인류가 2천 년간 알고 있던 유클리드 기하학을 뛰어넘은 수학계의 혁명. 삼각형 전체 각도의 합이 180도라는 고정관념을 깨버린 독일의 수학자
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- Опубліковано 20 вер 2024
- 고대 그리스의 한 수학자 '유클리드(Euclid)'.
유클리드가 집대성한 '기하학원론'은 오늘날 중학교 수학에서도 배우는 내용이다.
그중 '모든 삼각형은 세 각의 합이 180도'라는 증명은 기하학에서도 기초인 부분인데,
지난 2000년간 모두가 배웠던 이 유클리드의 증명을
한 단계 더 업그레이드한 수학자가 근대에서야 나타났다.
바로 독일의 수학자 '게오르크 프리드리히 베른하르트 리만(독일어: Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826년 9월 17일~1866년 7월 20일)'.
리만은 삼각형의 모든 각을 합한 각도가 180도를 넘을 수 있다는 주장을 했는데..
과연 어떤 원리로 삼각형 전체 각도 합계가 180도를 넘을 수 있는 것일까?
📺방송정보
📌프로그램명: 다큐프라임 - 생명의 디자인 3부 사라진 천재수학자
📌방송일자: 2009년 10월 21일
#기하학 #수학 #과학 #리만 #유클리드 #우주 #자연 #법칙 #삼각형각도 #180도 #삼각형 #도형 #이집트 #알렉산드리아 #알렉산드리아도서관 #기하학원론 #구형 #지구 #아인슈타인 #공간 #이해 #물리학 #에너지 #물질 #괴팅겐대학교 #리만 #베른하르트리만 #독일 #고대 #그리스 #수학기초 #중학교수학 #다큐 #수학다큐 #과학다큐 #EBS #EBS지식 #강의 #강연 #지식 #다큐프라임 #Euclid #Riemann
평면은 우리가 접하기 쉬운 오직 하나의 경우의 수일 뿐이군요... 멋지네요.
유클리드기하학은 "평면에서" 삼각형의 내각의 합은 180도라고 정의했으니 곡면에서 삼각형 내각의 합이 180도가 아닌 것은 전혀 새로운 주장은 아니라고 보이네요. 당시의 편견을 깨는 주장이었다는 의미로 받아들이겠습니다.
20세기에 유클리드 기하학을 배워놓고 태초의 정의와 같다고 생각하는 것도 신기하네
그런 의미라기 보다는 완전히 새로운 수학을 탄생시켰다라고 보는게 맞습니다. 수학은 공리라는 것에서 시작하는데 그 전에는 고정관념에 사로잡힌 공리(삼각형의 내각이 180도)에서만 놀던 수학이 그것을 벗어나 새로운 공리(내각의 합이 180도가 아니라도 괜찮아)라는 운동장을 얻었다고 보는 것입니다. 새로 얻은 이 운동장에서 축구, 농구, 배구를 해 봤는데 전혀 문제(모순)가 없음을 알게 되었구요. 마치 고전 역학에서 벗어나 시간이 운동하는 물체의 상태에 따라 다르게 흐른다는 상대성 이론처럼 완전히 새로운 개념이 만들어 진것입니다.
😊@@user-gb2ww8ii7d
@@coolguysaswell 그렇게 치면 사각형을 그리고 삼각형이라 우겨도 할말없음 ㅋㅋ 그냥 새로운걸 발견한거지, 기존의 이론이 깨진게 아님
@@user-gb2ww8ii7d 맞습니다
방송일자가 2090년으로 되어있습니다.
이 영상의 방송일자도 고정관념을 깨고 왔습니다
아마 저는 2090년이나 되어야 제대로 이해할것 같네요...
실수 죄송합니다. 수정했습니다!
@@EBSKnowledge 사과 안하셔도 됩니다, 덕분에 시간여행 다녀온 것 같습니다,,,
지금 2090년 아닌가요?
님은 도대체 어느 시대를 살고 계신가요...
와 멋있다.. 리만에 의해서 수학이 종이에서 벗어나 -> 우주로 나아갈 수 있는 공간이라는 개념을 이해할 수 있었군요.
우리는 지구에서 땅을 밟고 있기 때문에 항상 평면적인 균형을 느끼죠.
그런데 우주는 다릅니다. 균형이 없기 때문에 우주 공간에 존재하는 모든 물체는 항상 위치가 변화하게 됩니다.
위와 아래, 좌우 모두 지구에서의 '관점'을 가지고 접근하면 오류가 발생하는거죠.
그 고정된 관점을 깨고 우리에게 안정적인 균형을 주는 지구의 공간이
우주에서는 항상 변화한다는 것을 인간이 이해하게 된 겁니다.
현대에 살고 있는 우리는 많은 지식으로 당연하게 생각하는 것이지만..
저 때는 또 다르죠.
역시 저 시대에는 정말 특별한 시대인 것 같습니다.
리만, 뉴턴, 아인슈타인 등등.. 너무나 많은 천재들이 나와서 세상의 관념을 깨는 돌을 던졌죠.
설명깔끔
생각의 힘이 강한 시대여서 가능한 게 아닐까 합니다 요즘은 너무 시각적으로 많은 정보를 접하면서 생각의 끈은 짧아지는 느낌입니다
노벨상이 쏟아져 나오던 시절..
그릇이며 항아리며 온통 볼록한 물건 천지인데 유클리드 시대에 저걸 몰랐을거라고 생각되지 않네요..그냥 그 형태를 삼각형으로 간주하지 않아서 그랬을거 같습니다...내용에 나오는 지구본 내각 90도로 그린 모양 그대로 잘라서 사람들에게 이거 무슨 모양이라고 물어보면 삼각형이라고 생각 안하는 사람이 훨씬 많을듯 싶습니다.
아주 정확합니다. 직선이 체계마다 형태가 다를 수 있다는 것을 상상조차 못했기 때문에 있었던 일입니다.
이해하기 쉽게 얘기 해주고 어떤 패러다임의 전환이었는지 잘 알게 되었네요
혹시 내래이션 하시는분 성우 성함 아시는분 계신가요? 항상 즐겁게 듣고 있습니다만, 찾아갈 수가 없네요.
김종성씨라고 원로 성우... 유명 라디오 엠씨였던 김기덕씨의 형님
EBS지식 : 네
질문자 : 당신은 시간여행을 할 수 있습니까?
평면에서 도형들의 성질을 보고 특정한 비슷한 성질을 보이는 도형들을 분류하는게 유클리드 시대의 기하학이었다면
현대의 기하학은 평면 구면 쌍곡면 등에서 관찰되는 도형들의 특징 통용가능한 정리들을 보고 공간들을 같은것 끼리 묶고 분류 하는 형태로 변화했죠
이렇게 분류하고 비교함으로써 같은 부류에 있는 복잡한 공간을 우리가 잘 아는 공간으로 대응시켜 파악하기 힘든 성질을 파악하고 분석해 내는 일들을 하고 있다고 생각하면 되죠
단순히 삼각형의 내각이 180도 이다 라는 성질이 성립하는 공간과 아닌 공간을 나누듯이 해당 성질이 절대적 진리가 아닌 공간들을 구분짓는 기준으로 바뀌어 버린 것입니다.
반면에 정의를 어떻게 잘 내리느냐에 따라 피타고라스 정리 처럼 어느공간에서도 성립하는 성질도 있죠 참 신기하고 재미있는 분야라고 생각합니다
비슷한 논리로, 우리는 남향(南向) 집을 선호하는데, 남향이라 하면 발코니 창이 남쪽을 향한 집을 말하죠.
그런데, 사면이 모두 남향인 집이 존재할 수 있다면 어떠시겠습니까? 아니 오각형으로 짓는다면 다섯방향이 모두 남향인 집.
대문도 남향, 발코니도, 안방도, 서재도 모두 남향인 집..
그런 집이 가능할까요??
그 답은 북극점에 집을 짓는 것입니다.
북극에서는 어느쪽도 남쪽이 되니까요.
3개의 곡선으로 만들어진 다각형을 삼각형이라고 부를 수 있을까?
곡선자체가 이미 삼'각'형의 정의에서 벗어남
구면 위에서의 예시를 들겠습니다. 지구가 구면이니까 이해가 쉬울 겁니다.
곡선이 포함되면 다각형이 아니다(o)
구면 위에서는 직선이 없다(x)
다른 분이 '정의'를 말했지만 '구면 위에서의 직선'을 '평면 위에서의 직선'으로 똑같이 '정의'하는 것은 잘못된 논리입니다. 실제로 '구면 위에서의 직선'을 '구의 대원'으로 정의하면 유클리드 기하학의 공준은 평행 공준을 제외하고 모순 없이 굴러갑니다. 더 자세한건 직접 찾아보는게 좋을 겁니다.
더 와닿게 말하면, 인간이 지구 위에서 느끼는 직선은 앞으로 직진하는 겁니다. 그런데 앞으로 직진하면 바깥에서 봤을 때 대원을 그릴 수 밖에 없습니다. 그럼 지구 위에서는 직선이 지구를 벗어나는 군요. 직선조차 자신의 세계를 벗어나는 기하학은 무슨 의미를 가질까요? 실제 세계를 반영하지 않기 때문에 그저 천재들의 유희 정도로 끝날 겁니다. 직선, 삼각형 등등의 개체는 기하학을 '하는' 나에게서 벗어나면 안되는 겁니다. 구면 기하학, 쌍곡 기하학은 실제 세계를 더 자세히 반영하기 위한 시도에서 나온 측면도 있습니다.
수학계를 뒤집어 놓으셨다
2차원 3차원까진 인간이 접근하고 이해하기 아주 쉽지만, 그 이상의 고차원으로 가면 갈수록 접근하기 어렵고 이해하기 어려워지는것과 비슷한 맥락인거같음...
영상보기전엔 삼각형 내각의 합이 270도가 될줄은 상상조차 못한것처럼.
그러면 삼각형의 각도가 180도보다 작으면 휘어져 있는 공간의 안쪽에 그려진 그러가 생각할 수 있나요?
그러진 않을거 같은데요
지구의 안쪽에서 바라보는 저 삼각형의 내각도 270일거 같은데,
혹시 또 모르겠네요..
삼각형과 관찰자와의 거리가 또 문제가 되려나요? ㅎㅎㅎㅎ
그건 아닙니다. 그것도 똑같이 각도를 가져요. 하지만 그렇게 찾아낸것이 쌍곡기하학의 원리입니다. 음의 곡률을 가진 공간에서는 삼각형 내각의 합이 180이 안됩니다. 음의 곡률은 보통 말 안장을 예로 드는데 한번 검색해서 찾아보시면 이해가 빠르실꺼에요.
유클리드도 평면이 아닌 곡면인 경우를 생각하고 알고있었을지 궁금하네요
썸네일 보고 진짜 설마설마 하면서 들어왔다
곡률 주는 것만은 아니길 바라면서 클릭했는데 아니나 다를까...
구형 물체든 뭐든 평면이 아닌 곳에 그린 것이 삼각형이라고 말 할 수 있을까요?
물론 내용이 전달하고픈 바는 짐작이 되지만 썸네일 어그로에 끌린게 분해서요
유클리드와 리만 중에 누가 더 현실을 말하고 있는 걸까요? 현실에서 완벽한 평면은 존재하지 않습니다.
자기가 서 있는 땅이 거인의 어깨 위임을 잊고는, "이게 대단하냐?" 같은 말을 하면 좋지 않다고 생각해요..
물론 썸네일 낚시에 당해서 화날수는있지만..
게임개발공부하다가 수학을 억지로접했는데 너무재밌습니다.
3:53 아니 휘어진 공간에서 당연히 각도가 틀어지는게 당연한 거 아니야??축이 하나더해진거나 마찬가지니까 난 또 평면에서 180도 이상이 나온다는 줄
삼각형인데 왜 자꾸 네각 네각 하지? 의아해하다가 영상 삼각형 안을 보고 네각이 아니라 내각을 말하는 거였구나 깨달았다... 내게 수학은 단어부터 힘들구나.
영상에서 이야기 하는건
네개의 각이 아니고
한문으로 안 내 자를 이야기
하는거에요
네 ㅡ 4 가 아니고
내 ㅡ in side
그렇게 하나씩 배우는거죠 ㅎㅎ 처음 접하면 뭐든 다 어려운 법 아니겠습니까
콜롬버스가 계람을 세우는 방법을 말한거랑 비슷히네여~~ 당연한거지만 누구나 생각은 못하죠
마치 고전역학이 아인슈타인 상대성 이론에 따라 시간변수를 도입하며 확장되었듯이 삼각형의 개념 자체를 평면에서 입체로 확장했다고 봐야겠네요.
세개의 곡선으로 이루어진 삼각형..
안녕하세요. 감사히 잘 봤어요.
다른 댓글에서 제목 불만 말하신 것처럼 속아서 봤어요. 속은 덕분에 곡면 삼각형에 대해 생각할 기회가 됐어요.
예제의 구 상에서 곡면 삼각형의 선분은 호 곡선인데 다른 물체 위나 곡면에서는 어떻게 적용되고 활용될 수 있을까요?
지붕재료인 반원이 교차한 듯한 평면이나 각이 지게 접힌 평면이라도 일정한 형태가 있을 수 있고 불규칙한 형태의 곡면 등 많은 곡면이 있지요.
곡면 삼각형도 아직은 단순한 구체 위에서 해석과 계산이 가능한가봐요.
2024년 4월 18일 목 09시 태평양 시간
자. 여러분, 상대성이론에서 시공간을 이해하고 싶으면 원통좌표계와 구좌표계의 반변기저벡터, 공변기저벡터를 이용해서 각 좌표계의 메트릭 텐서를 구하고 민코프스키 시공간, 공변미분도 해보아용~.
(실제로 상대성이론의 기둥을 이루는 텐서부분에 나오는 이론입니다. 자세한 부분은 Arfken 4장에...)
아..리치 스칼라 구하기 위한 64개의 방정식 노가다 ^^
거기다가 장방정식까지..우욱..
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
사실 원통좌표계와 구좌표계뿐만 아니라, 복소다양체와 스핀다항식 접근을 통해 보다 정교한 텐서 해석이 가능하다는 점도 고려해야 함 특히 반변기저벡터와 공변기저벡터를 단순히 기저로만 다루는 게 아니라, 리만 곡률 텐서와 결합하여 비선형 시공간 왜곡까지 분석할 수 있는 다중차원 메트릭을 설정하는 게 중요하죠 결국, 이런 접근법이 휘도 장방정식이나 게이지 변환 이론과 연결되어야 진정한 상대성 이론의 심오한 부분을 이해할 수 있죠
그리고 이 부분은 Gravitation by Misner, Thorne, and Wheeler에서도 훨씬 더 심도 있게 다루고 있답니다
가정이 이미 평면이라고 했는데....
그래서 유클리드가 틀렸다는게아니고, 공간으로 확장하게된 계기를 설명하는거죠
휘어진 공간에서의 평면도 평면입니다.
인간은 3차원 공간에 살면서 2천년 동안 평면 기하학에 갖혀 있었는데
유클리드가 곡면 기하학을 제시함으로서 인류의 생각의 범위가 지구에서 우주로 확장될 수 있는 계기가 마련됐다는 얘기다
인간의 크기는 지구에 비해서 작기 때문에 지표면도 평면으로 '근사'를 할 수 있는 거고
그렇게 인류는 우주 공간 속에서 먼지처럼 살아왔던 건데
우주는 평면이 아니라 곡면이라는 본질을 알게됨으로서 우주 안에서 우주를 보는 것이 아니라
우주 밖에서 우주를 상상할 수 있게 된 것이다
그니까 공간 자체가 중력 등의 요인에 의해서 휘어져있으면 그 공간 안의 평면에 그린 삼각형은 내각의 합이 180도가 아닐 수도 있다는 건가?
@@drmphy유클리드가 아니라 리만 아닌가요?
그러면 조그만한 삼각형을 많이 그리고 각 삼각형의 내각의 합을 다 알아보면 많은 삼각형으로 채워진 표면의 곡률을 알 수 있을까요?
네 가능합니다. 그리고 설명하신 과정은 유한요소해석(FEA)과 유한요서법(FEM)의 초석입니다.
@@victorlee1186 오 감사합니다 찾아봐야겠네요!
오 이걸 이렇게 추론할 수 있는거군요
이 샛끼 똑똑하네 넌 잘 커서 과학계에 이바지 하거라. 주 1회 치킨 배달 평생 무료권 주마
울퉁불퉁한 면이라면 내각의 합이 180도 일수 있겠죠. 그럼 곡률의 합은 평면?
그렇군요 대단한 발견입니다
삼각형의 정의에 직선으로만 이루어진 평면도형이라는 전제조건이 있기 때문에 이걸 충족 못하면 180도가 아닐 수 있다는 건 당연한거 아닌가
진짜 단순하게 생각하고 단호하게 결론을 지으시네요
@@rocking2001 이건 단순도 결론도 아니고 수학적 정의일뿐인데 님 또한 일면만 보고 판단하는 것 같네요
@@이준기-j8i 삼각형은 직선입니다 공간이 휘어있는거죠
@@이찬-k4y 그 공간이 휜값을 넣었기때문에 이미 직선이란 정의를 벗어남
1) 삼각형을 3차원의 휜 공간으로 적용해서 보면 세각의 합이 180도를 벗어날 수 있다 (진실)
2) 삼각형을 3차원의 휜 공간으로 적용해서 보면 세각의 합이 180도를 벗어났기때문에 세각이 180도가 아닌 삼각형이 존재한다 (거짓)
@@totti4715 그러면 구체에서 삼각형의 각도를 잴 때 선이 구체를 지나간 선의 각도를 재면 180도겠죠.
사각형 내각의 합이 360도라구요? 틀렸습니다. 경우의 수는 무한합니다.(사각형을 그린 종이를 구기며)
평면에서 360도면, 아무리 구겨도 곡률을 반영해서 정밀 계산하면 결국 360도가 되겠죠
드디어 53년 6개월 13일 4시간의 연구끝에
내각의 합이 360도가 아닌
사각형을 찾아냈습니다.
노벨상 주세요 제발!!
멍청한것
중학교 과정에서 유클리드 기하학을 가르칠 때 평면에서만 적용된다는 한 줄을 추가하게 만든 위인이 리만이었군요
그래서 가끔은 과학자라고 하는 사람은 괴변을 늘어 놓고 그것을 또 다른 발견이나 과학이라고 한다.
직선으로 그어 놓지 않고 직선이라 우기는 것과 같다.
구면에 삼각형을 그리면 180도보다 크다는것을 리만이 말할때까지 아무도 몰랐다고? 그럴수가 있나??
성우분이 스펀지 성우분인가? 엄청 익숙한 목소리네요
삼각형 내각의 합은 네~모다
진실 혹은 거짓?
내각의 합이 180도를 넘어가면 삼각형이란 단어를 쓰면 안되는거아닌가? 삼각형의 전제가 내각합이 180도이니. 공에다가 삼각형을 그린다는 전제가 말장난인듯
유클리드 기하학에서 삼각형의 전제에 '내각합이 180도'는 없습니다.
공에다가 삼각형을 그린다는 전제가 가장 핵심이라고 생각하면 됩니다. 공간 자체가 휘어있다면 오히려 유클리드 기하학은 현실을 전혀 반영하지 못하는 기하학이 됩니다.
수학자들의 괴팍한 점이죠. 물체가 공이냐 컵이냐에 따라 이런걸 위상수학이라고 하나요? 자기들 끼리는 대단하다고 얘기하더이다.
삼각형의 각의 합이 180도라는 것은 그 삼각형이 평면이고 그 선이 직선이라는 가정에서 성립하는 것이다. 그러니까 그렇지 않은 상태의 삼각형은 엄밀하게 말한다면 삼각형이 아니다. 각이 세개라고 삼각형이 아니다. 굳이 삼각형의 선이 직선이 아닌 것은 얼마든지 그릴 수 있다. 각의 합이 거의 0도에서 1080도까지 그릴 수 있다.
평면에서 내각의 합이 180도라면, 곡률위에서의 내각은 곡률을 계산해서 반영하면 내각의 합은 180도가 되겠죠. 공간상에서 형태만 변한 거니까요. 과학 용어를 빌리면
에너지 보존 법칙? 질량 보존 법칙 정도.
대부분의 이론들은 가정에서 많은 것을 제한한다. 하지만 현실은 이 가정을 깨야 적용할 수 있다. 이론을 현실에 적용하려면 이게 말이 안된다고 하기보다는 이렇게 해야 적용되는구나를 이해해야 한다. 이 가정안에서 갇혀 있으면 더 나아가기 어렵다.
아니 당연한 거 아님...? 평면이 아니면 당연히 세 각의 합이 180도가 안 되는 경우가 있겠지
2차원 수학이 기본값이였는데 3차원 수학을 이해해보려고 한 대단한 수학자라는 이야기군요
우리는 그것을 삼각형이라고 안합니다
이 영상에서 삼각형이라고 부르는 곡면상 삼각형은 삼각형이 아니다...
그건 유클리드기하학에서 한정된 개념이고, 비유클리드기하학 개념에서는 삼각형이다. 영상에도 나왔듯이 그런 고정관념의 틀을 깨서 공간을 이해하는 기반을 마련해준것이 리만임
먼소리래 삼각형리야
그러면 휘어진 공간에서 삼각형은 존재하지 않는다고 생각하시나요?? 휘어진 공간에서 연결된 세 개의 직선은 꼭지점 각이 90도인데 삼각형이 됬습니다. 이걸 본인 생각대로 한변의 합이 60도인 연결된 세개의 직선은 휘어진 공간에서 삼각형인가요??
곡면에서의 삼각형은 존재하지 않는다는 생각인건가요? 이 세상에 완벽한 평면은 존재하기 힘듭니다. 미세한 중력만 있어도 공간은 휘어지는거니까요. 2차원과 3차원의 차이를 이해하면 다르게 생각할수 있어야한다는거에요.
유클리드가 평면이란 조건을 내건 사실에서 이미 리만이 얘기한걸 유클리드시대 이미 간파하고 그런 변수(곡률이 0이아닌경우)를 배제했다는건데 이것이 고대기하학고 현대기하학을 구분지을 만큼의 업적이라하기엔 억지스럽네요.
유클리드는 평면이 무엇인지 정의하지 않음. 이게 문제가 되는 거.
영상에서 나오듯이 삼각형의 내각의 합이 항상 180도인 면이 평면임. 즉 유클리드가 "평면에서 삼각형의 내각의 합이 180도"라고 말하는 건 현대수학에서는 순환논리임.
이게 얼마나 대단한지 느끼면 당신은 고정관념의 편견을 깰 수 있는 사람.
05:24 이게 되네
전제조건이 평면일 때 삼각형의 내각의 합이 180동이지,
곡면에서는 달라지는게 당연하지.
뭐가 그리 신기하나
원주율이 360°가 아닌데
정사각형의 합이
360°가 아니다
파이값을 모르는데
아쉽군
평평하지 않는 공간에서 삼각형은 어떻게 정의하는거지.... 세 점을 가장 가깝게 이어지는 선분 3개로 이어지는건가... 애초에 평평한 공간과 그렇지 않은 공간의 차이가뭐지...
직선은 최단거리죠. 직선상에 위치하지 않은 세 점을 세게의 직선으로 연결하면 삼각형이 되고요.
평평한 공간과 그렇지 않은 공간에서의 최단거리가 다릅니다. 5:50 쯤에 잘 나와 있네요.
엄밀히 말하면 삼각형은 아니긴 하죠
말그대로 3개의 각으로 이루어진 도형이겠죠
네 맞아요. 두 점 사이의 최단경로가 직선이고(곧은 선이 직선인게 아닙니다) 이것 세 개로 둘러쌓인 도형이 삼각형이죠.
@@niceyoungmo 삼각형 맞아요
지구 구형에서 그려지는 삼각형이 삼각형 맞나? 단지 삼각형 처럼 보이는 착시이지...
삼각형의 정의를 생각하면...
삼각형 내각 변경을 일으킬려면
각 변의 막대를 직선이 아닌 곡선으로 만들면 가능한 것이므로
진정한 삼각형이 할 수없는 것.
즉.
둥근 면에서 해당 면에 딱 붙는 진짜 삼각형을 그릴 수없다임.
이거 진짜 옛날에 봤는데 오랜만에 보네
' 삼각형의 내각의 합은 180°'라는 것을 '평면이 아닐 때'라니 무슨 이런 억지가...
평면이 아닌, 뒤틀린 삼각형 내각의 합이 180°가 아닌 것은 직관적으로도 당연히 알 수 있는 것 아닌가?
65년 전, 삼각형 내각의 합 증명 처음 배울 때 삼각형 그린 노트를 말아서는, 이 때는 내각의 합이 180°가 아니라고, 말아진 상태에 따라 각도가 달라진다고 장난쳤던 기억이 나네.
라고 옛날엔 얘기하지 않았을 겁니다. 콜롬버스가 달걀을 세운 것과 같이 리만은 평면에 갇혀 있던 수학의 틀을 깨준거죠
영상의 제목 "삼각형 전체 각도의 합이 180도..."라는 글에서 번뜩 든 생각은
각을 이루는게 직선이 아니면 되지않을까?라는 생각이 들었다.
그러면 1각형 2각형도 존재할 수 있다.
사실 직선의 정의도 맘에 안 듭니다. 말 그대로 하면 휘지 않은 선(곡률이 없는 선)인데, 수학에서는 두점의 가장 가까운 거리라네요. 각도는 선이 모여야만 나오는 것인데, 직선의 정의에 따라 구체에서 가장 가까운 거리는 결국 속을 약간 뚫고 나가는 선이고, 선이 그렇게 되었으니 구면상에서 각도를 재면 이상하고.
@@ABC-kx5gy수학을 좀 더 공부하셔야 할 듯...
@@ABC-kx5gy그냥 종이인 2차원을 동그랗게 말았다고 생각하세요
그러면 외관상으론 구부러지게 보여도 결국은 직선인 거잖아요?
@@왼손잡이-g4y 이제와서 수학을 공부해서 ............
@@경북-x1w 직선이라면 어느 방향에서도 어느 공간에서도 휘지 않아야겠죠. 공간이 휘어도 직선이 존재한다면, 모든 차원마다 직선의 정의를 새로 만들어야 하겠죠.
그건 삼각이 아니죠. 개념을 달리하는 공식일 뿐..삼각은 세개의 직선이 이루는 개념이니 선형변경은 새로운 방식으로 적용할 뿐..
곡선이 어떻게 삼각형에 들어가..
아니 초딩때 내가 곡선으로 삼각형만드니까 선생님이 삼각형이 아니랬는데;;
유클리드 이론에서 삼각형의 세 점을 잇는 선은 반드시 직선이어야 한다는 기본 전제가 있지 않았나?
그 전제를 배제하고도 모순이 발생하지 않는 새로운 기하학을 만든거라고
@@apqmxixuns4906 유클리드 이론의 기본 전제를 배제하면 더이상 이 이론과의 연관성은 찾을 수가 없게 되는 것이지.
그리고 정확히 어떠한 모순이 발생하지 않았다에 대한 설명이 없군.
차원개념이 이미 상위이론이라 그냥 영상은 어그로란 생각뿐이 안드네요
평면과 구면은 차원이 다르다. 각 차원은 90도 차이. 점 선 면 체.... 단계마다 90도 차이 존재한다
이야 차원이 다르구만을 이럴때 쓰는건가?
유투브에 이렇게 수학자들이 많았다니
평면에 선을 그으며 수학을 발전시키다보니 그게 오히려 사고를 경직시킨 결과로 나타났네
익히 당연하게 알고있던 것도 다시봐야 한다는 사실.
삼각형의 정의를 무시한 삼각의 형태를 삼각형이라고 말하는 것이 맞나? 삼각형의 내각의 합은 여전히 180도가 맞다.
그 정의라는것도 어떤 공리 안에서 창시된거고 새로운 공리체계 아래에서는 기존 정의의 의미가 없어지는걸 모르시나요?
찬성합니다. 구면의 곡률을 계산해서 삼각형 내각의 각도를 보정하면 180 나오겠죠. 다른 식으로 말하면 에너지 보존의 법칙. 질량 보존의 법칙.
@@ABC-kx5gy 구 구면의 곡률이란게 중력과 에너지가 바뀔때마다 곡률도 바뀌는겁니다. 그 각도를 중력과 에너지가 바뀔때마다 보정하는 움직이는 삼각형이 진짜 삼각형일까요?? 그게 아니라는겁니다. 평면은 언제든 휘어질수 있다는 사실을 받아들이시면 쉽습니다.
난 이게 왜 대단한건지 이해가 안가는데, 삼각형 각도의 합이 180도라는 건 당연히 평면일 때를 가정한 얘기이고, 삼각형을 곡면으로 구부리면 각도가 변하리라는 건 애들도 알지 않나요?
방송에서는 조금 부풀리고 과장하는 특성이 있죠. 그리고 어떤 분야의 학자들은 일반 사람과는 "대단하다, 혁명적이다"라고 느끼는 대상이 다른 것 같네요
이 집도 제목으로 장난 잘치네
지구를 둥글게 생각하면 둥근 나무나 하나 꽉 박힌 상태라고 생각한다면 그것을 0.0000000000001의 간격으로 자른 모형 으로 설명할수 있을것 입니다.
과거현재미래 는 없고 현재가 지속될 뿐입니다.
모든 지구의 생물 무생물이 그런 DNA 형태로 보면 어떨까요?
근데 평면 이라고 조건제시 한거 보면 유클리드 저 분이 리만보다 더 먼저 알았을 것 같은데...
삼각형의 네각의 합은 180도가 됩니다!
헐 그럼 땅에다 그리는 삼각형은 엄밀히 말해서 180도가 아니겠군요!😮
정답. 지구가 커서 티가 안 나지만 한변의 길이가 100km인 삼각형을 그려본다면? 이것도 힘드니까 지구본에 삼각형을 그려보면 되죠
일반적인 땅의 대부분은 평면이 아니죠~ 그래서 기초공사를 하겠죠.
문제는 그렇게 기초공사를 해도 거의 평면이지 개념적인 평면은 거의 불가능할것 같아요. 오차는 어디나 있기 마련이니까요.
@@phil5084기초공사는 땅이 평면이 아니라서 하는게 아닙니다.. 일반적인 건물짓는 면적가지고는 곡률차이날정도로
차이나지도 않습니다 기초공사는 그 말대로 땅에 건물의 하중을 바로 주지않고
기초를 통해서 전달시키는 구조인겁니다
@@아리까리-g8o 비유로 가벼운 글을 쓴 것 같은데 댓글이 묵직하네요 ㅋㅋ
그런식이면 이각형도 있겠네
각이 3개면 다 삼각형으로 부를 기세
???:사각형 내각의 합은 180도야. 너무 당연한 얘기라 분필이 아까워
와 감탄이 ...
점 3개를 잇는게 삼각형이니 곡면에서 세 지점을 찍고 그린 도형은 삼각형이긴 하지.
삼각형의 정의를 무시하니 180아닌거죠
이미 오류가 있는건 아닌가 삼각형의 사전적 의미에 대한 고찰이 필요한듯.. 구체나 평면이 아닌곳에 그린것은 이미 삼각형이 아니므로 지구나 구체에 그린 삼각형의 내각의합이 270도 라는 말차체가 오류, 역으로 내각의 합이 180도가 아닌것은 삼각형이 아님
삼각형의 정의를 '일직선 위에 놓여있지 않은 3개의 각(점)과 선분으로 이루어진 다각형'이라고 한다면 고민해야할 문제가 생깁니다. '점', '직선'이 정의되어 있지 않습니다. 모든 용어는 그 용어를 설명하기 위한 용어가 필요한데 이러면 끝이 없겠죠. 따라서 '무정의용어'가 필요합니다. 그리고 구면 기하학에서 '직선'을 '구의 대원'으로 정의(해석)하면, 유클리드 기하학의 공준 중에 평행 공준을 제외하면 서로 모순이 발생하지 않습니다. 구면기하학 등의 비유클리드 기하학은 직접 찾아보는 게 좋을 겁니다.
따라서 '구체나 평면이 아닌 곳에 그린것은 이미 삼각형이 아니므로'라는 문장은 뭔가 이상합니다. 삼각형과 구체, 평면은 서로 전혀 연관이 없는데 인간의 직관이 잘못된 논리를 가져와 버린거죠. 애초에 이 영상에서 수학자들이 이런 시도를 한 이유는 '삼각형이 270도일 수 있구나!'가 아닙니다. '유클리드 기하학 체계(우리가 중고등학교에서 늘 배우는 기하학)가 아닌 모순 없는 기하학 체계가 있구나!' 입니다.
근데 저런식이면 구체 위에서 그냥 가로선 쭈우우욱 긋고 점 세게 찍어서 각 각마다 180도라고 해도 되지 않나...?
고정관념이 아니라 아예 정의상 삼각형은 세 개의 직선으로 이루어진 도형인데, 구체 위에서 직선은 곡선이 되었으니 삼각형이 아님;
아님말고 ㅅㄱ
역시 발상의 전환이 중요하구나..
설마 곡선? 하면서 왔는데 진짜네?
그럼 2도 1이지
위에서 보면 직선, 옆에서 보면 곡선. 이건 직선이 아니겠죠.
음 그럼 구체에서 내각의 합이 450도인 삼각형도 그릴수 있군요 반구체에서 내각의합 270도 삼각형 모양을 뺀 나머지 모양이죠 그럼 구모양에서 그릴수 있는 삼각형은 180도에서 540도 사이의 내각을 가진다...맞을까요?ㅎㅎ
평면이 아니면 당연히 180도가 아니지....
발상의 전환이 신기하네요
아인슈타인 대학시절 수학공부를 게을리 해서 일반상대성 이론을 수학적으로 설명하려 했으나 실패했다고 하지요...바로 평면에서 통하는 유클리트 기하학으로 시공간이 휘는걸 설명하려 했으니 결국 포기.....그래서 같은대학 동료 수학자에게 부탁.....그 수학자가 아인슈타인에게 가리켜 준것이 바로 리만 기하학이라고 하지요....그때 아인슈타인 왈..."대학교때 수학공부좀 열심할 걸...ㅜㅜ"..하고 후회 했다고 하지요...
말도 안되는 소리.
삼각형은 직선으로 만들어야하는데
곡선으로 만든 삼각형은 삼각형이 아니다.
위에서 보면 직선, 옆에서 보면 곡선인데 이걸 직선이라고 할 수 있나? 관찰자 시점에 따라 오락가락하는 게 수학일까?
@@ABC-kx5gy위에서 봐도 곡선입니다....
???:정말 대단한발견이네.. 난 알고있었는데.. 내가 먼저 해명했으면 수학천재됬다 ㄲㅂ
서양에서는 수학 과학에 발전을 했다면
한국 조선에서는 수천 수억년을 지배할 언어. 즉 한글을 만드셨다
자막이 기본적으로 제공될때는 다른언어가 자막을 가려요
CC를 끄셔야죠
내각이 세개인게 삼각형이라고 하면 곡선으로 세개의 각을 지닌 삼각형은 직선으로 이루어진 삼각형을 포괄하는 삼각형이고 세개의 내각의 합도 180도 하나로 고정되지 않겠군. 오 발칙한 리만 기하학이다🤔
뭔가 공간에 대한 발전이라는거는 이해하겟는데 일단 3d로 만들면 삼각형이 아니자나…
계산을 위한거임.
우주로 나가는 로켓을 만든다고 했을때 지구가 평면이라고 계산했을때랑
구면이라고 계산했을때 오차가 엄청나게 나겠지?
우리나라 외우는 교육의 문제를 여기 댓글로 확인할 수 있다. 곡선으로 그린 삼각형이 아니라고!!!!
정의!를 어떻게 하느냐의 문제라고!!
근데 확장한 개념이지 유클리드 기하학이 틀렸단건 아닌거 같은데 당연히 평면의 삼각형이라는 전제하에 있는거지 애초에 구부러진 공간에 삼각형을 삼각형이라고 부를수 있는건가? 편의를 위해서 삼각형이라 한거지
역시 리만 브로..
근데 평면이 아닌 곳에서 예시로 든 곡면삼각형이 평면에서도 삼각형으로 쳐주나요? 그럼 애초에 삼각형이 평면에서도 180도 넘을수 있는거아닌가요
당연히 안쳐줍니다 새로운 기하학의 영역을 정립한거에요
삼격형의 정의가 3개의 직선이 연결된건데
휘어지면 3개의 직선이 아닌것이고
삼각형이 아닌것을
영상 다보시면 삼각형을 평면을 정의하는 하는 데 이용한거고 후에 공간의 개념을 늘려준 거라고 나와요 ㅎㅎ 예를들어 풍선을 불기전 삼각형 생각하시면 되요 ㅎㅎ
이 세상에 휘어지지 않는 평면이 거의 존재하지 않는다는 사실을 받아들이기 쉽지 않으시겠죠?
수학교육과 학부 수학사 강의에서 배운 내용을 가볍게 정리해 봤습니다.
수학적으로 '직선'이 뭘까요? 수학적으로 '점'이 뭘까요? 많은 분들이 이해못하는 지점이 여기입니다. 참고로 무정의용어라고 검색하시면 기하학에서 '직선', '점'이 무정의용어라고 나옵니다. '평면이 휘었다면 삼각형이 없다.'가 주장이라면, '지구 위에서 직선을 그으면 지구를 벗어난다'가 사실이라면 지구에 사는 우리는 기하학을 왜 하죠? 현실과 동떨어져서 아무런 의미가 없는데요. 이런 건 수학자들도 원하지 않습니다.
지구라는 특수성 때문에 곡선을 직선으로 넘어가주는 것이 아니라 지구 위 세상에선 내가 앞으로 걸어나 나온 선, 그게 직선이라고 인간이 '해석'하는 겁니다.
사실 삼각형에 대한 이야기는 그리 핵심적인 내용이 아닙니다. 우리가 아는 그 기하학이 바로 유클리드 기하학입니다. 유클리드 기하학에는 5 가지 공준이 있고 그 중에 5 번째 공준(아래에 적음)은 혼자만 너무 복잡합니다. 엄밀함과 명료함을 추구했던 후대의 수학자들은 자연스럽게 5 번째 공준에 대한 의문을 품었고 '사실 나머지 4개로 5 번째 공준을 증명할 수 있지 않을까?', '5 번째 공준을 부정하면 모순이 발생하지 않을까?(귀류법)'와 같은 시도를 하였습니다. 결과는 전자, 후자 모두 실패하였죠. 심지어는 '유클리드 기하학이 모순이 없으면 쌍곡기하학도 모순이 없다'라는 명제가 참임이 증명되었습니다. 어이가 없죠? 쌍곡기하학은 유클리드 5 번째 공준을 부정해야 나오는 기하학입니다. 구면기하학도 당연히 유클리드 기하학과 무모순성이 같이 갑니다. 이런 스토리를 따라가면 사실 가장 중요한 사실은 따로 있습니다.
2000년 간 '절대적 진리'로 믿고 있던 유클리드 기하학이 사실 절대적 진리도 아니였고 '삼각형의 합이 180도보다 클 수 있다' 같은 이상한 명제가 참인 구면 기하학이 유클리드 기하학보다 못할 게 없다는 것. 이게 중요한 겁니다.
수학 전공자가 아니면 용어가 좀 어려울 수 있는 데 적당히 검색하면 다 나옵니다.
Shout out to 문성재 교수님
유클리드 5 번째 공준 : 임의의 직선이 두 직선과 교차할 때, 교차되는 각의 내각의 합이 두 직각(180도)보다 작을 때, 두 직선을 계속 연장하면 두 각의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 교차한다.
유클리드 기하학 꺼무위키 : namu.wiki/w/%EC%9C%A0%ED%81%B4%EB%A6%AC%EB%93%9C%20%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99
삼각형 꺼무위키 : namu.wiki/w/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%98%95#rfn-1 -> 여기에 구면 삼각형, 쌍곡 삼각형 나옴
솔직히 말장난 같습니다. 물론 평면에 갇혀 있을 필요가 없다는 고정관념을 깨는 것은 중요하지만, 그 기초가 관념의 세계에서 완벽한 평면을 가정하고서 기하학이 성립하는 거죠. 이러한 바탕이 존재하니 평면을 벗어나서 생각해보는 것도 가능해진 것이고요.
2000년전에는 지구가 둥글다는 것을 몰랐으니 이해한다마는 지구가둥굴다는 것은 알았을때 수많은수학자들은 뭘했는가 사과를 쪼개든가 수박을 가로세로로 8등분으로 쪼갰을때 수학자라면 충분히 쪼개진 수박을 보고 발견할 수 있었을텐데 너무 안일했다
'지구가 둥글어도 삼각형은 평면 위에서 있는거지!' 라고 생각해서 입니다. 영상에 나온 비유클리드 기하학이 수학자들 사이에서 의미를 가진건 그 시대에 '절대적 진리'라고 믿어졌던 유클리드 기하학말고도 모순이 발견되지 않는 기하 체계가 발견된 뒤입니다. 실제로 영상에 나온 구면 기하학이 그 예시입니다.
곡선으로 그린 삼각형 4각형이 , 다각형의 전제조건에 해당됩니까?
곡선을 그린것이 아니라 곡면에서 직선을 그린것으로 알고있어요
근데 그러면 그건 어떤평면에서의 삼각형이 곡률이 정해진 입체면에서의 삼각형으로 바뀐거 뿐인거 아닌가요? 그리고 곡률면에서 직선을 그리더라도 그 선은 애초에 직선이 아닌거잖아요. 역산에서 의미가 있다는건 이해했는데, 그런식으로 따지면 삼각형의 내각합이 540도까지 된다는건데요 540도 부터는 모양도 자기맘대로인거 아닌가요
@@개소리전문가강동생욱직선의 정의가 중요할거같네요. 두 점을 잇는 가장 짦은 경로를 직선이라고 한다면 곡면상의 직선은 직선이 맞습니다.
@@vyam75곡면상의 직선이 가장 짦은 경로는 아니지 않나요??? 두점을 잇는 가장 짦은 경로는 언제나 2차원이 되어야 하는데 설명하신건 3차원적이고 가장 짧은게 아니 표면을 따라 긋는 건데요....
@@김진철-i6l 2차원으로 설명한걸 3차원 직교좌표계로 변환시켜서 이해하려고 하시는거같은데.. 일단 가장 단순하게 구면을 생각해보세요 구면은 구의 반지름을 정하고 나면 2차원으로 표현할 수 있습니다. 이 위의 직선도 2차원 좌표를 갖는 직선이고요. 물론 구면상의 점이나 직선은 3차원 직교좌표 또한 가지고 있고 이 3차원 직교좌표로 보면 직선이 아니라 곡선이 맞아요. 근데 3차원으로 변환하지 않고 처음 설정한대로 2차원으로 보면 직선이라는 말입니다.
일반상대성이론에 나오는 내용이잔아?
근데 보통 지구본이나 이런 걸 지나가면서 한번쯤 생각해볼법하지만 결국 이게 입체적이고 한 변이 구부러진 것도 '삼각형'으로 칠 수 있다고 생각을 못한게 아닐까?
이등변삼각형, 직각삼각형 모두 결국 변들이 직선이라는 점에서 벗어나질 않는데, 어느 누가 변이 곡선인 삼각형을 '삼각형'이라고 생각할 수 있었을까?
정말 대단한 점은 입체 삼각형을 찾은 것도 있지만, 기존의 인식을 깨고 주장할 수 있었다는 게 아닐까
구면삼각형이 나온 게 ‘직선이 아니라 곡선을 변으로 하는 삼각형을 생각해보자!’ 해서 나온 게 아닙니다. 실제로 구면 삼각형의 변은 직선입니다. 구면좌표계를 평면에 올려놓고 보니까 곡선으로 보이는 거에요. 비유클리드 기하학이 유클리드 원론의 평행선 공준을 부정하며 탄생한 건데, 여기서 직선과 평행선을 건드립니다. 구면에서의 직선은 대원의 호입니다. 지구로 따지면 경도선이나 위도선에 해당합니다. 이게 직선이니까 구면 위에서 평행선은 없다는 결과가 나오는 겁니다.