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「a!+2が2の累乗になる自然数aをすべて求めよ」とすると良問度がアップしそう。（2!+2=4、3!+2=8は2の累乗、a≧4のときは動画の説明通りで不適）
２で括れば２×（３×４×…×ａ＋１）で括弧の中は必ず奇数。括弧内が２の冪乗の形とならないことから以下省略。
これに一票
これで1分で瞬殺じゃない？この問題
a≧4ってことはa!は24の倍数だからa!=24bと表せる(bは自然数)24b+2=2(12b+1)12b+1は奇数、bは自然数より12b+1≧13よって2以外の素因数を持つから矛盾
ハートが押されてないということは、
ハート押された後に編集したので消えたんだと思います
ベスト5と言われると1~3位の可能性感じるけど、ベスト4と言われるとそれを感じなくなる不思議
おはようございますです。このテの問題は得意だ～(競プロ脳の叫び)さて与式は成立するのはa! + 2 = 2^n の時で 移項すると a! = 2^n - 2これを2進数で表示すると100...0 - 10 = 11...110つまり1がずらっと並んで1の位だけが0です次に a! ですが、a ≧ 4 ということで 24からスタートこれは2進数で 11000 です。そして5! = 11110006! = 10110100007! = 1001110110000という風に、a!が24の倍数である限り、下3桁に1がくることはありません。よって、a!と2^n - 2 が等しくなることは有り得ないのでしたこの考え方が出てくるかな と動画視聴……出てきませんでした。そりゃまぁ競技プログラミングのネタですからねぇ
因数に2をいくつ持つか考えると、自然とわかる
a!=2^k-2=2(2^k-1 -1)2^k-1 -1は奇数。よって右辺は2の倍数になる。しかし、左辺は8の倍数になる。（a>=4だから）したがってこれを満たす解はない。
下手すれば0点解答ですねそれ…。不足以前に言葉が間違っています。a!は2の倍数です。
@@electromagnezone88 ほんとですね。8の倍数になるの間違いです。
数学的帰納法も背理法も対偶証明法も使用不要です：a ≧ 4のとき，a!+2＝P{a, a-4}*4!+2 ≡ 2 (mod 4)なので，a!+2は4の倍数では無い。更にa ≧ 4のとき，a!＞0 ⇔ a!+2＞2。a!+2が4の倍数で無い以上，これが2の累乗となるには2にならなければならないが，実際には2よりも大きいので，a!+2は2の累乗を取らない。◾︎
なぜか島根が飛ばされてるのほんと草
「a!+2」と「2の累乗」はmod 4での性質が違うよねと言うだけでいいと思います。背理法は非常に強力で便利ですが、この問題は使わない方が個人的に「数学わかってるな」という印象を受けます。テニスコートに卓球台を置いて卓球をやってる感じがします（笑）
2の累乗は絶対に4の倍数かと言うのを考えないと，背理法以上の不十分解答になるんですが…。
@@electromagnezone88 もちろんそうですよ！動画内では累乗の指数が5以上のときを考えているので、その場面に対して言っています。
@@suzumechannel773 それを示さずにmod 4での性質が違うと言うのは些か乱暴になります。言う前に書いて示すのが数学の真骨頂であり，仮にk ≧ 5を示しても，具体的に言うのが原則。式で表しても，背理法みたいな説明は無くても形は同じですし。
@@electromagnezone88 どうやら言葉足らずだったようです。ごめんなさい。私が先に言った「mod 4での性質が違う」は「a!+2≡2, 2^k≡0 (mod 4)」の事であり、解答ではもちろん具体的に書きますよ。上のコメントの趣旨は「背理法を使わなくても a!+2≡2, 2^k≡0 (mod 4) という性質の違いを言えば伝わるので大丈夫だと思います」です。分かりづらくてすみません。
a≧4よりa!＝3k(kは自然数).よって2累乗とならない.
あ、 +2ですね。ちゃんと書きます。証明) m・2^n +2が2累乗となるとする.(m,nは自然数でmは2の倍数でない)これより2^nを少なくとも因数に持つはずである.n≧2のとき、矛盾.したがってn≧2においてm・2^n +2は2累乗でない.a≧4よりa!は2^2を因数に持つ.よってa! +2は2累乗でない. (終
合同式の問題点はやはりと言えばやはりですがありますね：・p，q，sを整数，rを2以上の自然数とするとき，p＝qr+s ⇔ p ≡ s (mod r)と定義出来るが，右の合同式は商qを認識していない。今回の問題にしても，大部分は合同式を使えば楽ですが，むしろ範囲認識の方が重要ですので，ちゃんと「階乗は自然数」とか「取りうる2の冪乗は5以上」とかを考えるのが最優先です。上の商qを意識せずに進めた場合，与式も2の冪乗も余り2を取りうることを無視してしまいます。
解けた
与式≡2 mod4一方、2の累乗≡0 mod4を言って終わりでは？
累乗は自然数乗に該当しますので，2^1も2の累乗の一つです。ですので，与式が2超であることを示さないと不十分解答になります。
そうですね。それは認識しています。aが4以上ですから、2の累乗になるとしたら、2^2よりは大きいと一言添える必要がありますね。上記ではそれを省略していました。
「a!+2が2の累乗になる自然数aをすべて求めよ」とすると良問度がアップしそう。
（2!+2=4、3!+2=8は2の累乗、a≧4のときは動画の説明通りで不適）
２で括れば
２×（３×４×…×ａ＋１）
で括弧の中は必ず奇数。
括弧内が２の冪乗の形とならないことから以下省略。
これに一票
これで1分で瞬殺じゃない？この問題
a≧4ってことはa!は24の倍数だから
a!=24bと表せる(bは自然数)
24b+2=2(12b+1)
12b+1は奇数、bは自然数より12b+1≧13よって
2以外の素因数を持つから矛盾
ハートが押されてないということは、
ハート押された後に編集したので消えたんだと思います
ベスト5と言われると1~3位の可能性感じるけど、ベスト4と言われるとそれを感じなくなる不思議
おはようございますです。
このテの問題は得意だ～(競プロ脳の叫び)
さて与式は成立するのは
a! + 2 = 2^n の時で 移項すると a! = 2^n - 2
これを2進数で表示すると
100...0 - 10 = 11...110
つまり1がずらっと並んで1の位だけが0です
次に a! ですが、a ≧ 4 ということで 24からスタート
これは2進数で 11000 です。そして
5! = 1111000
6! = 1011010000
7! = 1001110110000
という風に、a!が24の倍数である限り、下3桁に1がくることはありません。
よって、a!と2^n - 2 が等しくなることは有り得ないのでした
この考え方が出てくるかな と動画視聴
……出てきませんでした。
そりゃまぁ競技プログラミングのネタですからねぇ
因数に2をいくつ持つか考えると、自然とわかる
a!=2^k-2=2(2^k-1 -1)
2^k-1 -1は奇数。
よって右辺は2の倍数になる。
しかし、左辺は8の倍数になる。
（a>=4だから）
したがってこれを満たす解はない。
下手すれば0点解答ですねそれ…。
不足以前に言葉が間違っています。
a!は2の倍数です。
@@electromagnezone88
ほんとですね。8の倍数になるの間違いです。
数学的帰納法も背理法も対偶証明法も使用不要です：
a ≧ 4のとき，
a!+2＝P{a, a-4}*4!+2 ≡ 2 (mod 4)なので，a!+2は4の倍数では無い。
更にa ≧ 4のとき，a!＞0 ⇔ a!+2＞2。
a!+2が4の倍数で無い以上，これが2の累乗となるには2にならなければならないが，実際には2よりも大きいので，a!+2は2の累乗を取らない。◾︎
なぜか島根が飛ばされてるのほんと草
「a!+2」と「2の累乗」はmod 4での性質が違うよねと言うだけでいいと思います。
背理法は非常に強力で便利ですが、この問題は使わない方が個人的に「数学わかってるな」という印象を受けます。
テニスコートに卓球台を置いて卓球をやってる感じがします（笑）
2の累乗は絶対に4の倍数かと言うのを考えないと，背理法以上の不十分解答になるんですが…。
@@electromagnezone88
もちろんそうですよ！
動画内では累乗の指数が5以上のときを考えているので、その場面に対して言っています。
@@suzumechannel773 それを示さずにmod 4での性質が違うと言うのは些か乱暴になります。
言う前に書いて示すのが数学の真骨頂であり，仮にk ≧ 5を示しても，具体的に言うのが原則。
式で表しても，背理法みたいな説明は無くても形は同じですし。
@@electromagnezone88
どうやら言葉足らずだったようです。ごめんなさい。
私が先に言った「mod 4での性質が違う」は「a!+2≡2, 2^k≡0 (mod 4)」の事であり、
解答ではもちろん具体的に書きますよ。
上のコメントの趣旨は
「背理法を使わなくても a!+2≡2, 2^k≡0 (mod 4) という性質の違いを言えば伝わるので大丈夫だと思います」
です。分かりづらくてすみません。
a≧4よりa!＝3k(kは自然数).よって2累乗とならない.
あ、 +2ですね。
ちゃんと書きます。
証明)
m・2^n +2が2累乗となるとする.(m,nは自然数でmは2の倍数でない)
これより2^nを少なくとも因数に持つはずである.n≧2のとき、矛盾.
したがってn≧2においてm・2^n +2は2累乗でない.
a≧4よりa!は2^2を因数に持つ.よってa! +2は2累乗でない. (終
合同式の問題点はやはりと言えばやはりですがありますね：
・p，q，sを整数，rを2以上の自然数とするとき，
p＝qr+s ⇔ p ≡ s (mod r)
と定義出来るが，右の合同式は商qを認識していない。
今回の問題にしても，大部分は合同式を使えば楽ですが，むしろ範囲認識の方が重要ですので，ちゃんと「階乗は自然数」とか「取りうる2の冪乗は5以上」とかを考えるのが最優先です。
上の商qを意識せずに進めた場合，与式も2の冪乗も余り2を取りうることを無視してしまいます。
解けた
与式≡2 mod4
一方、2の累乗≡0 mod4
を言って終わりでは？
累乗は自然数乗に該当しますので，2^1も2の累乗の一つです。
ですので，与式が2超であることを示さないと不十分解答になります。
そうですね。それは認識しています。
aが4以上ですから、2の累乗になるとしたら、2^2よりは大きいと一言添える必要がありますね。
上記ではそれを省略していました。