아니 근이 근의 공간에서 돌아오는거랑 근의 공식이 있는거랑 무슨 연관이 있는건가요? 사칙 연산을 했을때는 근이 제자리에 돌아오지 않아요>그래서 교대로 하기 를 해야 돌아오니 제곱근도 있어야 합니다! 인것 같은데 왜 교대로 하기가 제곱근인지도 모르겠고 제자리에 돌아오는게 무슨 상관이 있는지도 모르겠어요
저도 잘못 이해한 부분이 있을수도 있어요 대수학을 공부하긴 했는데 잘하지는 못해서요 학부따리가 뭘 알겠습니까 우선 제가 "교환"이랑 "회전"을 많이 언급할텐데 교환은 몇개의 위치를 바꿀때(순서 유지 안해도됨), 회전은 순서을 유지하면서 바꾼다고 정의합시다. (ex. 교환: 1234 -> 1324, 1234->2134 등등..., 회전 : 1234->2341, 1234->3412 등등...) 그리고 "근의 공식이 있다"의 정의는 "근을 항상 n제곱근(루트)과 사칙연산으로 표현이 가능하다" 입니다 방정식상에 서로 다른 두 루프를 잡았고 이게 근 상에서도 서로 다른 "교환"이라고 쳐봅시다. 만일 근이 두개라면 ABA^-1B^-1는 무조건 원점으로 돌아올수밖에 없어요 왜냐하면 근 2개의 교환은 총 2!=2개밖에 존재 안하는데 이들의 모든 ABA^-1B^-1는 계산해보면 원점으로 돌아오는 변환이 되거든요 사실은 근이 2개일 필요는 없어요 정확하게 말하면 "루트가 하나"면 이런일이 가능합니다. 14:15 이 부분을 다시보시면요 루트가 하나인 상태를 유지하면서 루프를 하나를 만들면 근의 공간상 에서는 "회전"이 됩니다 ABA^-1B^-1 이거 말인데요 사실 회전이라면 당연히 원점으로 돌아오겠지요 10도 회전했다가 30도 회전했다가 10도 반대로 갔다가 30도 반대로 가면 당연히 원점이잖아요 근이 2개일때는 모든 "교환"이 사실상 "회전"이 되기 때문에 생기는 일이라 볼 수 도 있어요 루트가 두개 겹치면요 좀 복잡하긴 한데 묶어서 생각해볼수있어요 가장 안쪽의 루트가 있는 식을 기준으로 생각해보면 이는 위에서 정리한거대로 루트가 하나 있으니 이들을 회전시키는 변환이 있을것이고 그리고 가장 바깥쪽에 있는 루트를 기준으로 생각해보면 윗줄의 변환에 추가로 회전시키는 변환을 생각해볼 수 있으니 두번만에 가능한거에요 예시를 들어볼게요 root(3+root(2)), -root(3+root(2)), root(3-root(2)), root(3-root(2))를 근으로 가지는 식이라면 우선 3+root(2)와 3-root(2)은 둘을 회전으로 볼수있는 변환을 생각해볼수 있어요 즉 root(3-root(2)), root(3+root(2))를 묶으면 이들의 변환은 무조건 이들을 회전시키는 변환이 되요 -root(3+root(2)), -root(3-root(2))도 묶어서 이들을 회전시키는 변환을 생각해보고요 이제 묶음이 두개 나왔지요? 이 두 묶음을 교환하는 변환을 생각하면 이것도 회전시키는 변환이 되는거에요
한마디로 루트가 유한번 있다면 유한번의 ABA^-1B^-1을 통해 근을 항상 원점이동 시킬수 있고 이에 대응되는 방정식 공간상의 루프들이 존재하는거에요 이제 근이 3개인것을 고려해볼게요 근 3개의 모든 교환은 총 3!=6개인데 이들의 모든 ABA^-1B^-1는 다른게 나올수가 있어요, 그런데 나온 결과물, A',B'...에 대해 A'B'A'^-1B'^-1은 항상 근이 자기 자신으로 돌아와요 "교대로하기" 2번만에 근이 항상 원점으로 돌아오는 루프를 만들었으니 3차방정식은 근의 공식이 2번의 겹루트로 항상 표현할 수 있다는 뜻이기도 하는거에요 그런데 5차방정식 부터는 근의 공간 입장에서 보면 유한개의 "ABA^-1B^-1"로 원점을 못만드는 경우가 생겨요 그니까 논리가 루트가 n번 겹쳐있다 -> n번의 "교대로하기"로 근을 원점으로 이동시킬수 있다 인데 근이 5개가 있으면 유한번의 "ABA^-1B^-1"만으로 근을 원점이동 못시키는 경우가 분명히 있다 -> 유한번의 "교대로하기"로 근을 원점으로 이동시킬수 없다 -> 루트가 겹쳐있지 않다?? 가 되버리니까 제곱근을 이용해서는 표현을 못한다는 뜻입니다 원점을 만드는 경우가 있기는 해요 이건 이에 대응되는 겹루트로 표현 가능한거겠지요 하지만 항상 그런건 아니잖아요 즉 항상 "n제곱근(루트)과 사칙연산으로 표현이 가능하다"는 아니니 근의 공식이 없는 겁니다
교수님이 내 수학 실력이 고등학생 미만이라시는구나! 더 살아 무엇을 하겠더냐!
천천히 설명하신다고 저희가 이해할 거라고 생각하시면 오해입니다.
그렇군요...ㅎㅎㅎ~
끝까지 군이라는 글자는 꺼내지 않으신 ㅋㅋㅋ
저도 한번쯤은 갈로아군이 나오겠지 했는데 끝끝내 풀어 말하시네요 ㅋㅋㅋㅋㅋ
아 ㅋㅋ 뉴비들은 어려운 단어 들으면 도망간다구요
현대대수학은 그 관점이 참 파격적입니다. 어떤 방정식의 근을 찾자!가 아니러 이것을 근으로 가지는 방정식을 다 찾아보자! 식이니깐요
발상을 한번 바꿨을 뿐인데 방정식들을 원소로 다룰 수 있게 되는 강점을 가지죠
훌륭한 강의 잘 들었습니다. 감사합니다.
i⁴=1이길래 그거랑 연관 있나 싶었는데
요절한 아벨이 증명햇지요
5차이상 방정식은 일반적인
근 구하는게 없다고
이게 얼마나 쉬운 설명이냐면...
5차방정식 비가해성은 대학 학부수준 현대대수학 1년을 달려서 간신히 마지막에 도달하는 내용인데, 그걸 30분으로 압축하신거고, 엄청 순화하셨어요ㅋㅋㅋ 전공생들은 이거 배우면서 갈루아를 수천 번 원망합니다
한 70% 이해한것 같네요 ㅋㅋ
흥미로운 내용 잘 배웠읍니다!^~^
감사합니다! 앞으로도 더 쉬운 설명으로 찾아뵐게요! 😊
아니 근이 근의 공간에서 돌아오는거랑 근의 공식이 있는거랑 무슨 연관이 있는건가요?
사칙 연산을 했을때는 근이 제자리에 돌아오지 않아요>그래서 교대로 하기 를 해야 돌아오니 제곱근도 있어야 합니다!
인것 같은데 왜 교대로 하기가 제곱근인지도 모르겠고 제자리에 돌아오는게 무슨 상관이 있는지도 모르겠어요
저도 잘못 이해한 부분이 있을수도 있어요 대수학을 공부하긴 했는데 잘하지는 못해서요 학부따리가 뭘 알겠습니까
우선 제가 "교환"이랑 "회전"을 많이 언급할텐데 교환은 몇개의 위치를 바꿀때(순서 유지 안해도됨), 회전은 순서을 유지하면서 바꾼다고 정의합시다.
(ex. 교환: 1234 -> 1324, 1234->2134 등등..., 회전 : 1234->2341, 1234->3412 등등...) 그리고 "근의 공식이 있다"의 정의는 "근을 항상 n제곱근(루트)과 사칙연산으로 표현이 가능하다" 입니다
방정식상에 서로 다른 두 루프를 잡았고 이게 근 상에서도 서로 다른 "교환"이라고 쳐봅시다.
만일 근이 두개라면 ABA^-1B^-1는 무조건 원점으로 돌아올수밖에 없어요 왜냐하면 근 2개의 교환은 총 2!=2개밖에 존재 안하는데 이들의 모든 ABA^-1B^-1는 계산해보면 원점으로 돌아오는 변환이 되거든요 사실은 근이 2개일 필요는 없어요 정확하게 말하면 "루트가 하나"면 이런일이 가능합니다.
14:15 이 부분을 다시보시면요 루트가 하나인 상태를 유지하면서 루프를 하나를 만들면 근의 공간상 에서는 "회전"이 됩니다
ABA^-1B^-1 이거 말인데요 사실 회전이라면 당연히 원점으로 돌아오겠지요
10도 회전했다가 30도 회전했다가 10도 반대로 갔다가 30도 반대로 가면 당연히 원점이잖아요
근이 2개일때는 모든 "교환"이 사실상 "회전"이 되기 때문에 생기는 일이라 볼 수 도 있어요
루트가 두개 겹치면요 좀 복잡하긴 한데 묶어서 생각해볼수있어요
가장 안쪽의 루트가 있는 식을 기준으로 생각해보면 이는 위에서 정리한거대로 루트가 하나 있으니 이들을 회전시키는 변환이 있을것이고
그리고 가장 바깥쪽에 있는 루트를 기준으로 생각해보면 윗줄의 변환에 추가로 회전시키는 변환을 생각해볼 수 있으니
두번만에 가능한거에요
예시를 들어볼게요 root(3+root(2)), -root(3+root(2)), root(3-root(2)), root(3-root(2))를 근으로 가지는 식이라면
우선 3+root(2)와 3-root(2)은 둘을 회전으로 볼수있는 변환을 생각해볼수 있어요
즉 root(3-root(2)), root(3+root(2))를 묶으면 이들의 변환은 무조건 이들을 회전시키는 변환이 되요
-root(3+root(2)), -root(3-root(2))도 묶어서 이들을 회전시키는 변환을 생각해보고요
이제 묶음이 두개 나왔지요? 이 두 묶음을 교환하는 변환을 생각하면 이것도 회전시키는 변환이 되는거에요
한마디로 루트가 유한번 있다면 유한번의 ABA^-1B^-1을 통해 근을 항상 원점이동 시킬수 있고 이에 대응되는 방정식 공간상의 루프들이 존재하는거에요
이제 근이 3개인것을 고려해볼게요 근 3개의 모든 교환은 총 3!=6개인데 이들의 모든 ABA^-1B^-1는 다른게 나올수가 있어요, 그런데 나온 결과물, A',B'...에 대해
A'B'A'^-1B'^-1은 항상 근이 자기 자신으로 돌아와요 "교대로하기" 2번만에 근이 항상 원점으로 돌아오는 루프를 만들었으니
3차방정식은 근의 공식이 2번의 겹루트로 항상 표현할 수 있다는 뜻이기도 하는거에요
그런데 5차방정식 부터는 근의 공간 입장에서 보면 유한개의 "ABA^-1B^-1"로 원점을 못만드는 경우가 생겨요 그니까 논리가
루트가 n번 겹쳐있다 -> n번의 "교대로하기"로 근을 원점으로 이동시킬수 있다 인데
근이 5개가 있으면 유한번의 "ABA^-1B^-1"만으로 근을 원점이동 못시키는 경우가 분명히 있다
-> 유한번의 "교대로하기"로 근을 원점으로 이동시킬수 없다
-> 루트가 겹쳐있지 않다?? 가 되버리니까 제곱근을 이용해서는 표현을 못한다는 뜻입니다
원점을 만드는 경우가 있기는 해요 이건 이에 대응되는 겹루트로 표현 가능한거겠지요 하지만 항상 그런건 아니잖아요
즉 항상 "n제곱근(루트)과 사칙연산으로 표현이 가능하다"는 아니니 근의 공식이 없는 겁니다
감사합니다, 간편하고 이해하기 쉬운 설명이네요~~
모르겠당...
다음부턴 좀 더 잘 설명하도록 노력하겠습니다~~
뭔 개소리야
개소리는 아닙니다
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅌㅋㅋㅋㅋㅋㅌㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
놀랍게도 이게 순화한거임
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ