Объем параболоида: тройной интеграл в цилиндрической системе координат
Вставка
- Опубліковано 25 бер 2022
- В этом видео будем находить объем внутри параболоида с уравнением вида z=(x^2+y^2)^a. Для этого будем использовать тройной интеграл в цилиндрической системе координат.
Пример с тройным интегралом в сферической системе координат здесь: • Объем через тройной ин...
А здесь используется двойной интеграл для нахождения объема и площади пересечения двух цилиндров: • Пересечение двух цилин...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
регулярная поддержка: boosty.to/hmath
Благодарю, смотреть и слушать одно удовольствие.
Какое удовольствие. Отвлекает от действительности. Спасибо за ваш труд
Спасибо огромное за Ваш труд! Уровень обучающего контента крайне высокий. Периодически показываю ролики студентам на практических занятиях, смотрят с большим удовольствием
Красивое, подробное решение. Большое спасибо за понятное объяснение.
красота неимоверная, музыка чисел, большое спасибо за удовольствие.
Какое замечательное и красивое решение!! Спасибо, вы прекрасно объясняете.
математикой давно не занимаюсь напрямую, но так приятно посмотреть-послушать) ностальгические чувства) спасибо)
У вас офигительный вид из окна. Ни одного дома. Везет же )
специально так выбрано было ;)
@@Hmath хорошо если там грунт не подходит для стройки из-за воды и не влепят позже )
такое может случится. радуемся, что пока это не так :) Там как бы "лесопарк", но его всегда могут отдать под застройку.
Почему я только что узнал про ваш канал?)
Супер объяснение, спасибо большое
Спасибо огромное вам за ваш труд. Как раз сейчас прохожу в университете тройные интегралы. Ваше объяснение в разы лучше чем у преподов.
рад, что вам нравится! :)
Спасибо за интересный разбор увлекательных задач.!
Очень полезное видео, помогло разобраться в теме. Спасибо за Ваш труд!
Экзамен через час, спасибо за видео, освежил в памяти цилиндрическую систему координат!
Комфортное для зрителей изложение материала. Спасибо!
Спасибо большое за ваш большой труд
Потрясающе👍
Спасибо огромное, очень помогло в решении домашки)
респект
Легендарно
Большое спасибо!
Привет, классные видео, хотел узнать в какой программе делаешь анимации
geogebra
интересно, а как высчитывается объём сумок, они используют приблизительно формулу, которая описывает разные части сумок и считают всё с помощью тройного интеграла или же у них другой подход
для сумок-то зачем такая точность? :) мешок засовываешь и надуваешь - опытным путем сразу объем получится. А вообще, мне кажется, что для сумок и рюкзаков объём пишут "выдуманный": мне ни разу не удавалось даже близко сложить столько, сколько написано. В рюкзак "30л" входит в лучшем случае 2 пятилитровых бутылки :)
@@Hmath Небось без учёта упаковки считают
Не проще ли воспользоваться элементарной формулой нахождения объема тел вращения?
с телом вращения есть другое видео с объемом тора, но там всем хочется рассказать, что объем тора можно найти без интеграла :)
смысл ведь не в том, как проще. Видео показывает на простом примере что такое цилиндрическая система координат и как в ней находить тройной интеграл.
@@Hmath тогда ещё можно через формулу Остроградского )
А можно эту формулу умножить на высоту, или часть высоты? А то целиндр не обязательно высотой в 1 единицу )
ну вот и подумайте над тем, как что нужно изменить в решении, чтобы получить для любой высоты ;)
и вообще, 1 это же не обязательно 1см или 1м. Длина может быть измерена в любых других единицах. Если высота 1м, то и объем получится в кубических метрах, а если 1 фут, то и объем в кубических футах, а если высота 1 локоть, то и объем в кубических локтях :)
За универсальность я и любл
интегральное исчисление
Так а если вместо 1 взять параметр, например, h, то получится общая формула с произвольной высотой)
Тогда получится V = pi*a/(a+1) * h^(1 + 1/a), что при a->0 (плоскость) стремится к нулю только лишь слева, справа - к бесконечности. Почему возникает такая проблема?
@@user-wy3mr6nj6w тут предел стремиться к бесконечности, если h>1, а если h0. Получается, что в той области, где z0 (и объем этой части стремится к нулю, поэтому если высота меньше 1, то объем всего тела тоже стремится к нулю), а в области, где z>1 тело наоборот становится всё более "широким" при a->0 (и объем этой части будет стремится к бесконечности). Надеюсь, так чуть более понятно. Плоскость получается только, если высота h=1.
@@alx1984 спасибо!
А может кто подсказать как проинтегрировать ту же функцию, пускай даже с a=1, но через прямоугольные координаты?
в прямоугольных координатах будет тройной интеграл:
пределы по х от -1 до 1
пределы по y от -sqrt(1-x^2) до sqrt(1-x^2)
пределы по z от x^2+y^2 до 1
под интегралом будет просто 1*dx dy dz (если ищем объем)
ну а дальше интегрируем последовательно, только там выражения с корнями будут получаться при интегрировании по х. Такие интегралы можно найти с помощью замены x=sin(t). Такой пример рассматривался в этом видео: ua-cam.com/video/Wve2rOT_Jr8/v-deo.html
как найти объем чашек: налейте в них воду, перелейте в мензурку:)
а что если чашки не существует? ;)
разве r не меняется от 0 до функции? Так получается что на всём пути по z радиус всегда меняется от 0 до 1 но это же не так
пределы интегрирования по r расставляются по проекции тела на плоскость XOY, как это указано в видео.
@@Hmath а почему только в этом случае по проекции, почему мы тот де метод не можем применить в отношении z? Z же у нас тоже, если спроецировать, будет меняться от нуля до z равное чему то, где логика?
посмотрите другие видео из плейлиста с двойными и тройными интегралами, может будет понятнее, как расставляются пределы.
Если вы посмотрели несколько видео и осталось непонятно, почитайте книги по мат. анализу, может быть тогда логика будет яснее. Написать в комментариях подробнее, чем это было в видео все равно не получится.
Модуль Якобиана???? Это разве не определитель?
определитель - это число, и число это может получится отрицательными. Есть разве какая-то проблема в том, чтобы найти модуль числа?
Есть прикол в том, что "объем тела вращения" - это задачка чуть ли не 11 класса. Никаких тройных интегралов, если есть явная функция r = r(z).
объем тела вращения, 2 способа, на примере тора :)
ua-cam.com/video/n-TQgdtDWDU/v-deo.html
@@Hmath, вот тор уже звучит намного сложнее. Хотя, на крайний случай можно посчитать как разницу 2 поверхностей:
int{ [r1(z)^2 - r2(z)^2]}dz*dphy
физически нет смысла математически вычислять объем чашек. Просто измерить проще и точнее.
слишком прямолинейно мыслите. К примеру, в отношении чашек, их объем можно "измерить" только, если они уже созданы. А если нет?
@@Hmath Если чашек нет, то вы никогда их такими точно как нужно не создадите, чтоб они с математикой совпадали.
конечно с бесконечной точностью ничего не создать в реальном мире, но это не делает вычисления бессмысленными, как вы хотите преподнести.