Можно попро́ще на основании формул: a⁵-b⁵=(a-b)•(a⁴+a³b+a²b²+ab³+b⁴) (*1) и частного случая 1-b⁵=(1-b)•(1+b+b²+b³+b⁴). (*2) Эти формулы можно вывести из деления многочленов в столбик. Вычтем из обеих частей исходного уравнения (1/512)•sin¹⁰(2x), при этом в левой части раскроем синус двойного аргумента в 10-ой степени: sin²⁰x+cos²⁰x-2sin¹⁰x•cos¹⁰x=1-sin¹⁰(2x), т.е. (cos¹⁰x-sin¹⁰x)²=1-sin¹⁰(2x). Теперь в левой части воспользуемся формулой (*1) в скобке под квадратом: a=cos²x; b=sin²x. В правой части воспользуемся формулой (*2): b=sin²(2x). Получим (cos²x-sin²x)²•Q²=[1-sin²(2x)]•R Причём Q=cos⁸x+cos⁶x•sin²x+ +cos⁴x•sin⁴x+cos²x•sin⁶x+sin⁸x R=1+sin²(2x)+sin⁴(2x)+sin⁶(2x)+sin⁸(2x) Используя формулу косинуса двойного аргумента, получим: cos²(2x)•Q²=cos²(2x)•R. Перенесём всё в правую часть: cos²(2x)•(R-Q²)=0. Первая серия решений: cos(2x)=0, т.е. 2x=π/2 + kπ, или x=π/4 + kπ/2. Вторую серию решений можно найти из решения уравнения R-Q²=0. Из выражения для R ясно, что R≥1, причём равенство достигается только при условии sin(2x)=0. Для оценки выражения для Q сложим первые два члена из выражения для Q: cos⁸x+cos⁶x•sin²x=cos⁶x•(cos²x+sin²x)=cos⁶x Аналогично сумма последних двух членов равна sin⁶x. Т.е. Q=cos⁶x+sin⁴x•cos⁴x+sin⁶x. Теперь оценим cos⁶x+sin⁶x: 1=(cos²x+sin²x)³= =cos⁶x+3cos⁴x•sin²x+ +3cos²x•sin⁴x+sin⁶x= =cos⁶x+3sin²x•cos²x•(cos²x+sin²x)+sin⁶x= =cos⁶x+3sin²x•cos²x+sin⁶x. Поэтому cos⁶x+sin⁶x=1-3sin²x•cos²x. Значит, Q=1-3sin²x•cos²x+sin⁴x•cos⁴x. Поскольку |sinx•cosx|
"Что решать и как готовиться, 2 недели до ЕГЭ" - начало тренда аниме-девочек на превью. "Задача из 239 лицея, сможете ли вы учиться в физмате" - конец тренда.
Накопить деньжат чтобы поступить, учиться во время обучения Накопить денег на репетиторов чтобы успешно сдать ЕГЭ Помнится когда я поступал в институт не в МГУ были подготовительные курсы бесплатные. Книжки с примерами задач и их решения Кто хотел тот поступал во времена СССР, приезжал из дальних регионов .
Мое решение: Представим слагаемые слева как квадраты синуса и косинуса в десятой степени и воспользуемся формулой половинного угла. Это нужно, чтобы, получив косинус 2x, сделать замену. Умножим уравнение на 2^10. Будем иметь: (1-cos2x)^10 + (1+cos2x)^2 = 512 - 1022(sin2x)^10 Воспользовавшись биномом Ньютона и совершив некоторые преобразования, можно получить слева сумму слагаемых вида: C-k-10 * (cos2x)^k, где k =2,4,..,10, а справа 511(1 - (sin2x)^10), C-k-10 это сочетания из 10 по k. Пусть t = (sin2x)^2, тогда ΣC-k-10*(1-t)^(t/2) = 511(1-t^5). Если перенести все слагаемые вправо, вынести 1-t и произвести преобразования, то во втором множители свободный коэффициент будет равен нулю, тогда можно будет вынести t и получить многочлен P(t) третий степени с положительными коэффициентами, . Так как t >= 0, то P(t) > 0, значит уравнение равносильно совокупности: t = 0 или t-1 = 0. Решив полученные элементарные тригонометрические уравнения, будем иметь: x = pi/4 * k, k E Z
Потому что мы из P многочлена вычитали двух членов, осталось 2¹⁰-2=1022 В третей строке видно, что P(sin²x; cos²x) это не весь (sin²x+cos²x)¹⁰. Из него мы вычитали sin²⁰x и cos²⁰x (правая часть второй строки) Вот и остались только 1022
Не самая сложная задача: раскладываем синус двойного угла, делим полученное уравнение, например, на косинус в степени 20, получаем тангенсы в 10 и в 20 степенях, затем идёт замена переменной и решение степенного уравнения с использованием бинома Ньютона 🤷♂️ Плюс лайфхак: корни этого уравнения должны давать табличные значения тангенса - это же экзамен. Также нужно проверить, выполняется ли исходное уравнение при х=Pi/2 перед тем, как делить на косинус, поскольку это может быть корнем уравнения.
@@Postupashki да, решение степенного уравнения 10, а тем более 19 степени, это непросто. Однако, если говорить о школьном курсе математики, то это неравенство о средних в него не входит, а группировка и подбор рациональных корней с последующим взятием производной и доказательством отсутствия других корней - это, конечно, значительно дольше, но вполне РЕАЛЬНО на базе школьного курса математики. Если мы говорим не о математической спецшколе при МГУ, а о простой средней школе, которых тысячи по всей России (с обычными учителями - выпускниками провинциальных педагогических универов, а не профессорами МГУ).
@@ВиталийВагнер-х7м Разумеется, это канал для физматовских школьников с углублённым изучением математики, которые собираются поступать в МГУ, МФТИ и т.п. Но отличникам и хорошистам из обычных школ тоже может быть интересно.
При поступление В МГУ, Вы должны ясно понимать куда поступаете. Здесь задачи берутся не из школьного курса ,а из олимпийских задач по математике. Хвати ли Вам знаний из школьного курса? Думаю, что нет .
у меня одноклассник в мгу, в олимпиадах он не участвовал как я знаю балов за егэ по матану не прям вау-86, как у меня, так что все возможно..но он умный да
@@bomjiza2698 Так давайте по порядку(последовательно) 1.Если Вы сдаёте ЕГЭ и получаете высокие баллы , то вы без экзаменов ДВИ поступаете в МГУ. 2.Если Вы не наберете баллы для поступления в МГУ, то вам предлагают ДВИ. Я правильно по понял, алгоритм поступления?
@@АнтонГорелов-ш2я Вы решаете задачи ЕГЭ стандартного типа , а есть задачи не типичные не стандартные. В которых надо знать теоремы и знания их применения.
По моему слишком сложно. После напрашивающихся манипуляций быстренько приходим к (cos¹⁰x-sin¹⁰x)²=1-sin¹⁰(2x) Тупо смотрим. Приходит в голову мысль, что степень слишком произвольно большая, и, вероятно с еще большими степенями ответы будут те же. Тогда спускаемся по четным степеням вниз. Сразу видим, что (cos²x-sin²x)²=1-sin²(2x) просто тождество, и радуемся тому, что интуитивно ясно, что с ростом 2n правая часть бывшего тождества будет расти, а левая часть будет падать, при всех Х кроме как в выделенных значениях, а вместе они будут сходится только в избранных точках, которые мы в процессе доказательства найдем. Остается только эту радость доказать. 1-(sin2x)^2n>1-sin²(2x) при всех Х кроме как sin2x=0 и |sin2x|=1 Доказательство неравенства элементарно. Доказательтво неравенства |(cosx)^(2n+2)- (sinx)^(2n+2)|
В лучшие годы до ЕГЭ конкурс на мехмат был 4-10 человек на место. Так как дети не поумнели, и не поглупели, то все так и осталось. Туда идут очень специфические люди, получать специфическое, никому не нужное образование.
Все эти ваши ролики товарищ "экс" абсолютно бесполезны. Предлагается пример с очевидным решением: cos(x) = 1, sin(2x) = 0. Потом идёт ненужное словоблудие и обосновывается очевидный ответ. И что это даёт школьнику?
Дело не в полноте корней, которые вы пишите по принципу "легко увидеть", а в принципе ваших роликов. Придумываете что-то экзотическое, потом идут околонаучные рассуждения и очевидный ответ. И что это может дать школьнику?
Успокойтесь вы уже со всеми корнями, я не ставил задачу их выписывать, товарищ "экс". Лишь обратил ваше внимание, что и без бинома Ньютона и теореме о среднем арифметическом они видны сразу. А вы своими ненужными рассуждениями лишь запутываете очевидное решение. Кстати как вы произносите "у" - игрек или "вай", или вэй)!
Курс по подготовке к ДВИ 2024: t.me/postupashki/2910
Можно попро́ще на основании формул:
a⁵-b⁵=(a-b)•(a⁴+a³b+a²b²+ab³+b⁴) (*1)
и частного случая
1-b⁵=(1-b)•(1+b+b²+b³+b⁴). (*2)
Эти формулы можно вывести из деления многочленов в столбик.
Вычтем из обеих частей исходного уравнения (1/512)•sin¹⁰(2x), при этом в левой части раскроем синус двойного аргумента в 10-ой степени:
sin²⁰x+cos²⁰x-2sin¹⁰x•cos¹⁰x=1-sin¹⁰(2x),
т.е.
(cos¹⁰x-sin¹⁰x)²=1-sin¹⁰(2x).
Теперь в левой части воспользуемся формулой (*1) в скобке под квадратом:
a=cos²x; b=sin²x.
В правой части воспользуемся формулой (*2):
b=sin²(2x).
Получим
(cos²x-sin²x)²•Q²=[1-sin²(2x)]•R
Причём
Q=cos⁸x+cos⁶x•sin²x+
+cos⁴x•sin⁴x+cos²x•sin⁶x+sin⁸x
R=1+sin²(2x)+sin⁴(2x)+sin⁶(2x)+sin⁸(2x)
Используя формулу косинуса двойного аргумента, получим:
cos²(2x)•Q²=cos²(2x)•R.
Перенесём всё в правую часть:
cos²(2x)•(R-Q²)=0.
Первая серия решений:
cos(2x)=0, т.е.
2x=π/2 + kπ, или
x=π/4 + kπ/2.
Вторую серию решений можно найти из решения уравнения
R-Q²=0.
Из выражения для R ясно, что R≥1, причём равенство достигается только при условии sin(2x)=0.
Для оценки выражения для Q сложим первые два члена из выражения для Q:
cos⁸x+cos⁶x•sin²x=cos⁶x•(cos²x+sin²x)=cos⁶x
Аналогично сумма последних двух членов равна sin⁶x.
Т.е.
Q=cos⁶x+sin⁴x•cos⁴x+sin⁶x.
Теперь оценим cos⁶x+sin⁶x:
1=(cos²x+sin²x)³=
=cos⁶x+3cos⁴x•sin²x+
+3cos²x•sin⁴x+sin⁶x=
=cos⁶x+3sin²x•cos²x•(cos²x+sin²x)+sin⁶x=
=cos⁶x+3sin²x•cos²x+sin⁶x.
Поэтому
cos⁶x+sin⁶x=1-3sin²x•cos²x.
Значит,
Q=1-3sin²x•cos²x+sin⁴x•cos⁴x.
Поскольку |sinx•cosx|
Отличное и очень подробное решение. Похоже именно это решение соответствует решению предлагаемому авторами задачи…
Очень интересное уравнение, сама не решила, для тех, кто любит математику и оригинальные задания, это очень отличное решение, спасибо большое!!!😊
Когда снова будут анимешки на превью? Очень жду, я ваш фанат
Согласен
Не знаю, что вам не нравится
Садовничий - лучше аниме вайфу
"Что решать и как готовиться, 2 недели до ЕГЭ" - начало тренда аниме-девочек на превью.
"Задача из 239 лицея, сможете ли вы учиться в физмате" - конец тренда.
Риторический вопрос:
Что сложнее.. Поступить в МГУ или учиться в МГУ? 😅
Накопить деньжат чтобы поступить, учиться во время обучения
Накопить денег на репетиторов чтобы успешно сдать ЕГЭ
Помнится когда я поступал в институт не в МГУ были подготовительные курсы бесплатные.
Книжки с примерами задач и их решения
Кто хотел тот поступал во времена СССР, приезжал из дальних регионов .
поступить сложнее
Мое решение:
Представим слагаемые слева как квадраты синуса и косинуса в десятой степени и воспользуемся формулой половинного угла. Это нужно, чтобы, получив косинус 2x, сделать замену. Умножим уравнение на 2^10. Будем иметь:
(1-cos2x)^10 + (1+cos2x)^2 = 512 - 1022(sin2x)^10
Воспользовавшись биномом Ньютона и совершив некоторые преобразования, можно получить слева сумму слагаемых вида:
C-k-10 * (cos2x)^k, где k =2,4,..,10, а справа 511(1 - (sin2x)^10), C-k-10 это сочетания из 10 по k.
Пусть t = (sin2x)^2, тогда
ΣC-k-10*(1-t)^(t/2) = 511(1-t^5).
Если перенести все слагаемые вправо, вынести 1-t и произвести преобразования, то во втором множители свободный коэффициент будет равен нулю, тогда можно будет вынести t и получить многочлен P(t) третий степени с положительными коэффициентами, . Так как t >= 0, то P(t) > 0, значит уравнение равносильно совокупности: t = 0 или t-1 = 0. Решив полученные элементарные тригонометрические уравнения, будем иметь: x = pi/4 * k, k E Z
11:05 почему 1022?
До этого же рассуждали что сумма коэффициентов степень двойки. Почему не 2^10=1024?
Потому что мы из P многочлена вычитали двух членов, осталось 2¹⁰-2=1022
В третей строке видно, что P(sin²x; cos²x) это не весь (sin²x+cos²x)¹⁰. Из него мы вычитали sin²⁰x и cos²⁰x (правая часть второй строки)
Вот и остались только 1022
Когда будут истории из пятидесятых? Я их фанат))
Не самая сложная задача: раскладываем синус двойного угла, делим полученное уравнение, например, на косинус в степени 20, получаем тангенсы в 10 и в 20 степенях, затем идёт замена переменной и решение степенного уравнения с использованием бинома Ньютона 🤷♂️
Плюс лайфхак: корни этого уравнения должны давать табличные значения тангенса - это же экзамен. Также нужно проверить, выполняется ли исходное уравнение при х=Pi/2 перед тем, как делить на косинус, поскольку это может быть корнем уравнения.
Без неравенства о средних тут обойтись тяжеловато: возводить в десятую степень - дело все-таки неблагодарное)
@@Postupashki да, решение степенного уравнения 10, а тем более 19 степени, это непросто. Однако, если говорить о школьном курсе математики, то это неравенство о средних в него не входит, а группировка и подбор рациональных корней с последующим взятием производной и доказательством отсутствия других корней - это, конечно, значительно дольше, но вполне РЕАЛЬНО на базе школьного курса математики.
Если мы говорим не о математической спецшколе при МГУ, а о простой средней школе, которых тысячи по всей России (с обычными учителями - выпускниками провинциальных педагогических универов, а не профессорами МГУ).
@@ВиталийВагнер-х7м Здесь приличный математический канал. Будьте любезны писать формулы.
@@ВиталийВагнер-х7м Разумеется, это канал для физматовских школьников с углублённым изучением математики, которые собираются поступать в МГУ, МФТИ и т.п.
Но отличникам и хорошистам из обычных школ тоже может быть интересно.
Где формула Пика
При поступление В МГУ, Вы должны ясно понимать куда поступаете.
Здесь задачи берутся не из школьного курса ,а из олимпийских задач по математике.
Хвати ли Вам знаний из школьного курса? Думаю, что нет .
Бебра
у меня одноклассник в мгу, в олимпиадах он не участвовал как я знаю балов за егэ по матану не прям вау-86, как у меня, так что все возможно..но он умный да
Хватит поверь за 3 месяца проф мат на 100
@@bomjiza2698
Так давайте по порядку(последовательно)
1.Если Вы сдаёте ЕГЭ и получаете высокие баллы ,
то вы без экзаменов ДВИ поступаете в МГУ.
2.Если Вы не наберете баллы для поступления в МГУ,
то вам предлагают ДВИ.
Я правильно по понял, алгоритм поступления?
@@АнтонГорелов-ш2я
Вы решаете задачи ЕГЭ стандартного типа ,
а есть задачи не типичные не стандартные.
В которых надо знать теоремы и знания их применения.
Куда делась дробь на 512 при разложение sin¹°(2х)?
Она же сокращается, потому что 512=2^9, а sin(2x)^10=(2sinxcosx)^10
Можно написать сокращённо: пk/4
Здравствуйте! Я ваш фанат)
По моему слишком сложно. После напрашивающихся манипуляций быстренько приходим к
(cos¹⁰x-sin¹⁰x)²=1-sin¹⁰(2x)
Тупо смотрим. Приходит в голову мысль, что степень слишком произвольно большая, и, вероятно с еще большими степенями ответы будут те же. Тогда спускаемся по четным степеням вниз.
Сразу видим, что
(cos²x-sin²x)²=1-sin²(2x) просто тождество,
и радуемся тому, что интуитивно ясно, что с ростом 2n правая часть бывшего тождества будет расти, а левая часть будет падать, при всех Х кроме как в выделенных значениях, а вместе они будут сходится только в избранных точках, которые мы в процессе доказательства найдем.
Остается только эту радость доказать.
1-(sin2x)^2n>1-sin²(2x)
при всех Х кроме как sin2x=0 и |sin2x|=1
Доказательство неравенства элементарно.
Доказательтво неравенства
|(cosx)^(2n+2)- (sinx)^(2n+2)|
смогу, у меня бви
Делись
как так
Не смогу
Смог
Когда поступате на Мехмат МГУ имейте в виду, что надо отобрать 150-200 из 150 миллионов. И задумайтесь, вы ли это?
Это как Бубнов в сборную СССР по футболу )
В лучшие годы до ЕГЭ конкурс на мехмат был 4-10 человек на место. Так как дети не поумнели, и не поглупели, то все так и осталось.
Туда идут очень специфические люди, получать специфическое, никому не нужное образование.
150 млн? младенцы и пенсионеры уступят место, им не нужно
Все эти ваши ролики товарищ "экс" абсолютно бесполезны. Предлагается пример с очевидным решением: cos(x) = 1, sin(2x) = 0. Потом идёт ненужное словоблудие и обосновывается очевидный ответ. И что это даёт школьнику?
Эх, товарищ-товарищ, это не все корни) Посмотрели бы лучше видео прежде чем гадости всякие писать))
Дело не в полноте корней, которые вы пишите по принципу "легко увидеть", а в принципе ваших роликов. Придумываете что-то экзотическое, потом идут околонаучные рассуждения и очевидный ответ. И что это может дать школьнику?
@@ВладимирПересветов-т3в Это даёт физматшкольнику. Кто хочет в МГУ или МФТИ.
А остальные школьники пусть выбирают.
@@ВладимирПересветов-т3в Ну вот видите, вы что-то все корни разглядеть не смогли))
Успокойтесь вы уже со всеми корнями, я не ставил задачу их выписывать, товарищ "экс". Лишь обратил ваше внимание, что и без бинома Ньютона и теореме о среднем арифметическом они видны сразу. А вы своими ненужными рассуждениями лишь запутываете очевидное решение. Кстати как вы произносите "у" - игрек или "вай", или вэй)!
Зачем коверкать слова, воспринимается очень неприятно, экс
"Икс"- буква латинского алфавита,
"экс"- английского.
Англосаксы говорят "экс".
первый