Transformação Linear Determinada por uma Base. | 04. Álgebra Linear.
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- Опубліковано 18 вер 2024
- Sejam V e W espaços vetoriais, com {v1, v2, …, vn} uma base de V e {w1, w2, …, wn} vetores arbitrários de W. Nesta videoaula vamos provar que existe uma única transformação linear T : V → W tal que T(v1) = w1, T(v2) = w2, …, T(vn) = wn.
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Gabarito - Exercício final.
T(x, y, z) = (4x - 3y + 2z, 2x - y + 6z)
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/ lcmaquino
Muito bom revisar álgebra linear
A ideia de deixar um exercício no final é incrível e muito didático👏👏👏👏
Obrigado! 😃
Muito bom!!! Didática incrível, foi graças as suas aulas que tirei 10 na minha prova de álgebra linear, que Deus te abençoe professor.
Uau, que legal saber que você tirou 10 com ajuda das minhas videoaulas! 🥰
A didática desse professor é impecável!!!
Ana, obrigado! 😍
EXCELENTE AULA!!!
O senhor estava cansado nessa aula!! Mesmo assim deu uma aula impecável, parabéns pela didática!!
Obrigado! 😃
Fico muito feliz em vê-lo crescer e conquistar o seu espaço. Parabéns por ser um profissional competente!
excelente
Que bom que gostou! 😃
obrigado
Professor, que aula boa! Era tudo que eu precisava hahaha!!!! Apoiando ao máximo seu conteúdo agora!! Tmj
Muito boa a explicação, professor.
Só uma questão, o modo de resolução de exercícios semelhantes a este no livro do Boldrini é ligeiramente diferente da que você apresenta, né?
Eu fico um pouco confuso com diferentes abordagens kk.
O modo de resolução no livro do Boldrini também é feito como na videoaula. O que você achou "ligeiramente diferente"?
Professor, poderia me tirar uma dúvida por favor? O vetor nulo ele pode estar na imagem de uma transformação linear?
Um vetor nulo SEMPRE vai estar na imagem (e outro vetor nulo SEMPRE vai estar no domínio)!
Falando mais especificamente, se você tem uma transformação linear T de V em U, então você terá T(0v) = 0u, onde aqui 0v está representando o vetor nulo de V e 0u o vetor nulo de U.
Em outras palavras, o vetor nulo do domínio V SEMPRE é levado pela transformação linear T no vetor nulo da imagem U.
Ficou claro? Comente aqui!
@@LCMAquino Entendi, obg
@@LCMAquino Eu tenho só mais uma dúvida, supondo que a imagem de uma transformação linear seja {(1,2), (-3, 4), (0,0)} então a dimensão de Im(T) seria igual a 2 ou 3? O vetor nulo conta?
Por definição, "dimensão" é o número de elementos de qualquer base de um espaço/subespaço vetorial.
No caso do conjunto B = {(1, 2), (-3, 4), (0, 0)}, isso não formaria uma base, pois B é LD. Para ser base, um conjunto B precisa ser gerador e LI.
Por outro lado, considerando que fosse B' = {(1, 2), (-3, 4)}, aí teríamos B' gerando e sendo LI. Nesse caso, B' seria uma base. E como o conjunto B' tem 2 vetores como elementos, então a dimensão seria 2.
Essa explicação também ficou claro?! Comente aqui!
@@LCMAquino Eu perguntei porque estou tentando determinar a imagem dessa transformação linear: T(x,y) = (x+y, x , 2y), e eu achei estranho porque minha resposta ficou x(1,1,0) + y(1,0,2) + z(0,0,0)
Aula 4 ✔
Você pegou o ritmo!
O núcleo da transformação Linear que foi passada para exercício, seria ( x=7t, y=10t, z=t ) ?
Isso mesmo! Muito bem!
Olá professor, tudo?
Eu tenho a questão:
Encontre a transformação linear T : R^2 → R^3 de tal modo que
T(−1, 1) = (1, 2, 0) e (0, 2) ∈ ker T.
Eu fiquei um pouco confuso. Eu teria que achar um "a" e "b". Depois aplicar a Transformação linear em ambos os lados? E esse núcleo, como posso utilizá-lo?
Foi dado para você que T(-1, 1) = (1, 2, 0). Por outro lado, como foi dito que (0, 2) está no núcleo de T, você pode dizer que T(0, 2) = (0, 0, 0). Agora note que B = {(-1, 1), (0, 2)} é uma base para ℝ^2. A partir daí você deve fazer conforme você disse: achar um "a" e "b" (tais que (x, y) = a(-1, 1) + b(0, 2)); aplicar a Transformação Linear em ambos os lados. Tente continuar e comente aqui o que você conseguiu.
Obs.: na videoaula a seguir eu resolvi um exercício que pode lhe ajudar no entendimento desse seu exercício: ua-cam.com/video/xLg9bGre7Pg/v-deo.html
@@LCMAquino Olá professor bom dia, desculpe o atraso fiquei off no final de semana. Mas vamos lá, eu fiz:
(x,y) = a.(-1,1) + b.(0,2).
Achando, a = -x e b = (y+x)/2.
-- Agora irei aplicar a transformação linear.
(x,y) = (-x).(-1,1) + ((x+y)/2).(0,2)
(x,y) = (-x).T(-1,1)+ ((x+y)/2).T(0,2)
Trocando T(x,y) pelos valores dado na questão:
(x,y) = (-x).(1,2,0)+ ((x+y)/2).(0,0,0).
Como o senhor disse T(0,2) pertence ao núcleo, e com isso sabemos que só há o valor nulo.
Assim ficando:
(x,y) = (-x, -2x, 0) + (0,0,0)
Logo, T(x,y) = (-x, -2x, 0).
Certo?
@@LCMAquinoe desde já, obrigado!
Uma dúvida, eu posso usar determinação por base na Matriz mudança de base?
Desculpe-me, mas eu não entendi sua dúvida. Poderia dar um exemplo da sua dúvida?