Merci beaucoup professeur Rittaud. C'est très intéressant et expliqué très clairement. Bravo. J'espère que vous referez d'autres vidéos. C'est de qualité comme votre livre sur le nombre racine de 2. 👍
Excellente question, je n'y avais jamais pensé ! Construire une infinité dénombrable d'infinis est relativement facile à partir de ce qui est signalé sur l'ensemble des parties d'un ensemble E qui n'est jamais en bijection avec E (en prenant pour E un ensemble dénombrable, par exemple l'ensemble N des entiers naturels). Construire d'autres infinis peut s'envisager de deux façons différentes : - soit construire des infinis "encore plus gros" que la "limite des infinis" donnée par la suite (P^n(N))_n (où P^n(N) est l'ensemble des parties de P^(n-1)(N)) ; - soit construire des infinis intermédiaires entre ceux de P^n(N) et de P^(n+1)(N). La deuxième piste conduit, pour commencer, à regarder par exemple entre N et P(N). On peut montrer que P(N) est en bijection avec R (exercice !). Existe-t-il un infini intermédiaire entre la puissance du continu et la puissance du dénombrable ? C'est le premier des fameux "23 problèmes de Hilbert" (encore lui) proposés par Hilbert en 1900 pour le XXe siècle. La réponse est : il n'y a pas de réponse dans le système ordinaire d'axiomes de la théorie des ensembles (quand je disais que les choses deviennent vite compliquées…). Je pense que la première piste est un peu plus simple à suivre, au moins d'une façon intuitive, mais je n'ai jamais regardé. Si quelqu'un s'y connaît et peut donner une référence, merci d'avance.
Oui, C est en bijection avec R. Pour le démontrer on peut commencer par mettre C en bijection avec R^2 (par exemple avec l'application z ->(Re(z),Im(z))), puis démontrer que R^2 et R sont en bijection. C'est d'ailleurs ce qui a étonné le plus Cantor. La démonstration passe là encore par les développements décimaux : en envoyant (0,a1 a2 a3 a4… ; 0,b1 b2 b3 b4…) sur 0,a1 b1 a2 b2 a3 b3 a4 b4…, on réalise une bijection de ]0,1[^2 dans ]0,1[ (à quelques restrictions techniques près pour tenir compte des développements impropres). On démontre par ailleurs que ]0,1[^2 est en bijection avec R^2 et ]0,1[ en bijection avec R (la fonction f défine sur ]0,1[ par f(x)=tan(πx +π/2) est un exemple de bijection de ]0,1[ sur R), et le résultat suit. Plus généralement, R^n et R sont en bijection pour tout n.
Oui, c'est exact, mais en pratique on définit plutôt les nombres algébriques en premier (un nombre est algébrique s'il est solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers), et ensuite les nombres transcendants par opposition (un nombre est transcendant s'il n'est pas algébrique).
Vous faites bien de préciser qu'on a un problème à cause de l'existence de deux développement décimaux pour les nombres décimaux mais pourriez-vous me donner des références concernant ce point qui me semble fondamental. En effet, j'ai du mal à accepter le raisonnement qui consiste à dire qu'il suffit de ne pas accepter les périodes 0 et 9 et le tour est joué. Comment, dans ces conditions, prendre en compte l'infinité (dénombrable) des nombres décimaux présents entre 0 et 1 ?
Ce qu’il faut, c’est éviter les 0000… et les 99999… dans le nombre construit par l’argument diagonal, pour éviter le problème des nombres à deux écritures. Tout ce qu’on demande au nombre construit par la diagonale, c’est de ne pas apparaître dans la liste. En lui interdisant 0 et les 9, on lui interdit aussi d’être décimal, mais ce n’est pas important
@@benoitrittaud492 Comment ça "ce n'est pas important" ? Comme disait CANTOR, le diable se cache dans l'infini et j'ajouterais le diable se cache dans les détails. De plus, vous avez insisté dans votre vidéo sur le fait que pour étudier sérieusement les phénomènes liés à l'infini, il fallait ne pas se fier à son intuition. Je me pose donc la question : Comment CANTOR a-t-il rédigé cette démonstration pour qu' il n'y ait aucune erreur de raisonnement dans sa preuve.
@@loicgeeraerts Quand je dis que ce n’est pas important, ce que je veux dire c’est que ce n’est pas important pour la démonstration elle-même. Ce qu’on cherche à construire, c’est un nombre qui n’apparaît pas dans la liste. En interdisant aux décimales d’être égales à 0 et à 9, on construit bien une suite de chiffres qui n’apparaît pas dans la liste, et le nombre correspondant obtenu n’est pas décimal. Le fait que ce nombre ne soit pas décimal suffit à garantir qu’il n’est pas égal à un des nombres de la liste, c’est-à-dire que le problème posé par les nombres ayant deux écritures décimales distinctes ne se produit pas. Cf aussi les explications données un peu plus loin dans la vidéo
@@benoitrittaud492 Je me trompe peut-être mais il semble qu' il suffise d'interdire uniquement les développements impropres et le tour est joué. En effet, même en gardant la période 0 tout semble fonctionner correctement et cela permet de prendre en compte les nombres décimaux dans la liste dénombrable de "tous" les nombres compris entre 0 et 1. Cela permet également de construire correctement la bijection entre le carré et l'un de ses côté.
@@loicgeeraerts On peut interdire les développements impropres dans la liste, mais il restera nécessaire de s'assurer que la suite de chiffres obtenue par construction diagonale ne sera pas, elle, le développement impropre d'un réel (qui correspondrait alors à un nombre décimal apparaissant peut-être dans la liste, sous son autre forme d'une suite finie de chiffres suivie de 00000…). En interdisant les développements impropres dans la liste, il suffit d'interdire aussi les 9 dans la construction diagonale (plus besoin d'interdire les 0 aussi) pour obtenir une variante correcte de la démonstration
Cette vidéo mérite quand même beaucoup plus de vues.
Excellentissime !
Cours très intéressant, j'aime beaucoup ce format. Merci !
Merci beaucoup professeur Rittaud. C'est très intéressant et expliqué très clairement. Bravo. J'espère que vous referez d'autres vidéos. C'est de qualité comme votre livre sur le nombre racine de 2. 👍
Merci professeur
Merci beaucoup pour ce cours magistral ! Une pépite
Merci à vous 😊
Quand vous dites qu'il existe une infinité d'infinis, est-ce une infinité dénombrable ou non dénombrable?
Excellente question, je n'y avais jamais pensé !
Construire une infinité dénombrable d'infinis est relativement facile à partir de ce qui est signalé sur l'ensemble des parties d'un ensemble E qui n'est jamais en bijection avec E (en prenant pour E un ensemble dénombrable, par exemple l'ensemble N des entiers naturels). Construire d'autres infinis peut s'envisager de deux façons différentes :
- soit construire des infinis "encore plus gros" que la "limite des infinis" donnée par la suite (P^n(N))_n (où P^n(N) est l'ensemble des parties de P^(n-1)(N)) ;
- soit construire des infinis intermédiaires entre ceux de P^n(N) et de P^(n+1)(N).
La deuxième piste conduit, pour commencer, à regarder par exemple entre N et P(N). On peut montrer que P(N) est en bijection avec R (exercice !). Existe-t-il un infini intermédiaire entre la puissance du continu et la puissance du dénombrable ? C'est le premier des fameux "23 problèmes de Hilbert" (encore lui) proposés par Hilbert en 1900 pour le XXe siècle. La réponse est : il n'y a pas de réponse dans le système ordinaire d'axiomes de la théorie des ensembles (quand je disais que les choses deviennent vite compliquées…).
Je pense que la première piste est un peu plus simple à suivre, au moins d'une façon intuitive, mais je n'ai jamais regardé. Si quelqu'un s'y connaît et peut donner une référence, merci d'avance.
L’ensemble des nombres complexes est-il en bijection avec IR ? Je pense que oui.
Oui, C est en bijection avec R. Pour le démontrer on peut commencer par mettre C en bijection avec R^2 (par exemple avec l'application z ->(Re(z),Im(z))), puis démontrer que R^2 et R sont en bijection. C'est d'ailleurs ce qui a étonné le plus Cantor. La démonstration passe là encore par les développements décimaux : en envoyant (0,a1 a2 a3 a4… ; 0,b1 b2 b3 b4…) sur 0,a1 b1 a2 b2 a3 b3 a4 b4…, on réalise une bijection de ]0,1[^2 dans ]0,1[ (à quelques restrictions techniques près pour tenir compte des développements impropres). On démontre par ailleurs que ]0,1[^2 est en bijection avec R^2 et ]0,1[ en bijection avec R (la fonction f défine sur ]0,1[ par f(x)=tan(πx +π/2) est un exemple de bijection de ]0,1[ sur R), et le résultat suit. Plus généralement, R^n et R sont en bijection pour tout n.
@@benoitrittaud492 merci
Les nombres réels algébriques sont en fait les nombres non-transcendants, est-ce exact ?
Oui, c'est exact, mais en pratique on définit plutôt les nombres algébriques en premier (un nombre est algébrique s'il est solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers), et ensuite les nombres transcendants par opposition (un nombre est transcendant s'il n'est pas algébrique).
Monsieur,
Vous aviez fait cette vidéo pour les licence ou pour les Master ?
Bien cordialement
Bonsoir,
Il s'agit d'un cours pour les 2e année de prépa intégrée à sup Galilée.
Cordialement,
BR.
@@benoitrittaud492 Merci beaucoup.
Cordialement.
Vous faites bien de préciser qu'on a un problème à cause de l'existence de deux développement décimaux pour les nombres décimaux mais pourriez-vous me donner des références concernant ce point qui me semble fondamental.
En effet, j'ai du mal à accepter le raisonnement qui consiste à dire qu'il suffit de ne pas accepter les périodes 0 et 9 et le tour est joué. Comment, dans ces conditions, prendre en compte l'infinité (dénombrable) des nombres décimaux présents entre 0 et 1 ?
Ce qu’il faut, c’est éviter les 0000… et les 99999… dans le nombre construit par l’argument diagonal, pour éviter le problème des nombres à deux écritures. Tout ce qu’on demande au nombre construit par la diagonale, c’est de ne pas apparaître dans la liste. En lui interdisant 0 et les 9, on lui interdit aussi d’être décimal, mais ce n’est pas important
@@benoitrittaud492 Comment ça "ce n'est pas important" ? Comme disait CANTOR, le diable se cache dans l'infini et j'ajouterais le diable se cache dans les détails. De plus, vous avez insisté dans votre vidéo sur le fait que pour étudier sérieusement les phénomènes liés à l'infini, il fallait ne pas se fier à son intuition.
Je me pose donc la question : Comment CANTOR a-t-il rédigé cette démonstration pour qu' il n'y ait aucune erreur de raisonnement dans sa preuve.
@@loicgeeraerts Quand je dis que ce n’est pas important, ce que je veux dire c’est que ce n’est pas important pour la démonstration elle-même. Ce qu’on cherche à construire, c’est un nombre qui n’apparaît pas dans la liste. En interdisant aux décimales d’être égales à 0 et à 9, on construit bien une suite de chiffres qui n’apparaît pas dans la liste, et le nombre correspondant obtenu n’est pas décimal. Le fait que ce nombre ne soit pas décimal suffit à garantir qu’il n’est pas égal à un des nombres de la liste, c’est-à-dire que le problème posé par les nombres ayant deux écritures décimales distinctes ne se produit pas. Cf aussi les explications données un peu plus loin dans la vidéo
@@benoitrittaud492 Je me trompe peut-être mais il semble qu' il suffise d'interdire uniquement les développements impropres et le tour est joué. En effet, même en gardant la période 0 tout semble fonctionner correctement et cela permet de prendre en compte les nombres décimaux dans la liste dénombrable de "tous" les nombres compris entre 0 et 1.
Cela permet également de construire correctement la bijection entre le carré et l'un de ses côté.
@@loicgeeraerts On peut interdire les développements impropres dans la liste, mais il restera nécessaire de s'assurer que la suite de chiffres obtenue par construction diagonale ne sera pas, elle, le développement impropre d'un réel (qui correspondrait alors à un nombre décimal apparaissant peut-être dans la liste, sous son autre forme d'une suite finie de chiffres suivie de 00000…). En interdisant les développements impropres dans la liste, il suffit d'interdire aussi les 9 dans la construction diagonale (plus besoin d'interdire les 0 aussi) pour obtenir une variante correcte de la démonstration