공돌이님의 동영상에서 접한 고유값과 고유벡터를 약간 공부했습니다 오늘 고유값이 중근인 경우까지 공부했고 정사각행렬의 n제곱 구하기에 고유값과 고유벡터가 사용되는 이유까지 공부했습니다 처음엔 처음에는 이게 뭔가 했는데 고유값과 고유벡터가 선형대수학의 최대의 종착역이고 핵심이며 그 활동분야가 광범위한 엄청난 세계라는 것을 알았습니다 거대한 미지의 세계를 소개해 주셔서 정말 감사드립니다 공돌이님이 뿌려 놓은 자그만 씨앗 하나가 이렇게 엄청난 세계일 줄이야 꿈에도 예상을 못했습니다 ~~~ !!!!!!!!
안녕하세요! 노성용님께서 댓글을 남겨주실 때마다 항상 저는 기분이 좋아지는 것 같습니다. 장문으로 남겨주실 뿐만 아니라 열심히 노력하시는 모습도 보이고 제 컨텐츠가 도움이 많이 되고 있는 것 같아 너무 뿌듯하기 때문입니다. 말씀하신대로 고유값 고유벡터는 행렬이 선형변환이라는 간단한 근거로부터 출발하는데 이로부터 파생되는 내용들이 정말 어마어마합니다. 추후에 PCA도 한번 공부해보시면, 이것을 기점으로 머신러닝에 대해서도 공부시작하는데 좋은 출발점이 될 것 같습니다! 항상 재밌게 봐주시니 너무 감사합니다! 좋은 밤 되십시오 ^^
안녕하세요. 말씀하신 연립방정식에서 v1 v2는 1, -1이 아니어도 상관 없습니다 다만 둘을 더했을 때 0이 되기만 하면 됩니다. 중요한 것은 벡터의 방향이기 때문입니다. 결국 고유벡터를 구할 때는 해당 벡터의 방향을 확인하고싶기 때문입니다. 그래서 원래대로라면 v1 v2는 상수 c, -c 라고 답을 놓고 난 다음에 벡터의 크기(c sqrt(2))로 나눠줘서 고유벡터는 [1/sqrt(2), -1/sqrt(2)]라고 답을 구하는 것이 조금 더 정확한 풀이라고 할 수 있겠습니다. 도움이 되셨나요?
안녕하세요 좋은 자료 정말 너무 감사드립니다~! 다름이 아니라 한 가지 질문을 드리고 싶은데, 12분 정도에 벡터가 어떻게 변화하는지를 시각적으로 보여주셨는데, 자세히 보면 고유벡터가 완전히 대각선으로 되어있는 것들만(Perfectly Linear) 방향이 변화하지 않는 것 같습니다. (보라색과 파란색 고유벡터들을 말합니다.) 그리고 더 자세히 보면, 보라색 고유벡터와 파란색 고유벡터가 서로 완전히 수직인 것 같습니다. 이 것이 orthogonal한 벡터의 형태와 관련이 있는 것인가요? 아니면 다른 특별한 의미가 있을까요? 답변 부탁드립니다. 감사합니다.
9.30 에서 v1=1로 놓고 풀어 v=(1 -1)라고 하였는데 v1=-1로 놓고 풀어 v=(-1 1)이라고 하면 (1 -1)=(-1 1)이라고 할 수 있나요? 3x3 대칭행렬 A의 대각화할때 고유값이 중근을 가지면 그에 해당하는 두 고유벡터들이 직교가 아닐때가 있어 A - (람다)I 를 가우스-조던 소거법을 이용해서 다시 서로 직교인 두 고유벡터들을 구하던데 같은 고유값으로 구한 직교가 아닌 두 고유벡터들과 직교인 두 고유벡터들의 차이점이 뭔가요?
공돌님 안녕하세요 만약에 A 행렬이 (-2 -1;-1 -2)가 되면 고유값은 -1,-3이 되고 고유벡터는 영상과 동일하게 나오던데요(x=y, x=-y)... 그런데 A행렬로 이 고유벡터를 선형변환 해주면 방향이 180도 바뀌던데 이 경우에도 고유값 고유벡터라 해도 되는건가요? 만약 단위벡터의 스칼라배 된것이 A에 있으면 A-lamda×I가 0이 되는 0행렬이 되는데 이때 A의 고유벡터는, 2차원 실수공간이 정의역이라고 하면 , 실수공간 전체라고 해도 되나요?
Ak = λk Ak - λk = 0 (A - λI)k = 0 여기서 A는 행렬이고 λ는 몇 배냐를 나타내는 숫자라서 왼쪽과 오른쪽이 차원이 다른 세계라서 차원을 맞추기 위해서 단위행렬 I가 들어가니까 Ak = λIk 이렇게 진행되어야 하는 것 아닌가요? Ak - λk = 0 (A - λI)k = 0 여기서 갑자기 I가 어디서 튀어나왔나 "갑자기 이게 뭐야 ?" 하고 브레이크가 결려서 여기저기 알아 보고 이해했습니다 가르치는 사람과 배우는 사람이 서로 실력의 갭이 크다 보니 가르치는 사람이 "이 정도는 당연히 알겠지 " 하는 것을 배우는 사람은 모르는 경우가 많더라구요 (이 영상 보는 사람들은 그 정도 기본지식은 있었겠지만) 중간에 약간 브레이크가 결렸지만 공돌이님 동영상이 워낙 자세하고 친절해서 고유값, 고유벡터는 이해했습니다 선형대수학에서 대어를 하나 낚아가는 기분입니다 고유값, 고유벡터는 개념도 없었는데 새로운 세계를 하나 얻었습니다 정말 감사합니다
안녕하세요. Ak를 계산할 때 A는 행렬이고 k는 벡터입니다. 그러면 Ak의 차원은 벡터 k의 차원과 같아지게 됩니다. 반면 우변에서 λk의 경우 λ는 스칼라이므로 λk의 차원은 벡터 k의 차원과 같습니다. 우변이 좌변으로 넘어올 때는 벡터 k를 Ik로 분해한 것으로 생각하는게 더 맞을 것 같습니다. 이 부분에 대해서 설명을 추가하는게 좋아보이네요. 항상 꼼꼼히 봐주시고 피드백 주시니 정말 감사합니다. 공부하시는데 도움 되었으면 좋겠습니다 :)
안녕하세요. 굉장히 좋은 질문 같습니다. 보통 벡터라하면 n x 1 형태로 두는 것이 일반적입니다. 말씀하신 내용이 저도 궁금해서 eigen-matrix가 있는지 찾아봤는데 eigen-vector로 이루어진 matrix를 eigen-matrix라고 하더군요... 좀 더 추상적인 algebra에서는 matrix도 일종의 벡터로 볼 수 있습니다. 그런데, 제 생각으로는 2 x 2 형태의 고유벡터는 의미가 없을 것 같습니다. 3차원 공간에서 선형변환이 있을 때 변하지 않는 평면을 구성하는 기저벡터로 만들어진 2x2 형태의 고유행렬이 있다고 해도, 결국은 그 행렬의 열벡터가 각각이 고유벡터가 될텐데... 글쎄요... 혹시 아시는 분 있으시면 답글 부탁드립니다. 그리고, 고유벡터라는 개념을 확장시킨 '고유함수'라는 개념은 있습니다. eigen-function이라고 하는데 푸리에변환을 해석하는 또 다른 방법으로 사용될 수 있습니다. 이 경우 고유함수는 2 x 1 형태가 아니라 100 x 1, 1000 x 1 도 될 수 있고 심지어 무한차원이 될 수도 있습니다. 도움이 되셨나요? 혹시 이 부분에 대해서 더 잘 아시는 분 계신다면, 추가 답글 부탁드리겠습니다.
기하학적으로 2차원 정방행렬이라고 생각해보면 두 고유벡터를 따라 변하는 선형변환이 타원형처럼 변하는게 아니라 원형처럼 변한다는 의미가 되겠습니다. (즉, 어느 방향으로 보던지 변하는 정도가 같음.) 즉, 두 고유벡터가 수직인 경우에만 두 고유값이 중근이 되겠지요. 다차원 정방행렬이라고 생각했을 때는 중복되는 중근 고유값들에 해당되는 고유벡터들이 서로 선형독립이라는 의미로 받아들일 수 있습니다.
그런데 서동익님의 질문을 듣고 보니... 회로 이론에서 고유값과 고유벡터가 어떻게 쓰이는지 알아보고싶네요...! 제 느낌으로는... MATRIX를 통해 변화를 표현하는 선형 대수학은 아마도 ... 시스템이론과 연결되지 않을까 싶습니다. 선형 시스템이라는 과목은 들으시는지... 아마 그쪽과 연관이 되어 있지 않을까요?
또 생각 난 것이 Adaptive filter를 배울 때 eigenvector, eigenvalue의 개념이 많이 사용되었던 것 같습니다. correlation matrix의 특성 때문이죠. eigen-decomposition에도 많이 쓰이구요. 수학적인 접근이 아니고서야 세세한 전공 분야의 내용까지는 깊이 모르겠습니다 ^^;
댓글 감사합니다ㅜㅜ 학부때 선형대수에서만 배웠던 개념인데 어떻게 쓰는지 궁금했었던 부분이라서 궁금해서 여쭤보았습니다. 고유값이랑 고유벡터는 시스템을 만들때 다차원 변수들을 이용하게되는 분야에서 중요하게 쓰이는 것이겠죠? 아무래도 고차원행렬을 다룰때 쓰일 것 같으니... 직접적으로 다루진 않아서 궁금하긴 하네요^^
@@오성택-f8t 네 회전 행렬의 경우가 복소 고유값 고유벡터가 나오는 좋은 예 중의 하나인데요... 회전 행렬은 허수 고유값이 나오게 되서 고유값 자체만으로도 회전을 의미할 수 있게되니까 어떻게 기하학적으로 해석하면 좋을지 고민입니다 ㅎㅎ 올려주신 링크도 한번 보겠습니다~
![[선대] 5-1강. 고윳값 & 고유 벡터 (eigenvalue & eigenvector) 쉬운 설명](http://i.ytimg.com/vi/xDARfmKauuA/mqdefault.jpg)
고윳값 고유벡터에 관한 영상을 다시 촬영하였습니다.
ua-cam.com/video/7dmV3p3Iy90/v-deo.html
고유벡터를 음미하고 싶었는데 마지막 그래프 변환 설명이 완전 와닿습니다. 감사합니다.
10:50 역시 그림으로 보니까 확 와닿네요
저두 공돌이 인데 최근 취미로 수학공부중입니다. 수학자나 수학에 조예가 깊은 분들강의보다 이런 강의가 더 좋아요. 눈높이 강의 감사합니다.
와.. 이렇게 기하학적으로 설명해주니까 와 감동이다
와.. 걍 문제풀기만햇지 이게 뭐지 뭐지 해도 몰랏는데 이게 이런거구만
와 감동입니다
정말 감사드립니다. 책에 나와있던 문서화된 고유값, 고유벡터에 대한 직관적인 이해가 되었습니다.
감사합니다. 도움이 되었어요
대단합니다 멋져요
진짜 이해가 짱 잘 되어요.....통계 독학하면서 이 과목 독학하는데 너무 큰 도움 되었어요
오래전에 녹화해서 영상 품질도 매우 떨어지는데도 좋은 코멘트 달아주셔서 감사합니다 ㅠ ㅎ 도움 되었다니 다행입니다 ^^
책만보고 공부할 때 이해가 안된부분은 다 외웠는데 이렇게 설명해주시니 췹게 이해가 되네요 감사합니다. 단지 지직거리는 음질만 좀....
좋은 영상 정말 감사합니다
많은 도움이 되었습니다
늦은 시간까지 공부하시네요... ^^ 도움이 되었다니 다행입니다
감사합니다.!! 와우
이어폰 끼고 듣는데 잡음이 굉장히 심해서 목소리가 잘 안들리네요...ㅠㅠ 잘듣고갑니다
공돌이님의 동영상에서 접한
고유값과 고유벡터를 약간 공부했습니다
오늘
고유값이 중근인 경우까지 공부했고
정사각행렬의 n제곱 구하기에
고유값과 고유벡터가 사용되는
이유까지 공부했습니다
처음엔
처음에는 이게 뭔가 했는데
고유값과 고유벡터가
선형대수학의 최대의 종착역이고 핵심이며
그 활동분야가 광범위한 엄청난 세계라는 것을
알았습니다
거대한 미지의 세계를 소개해 주셔서
정말 감사드립니다
공돌이님이 뿌려 놓은 자그만 씨앗 하나가
이렇게 엄청난 세계일 줄이야
꿈에도 예상을 못했습니다 ~~~ !!!!!!!!
안녕하세요!
노성용님께서 댓글을 남겨주실 때마다 항상 저는 기분이 좋아지는 것 같습니다. 장문으로 남겨주실 뿐만 아니라 열심히 노력하시는 모습도 보이고 제 컨텐츠가 도움이 많이 되고 있는 것 같아 너무 뿌듯하기 때문입니다.
말씀하신대로 고유값 고유벡터는 행렬이 선형변환이라는 간단한 근거로부터 출발하는데 이로부터 파생되는 내용들이 정말 어마어마합니다.
추후에 PCA도 한번 공부해보시면, 이것을 기점으로 머신러닝에 대해서도 공부시작하는데 좋은 출발점이 될 것 같습니다!
항상 재밌게 봐주시니 너무 감사합니다! 좋은 밤 되십시오 ^^
@@AngeloYeo 감사합니다
계속 좋은 동영상 부탁드립니다
직관적인 설명 감사드립니다. 이해해 큰 도움이 되었어요! :)
정말 혁신적이네요... 강의를 들어도 휘발되었던 개념이 바로 잡히는 기분입니다 ㅠㅠ 정말 감사합니다. 그런데 하나 여쭤봐도 될까요? 9:33 여기 연립방정식에서 어떻게 1,-1이라고 답을 특정할 수 있는걸까요?
안녕하세요. 말씀하신 연립방정식에서 v1 v2는 1, -1이 아니어도 상관 없습니다 다만 둘을 더했을 때 0이 되기만 하면 됩니다. 중요한 것은 벡터의 방향이기 때문입니다. 결국 고유벡터를 구할 때는 해당 벡터의 방향을 확인하고싶기 때문입니다. 그래서 원래대로라면 v1 v2는 상수 c, -c 라고 답을 놓고 난 다음에 벡터의 크기(c sqrt(2))로 나눠줘서 고유벡터는 [1/sqrt(2), -1/sqrt(2)]라고 답을 구하는 것이 조금 더 정확한 풀이라고 할 수 있겠습니다. 도움이 되셨나요?
개념을 정확히 알려주시네요!
8분 23초, 개인용 저장, 영상 감사합니다
댓글 감사드립니다 ^^ 도움이 되었으면 좋겠습니다 ㅎ 좋은 하루 되세요!
좋은 영상 감사합니다 :)
+배경환 댓글 감사합니다~
위치 산출 연구(?) 중인데 공분산행렬 얘기가 나와서 잘 보고 갑니다.
휴일인데도 열심히 연구중이시군요... 화이팅입니다!
MRI 에서 diffusion 이미지 촬영하는 원리와 관계 있어 공부하고 있습니다. 수학 손 놓은지 반만년이라 여전히 어렵지만 영상이 많은 도움 되었습니다.
이 영상을보고 암이 치유되었습니다 감사합니다.
네 감사합니다 ^^;
이거 왜하는지 몰라 외국 자료까지 찾아보고 있었는데 여기에 딱 있었네요. 정말 감사합니다.
5:12 : eigenvector & value의 기하학적 의미 한줄 요약
굿
rotation matrix의 경우는 eigenvalue와 eigenvector가 없다고 해야 하지 않을까요? 위키피디아에는 rotation matrix의 eigenvalue가 소개되어 있기는 하지만, 선형변환으로 백터의 방향이 틀어지니 없다고 봐야 하지 않을까요?
안녕하세요. 해당 내용에 대해서는 제가 따로 정리한 글을 확인해보시면 좋을 것 같습니다.
angeloyeo.github.io/2020/11/02/complex_eigen.html
@@AngeloYeo 너무 재미있네요!! 감사합니다^^
감사합니다 ㅠㅠㅠ
안녕하세요 좋은 자료 정말 너무 감사드립니다~!
다름이 아니라 한 가지 질문을 드리고 싶은데,
12분 정도에 벡터가 어떻게 변화하는지를 시각적으로 보여주셨는데, 자세히 보면 고유벡터가 완전히 대각선으로 되어있는 것들만(Perfectly Linear) 방향이 변화하지 않는 것 같습니다. (보라색과 파란색 고유벡터들을 말합니다.)
그리고 더 자세히 보면, 보라색 고유벡터와 파란색 고유벡터가 서로 완전히 수직인 것 같습니다.
이 것이 orthogonal한 벡터의 형태와 관련이 있는 것인가요? 아니면 다른 특별한 의미가 있을까요?
답변 부탁드립니다.
감사합니다.
안녕하세요. 네 이 경우 서로 수직인 벡터 두 개가 고유벡터에 해당되기 때문에 두 벡터가 방향이 변하지 않게 되었습니다. 이 선형변환은 shear라는 변환으로 symmetric matrix에 해당되는 것이므로 고유벡터들은 이 경우 서로 직교합니다.
@@AngeloYeoShear라는 변환은 처음 알았네요 저도 좀 더 공부해보도록 하겠습니다! 감사합니다~!
9.30 에서 v1=1로 놓고 풀어 v=(1 -1)라고 하였는데 v1=-1로 놓고 풀어 v=(-1 1)이라고 하면 (1 -1)=(-1 1)이라고 할 수 있나요?
3x3 대칭행렬 A의 대각화할때 고유값이 중근을 가지면 그에 해당하는 두 고유벡터들이 직교가 아닐때가 있어 A - (람다)I 를 가우스-조던 소거법을 이용해서 다시 서로 직교인 두 고유벡터들을 구하던데
같은 고유값으로 구한 직교가 아닌 두 고유벡터들과 직교인 두 고유벡터들의 차이점이 뭔가요?
정말 감사합니다
하나만 더 여쭤볼께요
어제 여쭤본 행렬
250
520
003의 고유벡터는
고유값이 3일때 열행렬로 [0,0,1]
-3일때 [1,-1,0]
7일때 [1,1,0]이 맞나요?
네 말씀하신게 모두 맞습니다~~^^
강의 너무 잘 들었습니다! 혹시 고윳값이 1이 아닌 경우에 대해서도 주축이라고 설명하는 이유는 무엇입니까?? 방향이 바뀌지 않았더라도 크기가 바뀌었는데요!
안녕하세요. 질문이 잘 이해가 되지 않는데요. 고윳값이 1이 아니라도 주축이 될 수 있지요... 조금 더 구체적으로 말씀해주실 수 있으실까요?
도움 많이 됐습니다. 제가 이 영상을 보고 재미로 선형변환으로 도형이 늘어나는(도형을 구성하는 점들이 이동하는) 애니메이션을 파이썬으로 짜고 있었는데
사실 변환행렬을 좌표에 곱하면 한번에 이동이 완료되잖아요? 그 중간 과정의 좌표를 어떻게 구하면 될까요?
원하는 행렬에서 단위행렬을 빼주고 원하는 스텝사이즈만큼 나눠주면 중간 과정을 계산할 수 있습니다. 제 영상중에 매트랩으로 선형변환 애니메이션 만들기 영상이 있으니 참고하시면 좋을 것 같네요 ^^~
ua-cam.com/video/-1X4qwdXmM0/v-deo.html
공돌님 안녕하세요 만약에 A 행렬이 (-2 -1;-1 -2)가 되면 고유값은 -1,-3이 되고 고유벡터는 영상과 동일하게 나오던데요(x=y, x=-y)... 그런데 A행렬로 이 고유벡터를 선형변환 해주면 방향이 180도 바뀌던데 이 경우에도 고유값 고유벡터라 해도 되는건가요?
만약 단위벡터의 스칼라배 된것이 A에 있으면 A-lamda×I가 0이 되는 0행렬이 되는데 이때 A의 고유벡터는, 2차원 실수공간이 정의역이라고 하면 , 실수공간 전체라고 해도 되나요?
안녕하세요. 저도 계산해보니까 말씀하신 풀이와 동일하게 나오네요. 크기에 음수가 곱해져서 반대방향으로 커진다고 보면 맞을 것 같습니다... 해당 행렬의 선형변환도 뒤집어 주는 모양을 띄게 될것 같아 보여서 시각적인 해석에도 큰 문제가 없어보여요...
또 eigenvalue 가 꼭 positive 해야한다던지 하는 제약조건은 없기 때문에 문제 없을 것 같네요 ㅎ
감사합니다.
3×3행렬
-2 0 -6
0 1 0
-4 1 0
의 고유벡터를 [x y z]전치행렬로 놓고
고유값을 2로 갖을때
X로 정리하면 1/2x[2 7 -1]
z로 정리하면 z[-2 -7 1]
이나오는데 둘다 맞는건가요?
x로 정리한다는 말이랑 z로 정리한다는 말이 어떤 의미인가요?
힐버트공간에서 신호의 고유벡터가 신호의 기저함수라고 말을 하던데요... 이게 무슨 뜻인건지 여쭈어 봅니다. 푸리에변환의 일반화 같기도 하구요 ...
푸리에 시리즈 유도 관련 영상을 한번 보시면 도움 되실 것 같습니다... 기저벡터들을 이용하면 기저벡터들의 Span 의 모든 벡터들을 표현 할 수 있듯이 모든 신호는 신호의 기저함수의 선형결합으로 표현가능합니다.
감사합니다 3*3 행렬
250
520
003의 고유값이 3,-3,7이 맞는지요
네 맞네요~~^^
영상의 질이 대학수업보다 낫거나 동등하네요
안녕하세요. 혹시 angeloyeo.github.io/2019/07/17/eigen_vector.html 에서 나와있는 설명 중 애플릿?이 뭔지는 모르겠는데 암튼 벡터를 선형변환 시켜줘서 나오는 결과 값을 확인할 수 있는 프로그램? 사이트? 혹시 알려주실 수 있나요?
안녕하세요. Python 을 쓰시면 무료로 관련내용 프로그래밍 해서 보실 수 있을 것 같습니다. 벡터 행렬 곱 구현은 numpy 라이브러리가 유용할 것 같아요.
Ak = λk
Ak - λk = 0
(A - λI)k = 0
여기서 A는 행렬이고
λ는 몇 배냐를 나타내는 숫자라서
왼쪽과 오른쪽이 차원이 다른 세계라서
차원을 맞추기 위해서
단위행렬 I가 들어가니까
Ak = λIk
이렇게 진행되어야 하는 것 아닌가요?
Ak - λk = 0
(A - λI)k = 0
여기서 갑자기 I가 어디서 튀어나왔나
"갑자기 이게 뭐야 ?"
하고 브레이크가 결려서
여기저기 알아 보고 이해했습니다
가르치는 사람과 배우는 사람이
서로 실력의 갭이 크다 보니
가르치는 사람이
"이 정도는 당연히 알겠지 " 하는 것을
배우는 사람은
모르는 경우가 많더라구요
(이 영상 보는 사람들은
그 정도 기본지식은 있었겠지만)
중간에 약간 브레이크가 결렸지만
공돌이님 동영상이
워낙 자세하고 친절해서
고유값, 고유벡터는 이해했습니다
선형대수학에서
대어를 하나 낚아가는 기분입니다
고유값, 고유벡터는 개념도 없었는데
새로운 세계를 하나 얻었습니다
정말 감사합니다
안녕하세요. Ak를 계산할 때 A는 행렬이고 k는 벡터입니다. 그러면 Ak의 차원은 벡터 k의 차원과 같아지게 됩니다.
반면 우변에서 λk의 경우 λ는 스칼라이므로 λk의 차원은 벡터 k의 차원과 같습니다.
우변이 좌변으로 넘어올 때는 벡터 k를 Ik로 분해한 것으로 생각하는게 더 맞을 것 같습니다. 이 부분에 대해서 설명을 추가하는게 좋아보이네요.
항상 꼼꼼히 봐주시고 피드백 주시니 정말 감사합니다. 공부하시는데 도움 되었으면 좋겠습니다 :)
@@AngeloYeo k가 벡터임을 확실히 알게 되니
이해가 더욱더 분명해 지는 것같습니다
행렬식 값 구하기와 간단한 가우스소거법 밖에 모르다
의외로
고유값과 고유벡터라는 큰 것을 하나 얻었습니다
감사합니다 ^^
선형대수학도 공부해보면 정말 재밌습니다 ^^ 노성용님께서도 공부에 재미를 많이 느끼시는 분이신 것 같습니다 ! 항상 감사합니다 ^^
교수님 제발 이렇게 알려주세요......
정말 큰 도움이 되었습니다! 혹시 3x3행렬도 다뤄주실수 있나요?
2x2 행렬과 3x3행렬은 다루는 실수공간의 차원에만 차이가 있을 뿐 본질적인 내용은 같습니다. 다만 시각화가 좀 더 어려워지게 됩니다.
고유벡터를 2×1 형태로 잡고 계산을 해주셨는데 고유벡터가 꼭 이 형태여야 하는거가요? 가령 2×2 형태의 고유벡터는 없는 건가요?
안녕하세요. 굉장히 좋은 질문 같습니다. 보통 벡터라하면 n x 1 형태로 두는 것이 일반적입니다. 말씀하신 내용이 저도 궁금해서 eigen-matrix가 있는지 찾아봤는데 eigen-vector로 이루어진 matrix를 eigen-matrix라고 하더군요...
좀 더 추상적인 algebra에서는 matrix도 일종의 벡터로 볼 수 있습니다. 그런데, 제 생각으로는 2 x 2 형태의 고유벡터는 의미가 없을 것 같습니다. 3차원 공간에서 선형변환이 있을 때 변하지 않는 평면을 구성하는 기저벡터로 만들어진 2x2 형태의 고유행렬이 있다고 해도, 결국은 그 행렬의 열벡터가 각각이 고유벡터가 될텐데... 글쎄요... 혹시 아시는 분 있으시면 답글 부탁드립니다.
그리고, 고유벡터라는 개념을 확장시킨 '고유함수'라는 개념은 있습니다. eigen-function이라고 하는데 푸리에변환을 해석하는 또 다른 방법으로 사용될 수 있습니다. 이 경우 고유함수는 2 x 1 형태가 아니라 100 x 1, 1000 x 1 도 될 수 있고 심지어 무한차원이 될 수도 있습니다.
도움이 되셨나요? 혹시 이 부분에 대해서 더 잘 아시는 분 계신다면, 추가 답글 부탁드리겠습니다.
고유치,고유벡터를 구하는 방법만 배우고 Av=λv가 기하학적으로 벡터 v를 행렬A에 의해 선형변환 했을때 방향은 바뀌지 않고 크기만 변하게 하는 λ(람다)와 고유벡터 v가 존재하느냐?라는 걸 묻고 있다는 생각은 전혀 하지 못했었는데...감사합니다..
부족한 영상임에도 칭찬의 댓글 감사드립니다... ㅎㅎ
고유값 고유벡터 설명 다시 올려주시면 안되나요? ㅠㅠ
안녕하세요. 이번 주 토요일에 올라갈 예정입니다 ^^
이해하기 쉬운 설명 감사합니다. 계량경제학 수업 듣기전에 기초수학으로 공부하라고 주신 자료인데 이해가 안되던 찰나에... 구세주십니다..ㅜㅜ
도움이 되었다니 다행입니다 열공하세요~ ㅎ
고유값이 중근인 경우는 어떻게 이해해야할까요?
기하학적으로 2차원 정방행렬이라고 생각해보면 두 고유벡터를 따라 변하는 선형변환이 타원형처럼 변하는게 아니라 원형처럼 변한다는 의미가 되겠습니다. (즉, 어느 방향으로 보던지 변하는 정도가 같음.) 즉, 두 고유벡터가 수직인 경우에만 두 고유값이 중근이 되겠지요.
다차원 정방행렬이라고 생각했을 때는 중복되는 중근 고유값들에 해당되는 고유벡터들이 서로 선형독립이라는 의미로 받아들일 수 있습니다.
절하고 갑니다
책으로 공부하면서 궁금한점이 생겼는데요, 고유벡터를 찾을 때 길이가 정확히 1인것을 찾아야 한다고 나와있는데 그 이유가 뭘까요?
고유 벡터의 의미를 잘 생각해보시면, 고유 벡터는 선형변환의 '방향'을 의미합니다. 고유 값은 그 방향으로의 크기이구요. 즉, 순수한 방향만을 생각하려고 한다면 그 크기는 1이 되어야 합니다.
감사합니다! 이해가잘되었어요 ㅎㅎ
람다가 -1이면 방향이 180도로 변하는거 아닌가요?
맞습니다. 그럼 그 반대쪽 방향으로 향한 벡터를 고유벡터로 보면 되겠죠?
알고싶었던 개념인데 좋은 설명 감사합니다^^
혹시 고유값과 고유벡터가 회로나 통신쪽에서 어떻게 쓰이는지 알려주실 수 있나요?
안녕하세요. 댓글 감사드립니다. 제가 통신이나 회로에는 거의 문외한에 가까워서 설명해드릴 수가 없네요...ㅠㅜ
그런데 서동익님의 질문을 듣고 보니... 회로 이론에서 고유값과 고유벡터가 어떻게 쓰이는지 알아보고싶네요...!
제 느낌으로는... MATRIX를 통해 변화를 표현하는 선형 대수학은 아마도 ... 시스템이론과 연결되지 않을까 싶습니다. 선형 시스템이라는 과목은 들으시는지... 아마 그쪽과 연관이 되어 있지 않을까요?
하나 예전에 봤던 내용 중에 eigenfunction이라는 개념이 있었습니다. 함수는 무한차원의 벡터로 생각할 수 있기 때문에 eigenvalue, eigenvector의 이야기가 함수로까지 넘어가는 것은 아닌가 싶긴 합니다만...
또 생각 난 것이 Adaptive filter를 배울 때 eigenvector, eigenvalue의 개념이 많이 사용되었던 것 같습니다. correlation matrix의 특성 때문이죠. eigen-decomposition에도 많이 쓰이구요. 수학적인 접근이 아니고서야 세세한 전공 분야의 내용까지는 깊이 모르겠습니다 ^^;
댓글 감사합니다ㅜㅜ 학부때 선형대수에서만 배웠던 개념인데 어떻게 쓰는지 궁금했었던 부분이라서 궁금해서 여쭤보았습니다. 고유값이랑 고유벡터는 시스템을 만들때 다차원 변수들을 이용하게되는 분야에서 중요하게 쓰이는 것이겠죠? 아무래도 고차원행렬을 다룰때 쓰일 것 같으니... 직접적으로 다루진 않아서 궁금하긴 하네요^^
혹시 고윳값이 복소수로 나오면 어떻게 해석해야할까요?? ㅠㅠㅠ
안녕하세요. 대수적으로는 그냥 복소수로 처리하면 실수처럼 잘 작동합니다만... 저도 기하학적인 의미는 모르겠습니다. 예전에 좀 고민해봤었는데 ㅠ 혹시 답을 찾게되면 영상 올려볼게요
공돌이의 수학정리노트 굉장히 재밌는걸 찾은것같아요!! ㅎㅎㅎㅎ 한번 봐주시면 감사해유 공돌이님 덕분에 뻥뚫린게 너무많아요 항상 감사드립니다 ㅎㅎㅎㅎ www.math.utk.edu/~freire/complex-eig2005.pdf
복소평면에서의 회전이랑 관련있는것같아요 저도 공부해볼게욥 ㅎㅎㅎ
@@오성택-f8t 네 회전 행렬의 경우가 복소 고유값 고유벡터가 나오는 좋은 예 중의 하나인데요... 회전 행렬은 허수 고유값이 나오게 되서 고유값 자체만으로도 회전을 의미할 수 있게되니까 어떻게 기하학적으로 해석하면 좋을지 고민입니다 ㅎㅎ 올려주신 링크도 한번 보겠습니다~
내용이 너무 좋은데 소음만 ㅠㅠㅠㅠ
잡음이 너무 심합니다 ㅠㅠ
저도 하나 새로 찍어야 하나 싶습니다 ㅠㅠ
개쩐다 설명
격한 칭찬의 코멘트 감사합니다 ^^~
고유값과 고유벡터에 대해 이보다 직관적인 교육영상은 이전에도 없었으며 앞으로도 없을 것이다.
과찬이십니다... 감사합니다 ㅎ
다좋은데 지지직거리는건 참 ㅋㅋ