Engenheiro, meu camarada, tem uma questão que apareceu em uma olimpíada que até hoje não sei resolver, a questão é da Olimpíada Itabirama de Matemática (OIT). Questão 1 prova de 2023 nível 3 fase 1: Considere um retângulo ABCD de lados AB=4 e BC=3. Um ponto P é escolhido aleatoriamente dentro desse retângulo. Qual é a probabilidade de que os triângulos APB e BPD, caso existam, tenham área menor ou igual a 2 ao mesmo tempo? No gabarito da letra A que é 2/9 , mas não sei como resolve, se puder da uma olhada nessa questão ai
Não encontrei a resposta, o meu deu 1/6 mas imagino que o raciocínio esteja certo e devo ter errado em alguma conta, então vou repassar mais ou menos como eu fiz. Para resolver eu fiz o desenho da figura, então recomendo que para entender a explicação você faça um desenho junto com o que você for lendo e entendendo, mas um vídeo seria realmente mt bom pra esse exercício. Primeiro, para que P atenda o ΔAPB, vc conclui que a altura = 1; com isso considere que o retângulo de altura 1 e base AB é onde o ponto P pode estar para que a condição 1 seja atendida. Agora, faça o mesmo para o ΔBPD, só que agora de base = 5 (Δ 3 4 5) e h=0,8, dessa vez considerando tanto a parte de cima do lado DB quanto a parte de baixo, já que ambos estão dentro do retângulo; a figura formada que atende a segunda condição agora deve ser um hexágono que se encontra próximo ao vértice B com o retângulo da condição 1. A figura formada pelo encontro das duas figuras deve ser onde o ponto P atende as duas condições do exercício. Agora, divida a área dessa nova figura pela área total do retângulo ABCD, achando, assim, a probabilidade esperada. Espero ter ajudado!
Tentei resolver e acho que encontrei uma solução satisfatória. Já peço desculpas pela explicação longa, tentei resumir as ideias ao máximo! Recomendo que você desenhe o retângulo em um plano cartesiano ou usando algum aplicativo, como o Geogebra, para facilitar a visualização! Usando geometria analítica, colocando o retângulo no plano cartesiano com os vértices A(0 ; 3), B(4 ; 3), C(4 ; 0) e D(0 ; 0), e dizendo que o ponto P tem coordenadas (a ; b), primeiro achamos um jeito de calcular a área do ΔAPB (particularmente acho mais fácil começar por ele). Usando o lado AB como base do ΔAPB, é possível considerar a altura dele como 3 - b, respectivamente a altura do retângulo e a coordenada no eixo das ordenadas do ponto P. Ficando 4 * (3 - b) / 2 = 2 para que a área do ΔAPB seja
@@murlin783 ficou muito massa essa explicação mano, vlw dms. A minha maior dificuldade era entender como calcular o triângulo BPD, quando fui resolver essa questão a minha noção de geometria analítica era zero
@@ghosterz4512 Também fiquei travado no triângulo BPD por um bom tempo. Tentei resolver primeiro por geometria plana normal, mas não saía resultado nenhum quase. Quando passei para a analítica que começou a andar as coisas kkkkk
se vc considerar um dos vértices desse quadrado como a origem de um plano cartesiano, vc consegue determinar a equação das duas retas que formam o ângulo teta, e assim vc calcula o tangente do ângulo entre as retas usando a fórmula da geometria analítica.
Sale Engenheiro, Muito legal que já vi alguimas soluções que outros comentaram que vc não citou. Eu resolvi assim: Supondo que o quadrado tem lado igual a 1, podemos construir um ciclo trigonométrico com centro coincidente ao vértice do ângulo em questão. O ângulo que o Engenhas chamou de gama, eu mesmo chamei de alfa. Se estendermos os segmentos de reta correspondentes ao lado direito do quadrado e aquele que bate no ponto médio do lado superior, eles se interceptarão no ponto cuja distância ao ponto (1,0) do ciclo trigonométrico representará o valor da tangente de α + θ. Agora, se você construiu a figura, fica bem óbvio que, pela mesma razão, a tangente de α vale 0,5.. Observando essa mesma figura, podemos montar uma semelhança de triângulos entre um triângulo pequeno que se formou acima do lado superior, cujo cateto menor vale 0,5 e o cateto maior vale algum valor que representarei pela incógnita x, e o triângulo maior, cujo cateto menor vale 1 e cateto maior vale a tg(α + θ) ou 1 + x. Fazendo uma regra de três simples, ou usando o conceito mais básico de proporção fica fácil de ver que x vale 1 e que, portanto, 1+ x ou tg(α + θ) vale 2. 1 1 + x - ---- - 0,5 x Multiplicando cruzado, tem-se que 0,5 + 0,5x = x; portanto x = 1. Usando a fórmula da tagnente da soma, temos: tg(α + θ) = tgθ + tgα/1 - tgθ*tgα 2 = tgθ + 0,5/1 - tgθ*0,5 2 - tgθ = tgθ + 0,5 2*tgθ = 2 - 0,5 => tgθ = 1,5/2 = 0,75; portanto, tgθ = 3/4.
Podia dividir esse quadrado em quatro partes iguais? (Pensei nissopor conta dos tracinhos que há nos lados dele e por conta da reta que os corta em seus pontos médios)
Bom dia. Gostaria de propor um problema sobre probabilidades: "Se uma moeda viciada tem probabilidade 0,4 de dar cara e outra moeda também viciada tem probabilidade 0,55 de também dar cara, qual a probabilidade de, em 10 jogadas independentes das duas moedas, a primeira moeda apresentar mais caras que a segunda ?"
Eu fiz de um jeito mais facil, chamei cada metade dos lados de A, e achei a hipotenusa do triângulo superior direito usando Pitágoras, e vi que ela também era a base do triangulo isoceles formado pelas retas dos pontos medios, sendo asssim tracei uma bissetriz em teta e a sua metade chamei de alpha, depoisetiais outros Pitágoras e calculei a tg de dois alpha que era a tg de teta
O ângulo cuja tangente é 1/2 é ~26,5. O triangulo retângulo que tem ângulo 2*26,5 é o pitagórico 3-4-5, sendo o ângulo 2*26,5 ( ~53) oposto ao lado 4. Assim tangente de ~53 é 4/3. O theta dessa questão é o ângulo complemente de ~53, portanto a tangente de theta vem a ser a cotangente de ~53, isto é, 3/4.
Seja beta a medida dos ângulos adjacentes a teta, superior e inferior, tal que 2*beta + teta = Pi/2 tg(teta)= 1/2 ==> tg(2teta)=1/(1-1/4) Mas tg(teta)= tg (Pi/2-2*teta)==> tg(teta)=cotg(2*beta)=3/4. Galho fraco.
Eu fiz chamando o lado q vem da ligação dos pontos medios de cima de "a" e apliquei Pitágoras p achá-lo em função do lado , chamei de L. Nos outros dois triangulos externos, como são iguais, só achar a hipotenusa de um deles e dps aplicar lei dos cossenos no triângulo central. Como tudo ta em função de L , vai cancelar e o resultado é cos =4/5, lembrando do triângulo 345 fica sin = 3/5 . Basta dividir sin/cos para ficar tg =3/4
♾ GARANTA SUA VAGA NA VITALICA DO UN, NO LOTE ESPECIAL: universonarrado.com.br/v2/2024/black-friday
No momento 2:30 basta aplicar lei dos cossenos no triangulo
Caiu uma questão parecida com essa no processo seletivo para ser aviãozinho na favela da Rocinha do RJ
Perderam completamente o critério, desse jeito qualquer um passa
Larguei a caneta e o rabisco foi a resposta
Universo Narrado, por favor, coloquem os vídeos dessa série arroz, feijão e equações numa playlist. Vai ajudar demais!
Engenheiro, meu camarada, tem uma questão que apareceu em uma olimpíada que até hoje não sei resolver, a questão é da Olimpíada Itabirama de Matemática (OIT).
Questão 1 prova de 2023 nível 3 fase 1:
Considere um retângulo ABCD de lados AB=4 e BC=3. Um ponto P é escolhido aleatoriamente dentro desse retângulo. Qual é a probabilidade de que os triângulos APB e BPD, caso existam, tenham área menor ou igual a 2 ao mesmo tempo?
No gabarito da letra A que é 2/9 , mas não sei como resolve, se puder da uma olhada nessa questão ai
Não encontrei a resposta, o meu deu 1/6 mas imagino que o raciocínio esteja certo e devo ter errado em alguma conta, então vou repassar mais ou menos como eu fiz.
Para resolver eu fiz o desenho da figura, então recomendo que para entender a explicação você faça um desenho junto com o que você for lendo e entendendo, mas um vídeo seria realmente mt bom pra esse exercício.
Primeiro, para que P atenda o ΔAPB, vc conclui que a altura = 1; com isso considere que o retângulo de altura 1 e base AB é onde o ponto P pode estar para que a condição 1 seja atendida. Agora, faça o mesmo para o ΔBPD, só que agora de base = 5 (Δ 3 4 5) e h=0,8, dessa vez considerando tanto a parte de cima do lado DB quanto a parte de baixo, já que ambos estão dentro do retângulo; a figura formada que atende a segunda condição agora deve ser um hexágono que se encontra próximo ao vértice B com o retângulo da condição 1. A figura formada pelo encontro das duas figuras deve ser onde o ponto P atende as duas condições do exercício. Agora, divida a área dessa nova figura pela área total do retângulo ABCD, achando, assim, a probabilidade esperada.
Espero ter ajudado!
Tentei resolver e acho que encontrei uma solução satisfatória. Já peço desculpas pela explicação longa, tentei resumir as ideias ao máximo!
Recomendo que você desenhe o retângulo em um plano cartesiano ou usando algum aplicativo, como o Geogebra, para facilitar a visualização!
Usando geometria analítica, colocando o retângulo no plano cartesiano com os vértices A(0 ; 3), B(4 ; 3), C(4 ; 0) e D(0 ; 0), e dizendo que o ponto P tem coordenadas (a ; b), primeiro achamos um jeito de calcular a área do ΔAPB (particularmente acho mais fácil começar por ele).
Usando o lado AB como base do ΔAPB, é possível considerar a altura dele como 3 - b, respectivamente a altura do retângulo e a coordenada no eixo das ordenadas do ponto P. Ficando 4 * (3 - b) / 2 = 2 para que a área do ΔAPB seja
@@murlin783 ficou muito massa essa explicação mano, vlw dms. A minha maior dificuldade era entender como calcular o triângulo BPD, quando fui resolver essa questão a minha noção de geometria analítica era zero
@@Giovanni-ew6sj eu tmb cheguei nas alturas que tu mencionou mas a partir daí eu me perdia todo e não sabia como continuar com o problema
@@ghosterz4512 Também fiquei travado no triângulo BPD por um bom tempo. Tentei resolver primeiro por geometria plana normal, mas não saía resultado nenhum quase. Quando passei para a analítica que começou a andar as coisas kkkkk
se vc considerar um dos vértices desse quadrado como a origem de um plano cartesiano, vc consegue determinar a equação das duas retas que formam o ângulo teta, e assim vc calcula o tangente do ângulo entre as retas usando a fórmula da geometria analítica.
Fiz quase a mesma coisa, só usei a fórmula do cosseno e transformei cosseno em tangente e bateu com a resposta
Tem uma questão do ITA bem parecida com essa. É a mesma ideia, mas era num retângulo. Show demais
ITA? Aquele vestibular p auxiliar de servente de pedreiro?
Adoro Trigonometria
Utilizando a lei dos cossenos e dps a identidade fundamental da trigonometria consegue-se determinar a tangente do angulo theta
Eu estou na parte do meu cronograma de Matemática.
Também fico fazendo cálculos no meu tempo livre.
Sale Engenheiro,
Muito legal que já vi alguimas soluções que outros comentaram que vc não citou. Eu resolvi assim:
Supondo que o quadrado tem lado igual a 1, podemos construir um ciclo trigonométrico com centro coincidente ao vértice do ângulo em questão. O ângulo que o Engenhas chamou de gama, eu mesmo chamei de alfa. Se estendermos os segmentos de reta correspondentes ao lado direito do quadrado e aquele que bate no ponto médio do lado superior, eles se interceptarão no ponto cuja distância ao ponto (1,0) do ciclo trigonométrico representará o valor da tangente de α + θ. Agora, se você construiu a figura, fica bem óbvio que, pela mesma razão, a tangente de α vale 0,5.. Observando essa mesma figura, podemos montar uma semelhança de triângulos entre um triângulo pequeno que se formou acima do lado superior, cujo cateto menor vale 0,5 e o cateto maior vale algum valor que representarei pela incógnita x, e o triângulo maior, cujo cateto menor vale 1 e cateto maior vale a tg(α + θ) ou 1 + x. Fazendo uma regra de três simples, ou usando o conceito mais básico de proporção fica fácil de ver que x vale 1 e que, portanto, 1+ x ou tg(α + θ) vale 2.
1 1 + x
- ---- -
0,5 x
Multiplicando cruzado, tem-se que 0,5 + 0,5x = x; portanto x = 1.
Usando a fórmula da tagnente da soma, temos:
tg(α + θ) = tgθ + tgα/1 - tgθ*tgα
2 = tgθ + 0,5/1 - tgθ*0,5
2 - tgθ = tgθ + 0,5
2*tgθ = 2 - 0,5 => tgθ = 1,5/2 = 0,75; portanto, tgθ = 3/4.
Podia dividir esse quadrado em quatro partes iguais? (Pensei nissopor conta dos tracinhos que há nos lados dele e por conta da reta que os corta em seus pontos médios)
Bom dia.
Gostaria de propor um problema sobre probabilidades:
"Se uma moeda viciada tem probabilidade 0,4 de dar cara e outra moeda também viciada tem probabilidade 0,55 de também dar cara, qual a probabilidade de, em 10 jogadas independentes das duas moedas, a primeira moeda apresentar mais caras que a segunda ?"
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Presente 🪖
O pessoal brinca muito kkkkkkkkkk
Eu fiz de um jeito mais facil, chamei cada metade dos lados de A, e achei a hipotenusa do triângulo superior direito usando Pitágoras, e vi que ela também era a base do triangulo isoceles formado pelas retas dos pontos medios, sendo asssim tracei uma bissetriz em teta e a sua metade chamei de alpha, depoisetiais outros Pitágoras e calculei a tg de dois alpha que era a tg de teta
Pensei exatamente nisso 3:42
Minha solução foi bem mais simples.
Lei dos cossenos no triângulo central
a²=b²+c²-2bc.cos(ø)
2=5+5-2.5.cos(ø)
Cos(ø)= 4/5
Triângulo 3,4,5
Tg(ø)= 3/4
Triângulo central do momento 2:30 do video
obrigado amigo vc é um amigo
espirrei tinta pintei a resposta
Kkkk procure um médico
O ângulo cuja tangente é 1/2 é ~26,5. O triangulo retângulo que tem ângulo 2*26,5 é o pitagórico 3-4-5, sendo o ângulo 2*26,5 ( ~53) oposto ao lado 4. Assim tangente de ~53 é 4/3. O theta dessa questão é o ângulo complemente de ~53, portanto a tangente de theta vem a ser a cotangente de ~53, isto é, 3/4.
Seja beta a medida dos ângulos adjacentes a teta, superior e inferior, tal que 2*beta + teta = Pi/2
tg(teta)= 1/2 ==> tg(2teta)=1/(1-1/4) Mas tg(teta)= tg (Pi/2-2*teta)==> tg(teta)=cotg(2*beta)=3/4.
Galho fraco.
Qual tem mais benefícios: IME ou ITA?
acho q ITA
IME se vc for militar, ITA se vc quiser ir pro exterior
Eu fiz chamando o lado q vem da ligação dos pontos medios de cima de "a" e apliquei Pitágoras p achá-lo em função do lado , chamei de L.
Nos outros dois triangulos externos, como são iguais, só achar a hipotenusa de um deles e dps aplicar lei dos cossenos no triângulo central. Como tudo ta em função de L , vai cancelar e o resultado é cos =4/5, lembrando do triângulo 345 fica sin = 3/5 . Basta dividir sin/cos para ficar tg =3/4
Acho que isso já caiu na fuvest ou na ufmg
Trigonometria muito tranquilo
Pode até ser tranquilo como vc mencionou mais se tiver uma boa base em matemática básica fora isso fica um pouco mais desafiador