Merci pour tout autant que vous prenez pour rédiger vos contenus et merci pour le partage est-ce que cela serait possible plus de faire un tour sur les espace vectoriel et matrice déterminant est-ce que vous pourrais faire plus tard une playlist sur l’algèbre linéaire s’il vous plaît
Bonjour Est ce que l ensemble de toutes les matrices diagonalisables est un sous espace de Mn (R) . Est ce qu il n y’a pas quelque chose qui manque dans l énoncé ?
Non l'ensemble des matrices diagonalisables n'est pas un s.e.v. de Mn(R), en regardant pour n=2 on peut trouver deux matrices diagonalisables dont la somme ne l'est pas. (A+B = des 0 partout sauf un 1 en haut à droite par exemple). Quand il choisit son sev V il ne prend pas l'ensemble des matrices diagonalisables mais un sev de Mn(R) qui est formé de matrices diagonalisables qui vérifie la stabilité, etc...
Par curiosité: qu'en est-il sur C ? i.e. dimension maximale de sous espaces réels ou complexes de Mn(C) dont toutes les matrices sont diagonalisables (sur C) ? Pour la question des sous-espaces réels, j'imagine que n^2 est le max atteint à la fois par les sous-espaces réels formés des matrices hermitiennes ou antihermitiennes. Pour le cas des sous-espaces complexes je n'ai pas de conjecture naturelle ...
Bonjour @@dimitrilemeur7703 dans votre ébauche de raisonnement vous n'utiilsez pas la diagonalisabilité des D_i. Pris au pied de la lettre votre raisonnement suggère que tout sous-espace complexe de Mn(C) de dimension >= n+1 contient une matrice nilpotente. Si on prend comme caractérisation de la nilpotence l'annulation des coefficients non dominants du polynôme caractéristique (ou des traces des puissances d'ordre 1, 2, ..., n) vous dites en somme: on a un ensemble algébrique \subset C^{n+1} découpé par n équations polynomiales en n+1 indéterminées (les \lambda_1, ..., \lambda_{n+1}). Comme on travaille sur C ça doit admettre un ensemble de solutions qui n'est pas réduit au singleton (0,0,...,0). Ca me semble raisonnable, on s'attend à ce que l'ensemble des solutions soit de dimension >= 1 en un sens à préciser. Je ne connais pas assez de géométrie algébrique pour dire si c'est clair ou pas, mais l'idée générale me convainc.
Joli ce petit exo ! Dommage que la minature de la vidéo spoil une partie du raisonnement, ça donne quand même un gros indice si on veut chercher par soi-même avant.
Bonjour, est-ce que le raisonnement suivant fonctionne ? Pour montrer que dim(V) n(n+1)/2 = dim( S_n(R) ), il existe au moins une matrice M antisymétrique non nulle dans V. Donc V contient une matrice non diagonalisable sur R. Contradiction. Donc dim(V)
Est ce que tu parles du sujet 1 de 2020? On y majore aussi un sev de Mn(R), mais il y est question de l'ensemble des matrices nilpotentes, pas forcément diagonalisables
La norme, même dans Mn(ℂ) est toujours définie positive. Ce qui change c'est que le produit scalaire est hermitien et non pas symétrique. Donc on n'a plus = mais = †, conjugué. Du coup on se retrouve avec λ ||X||² = -λ† ||X||², donc λ = -λ†, et donc λ est imaginaire pur.
Super vidéo ça fait des petits rappels pour les concours dans deux semaines trop motivant merci !!
LETS GOOOO LE RETOUR DES ORAUX
Exercice très sympa, merci !
Est-ce que tous les maximaux sont de la forme {ASA^{-1} | S symétrique} pour un certain A inversible ?
Merci pour tout autant que vous prenez pour rédiger vos contenus et merci pour le partage est-ce que cela serait possible plus de faire un tour sur les espace vectoriel et matrice déterminant est-ce que vous pourrais faire plus tard une playlist sur l’algèbre linéaire s’il vous plaît
C'est pas au programme cette année que les valeurs propres d'une matrice antisymétrique sont des imaginaires purs
La démonstration reste tout de meme un classique a connaitre et maitriser etant donne qu’elle n’est pas tres compliquée
On peut utiliser les matrices triangulaires sup strictes a la place sinon
Bonjour
Est ce que l ensemble de toutes les matrices diagonalisables est un sous espace de Mn (R) . Est ce qu il n y’a pas quelque chose qui manque dans l énoncé ?
Non l'ensemble des matrices diagonalisables n'est pas un s.e.v. de Mn(R), en regardant pour n=2 on peut trouver deux matrices diagonalisables dont la somme ne l'est pas. (A+B = des 0 partout sauf un 1 en haut à droite par exemple). Quand il choisit son sev V il ne prend pas l'ensemble des matrices diagonalisables mais un sev de Mn(R) qui est formé de matrices diagonalisables qui vérifie la stabilité, etc...
@@gokanak6319
Ok j ai compris, mais ce n est pas indiqué dans l énoncé.
Par curiosité: qu'en est-il sur C ? i.e. dimension maximale de sous espaces réels ou complexes de Mn(C) dont toutes les matrices sont diagonalisables (sur C) ? Pour la question des sous-espaces réels, j'imagine que n^2 est le max atteint à la fois par les sous-espaces réels formés des matrices hermitiennes ou antihermitiennes. Pour le cas des sous-espaces complexes je n'ai pas de conjecture naturelle ...
Bonjour @@dimitrilemeur7703 dans votre ébauche de raisonnement vous n'utiilsez pas la diagonalisabilité des D_i. Pris au pied de la lettre votre raisonnement suggère que tout sous-espace complexe de Mn(C) de dimension >= n+1 contient une matrice nilpotente. Si on prend comme caractérisation de la nilpotence l'annulation des coefficients non dominants du polynôme caractéristique (ou des traces des puissances d'ordre 1, 2, ..., n) vous dites en somme: on a un ensemble algébrique \subset C^{n+1} découpé par n équations polynomiales en n+1 indéterminées (les \lambda_1, ..., \lambda_{n+1}). Comme on travaille sur C ça doit admettre un ensemble de solutions qui n'est pas réduit au singleton (0,0,...,0). Ca me semble raisonnable, on s'attend à ce que l'ensemble des solutions soit de dimension >= 1 en un sens à préciser. Je ne connais pas assez de géométrie algébrique pour dire si c'est clair ou pas, mais l'idée générale me convainc.
Le R espace c'est les applications hermitienne je crois
Le C espace ca va etre plus compliqué je pense qu'il est petit pcq être C linéaire c plus restrictif
A mon avis c juste les matrices diagonales
Ah bah il le dit à la fin c'est n donc je pense bien que c'est les matrices diagonales
Joli ce petit exo ! Dommage que la minature de la vidéo spoil une partie du raisonnement, ça donne quand même un gros indice si on veut chercher par soi-même avant.
merci pour cette vidéo
Bonjour, est-ce que le raisonnement suivant fonctionne ?
Pour montrer que dim(V) n(n+1)/2 = dim( S_n(R) ), il existe au moins une matrice M antisymétrique non nulle dans V. Donc V contient une matrice non diagonalisable sur R. Contradiction.
Donc dim(V)
Pour ceux qui veulent aller plus loin, y’a un sujet Mines de PSI sur ce sujet
Lequel ?
Est ce que tu parles du sujet 1 de 2020? On y majore aussi un sev de Mn(R), mais il y est question de l'ensemble des matrices nilpotentes, pas forcément diagonalisables
La dimension de An n'est pas n(n-1)/2? (c'est juste une coquille je crois)
(n^2-n(n+1)/2)=n(n-1)%2
les matrices dz🇩🇿🇩🇿
La norme, même dans Mn(ℂ) est toujours définie positive. Ce qui change c'est que le produit scalaire est hermitien et non pas symétrique. Donc on n'a plus = mais = †, conjugué. Du coup on se retrouve avec λ ||X||² = -λ† ||X||², donc λ = -λ†, et donc λ est imaginaire pur.
Jesus has entered the chat