Relativité générale (séance 9a)
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- Опубліковано 17 бер 2024
- Cours du Master Physique Fondamentale et Application, parcours Physique fondamentale, Université Paris Cité, Année 2023-2024, par Étienne Parizot
Séance 9a du 18 mars 2024
Fin du chapitre 4 : dérivée covariante
• Fonctions coefficients de la connexion
• Coordonnées normales en un point donné
Chapitre 5 : transport parallèle et courbure
• Notion de transport parallèle le long d'une courbe
• Champ de vecteur parallèlement transporté
• Courbe autoparallèlement transportée : droite !
• Paramètre affine
La feuille d'exercices dont il est question dans le cours est accessible ici : www.dropbox.com/scl/fi/vtws3s...
Bonsoir professeur, je vous remercie pour votre partage du cours.
Serais-ce possible que vous partagiez la feuille d'exercice ?
Ah oui, désolé ! J'ai ajouté le lien dans la description de la vidéo.
Merci infiniment professeur.
Merci pour les 25 premières minutes de rappel, ça a bien clarifié les choses pour moi 😅
Bonjour M Parizot , en fait si les corps suivaient des courbes dans l'espace ils subiraient une force d'inertie , pour Newton la terre tourne autour du soleil sans suivre une droite donc elle doit subir une force d'inertie mais avec Einstein elle a un mouvement rectiligne uniforme et ne subit aucune force d'inertie
Bonjour monsieur Parizot.
Je suis vos cours sur la RG avec beaucoup d’intérêt. Je voulais vous demander: auriez-vous des ouvrages qui traitent de l’étude des Atlas à me conseiller ? J’aimerais étudier en particulier la compatibilité des cartes (au sens de la différentiation).
Bonjour. Hélas, non, je connais pas vraiment les ouvrages sur le sujet, mais j'imagine que vous pourrez trouver cela dans la plupart de livres de géométrie différentielle.
Bonjour professeur,
D'abord je tiens à vous remercier pour la diffusion de vos cours.
J'ai repéré une petite coquille à 54:55. Vous avez posé comme nulle la différence entre deux nombres qui sont à priori différents, nous voulons montrer que l'un des deux est nul donc en principe l'autre doit être non nul sinon le résultat est immédiat. Ce qui fait que les deux nombres sont bien différents.
Je vous propose humblement de changer comme suit le choix du changement de carte (remplacer le moins pas un plus) car l'ayant fait je trouve :
$(x \circ y^{-1})^{i}(p^{1}, ..., p^{n}) = p^{i} + \frac{1}{2} \Gamma^{i}_{(x) ab}(p) p^{a}p^{b}$
Avec ce choix ci, les mêmes calculs (en remplaçant les moins par des plus) mènent à l'équation :
$\Gamma^{i}_{(y) jk} (p)= \Gamma^{i}_{(x) jk} (p) + \Gamma^{i}_{(y) jk} (p)$
Ce qui est bien équivalent à $\Gamma^{i}_{(x) jk} (p) = 0$ qui est le résultat escompté.
Oups. Oui, en effet, il y a une coquille : merci de l'avoir signalée ! Cependant, ce que je voulais faire en réalité n'est pas ce que vous proposer. Car dans cette histoire, ce qui est donné, c'est \Gamma^{i}_{(x) jk}. C'est donc bien ces coefficients que j'aurais dû utiliser dans définition de la fonction de transition (associée au changement de carte), et non pas \Gamma^{i}_{(y) jk}. Dans ce cas, on arrive bien, pour les coefficients de la connexion dans la carte y, à \Gamma^{i}_{(x) jk} - \Gamma^{i}_{(x) jk}, c'est-à-dire zéro.
Merci en tout cas d'avoir repéré cette coquille, toujours liée au problème initial, qui est que j'avais initialement présenté les choses à l'envers, de y vers x au lieu de x vers y.
Bonjour,
Merci pour vos cours qui allient précision mathématique et intuition physique.
Justement, j'ai une qustion à ce propos.
Vous définissez la dérivée covariante d'un champ de vecteurs le long d'un autre champ de vecteurs de manière formelle et mathématique (en respectant la linéarité et la règle de Leibnitz) mais j'ai du mal à voir pourquoi cette définition illustre bien l'idée physique de variation du champ.
Alors que pour la dérivée covariante d'une fonction le long d' un champ de vecteurs, c'est clair via les dérivées partielles.
Bonjour. En fait, c'est la même idée. Lorsque vous considérez les composantes d'un vecteur, vous pouvez dire que le vecteur a changé si les composantes ont changé, et définir le taux de changement du vecteur (sa dérivée) à partir du taux de changement de ses coordonnées. C'est ce que vous donne la dérivée partielle, et c'est très bien… SAUF si les coordonnées se rapportent à des bases différentes. Dans le plan euclidien ordinaire, les coordonnées d'un vecteur sont ses projections sur les vecteurs de base que vous avez choisi, mais si ces vecteurs de base sont différents et arbitrairement choisis en chaque point, comment saurez-vous, en regardant uniquement ses coordonnées, si le vecteur a changé entre un point et un autre. Les coordonnées sont peut-être différentes, bien que le vecteur soit en réalité le même. Ou bien les coordonnées sont peut-être les mêmes (donc avec des dérivées partielles nulles), bien que le vecteur ait en réalité changé ! Ainsi, la VRAI dérivée d'un vecteur doit prendre en compte non pas seulement la variation de ses coordonnées, mais aussi la variation des vecteurs de base utilisés pour définir ces coordonnées. C'est justement ce que fait la dérivée covariante. Mais là où les choses se compliquent, c'est que dans le plan euclidien, on a une notion première qui nous permet de dire si un vecteur "ici" est le même qu'un vecteur "là", de sorte qu'il est facile de comparer les vecteurs de la base choisie "ici" et de la base choisie "là" (pour pouvoir corriger la variation des composantes en conséquence). Mais dans un espace général, où l'on ne présage pas de la géométrique sous-jacente, il n'y a tout simplement PAS de notion permettant de comparer les vecteurs en des points différents. Car ils n'appartiennent pas au même espace ! Dire que tel vecteur "ici" est le même que tel vecteur "là" n'a tout simplement aucun sens. Mais l'introduction d'une connexion permet justement de définir une notion de variation locale des vecteurs de base, qui peut ensuite d'utiliser de proche en proche pour transporter un vecteur d'un point à un autre "sans le changer" (i.e. identique ou "parallèlement" à lui-même). Il n'y a pas d'autres façons de procéder, et nous pouvons remercier les mathématiciens des XIXe et XXe siècles d'avoir clarifier tout ça. Notez enfin que, dans ce "transport parallèle", le résultat dépend généralement du chemin suivi. Sauf lorsque l'espace est plat, justement. Dans ce cas, en effet, on peut avoir une notion naturelle de "même vecteur" en deux points différents, indépendant d'un chemin de transport parallèle. On y est tellement habitué que ça nous paraît évident. Mais faire une telle hypothèse sur la géométrie de notre espace-temps est tout simplement trop restrictif. C'est pourquoi il faut apprendre à reformuler ces notions dans un cadre plus général. C'est ce que fait la géométrie différentielle, sans laquelle il n'est tout simplement pas possible de formuler la Relativité générale.
Cela répond-il à votre question ?
Je crois que c'est clair maintenant.
Je reformule à travers un exemple pour en être sûr :
Pour qu' à la surface de la terre, le vent Vu ne varie pas localement, il ne suffit pas que V soit constant car le vecteur u varie localement.
Il faut tenir compte des deux variations et cela ne peut se faire que par la règle de la Leibniz.
Merci encore pour vos vidéos en général qui permettent de comprendre vraiment en profondeur la physique et qui sont extrêmement vivantes avec des erreurs toujours rectifiés qui font partie de l'apprentissage scientifique.
Bonjour,
Ils ont de la chance vos étudiants. Vous devriez les laisser travailler un peu plus aux démonstrations.
Merci pour votre travail.
En définissant le transport parallèle sur un champ de vecteur le long d'une courbe, est-ce que ça n'implique pas que cette courbe ne peut pas s'autointersecter, ou être fermée ? Si le transport parallèle peut changer la "direction" du vecteur entre le départ et l'arrivée, et donc que ce vecteur n'est pas identique en retournant au point de départ, il ne peut pas faire partie du champ de vecteur (qui définie un unique vecteur en chaque point), si ?
Bonjour. Je ne comprends pas bien votre question. Il n'y a pas de problème particulier à transporter parallèlement un vecteur le long d'une courbe qui se recouperait elle-même (ou qui serait simplement fermée). Il se peut en effet fort bien que le vecteur parallèlement transporté jusqu'à revenir au point de départ soit différent de ce qu'il était initialement : c'est précisément cela que mesure la courbure ! Je pense que cette question s'éclairera pour vous dans la vidéo suivante (séance 9b).
@@EtienneParizot Si je me rappelle bien les séances précédentes, un champ de vecteur est une section du fibré tangent, i.e. défini par une application injective de l'espace tangent dans le fibré tangent, donc l'association à tout point M de l'espace tangent, d'un unique vecteur du fibré tangent en ce point. Si une courbe σ( λ):R->M est fermée, par ex. valant le point P0 de M en λ=0 et en λ=1, alors si le vecteur du champ en P0 est différent au départ (en λ=0) et à l'arrivée (en λ=1), ça contredit la définition d'une section du fibré tangent (association d'un unique vecteur à chaque point de M).
Est-ce que le transport parallèle ne devrait pas être défini sur l'ensemble de tous les vecteurs du fibré tangent, et non pas juste sur une section de celui-ci, afin de pouvoir obtenir un vecteur différent au départ et à l'arrivée ?
@@pierrefrotier Attention, transporter un vecteur le long d'une courbe n'a rien à voir avec un champ de vecteur. Vous vous donnez simplement un vecteur en un point donné d'une certaine courbe, et vous le transportez le long de la courbe, de proche en proche, en respectant la condition de transport parallèle. Si la courbe revient à son point de départ, le vecteur transporté jusqu'à ce point sera généralement différent du vecteur initial. Qu'à cela ne tienne.