma question est la suivante, est ce qu'on perd l'équivalence en faisant des combinaisons linéaires ou des substitutions ? Si oui, comment construire un système équivalent au système initial ? Et peut-on réellement résoudre un système uniquement par équivalences ?
J'imagine que la réponse à mes questions dépendent du système initial, je serais donc curieux de savoir quels conditions doivent respecter le système pour que telle ou telle propriété soit vrai.
Bonjour ! La plupart du temps, les combinaisons linéaires permettent de conserver des systèmes équivalents (au sens où ils ont exactement les mêmes solutions), tandis que les substitutions vont toujours permettre de conserver une équivalence si on s'y prend bien.
🔹 Pour les combinaisons linéaires, c'est le plus simple à comprendre. Admettons que j'ai un système à trois équations, L1, L2, L3. Si je fais remplace L1 par L1+L2, aucun problème. Si je remplace L1 par L2 (ce qui fait disparaître L1), je perds l'équivalence. Ça paraît stupide mais c'est vraiment le seul moyen de perdre l'équivalence lorsqu'on réalise des opérations sur les lignes une par une: il faut absolument que la ligne qui va être modifiée comporte encore un tout petit bout d'elle-même pour que l'équivalence soit conservée. Même remplacer L1 par 0.000001 L1 + L2 conviendrait.
🔹Pour les substitutions, considérons le système {y = x^3} et {y² + xy + x = 0}. La seule boulette à ne pas faire, c'est de dire que ça équivaut à x^6 + x^4 + x = 0. Plutôt, ça équivaut à {y = x^3} et { x^6 + x^4 + x = 0}: il faut conserver deux lignes à partir desquelles on peut retrouver les deux précédentes.
C'est une explication très incomplète, mais cette dernière phrase fournir l'essentiel: si tu ne fais pas d'erreur, tu pourras toujours aller de gauche à droite, et pour savoir si l'équivalence est conservée, il suffit de te demander si tu peux aller de droite à gauche.
@@oljenmaths merci beaucoup pour cette réponse très complète !
Ça m'éclaire sur le sujet
@@oljenmaths De ce que j’ai compris, est ce que cela veut dire que, dans l'exemple de la video, l'étape de synthèse n'était pas réellement utile ?
@@lucarl1021 Je pense qu'en faisant preuve d'une extrême dextérité, j'aurais peut-être pu raisonner par équivalences, mais il aurait fallu pour cela conserver un système de trois équations tout du long. Plutôt que de faire cela en traînant le système comme un boulet à la cheville, j'ai choisi de raisonner par implications en disant que si le système est vérifié, alors L1-L2 l'est aussi, et donc… donc… donc…. En faisant comme ça, je n'ai d'autre choix que de procéder à une synthèse, c'est-à-dire à la vérification que les potentielles solutions retenues par mes filets sont bel et bien des solutions du système 👨🏻🏫.
Merci monsieur sur votre effort, ma question est : quand est ce qu'on utilise ce genre de démonstration autrement, il n'y a que ce genre de problème pour analyser et synthèser ?
Merci d'avance !
Ce raisonnement est mis en scène d'une manière un peu théâtrale ici, mais en réalité, on utilise ce raisonnement dans n'importe quel problème où le raisonnement par équivalence est problématique.
🔹 Dans l'analyse, on procède par implication, et on récupère ce faisant les solutions, ainsi que des potentielles "fausses solutions".
🔹 Dans la synthèse, on fait le tri pour distinguer entre les solutions et les "fausses solutions" issues de l'analyse.
🔸 Un exemple simple: résoudre, dans R, l'équation √(x²+x+1) = 2x-1.
🔸 Un exemple plus musclé: démontrer que toute fonction de R dans R s'écrit comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.
Au bout d'un moment, on utilise ce raisonnement sans même y penser. Je donne, en réponse au commentaire de Johan Roux (voir plus bas), une autre illustration à base d'un achat de pantalons 🙃 !
@@oljenmaths Merci beaucoup pour vos vidéos qui sont super claires, ainsi que pour vos réponses aux commentaires qui sont tout aussi utiles !!
Super comme d'habitude ! Mais comment peut ont être sur qu'on a trouvé tous les champignons et pas seulement une partie ?
0:00-5:33 Dès le début, Marcel ratisse toute la zone de manière à être certain qu'en-dehors de C, il n'y a aucun champignon. Tous les champignons sont donc forcément dans la zone C, bien qu'il n'y en ait pas forcément partout.
5:33-6:49 Marcel regarde à chaque endroit de C pour voir s'il y a un champignon ou pas. Naturellement, grâce à ses verres fumés, il n'en rate aucun 😎.
La question porte-t-elle sur la pertinence de la métaphore ou bien sur la partie mathématique, consistant à démontrer une double-inclusion ?
@@oljenmaths D'accord, cela répond à ma question qui portait effectivement sur la méthode en elle même et non sur la métaphore. Merci
Merciiiiiiiiiiiiiiiii
marcel c'est jean pierre coff ;)
Je dois avouer qu'il y a une certaine ressemblance. Toutefois, Marcel peut se targuer d'avoir été tracé à la règle et au compas, ce qui n'est pas donné à tout le monde 😎.
bonjour, pour m'excercer je suis allé sur un site qui propose des exercices d'analyse synthèse. L'exercice, le voici : le problème est de résoudre ce système appelé (S) de 3 trois équation que j'ai pour mon raisonnement appelé respectivement de haut en bas (S1), (S2), (S3). x, y et z son des réels donc l'équation est traité sur R3.
{x² + 4yz + 2z = 0 (S1)
(S) : {x + 2xy + 2z² = 0 (S2)
{2xz + y² + y + 1 = 0 (S3)
pour accéder au corrigé il faut souscrire et créer un compte ce que je ne veux pas faire. Svp dites moi votre réponses et je veux voir si j'ai la même. pour résumer ce je j'ai écrit, (S) est impossible à résoudre car (S3) rend (S1) et (S2) incompatible.
au cas ou le site est : www.mathprepa.fr/par-analyse-synthese/
il y a d'autres exercices d'analyse synthèse. Le 5 eme est celui que j'ai étudié
et donc par rapport à la vidéo au problème d'équivalence, si vous aviez par je ne sais quel moyen réussi à raisonner par équivalence du début jusqu'à la fin, vous n'auriez pas eu besoin de vérifier les potentiels solution du système ?
Bonjour !
Grands dieux ! Ce système n'a pas l'air simple à résoudre, et je n'ai pas du tout le temps de m'y coller. Je te conseille de te tourner vers des sites où les exercices sont corrigés gratuitement si tu ne souhaites pas investir, comme exo7.emath.fr/ , par exemple.
Quant au rapport à la vidéo, c'est exact. Voilà un résumé:
🔹 Si on raisonne par implication et qu'on prétend déterminer les solutions, il est nécessaire de procéder à une synthèse.
🔹 Si on raisonne par équivalence, il n'est pas _nécessaire_ de vérifier les solutions. Cela dit, il peut être utile de le faire afin de détecter de potentielles erreurs, par exemple.
@@oljenmaths merci de votre réponses. Vos vidéos sont intéressante.
Jouer avec les mots pour compliquer la vie : 'analyse-synthese'
Analyse: c'est naturel, on l'utilise spontanément
Synthèse : ce n'est qu'une vérification.
Alors pourquoi inventer d'autres mots pour parler plus simplement.
Le problème de ce raisonnement, c'est qu'on se lance tout droit dans l'œuvre d'Orwell, 1984.
« - C’est une belle chose, la destruction des mots. Naturellement, c’est dans les verbes et les adjectifs qu’il y a le plus de déchets, mais il y a des centaines de noms dont on peut aussi se débarrasser. Pas seulement les synonymes, il y a aussi les antonymes. Après tout, quelle raison d’exister y a-t-il pour un mot qui n’est que le contraire d’un autre ? Les mots portent en eux-mêmes leur contraire. Prenez « bon », par exemple. Si vous avez un mot comme « bon » quelle nécessité y a-t-il à avoir un mot comme « mauvais » ? « Inbon » fera tout aussi bien, mieux même, parce qu’il est l’opposé exact de bon, ce que n’est pas l’autre mot. Et si l’on désire un mot plus fort que « bon », quel sens y a-t-il à avoir toute une chaîne de mots vagues et inutiles comme « excellent », « splendide » et tout le reste ? « Plusbon » englobe le sens de tous ces mots, et, si l’on veut un mot encore plus fort, il y a « doubleplusbon ». Naturellement, nous employons déjà ces formes, mais dans la version définitive du novlangue, il n’y aura plus rien d’autre. En résumé, la notion complète du bon et du mauvais sera couverte par six mots seulement, en réalité un seul mot. Voyez-vous, Winston, l’originalité de cela ? Naturellement, ajouta-t-il après coup, l’idée vient de Big Brother. »
Les mots ont une profondeur, et les mots analyse et synthèse n'ont pas été choisi au hasard, ou par une soudaine envie de complexifier quelque chose de simple.
C'est aussi clair que le crâne de Marcel
Par contre est-ce qu'il faut avoir une sorte de flair pour restreindre la zone de recherche parce que le coup du "je retranche L2 à L1" je ne l'aurai jamais trouvé tout seul. Sinon merci pour cette vidéo "impeccable".
Je l'explique comme résultat d'une certaine symétrie dans le système: dans ce genre de cas, il est bon de penser à la somme et à la différence. Cela dit, personne ne m'a jamais expliqué cela, c'est quelque chose qui est issu de la pratique des mathématiques. Une fois qu'on l'a fait deux ou trois fois, ça reste 😉.
@@oljenmaths ah d'accord c'est avec l'habitude que ça devient un réflexe. Merci
Oui ! C'est souvent comme ça avec beaucoup de choses dans la vie (marcher sans perdre l'équilibre, mâcher les aliments avant de les avaler, etc.) et les mathématiques ne font pas exception à la règle. Au début, on se rate, puis on essaie encore et encore, puis on réussit ✌️!
Tout à fait j'ai un peu trop tendance à croire qu'une fois "grand" tout s'apprend en un coup. Mais faire des mathématiques (apprendre la logique) me permet chaque jour de me rendre compte de mon erreur.
👌❤
Bonjour, AMHA, la résolution d'un système d'équations n'est pas la meilleure illustration du raisonnement d'analyse-synthèse car c'est la méthode que tout le monde utiliserait et on voit difficilement comment faire autrement. Les exemples classiques sont des résolutions de somme directe de sev. Peut-être un meilleur exemple selon moi : montrer que tout entier naturel non nul s'écrit (de manière unique) comme produit d'une puissance de 2 et d'un entier impair (edit : vous utilisez cet exemple pour la récurrence)
Tous les exemples ont leurs avantages et leurs inconvénients. En l'occurrence, étant donné que je me sers de cette vidéo comme de référence pour les étudiants en début de première année, parler d'algèbre linéaire ne conviendrait guère. Dans l'idéal, j'aurais bien aimé m'avoir vu choisir un exemple élémentaire, de niveau lycée, mais bon... Maintenant, c'est fait 🙃!
Pour l'exercice j'ai direct vu la symétrie algébrique du coup la solution est evidente
Je comprends pas trop
Pour comprendre le principe du raisonnement par analyse-synthèse, peut-être que cette analogie t'aidera davantage.
Imagine-toi dans un magasin afin de choisir un pantalon qui est à ta taille et à ton goût.
👖 Dans un premier temps, tu prends tous les pantalons du magasin (ensemble S).
👖 Si un pantalon doit convenir, alors il doit déjà être à ton goût (implication).
👖 Tu les tries donc un par un uniquement selon tes goûts (exemple d'analyse).
👖 Imaginons qu'à la fin, il ne te reste qu'un seul pantalon (ensemble C).
👖 Rien ne dit qu'il soit à ta taille. Il faut le vérifier (synthèse).
Mon histoire de pantalons est-elle plus éclairante 😃 ?
@@oljenmaths ouii j'adore, merci beaucoup !
Nice je lie pas les letre atacher et je comprend rien a ton histoire de champignon 😭
Pour comprendre le principe du raisonnement par analyse-synthèse, peut-être que cette analogie t'aidera davantage.
Imagine-toi dans un magasin afin de choisir un pantalon qui est à ta taille et à ton goût.
👖 Dans un premier temps, tu prends tous les pantalons du magasin (ensemble S).
👖 Si un pantalon doit convenir, alors il doit déjà être à ton goût (implication).
👖 Tu les tries donc un par un uniquement selon tes goûts (exemple d'analyse).
👖 Imaginons qu'à la fin, il ne te reste qu'un seul pantalon (ensemble C).
👖 Rien ne dit qu'il soit à votre taille. Il faut le vérifier (synthèse).
Mon histoire de pantalons est-elle plus éclairante 😃 ?